Trung điểm hai đường chéo và tâm đường tròn nội tiếp cùng thuộc một đường thẳng Đường thằng Newtơn Bài 5.. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D.[r]
(1)www.VNMATH.com Bài Vectơ và các phép toán Các khái niệm 1.1 Dẫn dắt đến khái niệm vectơ Vectơ đại diện cho đại lượng có hướng và có độ lớn ví dụ: lực, vận tốc,… 1.2 Định nghĩa vectơ và các yếu tố liên quan Định nghĩa: Vectơ là đọan thẳng có hướng, tức là hai đầu mút đoạn thẳng, đã rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối Ký hiệu MN , AB a, b Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng gọi là vectơ – không Ví dụ: AA, BB ,… Giá vectơ AB (khác vectơ không) là đường thẳng qua A, B Độ dài vectơ AB là độ dài đoạn thẳng AB, ký hiệu là AB Ta có AB = AB Độ dài vectơ không 1.3 Hai vectơ cùng phương, cùng hướng và hai vectơ Hai vectơ cùng phương giá chúng song song trùng Quy ước: Vectơ – không cùng phương với vectơ Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng ngược hướng Quy ước: vectơ – không cùng hướng với vectơ Hai vectơ chúng cùng hướng và cùng độ dài Mọi vectơ - không và đuợc ký hiệu là 1.4 Dựng vectơ vectơ cho trước Cho vectơ a và điểm M Khi đó ta có thể dựng điểm N cho MN = a Chú ý: + Chứng minh hai điểm trùng nhau: AM = AM ′ ⇔ M ≡ M ′ + Chứng minh điểm thẳng hàng: AB, AC cùng phương và A, B, C thẳng hàng Định nghĩa các phép toán trên vectơ 2.1 Phép cộng hai vectơ Cho hai vectơ a, b Ta dựng vectơ AB = a , vectơ BC = b Khi đó vectơ AC là vectơ tổng hai vectơ a, b Ký hiệu AC= a + b Vậy ta có AC = AB + BC 2.2 Phép trừ hai vectơ Cho vectơ a , đó tồn vectơ b cho a + b = Ta gọi b là vectơ đối vectơ a Ta ký hiệu vectơ đối vectơ a là − a Vậy a + − a =0 Ví dụ vectơ đối vectơ AC là CA , vì AC + CA = AA = Vậy AC = −CA Cho hai vectơ a, b Khi đó vectơ ( ) Lop10.com (2) www.VNMATH.com a + −b gọi là vectơ hiệu hai vectơ a và b kí hiệu là a − b Như ta có: a − b = a + −b Từ đó ta có AB − AC = AB + CA = CB 2.3 Phép nhân vectơ với số Cho số thực k và vectơ a ( ≠ ) Khi đó phép nhân vectơ a với số thực k là vectơ xác định sau: k a cùng hướng với a k ≥ và ngược hướng a k < Và k a = k a Đặc biệt: k 0= ∀k ( ) ( ) k = Chú ý: k a= ⇔ a = Chú ý quan trọng: không có định nghĩa phép chia hai vectơ, đó không có b b = k a ⇒ k = a Các công thức 3.1 Quy tắc điểm, n điểm Cho điểm A, B, C ta luôn có AB + BC = AC (1.1) Cho n điểm A1, A2, …, An, đó ta có A1 A2 + A2 A3 + + An −1 An = A1 An (1.2) Quy tắc hình bình hành Cho hình bình hành ABCD Khi đó ta có AB + AD = AC (1.3) 3.2 Mối quan hệ hai vectơ cùng phương Hai vectơ a, b ( b ≠ ) cùng phương và tồn số thực k cho a = k b Từ đây suy a, b không cùng phương thì x.a + y.b = ⇔ x = y = 3.3 Định lý biểu diễn vectơ theo hai vectơ không cùng phương Cho hai vectơ a, b không cùng phương Khi đó với vectơ c bất kì thì tồn hai số x, y cho = c x.a + y.b Hệ quả: Cho vectơ a, b, c không cùng phương Chứng minh tồn số thực x, y, z không đồng thời cho x.a + y.b + z.c = Bộ số (x, y, z) có phải không? Vì sao? 3.4 Công thức điểm chia và hệ Cho hai điểm A, B phân biệt M là điểm thỏa = MA k MB ( k ≠ 1) Khi đó với điểm O bất kì ta luôn OA − k OB (1.4) có OM = 1− k Hệ Khi k = - ta có công thức đường trung tuyến: = OM Lop10.com OA + OB (1.5) ( ) (3) www.VNMATH.com Hệ Nếu M nằm A và B, cho k = -MA/MB ta có công thức = OM MB MA OA + OB AB AB (1.6) Hệ Cho tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c, AD là phân giác Khi đó ta có DC DB b c AD = AB + AC = AB + AC (1.7) BC BC b+c b+c Hệ 4* Đưa công thức (1.6) dạng diện tích ta công thức nào? = S a S= S= S MAB Hệ 5* Cho tam giác ABC M là điểm nằm tam giác Đặt MBC , Sb MAC , S c Chứng minh Sa MA + Sb MB + Sc MC = (1.8) (Hệ thức Jacobi) Hệ 6* Từ hệ thức 5, cho M là các điểm đặc biệt tam giác (trọng tâm, trực tâm, tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp), ta có hệ thức nào 3.5 Tâm tỉ cự hệ điểm Ta bài toán sau: Bài toán 1.Với hai điểm A, B phân biệt cho trước, tìm điểm M thỏa MA + MB = (1.9) Lời giải: Ta có = MA + MB = MA + MA + AB ⇒ AM = AB , từ đây suy điểm M cần tìm chính là trung điểm AB Từ bài toán này, ta có thể nghĩ tới bài toán tổng quát chút Cho hai số thực , Liệu có tồn điểm M cho α MA + β MB = (1.10) Theo cách giải bài trên ta có thể biến đổi vế trái (1.10) sau: α MA + β MB = α MA + β MA + β AB = (α + β ) MA + β AB Đến đây ta thấy xảy hai trường hợp Trường hợp 1: Nếu + = thì không tồn M để (1.10) thỏa vì A, B là hai điểm phân biệt Trường hợp 2: Nếu + ≠ 0, thì (1.10) thỏa và AM = β α +β AB , biểu thức này cho ta cách xác định M và M là Từ điều trên ta có bài toán Bài toán 2: Cho hai điểm A, B và các số thực , thỏa + ≠ thì tồn điểm M cho α MA + β MB = (1.10) và không tồn M thỏa (1.10) + = và A , B phân biệt Bài toán 3: Cho điểm A, B, C và các số thực , , không đồng thời có tổng khác Có tồn điểm M cho α MA + β MB + γ MC = (1.11)? Lời giải: Ta có thể giả sử , có tổng khác 0, đó tồn điểm I α IA + β IB = Khi đó vế trái (1.11) có thể viết lại sau: α MA + β MB + γ MC = (α + β ) MI + γ MC Hệ thức trên cùng bài toán cho ta câu trả lời cho bài toán Lop10.com (4) www.VNMATH.com Hơn A, B, C không thẳng hàng thì + + = 0, không tồn M thỏa (1.11) Trường hợp = = ≠ thì (1.11) tương đương với MA + MB + MC = (1.12) đó M là trọng tâm tam giác ABC Bằng cách quy nạp ta có bài toán tổng quát sau: Bài toán 4: Cho n điểm A1, A2, …,An và n số thực 1,2,…,n không đồng thời và có tổng khác Khi đó tồn điểm M cho α1.MA1 + α MA2 + + α n MAn = (1.132) (Điểm M gọi là tâm tỉ cự hệ điểm A1, A2, …,An với các hệ số 1,2,…,n) Chứng minh: (dành cho các bạn) Bài tập chương vectơ 4.1 Các bài toán phép cộng và phép trừ Bài Cho các điểm phân biệt A, B, C, D Dựng các vectơ tổng sau đây: a) AB + CD b) AB + AC + BD Bài Cho hình vuông ABCD có cạnh Tính độ dài các vectơ: u = AB + AD, v = AC + BD Bài Cho tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ là trung điểm các cạnh BC, CA, AB Chứng minh AA′ + BB′ + CC ′ = Bài Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh GA + GB + GC = Bài Cho tứ giác MNPQ Chứng minh: a) PQ + MN = PN + MQ b) Gọi A, B, C, D là trung điểm các cạnh MN, NP, PQ, QN Chứng minh MB + NC + PD + QA = Gọi O là giao điểm AC và BD Chứng minh OA + OB + OC + OD = Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, CD Điểm K là điểm đối xứng M qua N Chứng minh a) MK = AD + BC b) MK = AC + BD Bài Cho có vectơ a, b, c Chứng minh rằng: a) a + b ≥ a + b b) a + b + c ≥ a + b + c Dấu “=” xảy nào? Lop10.com (5) www.VNMATH.com Bài