on tap TN( CT Chuan)

Trường THPT Lê Duẩn Vấn đề 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ I. Lý thuyết: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K ♦ / : ( ) 0 ( )x K f x f x∀ ∈ ≥ ⇒ đồng biến trên K ( dấu bằng chỉ xảy ra hữu hạn ) ♦ / : ( ) 0 ( )x K f x f x∀ ∈ ≤ ⇒ nghòch biến trên K ( dấu bằng chỉ xảy ra hữu hạn) II. Phương pháp giải toán: Tìm khoảng đồng biến, nghòch biến của HS Quy tắc:  B1: Tìm tập xác đònh.  B2: Tính f / (x).Tìm các điểm i x (i = 1,2, ,n) mà f’(x) = 0 hoặc không xác đònh.  B3: Lập bảng biến thiên  B4: Căn cứ vào B3 suy ra chiều biến thiên của HS trong các khoảng xác đònh. Ví dụ: Xét sự đồng biến, nghòch biến của HS 2 2 1 2 x x y x − + = − Giải Tập xác đònh: \{2}D R= . Ta có 2 , / 2 1 4 3 0 3 ( 2) x x x y y x x =  − + = ⇒ = ⇔  = −  (hàm số không xác đònh tại x = 2 ) Bảng biến thiên: Vậy HS đồng biến trên các khoảng: ( −∞; 1) và ( 1; +∞), nghòch biến trên các khoảng: (1; 2) và (2; 3). Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I. Lý thuyết: Cho hàm số y = f(x) xác đònh và liên tục trên khoảng ( a ; b ) và 0 ( ; )x a b∈ . 1. Đònh lí 1: a) 0 0 0 0 0 '( ) 0, ( ; ) '( ) 0, ( ; ) f x x x h x x f x x x x h > ∀ ∈ −  ⇒  < ∀ ∈ +  là điểm cực đại của f(x) Tài liệu ôn Tốt Nghiệp THPT 21 3 −∞ +∞ 0 0 x y / y +  +  Trường THPT Lê Duẩn b) 0 0 0 0 0 '( ) 0, ( ; ) '( ) 0, ( ; ) f x x x h x x f x x x x h < ∀ ∈ −  ⇒  > ∀ ∈ +  là điểm cực tiểu của f(x) 2. Đònh lí 2 a) 0 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 f x x f x =  ⇒  <  là điểm cực đại của f(x) b) 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 f x x f x =  ⇒  >  là điểm cực tiểu của f(x)  Chú ý: Nếu x 0 là điểm cực trò ( hay còn gọi là điểm cực trò của HS) thì 0 0 ( )y f x= là cực trò (hay còn gọi là cực trò của HS), và M(x 0 ; f(x 0 )) là điểm cực trò của đồ thò HS. II. Phương pháp giải toán: 1. Dạng 1: Tìm điểm cực trò của HS Cách giải: p dụng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2 để giải * Quy tắc I: 1. Tìm tập xác đònh 2. Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc không xác đònh 3. Lập bảng biến thiên. 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trò. Ví dụ 1: Xác đònh cực trò của HS 2 2 1 2 x x y x − + = − Giải Tập xác đònh: \{2}D R= . Ta có 2 / / 2 1 4 3 0 3 ( 2) x x x y y x x =  − + = ⇒ = ⇔  = −  Bảng biến thiên: Vậy HS đạt cực tiểu tại x CT = 3, và đạt cực đại tại x CĐ = 1. * Quy tắc II: 1. Tìm tập xác đònh. 2. Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu ( 1,2, ) i x i = là các nghiệm của nó. 3. Tính f”(x) và "( ) i f x . 4. Dựa vào dấu của "( ) i f x suy ra tính chất cực trò của điểm i x . Ví dụ : Xác đònh cực trò của HS 3 2 6 9 4y x x x= + + − Giải Tài liệu ôn Tốt Nghiệp THPT 4 CT 0 CĐ 21 3 −∞ +∞ 0 0 x y/ y +  +  Trường THPT Lê Duẩn Tập xác đònh: D R= . Ta có / 2 / 1 3 12 +9 0 3 x y x x y x = −  = + ⇒ = ⇔  = −  Mặt khác // // // 6 12 ( 1) 6 0 , ( 3) 6 0y x y y= + ⇒ − = > − = − < Vậy HS đạt cực tiểu tại x CT = -1, và đạt cực đại tại x CĐ = -3. 