Chú ý : Khi đứng tr−ớc một bμi toán tích phân, không phải bμi toán nμo cũng xuất hiện nhân tử để chúng ta sử dụng ph−ơng pháp đổi biến số.. Có nhiều bμi toán phải qua 1 hay nhiều phép bi[r]
(1)Së GD & §t nghÖ an Tr−êng THPT §Æng thóc høa sin4x + cos2x ∫ sin x + cos x dx 6 tÝch ph©n 6 dx ( x +1) - ( x -1) I= ∫ = dx = x +1 ∫ x +1 Gi¸o viªn : Ph¹m Kim Chung Tæ : To¸n N¨m häc : 2007 - 2008 Lop10.com (2) " 12 ∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 “ Thực trên mặt đất lμm gì có đ−ờng, ng−ời ta thì thμnh đ−ờng thôi ! ” - Lç TÊn - Viết tμi liệu khó, để viết cho hay cho tâm đắc lại đòi hỏi đẳng cấp thực ! Cũng may tôi không có t− t−ởng lớn nhμ viết sách, không hy vọng điều gì đó lớn lao vì tôi biết lực môn Toán lμ có hạn Khi tôi có ý t−ởng viết điều t«i gom nhÆt ®−îc t«i chØ mong qua tõng ngμy m×nh sÏ lÜnh héi s©u h¬n vÒ m«n To¸n s¬ cÊp qua tõng tiÕt häc nh÷ng häc trß cña t«i bít b¨n khoăn, ngơ ngác Vμ còn đọc bμi viết nμy nghĩa lμ đâu đó tôi có ng−ời thầy, ng−ời bạn cùng chung niềm đam mê diÖu k× To¸n häc dx ∫ x8 + = Thö gi¶i mét bμi to¸n khã… nh−ng ch−a thËt hμi lßng ! ⎡ ⎤ ( x + 1) - ( x - 1) ( x + 1) ⎣( x - 2x + 1) + ( - 1) x ⎦ (x = dx = dx + 2∫ (x + 1) - ( 2x x2 + dx + ∫ x + 2x + ( ) 2∫ 2 ) -1 (x ( x + 1) x ∫ (x 2 + 1) - ( 2x ) 2 )( ) - 2x + x + 2x + dx + 2∫ ( ) ( ) - 1) ⎡ x - 2x + + + x ⎤ ⎣ ⎦ dx 2 x + 2x ( ) ( ) x2 - dx + ∫ x + 2x + ( ) +1 ∫ (x (x - 1) x )( ) - 2x + x + 2x + 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ 1 1+ 1- ⎜ 1+ ⎟ dx ⎜ - ⎟ dx -1 + 1 x ⎠ x ⎠ ⎝ ⎝ x x = ∫ dx + + dx + 2 ∫ ⎡⎛ ⎞2 ∫ ⎡⎛ ⎞ 2 2 ⎛ 2 ⎤ ⎡⎛ ⎤ ⎤ ⎡⎛ ⎤ 2∫⎛ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ ⎢⎜ x + ⎟ - + ⎥ ⎢⎜ x + ⎟ - - ⎥ ⎢ ⎜ x - ⎟ + - ⎥ ⎢⎜ x - ⎟ + + ⎥ ⎜x - ⎟ +2+ ⎜x + ⎟ - 2- x⎠ x x x x x ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ d⎜x - ⎟ d⎜x - ⎟ d⎜x + ⎟ d⎜x + ⎟ d⎜x + ⎟ d⎜x - ⎟ 2 + + 1 x x x x x⎠ x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ + + ∫ + = ∫ 2 ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 2 ⎛ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 4 4 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎢⎜ x - ⎟ + - ⎥ ⎢⎜ x - ⎟ + + ⎥ ⎢⎜ x + ⎟ - + ⎥ ⎢⎜ x + ⎟ - - ⎥ ⎜x + ⎟ - 2- ⎜x - ⎟ +2+ x⎠ x⎠ x⎠ x⎠ x⎠ x⎠ ⎝ ⎝ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ ( ) ( ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ ⎜x + ⎟ - 2- ⎜x + ⎟ - 2+ 2+ 2- 2- 2 + x x⎠ ⎠ = u+ v+ ln ⎝ + ln ⎝ +C 1⎞ 1⎞ 8 16 16 ⎛ ⎛ ⎜x + ⎟+ 2- ⎜x + ⎟+ 2+ x⎠ x⎠ ⎝ ⎝ ( Víi x - ) ) ( ) ( ( = + tgu = - tgv x ) ) ) ( ) ) (Nếu dùng kết nμy để suy ng−ợc có tìm đ−ợc lời giải hay ? ) _ Th¸ng 12 – n¨m 2007 Lop10.com (Trang (3) 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 PhÇn lý thuyÕt §Þnh nghÜa : Gi¶ sö f(x) lμ mét hμm sè liªn tôc trªn mét kho¶ng K, a vμ b lμ hai phÇn tö bÊt k× cña K, F(x) lμ nguyên hμm f(x) trên K Hiệu số F(b) - F(a) đ−ợc gọi lμ tích phân từ a đến b f(x) vμ đ−ợc kí hiệu lμ b b ∫a f ( x )dx Ta dùng kí hiệu F ( x ) a để hiệu số : F(b) – F(a) b C«ng thøc Newton – Laipnit : ∫ f ( x )dx = F (x) a VÝ dô : ∫ x dx = b = F(b) – F(a) a x3 1 = (1 − 03 ) = 3 b Chó ý : TÝch ph©n ∫ f ( x )dx chØ phô thuéc vμ f, a vμ b mμ kh«ng phô thuéc vμo kÝ hiÖu biÕn sè tÝch ph©n V× vËy ta