slide phần thống kê mới nguyenvantien0405

Giả sử rằng số tài liệu chuyển bằng fax trong một ngày có phân phối chuẩn, với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số trang tài liệu được chuyển đi trong một ngày... Chọn ngẫu nhiên16 công[r]

CHƯƠNG 7 ƯỚC LƯỢNG

Nhắc lại thống kê mẫu

• Thống kê mẫu: hàm bnn thành phần

trong mẫu

• Cho mẫu ngẫu nhiên: W=(X1;X2;…Xn), thống kê

mẫu có dạng:

Các thống kê mẫu thường dùng

• Trung bình mẫu

• Phương sai mẫu

• Tỷ lệ mẫu

1 n

X X X

X

n

  



      

2 2

2

2 *2

1 1

1

n n n

i i i

i i i

X X X X X

S S S

n n n

                 

1 n ~ 1,

X X X

Ước lượng

• Tổng thể có tham số  chưa biết. • Ta muốn xác định tham số này. • Lấy mẫu nn cỡ n.

• Từ mẫu tìm cách xác định gần giá trị

của tham số  tổng thể

• Ước lượng điểm: dùng giá trị.

Ước lượng điểm

• Tổng thể có tham số chưa biết Giả sử  • Từ mẫu ngẫu nhiên cỡ n chọn

Ước lượng điểm

• Dùng giá trị để thay cho giá trị

tham số  chưa biết tổng thể

• Giá trị giá trị cụ thể thống kê T

nào mẫu ngẫu nhiên

• Cùng với mẫu ngẫu nhiên xây dựng

được nhiều thống kê mẫu để ước lượng cho tham số 

• Ta dựa vào tiêu chuẩn sau: khơng chệch,

Ước lượng không chệch (ƯLKC)

• Thống kê T=f(X1;X2;…;Xn) gọi ước lượng

không chệch tham số  nếu:

• Nếu E(T) ước lượng T gọi ước

lượng chệch (ƯLC) tham số 

• Độ chệch ước lượng:

E(T) 

Ví dụ 1

• Trong chương ta có:

• Vậy:  

           *2 2 2 2 E X E S n E S n E S

E F p

          

*2 2

2 2

,

là ƯL không chệch ƯL không chệch

là ƯL không chệch ƯL chệch

Ước lượng KC tốt hơn

• Cho X, Y hai ULKC tham số  • Có nghĩa là:

• Nếu:

• Thì Y ước lượng tốt X (do phương sai

nhỏ nên mức độ tập trung xung quanh tham số  nhiều hơn)

   

E X  E Y 

   

Ví dụ 1.

• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn).

a) CMR: thống kê sau:

đều ước lượng không chệch 

b) Trong ước lượng ước lượng tốt

1 2

1 2

   

 ; X X ; n X X Xn

Z X Z Z

Ước lượng hiệu quả

• Thống kê T=f(X1;X2;…;Xn) gọi ước lượng hiệu

quả tham số  nếu:

• T ULKC 

• V(T) nhỏ so với ULKC khác xây dựng

trên mẫu ngẫu nhiên

• Ta thường dùng bất đẳng thức Crammer-Rao để

BĐT Cramer-Rao

• Cho tổng thể có dấu hiệu nghiên cứu X bnn

có hàm mật độ xác suất dạng f(x,θ) thỏa mãn số điều kiện định

• Cho T ƯLKC θ Ta có:

 

 

 

1

ln ,



   

 

  

 

Var T

Ví dụ 2.

• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) lấy từ tổng thể có kì vọng  phương sai 2 Xét thống kê:

a) CMR: thống kê ước lượng không chệch .

b) Trong hai ước lượng ước lượng tốt

 

1 2

1

2

1

     

 



;

n n

X X nX X X X

Z X

Ví dụ 3

• Cho tổng thể có phân phối chuẩn N(μ;σ2) CMR:

ước lượng hiệu tham số μ

Giải.