Cho tứ giác ABCD Chứng minh AD + BC = AB + DC thì AC ⊥ BD Bài Cho điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh rằng: AD + BE + CF = AE + BF + CD = AF + BD + CE Bài 10 Cho hai vectơ a, b Chứng minh a − b ≥ a − b Đẳng thức xảy nào? Bài 11 Tam giác ABC là tam giác gì thỏa mãn: a) AB + AC = AB − AC b) AB + AC vuông góc với AB + CA 4.2 Chứng minh các đẳng thức vectơ Bài Hai tam giác ABC và A’B’C có trọng tâm là G và G’ Chứng minh AA′ + BB′ + CC ′ = 3GG′ , từ đó suy điều kiện để hài tam giác có cùng trọng tâm Bài Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF và FA Chứng minh hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm Bài Cho tam giác ABC Trên các đường thẳng AB, BC, CA ta lấy các điểm tương ứng C’, A’, B’ cho = AC ′ k= C ′B, BA′ k= A′C , CB′ k B′A Chứng minh trọng tâm hai tam giác ABC và A’B’C’ trùng Bài 4* Cho tam giác ABC tâm O M là điểm bất kì tam giác Gọi D, E, F là hình chiếu M trên BC, AC và AB Chứng minh rằng: MD + ME + MF = MO Bài 5* Cho tam giác ABC M là điểm bất kì nằm tam giác Gọi D, E, F là điểm đối xứng M qua các cạnh BC, AC và AB Chứng minh hai tamg giác ABC và DEF có cùng trọng tâm Bài Cho tam giác ABC Gọi K là điểm đối xứng B qua trọng tâm G Chứng minh AK = AC − AB, CK = − AB + AC 3 ( ) Bài Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm AB và N là điểm trên cạnh AC cho NC = 2NA Gọi K là trung điểm MN AB + AC a) Chứng minh = AK b) Gọi D là trung điểm BC Chứng minh = KD AB + AC Bài Cho tam giác ABC M thuộc cạnh BC cho MB = MC Chứng minh = AM AB + AC 3 4.3 Các áp dụng đơn giản tâm tỉ cự Bài Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn: a) MA + 2MB + 3MC = Lop10.com (6) www.VNMATH.com b) MA − 2MB + 4MC = AC c) − MA − 2MB + 5MC = AC Bài Cho tứ giác ABCD Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MA + MB + MC + MD = Bài Cho điểm ABC Chứng minh các hệ thức sau không phụ thuộc vào vị trí điểm M a) MA + 2MB − 3MC b) 2MA + 3MB − 5MC Bài Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn: a) MA + MB = MB + MC b) MA − MB = MA + MC Bài Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa MA + MB + MC = AB Bài Cho hai điểm A, B và đường thẳng d Với mổi điểm N trên đường thẳng ta dựng điểm M theo công thức NM = NA + NB Điểm M di chuyển trên đường nào N di động trên d Bài Cho tam giác ABC Với điểm M bất kì ta dựng điểm P theo công thức: MP = MA + MB + MC Tìm tập hợp điểm P M thay đổi trên: a) Đường thẳng d b) Đường tròn (O; R) Bài Cho hai điểm A, B và đường thẳng d Tìm ểm M thuộc d cho MA + 2MB đạt giá trị nhỏ Bài Cho tam giác ABC và đường thẳng d Điểm M thay đổi trên d Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) MA + MB + MC b) MA − MB + 2.MC Bài 10 Cho hai điểm A, B và đường tròn (O) Tìm ểm M trên (O) cho biểu thức MA + MB đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Bài 11 Cho tam giác ABC và đường thẳng d Điểm M thay đổi trên d Tìm giá trị nhỏ biểu thức MA + MB + MC 4.4 Biểu diễn vectơ theo hai vectơ khác và ứng dụng Bài Cho vectơ a , b không cùng phương, với vectơ c tồn x, y ∈ cho: = c xa + yb Hơn cặp số ( x, y ) là Bài Cho ∆ABC , M là trung điểm BC a) Tính AM theo AB, AC b) Lấy N thỏa = NB k NC ( k ≠ 1) , tính AN theo AB, AC Lop10.com (7) www.VNMATH.com