a b cã thÓ viÕt : F(b) – F(a) = ∫ f ( x )dx = b b a a ∫ f ( t )dt = ∫ f ( u )du a C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n a ∫ f ( x )dx = a b a a b ∫ f ( x )dx = - ∫ f ( x )dx b b b a a ∫ ⎡⎣αf ( x ) ± βg ( x )⎤⎦dx = α ∫ f ( x )dx ± β∫ g ( x )dx a e e e e e 3⎞ ⎛ VD : ∫ ⎜ 2x + ⎟dx = 2∫ xdx + 3∫ dx = x + ln x = ( e2 − 1) + (1 − ) = e2 + 1 x⎠ x 1⎝ 1 c b a a c ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx b VD : ∫ −1 x dx = ∫ −1 1 −1 x dx + ∫ x dx = − ∫ xdx + ∫ xdx = − x2 x2 + =1 −1 b f(x) ≥ trªn ®o¹n [a ; b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ a b f(x) ≥ g(x) trªn ®o¹n [a ; b] ⇒ b ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx a a VD : Chøng minh r»ng : π π 0 ∫ sin2xdx ≤ 2∫ sinxdx b m ≤ f(x) ≤ M trªn ®o¹n [a ; b] ⇒ m(b – a) = m ∫ dx ≤ a b b a a ∫ f ( x )dx ≤ M ∫ dx = M(b – a) 1⎞ ⎛ VD : Chøng minh r»ng : ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ x⎠ 1⎝ trªn ®o¹n [1; 2] ta cã : max y = ; y = HD Kh¶o s¸t hμm sè y = x + [1;2] [1;2] x ª 0974.337.449 _ Lop10.com Th¸ng 12 – n¨m 2007 _ Trang (4) 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 2 2 2⎛ 1⎞ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ Do đó : 2∫ dx ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ ∫ dx ⇒ 2x ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ x ⇒ ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ 1 x x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 PhÇn ph−¬ng ph¸p Ph−ơng pháp đổi biến số : t = v(x) x dx VD TÝnh tÝch ph©n : I = ∫ x +1 §Æt : t = x + Khi x= th× t=1, x=1 th× t=2 dt Ta cã : dt = 2xdx ⇒ = xdx Do đó : 2 x dt I=∫ dx = ∫ = ln t = ln 2 21 t x +1 b b a a ∫ f ( x )dx = ∫ g ( v ( x ) )v' ( x ) dx Quy tr×nh gi¶i to¸n B−ớc Đặt t = v(x) , v(x) có đạo hμm liên tục, đổi cận B−íc BiÓu thÞ f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt v ( b) ∫ B−íc TÝnh g ( t )dt v(a) Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : e2 ∫ e dx x ln x π ∫ ( 2x − 1) dx ∫π sin3 x dx x dx ∫0 x + 4 dx ∫ ( 2x + 1) x +1 dx ∫ x (1 + x xdx −1 ∫x ) Ph−ơng pháp đổi biến số : x = u(t) VD TÝnh tÝch ph©n : sinx ∫ − x dx π ⎛ ⎡ π π⎤⎞ §Æt x = sint ⎜ t ∈ ⎢ − ; ⎥ ⎟ Khi x=0 th× t=0, x=1 th× t= ⎣ 2⎦ ⎠ ⎝ π ⎤ ⎡ VËy víi x = sint th× x ∈ ⎡⎣0;1⎤⎦ ⇒ t ∈ ⎢0; ⎥ vμ dx = costdt ⎣ 2⎦ O cosx Do đó : ∫ − x dx = π ∫ − sin t cos tdt = π π ∫ cos t cos tdt = ∫ cos tdt = π π + cos 2t 1⎛ π ⎞ dt = ⎜ t + sin 2t ⎟ = =∫ 2⎝ ⎠0 b Quy tr×nh gi¶i to¸n ∫ f ( x )dx a B−ớc Đặt x = u(t), t ∈ ⎡⎣α; β⎤⎦ cho u(t) có đạo hμm liên tục trên đoạn ⎡⎣α; β⎤⎦ , f(u(t)) đ−ợc xác định trên đoạn ⎣⎡α; β⎦⎤ vμ u ( α ) = a; u ( β ) = b ª 0974.337.449 _ Lop10.com Th¸ng 12 – n¨m 2007 _ Trang (5) 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 B−íc BiÓu thÞ f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt β B−íc TÝnh ∫ g ( t )dt α Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : dx ∫ + x2 ∫ x ∫ 1− x 1 dx ∫x 2 ∫ − x dx x + x dx dx + x +1 5+x dx ( §Æt x=5cos2t) 5−x ∫ Ph−ơng pháp đổi biến số : u(x) = g(x,t) VD1 TÝnh tÝch ph©n : I = ∫ + x dx t2 − 2t t2 + Khi x =0 th× t= -1, x=1 th× t= − vμ dx = dt Do đó : 2t 1− 1− 1− 1− 1− t + 2t + 1⎛ 1 ⎞ − t2 − t2 + I= ∫ dt = − dt tdt dt dt ⎟ = = − + + ⎜ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎜ 2t 2t −1 t ⎝ −1 t t ⎟⎠ −1 −1 −1 §Æt C¸ch (1) = − + x = x - t ⇒ = -2xt + t ⇒ x = 1− t2 − 1 1− − ln t + = − ln −1 8t −1 −1 ( ) −1 + 2 π ⎡ π⎤ C¸ch (2) : §Æt x=tgt , x ∈ ⎡⎣0;1⎤⎦ nªn ta cã thÓ chän t ∈ ⎢0; ⎥ Khi x=0 th× t=0, x=1 th× t = ⎣ 4⎦ dt Do đó : vμ dx= cos2 t ∫ + x dx = π ∫ 1 + tg t dt = cos t π π π ∫ π π 4 1 cos t dt dt dt = = = ∫ ∫ cos t cos t cos t cos t π ∫ d ( sin t ) (1 − sin t ) 2 = π ⎤ 1 ⎡ (1 − sin t ) + (1 + sin t ) ⎤ 14⎡ = ∫⎢ + ⎥ d ( sin t ) = ∫ ⎢ ⎥ d ( sin t ) = ⎣ (1 − sin t )(1 + sin t ) ⎦ ⎣ (1 − sin t ) (1 + sin t ) ⎦ π π π ⎤ d ( sin t ) ⎡ 1 d (1 − sin t ) 4 d (1 + sin t ) = = ∫⎢ + + ∫ + ∫ ⎥ d ( sin t ) = − ∫ ⎣ (1 − sin t ) (1 + sin t ) ⎦ (1 − sin t ) (1 − sin t )(1 + sin t ) (1 + sin t )2 π π π π ⎡ 1 ⎤ 1 + sin t sin t 1 + sin t = − ln − + = ⎢ ln − + = + ln 4 4 ⎥ 2 ⎣1 − sin t + sin t ⎦ − sin t cos t − sin t ( ) B×nh luËn : Bμi to¸n nμy cßn gi¶i ®−îc b»ng ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn Cßn víi c¸ch gi¶I trªn râ rμng bắt gặp cách 1) ta nghĩ nó chứa đựng phép tính toán phức tạp còn cách 2) chứa phép tính toán đơn giản Nh−ng ng−ợc lại suy đoán - cách 2) lại chứa phép tính toán dμi dòng vμ thật không khá tích phân thì ch−a hẳn đã lμ đ−ợc lμm đ−ợc mμ lại dμi dòng VD2 TÝnh tÝch ph©n : I = ∫ ª 0974.337.449 _ Lop10.com 1 + x2 dx Th¸ng 12 – n¨m 2007 _ Trang (6) 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 t2 − 2t t2 + dt Do đó : Khi x =0 th× t= -1, x=1 th× t= − vμ dx = 2t 1− 1− −2t t + 1 I= ∫ dt = − dt = ∫ t + 2t t −1 −1 + x = x - t ⇒ = -2xt + t ⇒ x = §Æt C¸ch (1) 1− = − ln t −1 = − ln ( ) −1 π ⎡ π⎤ C¸ch (2) : §Æt x=tgt , x ∈ ⎡⎣0;1⎤⎦ nªn ta cã thÓ chän t ∈ ⎢0; ⎥ Khi x=0 th× t=0, x=1 th× t = ⎣ 4⎦ dt vμ dx= cos2 t Do đó : ∫ π 1 + x2 dx = ∫ π π π 4 cos t 1 cos t dt = ∫ dt = ∫ dt = ∫ dt = 2 2 cos t cos t cost cos t + tg t 0 = π d ( sin t ) ∫ (1 − sin t ) = π 1 − sin t ln = − ln + sin t ( ) −1 Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : ∫ x − 1dx 1 ∫1+ x − 4x + ∫ x2 − 1 −1 dx ∫ 1+ −2 x2 dx − 2x − x x + 2x + 2dx −1 dx ∫ ∫x+ xdx x2 − Chú ý : Khi đứng tr−ớc bμi toán tích phân, không phải bμi toán nμo xuất nhân tử để chúng ta sử dụng ph−ơng pháp đổi biến số Có nhiều bμi toán phải qua hay nhiều phép biến đổi xuất nhân tử để đặt ẩn phụ ( nói đến phần Phân Loại Các dạng Toán ) Ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn Nếu u(x) vμ v(x) lμ hai hμm số có đạo hμm liên tục trên đoạn [a; b] thì : b b b u x v' x dx = u x v x - v ( x )u' ( x ) dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫a a ∫a hay b ∫ u ( x )dv = ( u ( x ) v ( x ) ) a b b - v ( x )du a ∫a π VD1 TÝnh ∫ x cos xdx ⎧du = dx ⎧u=x §Æt ⎨ , ta cã : ⎨ ⎩dv = cos xdx ⎩ v = sin x ª 0974.337.449 _ Lop10.com Th¸ng 12 – n¨m 2007 _ Trang (7) 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 π π π π π π ∫0 x cos xdx = ( x sin x ) − ∫0 sin xdx = + cosx = − 0 Nhận xét : Một câu hỏi đặt lμ đặt ⎧u = cosx ⎨ ⎩ dv = xdx cã ®−îc kh«ng ? π Ta h·y thö : π π ⎛ x2 ⎞ 12 = x cos xdx cosx ⎜ ⎟ + ∫ x sin xdx , râ rμng tÝch ph©n ∫0 ⎝ ⎠ 20 π ∫x sin xdx cßn phøc t¹p h¬n tÝch phân cần tính Vậy việc lựa chọn u vμ dv định lớn việc sử dụng ph−ơng pháp tích phân phần