2. Dạng 2: Tìm tham số để HS đạt cực trò thoả mãn điều kiện cho trước Cách giải:  B1: Tính f / (x; m), với m là tham số.  B1: Căn cứ vào điều kiện BT rồi áp dụng điều kiện cần để tìm m.  B3: Thử lại điều kiện đủ.  Chú ý (ĐK cần): x 0 là điểm cực trò của f(x) / 0 ( ) 0f x⇒ = điều ngược lại nói chung không đúng. Ví dụ: Đònh m để HS 3 2 ( ) 2 ( 3) 5 1 3 x y f x mx m x m= = − + + − + đạt cực trò tại x = -1. Giải Ta có: / 2 ( ) 4 3f x x mx m= − + + . Nếu HS đạt cực trò tại 1x = − thì: / 4 ( 1) 0 5 4 0 5 f mx m− = ⇔ + = ⇔ = − Thử lại: Khi / 2 // 4 16 11 16 ( ) ( ) 2 5 5 5 5 m f x x x f x x= − ⇒ = + + ⇒ = + // 16 ( 1) 2 0 5 f⇒ − = − + ≠ . Vậy HS đạt cực trò tại 1x = − khi 4 5 m = − Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I. Phương pháp: Tìm Max, Min của y =f(x)trên (a;b) Tìm Max, Min của y =f(x)trên [a;b] B1 Giải PT f / (x) = 0 Giải f / (x) = 0, Gs x i ∈[a;b] là nghiệm B2 Lập bảng xét dấu f / (x) Tính f(a), f(b), f(x i ) B3 Dựa vào bảng xét dấu để xác đònh giá trò Max, Min của f(x) Dựa vào các giá trò trên để tìm Mix, Min II. Ví dụ: 1) Dạng 1: Tìm Max, Min của y =f(x) trên (a; b) Bài toán: Cho HS 4 2 ( ) 2y f x x x= = − a) Tìm GTLN, GTNN của HS đã cho trên ( −2; 2 ). b) Tìm GTLN, GTNN của HS đã cho trên ( −∞; 0 ). c) Tìm GTLN, GTNN của HS đã cho trên (−∞; +∞). Giải Tài liệu ôn Tốt Nghiệp THPT Trường THPT Lê Duẩn Ta có / 3 2 / 0 4 4x = 4 ( 1) 0 1 x y x x x y x =  = − − ⇒ = ⇔  = ±  Bảng biến thiên: a) Qua bảng biến thiên ta thấy ( 2;2) min ( ) 1f x − = − và ( 2;2) max ( ) 0f x − = . b) Qua bảng biến thiên ta thấy ( ;0) min ( ) 1f x −∞ = − và ( ;0) max ( )f x −∞ không tồn tại. c) Qua bảng biến thiên ta thấy ( ; ) min ( )f x −∞ +∞ và ( ; ) max ( )f x −∞ +∞ không tồn tại. 2) Dạng 2: Tìm Max, Min của y =f(x) trên [a; b] Bài toán: Tìm GTLN và GTNN của HS 3 2 ( ) 3 9 35y f x x x x= = − − + trên [-4; 4] Giải Ta có / 2 / 1 [ 4;4] 3 6x 9 0 3 [ 4;4] x y x y x = − ∈ −  = − − ⇒ = ⇔  = ∈ −  Khi đó ( 1) 40; (3) 8; ( 4) 41; (4) 15f f f f− = = − = − = Vậy ( 4;4) min ( ) 41f x − = − và ( 4;4) max ( ) 40f x − = Bài 4: KHẢO SÁT HS VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN I. KHẢO SÁT HÀM SỐ: 1. Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) • Tập xác đònh: D = R • Sự biến thiên  Tính đạo hàm y’  Giải phương trình y’ = 0.  Xác đònh chiều biến thiên của hàm số.  Tìm cực trò.  Tìm giới hạn tại vô cực. Nếu a >0: 3 2 lim( ) x ax bx cx d →+∞ + + + = +∞ và 3 2 lim( ) x ax bx cx d →−∞ + + + = −∞ Nếu a <0: 3 2 lim( ) x ax bx cx d →+∞ + + + = −∞ và 3 2 lim( ) x ax bx cx d →−∞ + + + = +∞  Lập bảng biến thiên. • Đồ thò Tài liệu ôn Tốt Nghiệp THPT +∞ +∞0 0 −1 −1 0 −1 1 −∞ +∞ 0 0 x y / y − − + + Trường THPT Lê Duẩn  Xác đònh thêm một số điểm đặc biệt.  