Bài Cho ∆ABC , trọng tâm G , gọi D là điểm đối xứng A qua B và E là điểm trên cạnh AC cho AE = AC a) Tính DE , DG theo AB, AC b) Chứng minh D, G , E thẳng hàng c) Gọi K thỏa KA + KB + 3KC = KD Chứng minh KG, CD song song = 0; JC = JB Tìm F ∈ AC cho I , F , J thẳng hàng Bài Cho ∆ABC , I , J thỏa IA + IB Bài Cho tam giác ABC Gọi D là điểm định AD = AC , I là trung điểm DB M là điểm thỏa:= BM xBC ( x ∈ ) a) Tính AI theo AB, AC b) Tính AM theo x và AB, AC c) Tìm x cho A, I, M thẳng hàng Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O là giao điểm hai cạnh xiên AD và BC Gọi I, J là trung điểm AB và CD a) Tính OI theo OA, OB b) Đặt k = OD Tính OI theo k, OA, OB Suy O, I, J thẳng hàng OA Bài Cho hình bình hành ABCD M, N là ểm trên đoạn AB và CD cho = AB 3= AM , CD 2CN a) Tính AN theo AB, AC b) Gọi G là trọng tâm tam giác MNB, tính AG theo AB, AC c) AG cắt đường thẳng BC I Tính BC BI Bài Cho tam giác ABC Trên các đường thẳng BC, CA, AB ta lấy các điểm M, N, P cho = MB k1= MC , NC k= NA , PA k PB ( k1 , k , k3 ≠ 0, ± 1) a) Tính PM theo AB, AC b) Tính PN theo AB, AC c) Chứng minh M, N, P thẳng hàng và k1k2 k3 = 4.5 Chứng minh điểm thẳng hàng và đường thẳng đồng quy Bài 1: Cho tứ giác ABCD, M và N là trung điểm AD và BC Chứng minh trung điểm các đoạn thẳng AB, CD và MN thẳng hàng Nếu điểm M, N thỏa AM/DM = BN/CN điều đó còn đúng không? Vì sao? Bài 2*: Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N trên các đoạn AC và AE cho AM/CM = EN/AN = k Tìm k để B, M, N thẳng hàng Bài 3: Cho tứ giác ABCD Gọi A1, B1, C1, D1 là trọng tâm các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC Chứng minh các đường thẳng AA1, BB1, CC1, DD1 đồng quy G và G là trọng tâm tứ giác Lop10.com (8) www.VNMATH.com Bài Chứng minh tứ giác ngoại tiếp Trung điểm hai đường chéo và tâm đường tròn nội tiếp cùng thuộc đường thẳng (Đường thằng Newtơn) Bài Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC D Chứng minh trung điểm BC, trung điểm AD và I thẳng hàng 4.6 Định lý Ceva, định lý Menelaus và ứng dụng Bài (Định lý Menelaus và Ceva) Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỉ số là là m, n, p (đều khác 1) Chứng minh rằng: a) M, N, P thẳng hàng và mnp = (Menelaus) b) AN, CM, BP đồng qui song song và mnp = −1 (Ceva) Sử dụng định lý Ceva và Menelaus giải các bài toán sau: Bài Cho tam giác ABC và các điểm A1, B1, C1 nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB Gọi A2, B2, C2 là các điểm đối xứng với A1, B1, C1 qua trung điểm BC, CA, AB Chứng minh rằng: a) Nếu điểm A1, B1, C1 thẳng hàng thì A2, B2, C2 thẳng hàng b) Nếu đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng qui song song thì 3đư ờng thẳng AA2, BB2, CC2 đồng qui song song Bài Cho tam giác ABC, I là trung điểm đoạn thẳng AB Một đường thẳng d thay đổi luôn qua I, cắt hai đường thẳng CA và CB A’ và B’ Chứng minh giao điểm M AB’ và A’B nằm trên đường thẳng cố định Bài Cho điểm O nằm hình bình hành ABCD Các đư ờng thẳng qua O và song song với các cạnh hình bình hành cắt AB, BC, CD, DA M, N, P, Q Gọi E là giao điểm BQ và DM, F là giao điểm BP và DN Tìm điều kiện điểm O để E, F, O thẳng hàng Hết Chúc các em làm bài tốt Bài kế tiếp: Trục tọa độ và hệ trục tọa độ Lop10.com (9)