Ta hãy xét VD để tìm câu trả lời vừa ý ! ln x VD2 TÝnh ∫ dx x 1 ⎧ ⎪u = Ta thử đặt : ⎨ x ⎪⎩ dv = ln xdx rõ rμng để tính v= ∫ ln xdx lμ việc khó khăn ! ⎧ ⎪⎪ du = x ta cã : ⎨ ⎪ v = dx = − ∫ x5 ⎪⎩ 4x 2 ln x ln ⎛ ⎛ ln x ⎞ dx + ⎜− Do đó : ∫ dx = ⎜ − ⎟ + ∫ = − x 4x x 64 ⎝ 4x ⎝ ⎠ 1 ⎧ u = ln x ⎪ Gi¶i §Æt ⎨ ⎪⎩dv = x dx ⎞ 15 ln − ⎟1= 256 64 ⎠ Nhận xét : Từ VD trên ta có thể rút nhận xét ( với tích phân đơn giản ) : Việc lựa chọn u vμ dv ph¶i tho¶ m·n : du đơn giản, v dễ tính TÝch ph©n sau ( ∫ vdu ) phải đơn giản tích phân cần tính ( ∫ udv ) Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : x ∫ xe dx ∫ 3x xe dx x sin xdx ∫ ( x − 1)cosxdx e ∫ e x cosxdx π π 2 π ∫ π ∫ ∫ e 10 ∫x e −x dx 0 2x ln ( x − 1)dx ln xdx ∫ ( − x ) sin 3xdx ∫ ( ln x ) dx Mỗi dạng toán chứa đựng đặc thù riêng nó ! PhÇn ph©n lo¹i c¸c d¹ng to¸n TÝch ph©n cña c¸c hμm h÷u tû A D¹ng : I = ∫ P (x) dx ax + b ª 0974.337.449 ( a ≠ 0) _ Lop10.com Th¸ng 12 – n¨m 2007 _ Trang (8) 12 ∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 C«ng thøc cÇn l−u ý : I = ∫ α α dx = ln ax + b + C ax + b a TÝnh I1 = x + dx ∫ x −1 TÝnh I2 = x − dx ∫ x +1 x3 TÝnh I3 = ∫ 2x + dx Ph−¬ng ph¸p : Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc P(x) cho nhÞ thøc : ax+b, ®−a tÝch ph©n vÒ d¹ng : α dx ( Trong đó Q(x) lμ hμm đa thức viết d−ới dạng khai triển ) I = ∫ Q ( x ) dx + ∫ ax + b B D¹ng : I = ∫ P (x) dx ax + bx + c ( a ≠ 0) Tam thøc : f ( x ) = ax + bx + c cã hai nghiÖm ph©n biÖt C«ng thøc cÇn l−u ý : I = ☺ TÝnh I = ∫x u' ( x ) ∫ u ( x ) dx = ln u ( x ) + C dx −4 Cách ( ph−ơng pháp hệ số bất định ) ⎧A + B = A B = + ⇒ ≡ (A + B) x + 2(A − B) ⇒ ⎨ ⇔ x −4 x −2 x +2 ⎩A − B = Do đó : I = ∫x ⎧ ⎪⎪ A = ⎨ ⎪B = − ⎪⎩ x −2 1 1 +C dx = ∫ dx - ∫ dx = ln x+2 −4 x −2 x+2 C¸ch ( ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu ) ⎡ 2x 2x − ⎤ dx = ⎢ ∫ dx − ∫ dx ⎥ = ln x − − ln x + + C Ta cã : I = ∫ x −4 2⎣ x −4 x −4 ⎦ α dx < Tæng qu¸t >TÝnh I = ∫ x − a2 2x TÝnh I = ∫ dx − x2 3x + TÝnh I = ∫ dx x −1 x2 TÝnh I = ∫ dx x − 5x + TÝnh I = 3x ∫ x − 3x + dx Ph−¬ng ph¸p : Khi bậc đa thức P(x) <2 ta sử dụng ph−ơng pháp hệ số bất định ph−ơng pháp nhảy tÇng lÇu Khi bậc đa thức P(x) ≥ ta sử dụng phép chia đa thức để đ−a tử số đa thức có bậc < ª 0974.337.449 _ Lop10.com Th¸ng 12 – n¨m 2007 _ Trang (9) 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 Tam thøc : f ( x ) = ax + bx + c = ( αx + β )2 cã nghiÖm kÐp C«ng thøc cÇn l−u ý : I = TÝnh I = ∫ TÝnh I = u' ( x ) +C dx = − u(x) (x) ∫u d ( x − 2) 1 dx = ∫ =− +C x − 4x + x −2 ( x − 2) ∫ 4x 4x dx − 4x + dt ⎧ ⎪ dx= §Æt : 2x – = t ⇒ ⎨ , lúc đó ta có : ⎪⎩2x = t + t +1 dt dt I = 2∫ dx = 2∫ + 2∫ = ln t − + C t t t t x −3 TÝnh I = ∫ dx x − 4x + x3 TÝnh I = ∫ dx x + 2x + Ph−ơng pháp : Để tránh phức tạp biến đổi ta th−ờng đặt : αx + β = t ⇒ x = t −β vμ thay vμo biÓu thøc α trªn tö sè Tam thøc : f ( x ) = ax + bx + c v« nghiÖm TÝnh I = ∫x dx +1 §Æt : x = tgα ⇒ dx = I= ∫ cos α ( tg α + 1) dα = ∫ dα = α + C 2 < Tæng qu¸t > TÝnh I = ∫ TÝnh I = TÝnh I = TÝnh I = C D¹ng : I = ∫ dx x + a2 , víi HD §Æt ( tgα = x ) x = atgα ⇒ dx = a dα , ta cã : cos α dα α = +C a a ∫ x + 2x + dx 2x + ∫ x + 2x + dx x2 ∫ x + dx x3 ∫ x + dx I= TÝnh I = dα , ta