Dễ thấy ước lượng khơng chệch và:

• Hàm ppxs tổng thể: X

X

  

Var X

n

   

 2

2 2           , , x

Ví dụ 3

• Ta có:

• Và:         2 2                            ln ln , x

f x x

 

2

2

2

1           X

Ví dụ 3

• Theo bất đẳng thức Cramer-Rao ta có:

• Vậy thống kê ƯLKC có phương sai nhỏ

trong ước lượng không chệch tham số μ tổng thể

 

 

   

2

1 

 

  

  

 



 

 

ln ,

Var T Var X n

f X nE

Các ULHQ

• Ta chứng minh được:

2 2





*

là ƯLHQ

, là ƯLHQ

là ƯLHQ

X

S S

Ước lượng vững

• Cho thống kê T=f(X1;X2;…;Xn)

• Thống kê T gọi ước lượng vững tham số θ

nếu:

• Khi ta nói thống kê T hội tụ theo xác suất

đến tham số θ cỡ mẫu tiến vơ

• Để đánh giá ước lượng vững ta dùng BĐT

Chebyshev (Trê bư sép)

    1  0

      

lim n ,

Các ước lượng vững

• Từ kết Chương 5, ta chứng minh được:



   

2





*

là ƯLV

, , là ƯLV

là ƯLV

X

S S S

Tóm lại

• Ta xấp xỉ tham số

thống kê mẫu thực hành, tính tốn cỡ mẫu lớn

 

2





*

là ƯLKC,ƯLHQ,ƯLV

, là ƯLKC,ƯLHQ,ƯLV là ƯLKC,ƯLHQ,ƯLV

X

S S

Ơn tập

• Một thống kê mẫu hàm biến

ngẫu nhiên thành phần mẫu biến ngẫu nhiên?

• Trung bình mẫu ước lượng vững hiệu

của kỳ vọng biến ngẫu nhiên gốc?

• Tổng hai ước lượng khơng chệch ước

lượng không chệch?

Ước lượng khoảng

• Giả sử tổng thể có tham số  chưa biết Dựa

vào mẫu ngẫu nhiên ta tìm khoảng (a; b) cho:

P(a <  <b)=(1 - ) lớn

Khi ta nói, (a;b) khoảng ước lượng tham số  với độ tin cậy (1 - )

Ước lượng khoảng

• (a; b): khoảng tin cậy hay khoảng ước lượng. • (1 - ): độ tin cậy ước lượng.

• |b - a|=2ε: độ rộng khoảng tin cậy. • ε : độ xác (sai số).

• Vấn đề: tìm a, b nào? (1 - ) bao

nhiêu phù hợp

Bài tốn

• Tổng thể có tỷ lệ p chưa biết (về tính chất A

đó)

• Ta lấy mẫu cỡ n (trên 30). • Tìm (a,b) cho:

  1

ƯLK tỷ lệ

Tổng thể Tỷ lệ mẫu Kích thước mẫu

Phân phối

B(1,p) F N p ; p1n p  n>30

 



 

 

~ 0,1

(1 )

F p n

Z N

p  p

Khoảng tin cậy

• Hai phía:

• Chú ý:

 F  ; F    

1

1



 t  F  F

n

1  1 

p p F F

n n

 

Độ xác, độ tin cậy, cỡ mẫu

• Ta có:

  n t F F        F F t n     

  2

1

1

F F t

Ví dụ 1

• Một nghiên cứu thực nhằm ước

lượng thị phần sản phẩm bánh kẹo nội địa mặt hàng bánh kẹo Kết điều tra mẫu ngẫu nhiên 100 khách hàng thấy có 34 người dùng sản phẩm bánh kẹo nội địa

• Hãy ước lượng tỷ lệ khách hàng sử dụng bánh

kẹo nội địa với độ tin cậy 95%?