Vẽ đồ thò  Nhận xét: đồ thò hàm số luôn có tâm đối xứng là ( ; ( )) 3 3 b b I f a a − − Dạng của đồ thò hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) a > 0 a < 0 Phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt Phương trình y’ = 0 có nghiệm kép Phương trình y’ = 0 vơ nghiệm Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = 2x 3 – 9x 2 + 12x – 4 Giải: Miền xác định: D= ¡ y ′ = 6x 2 – 18x+ 12 y ′ = 0 ⇔ 1 2 x x =   =  lim x y →+∞ = +∞ , lim x y →−∞ = −∞ Bảng biến thiên: x −∞ 1 2 + ∞ y’ + 0 – 0 + y 1 + ∞ −∞ 0 Hàm số đồng biến trong các khoảng: ( −∞ ;1) và (2; + ∞ ) Hàm số nghịch biến trong khoảng: (1;2) Tài liệu ôn Tốt Nghiệp THPT Trường THPT Lê Duẩn Điểm cực đại: A(1;1), điểm cực tiểu B(2;0) Đồ thị hàm số đi qua các điểm: 3 1 ; 2 2    ÷   ; (0 ; - 4 ) ; ( 3 ; 5) Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận I 3 1 ; 2 2    ÷   làm tâm đối xứng. 2. Hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 ) • Tập xác đònh: D = R • Sự biến thiên  Tính đạo hàm y’  Giải phương trình y’ = 0.  Xác đònh chiều biến thiên của hàm số.  Tìm cực trò.  Tìm giới hạn tại vô cực. Nếu a >0: 4 2 lim( ) x ax bx c →+∞ + + = +∞ và 4 2 lim( ) x ax bx c →−∞ + + = +∞ Nếu a <0: 4 2 lim ( ) x ax bx c →+∞ + + = −∞ và 4 2 lim( ) x ax bx c →−∞ + + = −∞  Lập bảng biến thiên. • Đồ thò  Xác đònh thêm một số điểm đặc biệt.  Vẽ đồ thò  Nhận xét: đồ thò hàm số luôn có trục đối xứng là Oy Dạng của đồ thò hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 ) a > 0 a < 0 Tài liệu ôn Tốt Nghiệp THPT Trường THPT Lê Duẩn Phương trình y’=0 có ba nghiệm phân biệt Phương trình y’ = 0 có một nghiệm Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x 4 – 2x 2 – 1 Giải: Miền xác định: D = ¡ Hàm số đã cho là hàm số chẵn. y ′ = 4x 3 – 4x y ′ = 0 ⇔ 0 1 1 x x x =   =   = −  lim x y →+∞ = +∞ , lim x y →−∞ = +∞ Bảng biến thiên: x −∞ –1 0 1 +∞ y’ – 0 + 0 – 0 + y +∞ –1 +∞ –2 –2 Hàm số đồng biến trong các khoảng: (–1;0) và (1; +∞ ) Hàm số nghịch biến trong các khoảng: ( −∞ ;–1) và (0;1) Điểm cực đại: A(0;–1) Điểm cực tiểu: B(–1;–2), C(1;–2) Đồ thị hàm số qua các điểm ( 2;7) ,( -2 ;7) Nhận xét: đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. 3. Hàm số 0; 0 a b ax b y c M ad bc c d cx d   + = ≠ = = − ≠  ÷ +   a)Khảo sát tổng qt: Tài liệu ôn Tốt Nghiệp THPT Trường THPT Lê Duẩn • TXĐ: D \ d c   = −     ¡ • Sự biến thiên: ( ) ( ) 2 2 ' ad bc M y cx d cx d − = = + +  Nếu M > 0 thì y’ > 0, x∀ ∈ M  Nếu M < 0 thì y’< 0, x∀ ∈ M •Giới hạn và tiệm cận :  lim lim x x a a y y y c c →−∞ →+∞ = = ⇒ = là tiệm cận ngang  lim (hoặc - ) lim (hoặc + ) d x c d x c y y + −   → −  ÷     → −  ÷   = + ∞ ∞    ⇒  = − ∞ ∞    d x c = − là tiệm cận đứng •Bảng biến thiên: Tùy theo giá trị của M ta có một trong hai BBT sau: M > 0 M < 0 Đồ thị:  Xác đònh một số điểm đặc biệt.  