cã : cos2 α ∫ P (x) dx ax + bx + cx + d (a ≠ 0) §a thøc : f ( x ) = ax + bx + cx + d cã mét nghiÖm béi ba ª 0974.337.449 _ Lop10.com Th¸ng 12 – n¨m 2007 _ Trang (10) 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 C«ng thøc cÇn l−u ý : I = ☺ TÝnh I = ∫ ( x − 1) 1 ( x − 1) 3 dx = ∫ ( x − 1) d ( x − 1) = x TÝnh I = ∫ x2 − ( x − 1) (1 − x ) dx = − ( x − 1) TÝnh I = ∫ dx dx x4 ( x + 1) +C= − (1 − x ) ( x − 1) −2 −2 +C = − +C ( x − 1) +C +C = x − m , víi x > xm dx x3 ( x − 1) ( n ≠ 1) −2 −2 −3 §Æt : x – = t ta cã : I = ∫ TÝnh I = ∫ +C ( n − 1) x n −1 ( x − 1) dx = ∫ (1 − x ) d (1 − x ) = Chó ý : ( x − 1) dx = − −3 ( x − 1) NÕu x < , ta cã : I = − ∫ TÝnh I = ∫ n dx NÕu x > , ta cã : I = ∫ VËy : I = ∫ ∫x t +1 ⎛1 dt = ∫ ⎜ + t3 t ⎝t 1 ⎞ ⎟dt = − − + C t 2t ⎠ dx §a thøc : f ( x ) = ax + bx + cx + d cã hai nghiÖm dx ☺ TÝnh I = ∫ ( x − 1)( x + 1) §Æt : x + = t , ta cã : I = ∫ t ( t − ) dt = ∫ t dt − 2t C¸ch < Ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu > 3t − 4t ⎛ 3t − 4t − ⎞ 3t − 4t ⎛ 3t + ⎞ 3t − 4t ⎛ ⎞ = − ⎜ − ⎜ − ⎜ + ⎟ Ta cã : ⎟= ⎟= t − 2t t − 2t ⎝ t − 2t ⎠ t − 2t ⎝ t ⎠ t − 2t ⎝ t t2 ⎠ 3t − 4t ⎛3 ⎞ 3 ∫ t3 − 2t2 dt − ∫ ⎜⎝ t + t2 ⎟⎠dt = ln t − 2t − ln t + 2t + C Cách < Ph−ơng pháp hệ số bất định > Do đó : I = ⎧ ⎪B = − ⎧ −2B = ⎪ 1 At + B C ⎪ ⎪ = + ⇒ ≡ ( A + C ) t + ( −2A + B ) t − 2B ⇒ ⎨−2A + B = ⇒ ⎨ A = − 2 t − 2t t t−2 ⎪ A+C =0 ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ C=4 ⎩ Do đó : ∫t ª 0974.337.449 1 ⎡t + ⎤ ⎡1 ⎤ 1⎡ ⎤ dt = − ∫ ⎢ − dt = − ∫ ⎢ + − dt = − ⎢ln t − − ln t − ⎥ + C ⎥ ⎥ − 2t 4⎣ t t − 2⎦ 4⎣t t t − 2⎦ 4⎣ t ⎦ _ Lop10.com Th¸ng 12 – n¨m 2007 _ Trang (11) 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 Ph−ơng pháp “nhảy tầng lầu” đặc biệt có hiệu tử số phân thức lμ mét h»ng sè Ph−ơng pháp “hệ số bất định” : bậc đa thức trên tử số luôn nhỏ bậc mÉu sè bËc TÝnh I = 2x + ∫ x ( x − ) dx §Ó sö dông ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu ta sÏ ph©n tÝch nh− sau : 2x + = + x2 ( x − 2) x ( x − 2) x2 ( x − 2) TÝnh I = ∫ x2 ( x − 1) ( x + ) dx x2 Sử dụng ph−ơng pháp hệ số bất định : Do đó : x = Ax + B ( x − 1) ( x + ) ( x − 1) ≡ ( x + )( Ax + B ) + C ( x − 1) x=-2, suy : C = Cho : + C x+2 x=0 , suy : B = − 9 Ph−ơng pháp trên gọi lμ ph−ơng pháp “gán trực tiếp giá trị biến số” để tìm A, B, C x3 − TÝnh I = ∫ dx x + 2x + x x=1, suy : A = §a thøc : f ( x ) = ax + bx + cx + d cã ba nghiÖm ph©n biÖt ☺ TÝnh I = ∫ x (x − 1) dx ⎡ 3x − 3x − ⎤ ⎡ 3x − ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ − − ⎥ x ( x − 1) ⎢⎣ x − x x ( x − 1) ⎥⎦ ⎣ x − x x ⎦ ⎡ 3x − ⎤ − ⎥ dx = ln x − x − ln x + C Do đó : I = ∫ ⎢ 2⎣ x − x x⎦ 2 A B C C¸ch Ta cã : = + + ⇒ ≡ A ( x − 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 1) x ( x − 1) x x − x + C¸ch Ta cã : = Cho x=0, suy A = -1 x=1, suy B = x=-1, suy C = 2 Do đó : I = − ln x + ln x − + C ª 0974.337.449 _ Lop10.com Th¸ng 12 – n¨m 2007 _ Trang 10 (12) 12 ∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 TÝnh I = x +1 dx − 4) ∫ x (x TÝnh I = ∫ x2 dx ( x − 1) ( x + ) x3 dx − 1) ( x − ) TÝnh I = ∫ (x TÝnh I = ∫ ( 2x + 1) ( 4x dx + 4x + ) §Æt : 2x + =t ⇒ dx = I= dt , ta cã : dt ⎡ 3t − 3t − 18 ⎤ ⎢ = − dt dt ⎥ = ln t − 6t − ln t + C ∫ ∫ ∫ 2 t ( t − ) 24 ⎢ t − 6t 24 − t t ⎥ ( ) ⎣ ⎦ §a thøc : f ( x ) = ax + bx + cx + d cã mét nghiÖm (kh¸c béi ba) ☺ TÝnh I = ∫ dx x −1 §Æt x – = t ⇒ dx = dt , ta cã : ⎤ ⎡ dt t+3 dt ⎡ t + 3t + t + 3t ⎤ dt = I= ∫ = ⎢∫ dt − ∫ dt ⎥ = ⎢ ∫ − ∫ 3⎣ t t + 3t + ⎥⎦ t ( t + 3t + ) ⎢⎣ t ( t + 3t + ) t ( t + 3t + ) ⎥⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ dt 2t + 3 dt ⎥ = ln t − ln t + 3t + − α + C ( Víi x = tgα ) dt − ∫ = ⎢∫ − ∫ 2 ⎢ t t + 3t + ⎛ 3⎞ 3⎥ ⎢ ⎜t + ⎟ + ⎥ 2⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ TÝnh I = ∫ dx x ( x + 1) ∫ x (x TÝnh I = + 2x + ) dx x2 ∫ x + dx x3 TÝnh I = ∫ dx x −8 TÝnh I = ∫ dx x − 3x + 3x − TÝnh I = Tóm lại : Ta th−ờng sử dụng hai phép biến đổi : Tö sè lμ nghiÖm cña mÉu sè Tử số lμ đạo hμm mẫu số vμ ph©n thøc ®−îc quy vÒ d¹ng c¬ b¶n sau : 1 ↔ dx = ln ax + b + C { ax + b øng víi ∫ ax + b a u' u' dx = ln u + C ↔ { u øng víi ∫ u ª 0974.337.449 _ Lop10.com Th¸ng 12 – n¨m 2007 _ Trang 11 (13) 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 u' u' +C (n ≥ 2) ↔ { ∫ n dx = un u n ( ) un-1 øng víi 1 a ↔ dx = + C , víi x + d = atgα { ∫ 2 2 a ( x + d ) + a øng víi ( x + d ) + a D D¹ng : I = ∫ Q (x) dx < P(x) lμ ®a thøc bËc cao> Vμ mét sè kÜ thuËt t×m nguyªn hμm P (x) Kĩ thuật biến đổi tử số chứa nghiệm mẫu số dx TÝnh I = ∫ x ( x − 1) ( x + ) ( x + ) HD : I = ∫ x ( x − 1) ( x + ) ( x + ) dx TÝnh I = ∫x ∫x x ( x + ) − ( x − 1)( x + ) dx + 10x + 2 dx ( x + ) − ( x + 1) HD : I = ∫ = ( x + 1)( x + ) ∫ ( x + 1)( x + ) TÝnh I = dx + 6x − 13x − 42 dx HD : I = ∫ (x TÝnh I = ∫ 5x ∫x dx − 10x TÝnh I = ∫ (x TÝnh I = ∫x TÝnh I = ∫ ( x + 1) ( x − )( x + )( x + ) dx + 20x 4 dx ( x + 4) − x HD : I = ∫ = x ( x + ) 20 ∫ x ( x + ) TÝnh I = HD : I = 4 dx x − ( x − 10 ) = ∫ x ( x − 10 ) 10 ∫ x ( x − 10 ) dx − )( 2x + 1)( 3x − ) dx − 10x + 35x − 50x + 24 dx + 4x + 6x + 4x − ) x dx ∫ x4 − x dx TÝnh I = ∫ x −1 x dx TÝnh I = ∫ x +1 x dx TÝnh I = ∫ x −1 TÝnh I = ª 0974.337.449 _ Lop10.com Th¸ng 12 – n¨m 2007 _ Trang 12 (14) 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 x dx ∫ x6 − dx TÝnh I = ∫ 100 3x + 5x dx TÝnh I = ∫ x ( 2x 50 + ) TÝnh I = (1 − x ) dx ∫ x (1 + x ) 2000 TÝnh I = 2000 Kĩ thuật đặt ẩn phụ với tích phân có dạng : I = ∫ ☺ TÝnh I = ∫ x3 + x + ( x − 2) 30 P(x) ( ax + b )α dx ( α ≠ 1) dx ⎧ dx = dt §Æt x – = t ⇒ ⎨ , ta cã : ⎩x = t + I= ∫ ( t + 2) +t+3 t 30 TÝnh I = x4 ∫ ( x − 3) TÝnh I = ∫ 45 dt = t + 6t + 13t + 11 1 ⎤ ⎡ + C =… dt = − ⎢ +6 + 13 + 11 30 26 27 28 ∫ t 27t 28t 29t 29 ⎥⎦ ⎣ 26t dx 3x − 5x + 7x − ( x + 2) 50 dx Chú ý : Với loại toán nμy “Tích Phân – T.Ph−ơng ” đã sử dụng ph−ơng pháp khai triển Taylor nh−ng tôi cảm thấy cách lμm nμy không nhanh lại gây nhiều phức tạp cho học sinh nên đã kh«ng nªu Kĩ thuật biến đổi tử số chứa đạo hμm mẫu số xdx −1 §Æt x = t ⇒ 2xdx = dt x dx TÝnh I = ∫ x +1 x −1 ☺ TÝnh I = ∫ dx x +1 1⎞ ⎛ d⎜ x + ⎟ 1− 2 x −1 x⎠ ⎝ x dx = I= ∫ dx = ∫ ∫ ⎛ ⎞2 x +1 x + ⎜x + ⎟ − x x⎠ ⎝ x +1 TÝnh I = ∫ dx x +1 x2 TÝnh I = ∫ dx x +1 ( x − 1) dx TÝnh I = ∫ x − 5x − 4x − 5x + ( x + 1) dx TÝnh I = ∫ x + 2x − 10x − 2x + TÝnh I = ∫x ( ) ª 0974.337.449 _ Lop10.com = 2 ln x2 − x + x2 + x + Th¸ng 12 – n¨m 2007 +C _ Trang 13 (15) 