Ví dụ 2

• Một ks muốn ước lượng tỷ lệ khách có nhu cầu

nghỉ nhiều ngày Họ muốn có độ tin cậy 96% sai số khơng q 5% Hỏi cần lấy mẫu thích hợp

• A Nếu chưa có thơng tin phép ước lượng

này

• B Nếu dựa vào tài liệu trước cho biết tỷ lệ

Phân phối trung bình mẫu

Tổng thể Trung bình mẫu Kích thước mẫu

Tùy ý

Khơng chuẩn n>30

Khơng chuẩn đối

xứng

Có thể với n nhỏ

 

~ ;

X N   X ~ N ;

Chuẩn hóa ppxs

Tổng thể TB mẫu Chuẩn hóa

Chuẩn, biết 

n>30, biết 

n>30, chưa biết 

Chuẩn, n<30 chưa biết ~ ; X N n         ; X N n          ; X N n              ~ 0;1 X n

Z  N

       ~ X n

Z t n

S         ~ 0;1 X n

Z  N



 

2

~ ;

Ước lượng cho 

• Ta thơng qua thống kê Z (vì có ppxs xác

định)

• Với độ tin cậy, tìm khoảng ước lượng cho

Z

• Giải bpt tìm ngược lại khoảng ước lượng cho

Khoảng tin cậy_th 1,2

• Khoảng tin cậy hai phía μ:

• Kết quả:

• Chú ý:

 a b;   

 X  ; X  



  t 

n

1 ;

Nhớ khoảng tin cậy_th 3

• Trường hợp ta thay  s Nguyên nhân: S

là ước lượng không chệch, hiệu quả, vững,… 

• Chú ý: pp Student xấp xỉ với N(0,1)

 X  ; X  

2

S t

n



Nhớ khoảng tin cậy_th 4

• Trường hợp 4: phân phối Student chưa biết

 Do ta dùng S dò giá trị tới hạn

bảng t

 X  ; X    

2

1 S

t n

n



Ví dụ 1

• Trong kho hàng xí nghiệp A có nhiều sản

phẩm Lấy nn 100 sp cân lên ta thấy

a) Các sp từ 1050 gr trở lên sp loại Ước lượng trọng lượng trung bình sp loại với độ tin cậy 98% (giả sử trọng lượng sp có pp chuẩn)

Xi (gr) 800-850 850-900 900-950 950-1000 1000-1050 1050-1100 1100-1150

Ví dụ 1

b) Nếu muốn ước lượng tỷ lệ sp loại với độ tin cậy 98% độ xác 3% cần điều tra thêm sản phẩm

Cách làm bài

• Xác định tốn dạng gì: ước lượng hay kiểm định • Ước lượng tham số nào: trung bình; phương sai hay

tỷ lệ tổng thể

• Xác định khoảng tin cậy

• Từ độ tin cậy xác định giá trị tới hạn • Tính độ xác 

• Thay vào cơng thức kết luận.

• Các dạng bài: tìm khoảng ước lượng; tìm cỡ mẫu;

Ví dụ 2

• Một cơng ty muốn ước lượng số tài liệu (trang)

Ví dụ 3.

• Cơng ty điện thoại thành phố muốn ước lượng

thời gian trung bình điện thoại đường dài vào ngày cuối tuần với độ tin cậy 95% Mẫu ngẫu nhiên 20 gọi đường dài vào cuối tuần cho thấy thời gian điện thoại trung bình 14,8 phút; độ lệch chuẩn hiệu chỉnh 5,6 phút Giả sử thời gian gọi có pp chuẩn

Ví dụ 4

Biết lương tháng công nhân (Đv: triệu đồng) nhà máy có phân phối chuẩn Chọn ngẫu nhiên16 cơng nhân khảo sát:

a Giả sử  = 0,63, ước lượng mức lương trung bình hàng tháng công nhân với độ tin cậy 96%

Ước lượng phương sai

• Tổng thể có phân phối chuẩn. • Phương sai tổng thể chưa biết.

• Lấy mẫu cỡ n Tìm cách ước lượng phương sai

với độ tin cậy (1-)

• Biết  chưa biết .

• Cách làm tương tự ước lượng trung bình tỷ

Phân phối hàm PS mẫu

Tổng thể PS mẫu Hàm PS mẫu

Chuẩn, biết 

Không chuẩn biết 

Chuẩn chưa biết 

Không chuẩn

 S*

  *2 2 ~ n i i X nS Z Z n                 

2, 30

S n     2 2 ~ n i i

n S X X

Z Z n                 S

Nhớ khoảng tin cậy_TH1

• Hai phía:

• Cách ghi khác:

Nhớ khoảng tin cậy_TH2

• Hai phía:

• Cách ghi khác:         2 2 1 ; 1

n S n S

n n                            2

1 ;

1

n n

i i

i i

x x x x

Ví dụ

• Mức hao phí nhiên liệu cho đơn vị sản phẩm

bnn có pp chuẩn Xét 25 sản phẩm ta có kết sau:

• Hãy ước lượng phương sai với độ tin cậy 95%

trường hợp:

a) Biết kỳ vọng 20? b) Không biết kỳ vọng?