Vẽ đồ thò M > 0 M < 0  Nhận xét: đồ thò hàm số luôn có tâm đối xứng là ( ; ) d a I c c − b) Một số lưu ý : TXĐ D ln có một điểm gián đoạn , đó là nghiệm của mẫu d x c = − Nên tính đạo hàm bằng định thức Tài liệu ôn Tốt Nghiệp THPT Trường THPT Lê Duẩn Cẩn thận khi tính lim d x c y +   → −  ÷   = +∞ , lim d x c y −   → −  ÷   = −∞ (dễ sai dấu) Trong bảng biến thiên cần ghi đúng giới hạn của y khi x → −∞ và khi x → +∞ Khi vẽ đồ thị nên tìm giao điểm với hai trục:  Cho x = 0 , tính y  Cho y = 0 ,tính x Sau đó lấy đối xứng hai điểm này qua giao điểm I của hai đường tiệm cận b y cx d = + có đồ thị cũng thuộc dạng này , chỉ đặc biệt ở chổ tiệm cận ngang chính là trục hồnh (y = 0 ) c) Các ví dụ :  Ví dụ 1:khảo sát hàm số 1 1 x y x − = + Giải TXĐ : D { } \ 1= −¡ Sự biến thiên: ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 2 ' 1 1 y x x − = = + + > 0 , x∀ ∈ D Hàm số tăng trong mỗi khoảng ( ) ( ) ; 1 và 1;−∞ − − +∞ và khơng có cực trị Giới hạn và tiệm cận : • lim lim 1 1 x x y y y →−∞ →+∞ = = ⇒ = là tiệm cận ngang • ( ) 1 lim x y + → − = −∞ ; ( ) 1 lim x y − → − = +∞ 1x⇒ = − là tiệm cận đứng Bảng biến thiên: Đồ thị : • Điểm đặc biệt: ( 1;0) , ( 0; -1), (-2;3) ,(-3;2) Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm I ( ) 1;1− làm tâm đối xứng . Tài liệu ôn Tốt Nghiệp THPT Trường THPT Lê Duẩn  Ví dụ 2 : Khảo sát hàm số 3 2 1 x y x − + = + TXĐ : D 1 \ 2   = −     ¡ Sự biến thiên : ( ) 2 7 ' 2 1 y x − = + <0 , x∀ ∈ D Hàm số giảm trong mỗi khoảng 1 1 ; và ; 2 2     −∞ − − +∞  ÷  ÷     và khơng có cực trị Giới hạn và tiệm cận : • 1 1 lim lim 2 2 x x y y y →−∞ →+∞ = = − ⇒ = − là tiệm cận ngang • 1 2 lim x y +   → −  ÷   = +∞ và 1 2 lim x y −   → −  ÷   = −∞ 1 2 x⇒ = − là tiệm cận đứng Bảng biến thiên: . Đồ thị : Điểm đặc biệt: ( 3;0), (0;3) , ( -1;-1), ( -4;-1) Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm I 1 1 ; 2 2   − −  ÷   làm tâm đối xứng . II. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN: 1) Ph ương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số A)Dạng 1: (Biết trước tiếp điểm) a) Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có đồ thò (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M o (x o ; y o ). Tài liệu ôn Tốt Nghiệp THPT [...]... tuyến cần tìm là: (d1): y = 9x – 15 và (d2): y = 3  Ví dụ 2: Cho hàm số y = x +1 có đồ thò (C) viết phương trình tiếp tuyến của x −1 (C) biết tiếp tuyến cần tìm song song với (a): y = −2x + 8 Bài giải Giả sử (d) là đường thẳng bất kì song song với (a), ta có : (d): y = -2x + b Tài liệu ôn Tốt Nghiệp THPT Trường THPT Lê Duẩn x +1  x − 1 = −2 x + b  x = 0 ⇒ b = −1  ⇒ Khi đó:  x = 2 ⇒ b = 7  −2... phương trình có chứa ẩn trong biểu thứa dưới dấu logarit Phương trình loagrit cơ bản có dạng log a f ( x ) = b(a > 0, a ≠ 1, f ( x ) > 0) 2 Cách giải một số phương trình logarit đơn giản Chú ý: Không nên vội vàng giải phương trình mà quên đặt điều kiện của phương trình Điều kiện để log a f ( x ) có nghóa là: 0 < a ≠ 1 ; f ( x ) > 0 a) Đưa về cùng cơ số: Biến đổi phương trình về một trong các dạng sau Dạng... −1 2 du = h, ( x )dx u = h( x ) ⇒  Đặt  trong đó G( x ) là NH dv = g( x )dx v = G( x ) Tài liệu ôn Tốt Nghiệp THPT Trường THPT Lê Duẩn a b