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 TÝnh I = ∫ (x − 2) x − 3x + 11x − 6x + ( x2 + 3) dx TÝnh I = ∫ dx x − 2x − 2x + 6x + dx TÝnh I = ∫ x + x2 + dx TÝnh I = ∫ x − 3x + B×nh luËn : Lo¹t bμi to¸n nμy lμm t«i kh¸ Ên t−îng víi phÐp chia c¶ tö sè vμ mÉu sè cho x Qu¶ thËt t«i lu«n cè g¾ng t×m tßi xem liÖu m×nh cã thÓ nghÜ mét ph−¬ng ph¸p nμo kh¸c hay h¬n ch¨ng, nh−ng …” bã tay.com “ ThÕ míi hiÓu to¸n häc : “lu«n tiÒm Èn nh÷ng vÎ đẹp lμm ng−ời ta sửng sốt” x5 TÝnh I = ∫ dx x +1 x TÝnh I = ∫ dx x −1 dt §Æt x = t ⇒ 2xdx = dt , ta cã : I = ∫ t −1 x3 TÝnh I = ∫ dx x −1 x4 + TÝnh I = ∫ dx x +1 d(x ) d(x ) x3 + x + ∫ TÝnh I = ∫ dx HD : I = ∫ x +1 x +1 x +1 x2 x d ( x2 ) TÝnh I = ∫ HD : I = ∫ dx ( x )3 + x +1 TÝnh I = ∫ (x + 1)( x + 2x − 1) dx x − 14x − 1 ⎞⎛ 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ + ⎟⎜ x − + ⎟ ⎜ x − + 2⎟ 1⎞ x ⎠⎝ x x ⎛ ⎠ dx = ⎝ ⎠ HD : I = ∫ ⎝ d⎜x − ⎟ ∫ x⎠ ⎛ ⎞ ⎝ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ x − ⎟ + ⎜ x − ⎟ − 14 ⎜ x − ⎟ − 14 ⎜ x ⎝ ⎠ x⎠ x⎠ ⎝ ⎝ 19 x dx TÝnh I = ∫ ( + x10 ) HD I = ∫ x10 10x (3 + x ) 10 TÝnh I = ∫ TÝnh I = ∫ ª 0974.337.449 dx = x 99 ( 2x 50 − 3) x 2n −1 ( ax n + b) k x10 d ( x10 ) ∫ 10 ( + x10 )2 dx dx _ Lop10.com Th¸ng 12 – n¨m 2007 _ Trang 14 (16) 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 KÜ thuËt chång nhÞ thøc C¬ së cña ph−¬ng ph¸p : a b §Ó t×m nguyªn hμm cã d¹ng : I = ( ax + b ) ∫ ( cx + d ) n , c d ⎛ ax + b ⎞ dx , ta dùa vμo c¬ së : ⎜ ⎟ = ⎝ cx + d ⎠ ( cx + d ) m vμ ph©n tÝch biÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n vÒ d¹ng : dx ⎛ ax + b ⎞ ⎛ ax + b ⎞ ⎛ ax + b ⎞ I = k∫ f ⎜ = k∫ f ⎜ ⎟ ⎟d⎜ ⎟ cx + d ⎝ ⎠ ( cx + d ) ⎝ cx + d ⎠ ⎝ cx + d ⎠ VD TÝnh ( 3x − ) 12 ( x + 2) 10 I= ∫ 10 ⎛ 3x − ⎞ dx = ∫ ⎜ ⎟ ⎝ x+2 ⎠ 10 dx ( x + 2) = 11 ⎛ 3x − ⎞ ⎛ 3x − ⎞ ⎛ 3x − ⎞ ⎜ ⎟ d⎜ ⎟= ⎜ ⎟ +C 11 ∫ ⎝ x + ⎠ x + 121 ⎝ ⎠ ⎝ x+2 ⎠ (7x − 1) dx 101 ( 2x + 1) 99 TÝnh I = ∫ TÝnh I = ∫ dx ( x + 3) ( x + 5) ⎡ ( x + 3) − ( x + 5) ⎤ 1 ⎥ 5 ⎢ ∫ ⎛x +3⎞ ⎣ x+5 ⎛x +3⎞ ⎛ x + ⎞ ( x + 5) ( x + 5) ⎦ x + ( ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝x +5⎠ ⎝ x +5⎠ ⎝ x +5⎠ Để tránh đồ sộ tính toán ta có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ nh− sau : dt ⎧ dx = ⎪ x+3 ⎪ ( x + 5) =t⇒⎨ , nªn ta cã : §Æt x+5 ⎪x + − = t ⇒ = 1− t ⎪⎩ x + x+5 dx HD I = ∫ =∫ 1 ⎡ ( x + 3) − ( x + 5) ⎤ 1 ⎥ ⎢ ∫ ⎛x+3⎞ ⎣ x+5 ⎦ ⎜ ⎟ ⎝x+5⎠ TÝnh I = ∫ TÝnh I = ∫ §Æt dx = dx ( x + 5) ( t − 1) dt 27 t5 dx ( x + 5) =∫ dx ( 3x − 2) ( 3x + ) dx ( 2x − 1) ( 3x − 1) 3x − 1 =t⇒− dx = dt vμ = 2t − 2x − 2x − ( 2x − 1) Do đó ta có : I = ª 0974.337.449 dx ∫ ( 2x − 1) ( 3x − 1) = ∫ dx ( 2x − 1) ⎛ 3x − ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2x − ⎠ _ Lop10.com = −∫ ( 2t − ) dt t4 Th¸ng 12 – n¨m 2007 _ Trang 15 (17) 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 TÝch ph©n cña c¸c hμm l−îng gi¸c A Sö dông thuÇn tuý c¸c c«ng thøc l−îng gi¸c − cos2x + cos2x C«ng thøc h¹ bËc : sin2 x = ; cos x = 2 VD T×m hä nguyªn hμm : ∫ cos2 xdx ∫ cos xdx = ∫ + cos2x 1 1 dx = ∫ dx + ∫ cos2xd ( 2x ) = x + sin 2x + C 2 4 Bμi tËp T×m hä nguyªn hμm : ∫ sin ∫ ∫ sin 5xdx ∫ cos xdx xdx ∫ cos 3xdx ∫ 4 cos x sin xdx sin 5xdx − sin 3x + sin x cos3x + 3cosx C«ng thøc h¹ bËc : sin3 x = ; cos x = 4 Bμi tËp T×m