X 19,5 20 20,5

Ví dụ

• Năng suất lúa vùng (tạ/ha) bnn có phân phối chuẩn Thu hoạch ngẫu nhiên 100 ta có số liệu sau:

• Ước lượng suất lúa trung bình vùng với độ tin cậy 95%

• Tìm khoảng tin cậy với hệ số tin cậy 95% cho

 

100 2

1

37,9; i 1059

i

x x x



Bài 1

• Lấy ngẫu nhiên 15 bao bột máy đóng

bao sản xuất ta có:

• Giả thiết trọng lượng bao bột bnn có

phân phối chuẩn Hãy ước lượng trọng lượng trung bình  với độ tin cậy 95%

2

39,8; 0,144

Bài 2

• Điểm trung bình mơn Tốn 100 sinh viên dự

thi môn XSTK với độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh 1,5

a) Ước lượng điểm trung bình mơn XSTK toàn thể sinh viên với độ tin cậy 95%?

Bài 3

• Tuổi thọ loại bóng đèn biết theo

qui luật chuẩn với độ lệch chuẩn 100h

a) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm thấy bóng tuổi thọ trung bình 1000h Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình bóng đèn với độ tin cậy 95%?

b) Với độ xác 15h Hãy xác định độ tin cậy? c) Với độ xác 25h định độ tin cậy 95%

Bài 4

• Một lơ hàng có 5000 sản phẩm Chọn ngẫu nhiên

400 sản phẩm từ lơ hàng thấy có 360 sản phẩm loại A

a) Hãy ước lượng số sản phẩm loại A lô hàng với độ tin cậy 96%?

b) Tìm khoảng tin cậy bên phải tỉ lệ sản phẩm loại A lô hàng độ tin cậy 97%?

Bài 6

• Để ước lượng số cá hồ người ta đánh bắt

2000 con, đánh dấu thả xuống hồ Sau người ta đánh lên 400 thấy có 40 bị đánh dấu

Bài 7

• Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu kho

đồ hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp thấy có 11 hộp xấu

a) Ước lượng tỉ lệ sản phẩm xấu kho đồ hộp với độ tin cậy 94%?

Bài

• Mức hao phí nhiên liệu cho đơn vị sản phẩm

bnn có pp chuẩn Xét 25 sản phẩm ta có kết sau:

• Hãy ước lượng phương sai với độ tin cậy 95%

trường hợp:

a) Biết kỳ vọng 20? b) Không biết kỳ vọng?

X 19,5 20 20,5

Bài 9

• Điều tra số lượt gửi xe máy 121 ngày

FTU ta có bảng sau:

• Những ngày có từ 1000 lượt gửi trở lên

Số lượt

700-800

800-900

900-1000

1000-1100

1100-1200

1200-1300

1300-1400

1400-1500

Số ngày

Bài 9

a) Ước lượng số lượt gửi xe trung bình ngày FTU với độ tin cậy 99%

b) Khi ước lượng tỉ lệ ngày đông với mẫu trên, muốn độ tin cậy 95% độ xác tối đa 8% cần điều tra tối thiểu ngày?

c) Ước lượng độ lệch chuẩn số lượt gửi ngày với độ tin cậy 95% biết

Bài 10

• Trọng lượng bao gạo đóng gói tự động với

trọng lượng qui định 27,5 kg Kiểm tra ngẫu nhiên 41 bao kho gồm 2000 bao gạo, ta thấy:

a) Với mẫu trên, ước lượng trọng lượng trung bình bao gạo với độ tin cậy 95%

b) Với mẫu trên, ước lượng số bao gạo từ 27 kg trở xuống kho với độ tin cậy 90%

Trọng lượng bao (kg) 25 26 27 28 29