Tính I = u.v − ∫ vdu tức là b a  a b I = h( x ).G( x ) − ∫ G( x )h, ( x )dx b a  Chú ý: Thường thì chúng ta đặt u là biểu thức phức tạp còn v là biểu thức dễ tìm nguyên hàm b Giả sử phải tính ∫ P( x).Q( x )dx trong đó P(x) là một đa thức theo x a Nếu Q(x)... của q(x) thì thực hiện phép chia đa thức p(x) cho q(x) ta dẫn đến: p( x ) r( x ) = h( x ) + Trong đó h(x) (thương của phép chia) q( x ) q( x ) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của q(x) b b b p( x ) r( x ) dx = ∫ h( x )dx + ∫ dx Nên ∫ q( x ) q( x ) a a a b ∫ Trong đó h( x )dx ta tích được bằng bảng ngun hàm vì vậy ta chỉ còn phải a b r( x ) ∫ q( x ) dx... của (C) tại A(1;0) là: y – 0 = −3(x – 1) ⇔ y = −3x +3 B)Dạng 2: (Chưa biết trước tiếp điểm) a)Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có đồ thò (C) Viết phương trình tiếp tuyến (d)của (C) biết (d) thoả mãn 1 trong các điều kiện sau: (d) đi qua điểm M0(x0; y0) Chú ý: đi qua ≡ xuất phát ≡ kẻ từ (1) (d) // (∆): y = k x + b, hoặc (d) có hệ số góc bằng k (2) (d) ⊥ (∆): y = k x + b (3) b)Cách giải:  B1: Viết phương... được biến đổi về dạng sau m.( log a f ( x ) ) + n.log a f ( x ) + p = 0 Cách giải: Đặt t = log a f ( x ) 2 Sau khi tìm được x , kết hợp với điều kiện ta được nghiệm Chú ý: Có thể đặt t = ϕ ( x ) , trong đó ϕ ( x ) là một biểu thức chứa logarit Ví dụ 5: Giải các phương trình a./ log2 x + 2 log2 x − 2 = 0 b./ 1 + log2 ( x − 1) = log x −1 4 2 c./ lg2 x − 5lg x = lg x 3 − 7 d./ 2 log2 x + log 2 16 x −... trình mũ cơ bản có dạng a x > b ( hoặc a x ≥ b, a x < b, a x ≤ b ) với a > 0, a ≠ 1 2 Phương pháp giải một số bất phương trình mũ đơn giản Bước 1 Đặt điều kiện Bước 2 Biến đổi bất phương trình về một trong các dạng sau: Dạng 1: a f ( x ) > g( x ) (1) Cách giải:  f ( x ) > log a g( x ) ; a>1  f ( x ) < loga g( x ) ; 0 0 , a ≠ 1 2 Phương pháp giải một số bất phương trình logarit đơn giản 0 < a ≠ 1  f (x) > 0 Bước 1: Đặt điều kiện , chú ý ĐK của log a f ( x ) là  Bước 2: Biến đổi bất phương trình về một trong các dạng sau Dạng 1: log a f ( x ) > g( x ) (1) Cách giải:  f ( x ) > a g( x ) (1) ⇔  g( x )  f ( x) < a ; a>1 ; 0 0 và số hữa tỉ r = m m , trong đó m ∈ R, n∈ N, n ≥ 2 n Khi đó: ar = a n = n a m 3 Lũy thừa với số mũ vô tỉ Giả sử a là một số dương , α là một số vô tỉ và ( rn ) là một dãy số hữa tỉ sao rn α cho xlim = α Khi đó a = xlim a →+∞ . phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cần tìm song song với (a): y = −2x + 8. Bài giải Giả sử (d) là đường thẳng bất kì song song với (a), ta có : (d): y = -2x + b Tài liệu ôn Tốt Nghiệp. 0 1 +∞ y’ – 0 + 0 – 0 + y +∞ –1 +∞ –2 –2 Hàm số đồng biến trong các khoảng: (–1;0) và (1; +∞ ) Hàm số nghịch biến trong các khoảng: ( −∞ ;–1) và (0;1) Điểm cực đại: A(0;–1) Điểm cực. x −∞ 1 2 + ∞ y’ + 0 – 0 + y 1 + ∞ −∞ 0 Hàm số đồng biến trong các khoảng: ( −∞ ;1) và (2; + ∞ ) Hàm số nghịch biến trong khoảng: (1;2) Tài liệu ôn Tốt Nghiệp THPT Trường THPT Lê Duẩn Điểm