hä nguyªn hμm : ∫ sin ∫ cos6 3xdx xdx ∫ cos 4xdx Công thức biến đổi tích thμnh tổng : sin a.sin b = ⎡⎣ cos ( a − b ) − cos ( a + b ) ⎤⎦ cosa.cosb = ⎡⎣cos ( a + b ) + cos ( a − b ) ⎤⎦ sin a.cosb = ⎡⎣ sin ( a + b ) + sin ( a − b ) ⎤⎦ VD T×m hä nguyªn hμm : ∫ sin 2x.cosxdx 1 1 ∫ sin 2xcosxdx = ∫ [ sin 3x + sin x ] dx = ∫ sin 3xd ( 3x ) + ∫ sin xdx = − cos3x − cosx + C Bμi tËp T×m hä nguyªn hμm : ∫ sinxcos3xdx ∫ cosx.cos2x.cos3xdx ∫ cos4x.sin 5x.sin xdx C«ng thøc céng : cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b sin ( a + b ) = sin a cos b + sin b cos a sin ( a − b ) = sin a cos b − sin b cos a VD dx = Bμi tËp : cos ⎡⎣( x + ) − ( x − ) ⎤⎦ 1 ∫ sin 2x − sin10x = 2cos10 ∫ cos ( x + ) cos ( x − ) = 2cos10 ∫ ⎡⎣cot g ( x − ) + tg ( x + )⎤⎦dx sin ( x − ) +C ln 2cos10 cos ( x − ) dx ∫ sin 2x − sin x dx ∫ sin x + sin 3x dx ∫ − sin x B TÝnh tÝch ph©n biÕt d(ux)) π VD TÝnh ∫ sin x.cosxdx ª 0974.337.449 _ Lop10.com Th¸ng 12 – n¨m 2007 _ Trang 16 (18) 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 §Æt t=sinx, t ∈ ⎡⎣0; 1⎤⎦ Khi x=0 th× t=1, x= π 0 2 ∫ sin x.cosxdx = ∫ t dt = π thì t=1 vμ dt = cosxdx Do đó : t3 1 = 3 Víi lo¹i tÝch ph©n nμy häc sinh cã thÓ tù s¸ng t¹o mét lo¹t c¸c bμi to¸n, t«i thö ®−a mét vμi ph−¬ng ¸n : BiÕt d(sinx) cosxdx π π π cosx ∫ n dx ( n ∈ N * , n ≠ 1) π sin x ∫ sin n x.cosxdx ∫ ( sin 3x ) ( cos3x ) dx π ∫ cos x.sin xdx ∫ ( sin 2x ) ( cos2x ) 100 dx π ∫ ( tg x + tgx ) dx dx cos x d(cotgx) ∫ − π sin x ∫ dx cos x sin3 x dx x ∫ cos dx cos2n x ∫ ( tg ( tg3x ) ∫0 ( cos3x )6 dx x + tg x + tg3 x + tg2 x + 1) dx dx sin x π ∫ ( cotg x + cotgx ) dx π π ( cotg5x ) ∫ ( cos5x )8 10 cosx dx sin x π ∫ dx 4 ∫ dx sin x BiÕt d( sinx ± cosx ) π sin x ∫ dx ( n ∈ N * , n ≠ 1) n cos x sin xdx ∫ cos3 x − π ∫ cosxdx x + sin x + dx cos2 x BiÕt d(tgx) π π n BiÕt ∫ sin xdx −sinxdx BiÕt d(cosx) ∫ π 4 10 ∫ tg ( cos x − sin x ) sin x + cosx dx ∫ 2n sin x ( cosx ± sinx) dx ∫ ( cotg x + cotg x + cotg x + cotg x ) dx π dx cos2x dx + sin 2x π ∫ 2cosx − sin x dx ∫ sin x − 3cosx + ∫ BiÕt d ( a sin2 x ± bcos2 x ± c sin 2x ± d ) cos2x ∫ ( sin x + cosx ) dx ( sin 2x + 2cos4x ) dx cos2x − sin 4x (a ∓ b ± c) sin2xdx sin 2x sin 2x dx ∫ sin2 x + cos x sin2 x − sin xcosx + 5cos x Biết d(f(x)) với f(x) lμ hμm l−ợng giác bất kì nμo đó cos3 + = VD Chän f(x) = sinx + tgx ⇒ d ( f ( x ) ) = cosx + cos x cos2 x ∫ ª 0974.337.449 _ Lop10.com Th¸ng 12 – n¨m 2007 _ Trang 17 (19) 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 Nh− vËy ta cã thÓ mét bμi to¸n t×m nguyªn hμm nh− sau : ( sin x + tgx ) ( cos3 x + 1) ∫ dx cos2 x Để tăng độ khó bμi toán bạn có thể thực vμi phép biến đổi ví dụ : ( sin x + tgx ) ( cos3 x + 1) sin x (1 + cosx ) ( cos3 x + 1) ⎞ ⎛ = sin x (1 + cosx ) ⎜ + ⎟ cos x cos x cos3 x ⎠ ⎝ ⎞ ⎛ Từ đó ta có bμi toán tìm nguyên hμm : ∫ sin x (1 + cosx ) ⎜ + ⎟ dx cos3 x ⎠ ⎝ Dĩ nhiên để có bμi tìm nguyên hμm nhìn đẹp mắt lại phụ thuộc vμo việc chọn hμm f(x) vμ khả biến đổi l−ợng giác bạn ! 1 + = VD T«i chän hμm sè : f(x) = tgx – cotgx ⇒ d ( f ( x ) ) = , nh− vËy t«i cã thÓ mét bμi cos2 x sin2 x sin2 2x = to¸n nh×n “ t¹m ®−îc “ nh− sau : T×m hä nguyªn hμm : ∫ ( tgx - cotgx )2007 sin 2x dx Nếu thấy ch−a hμi lòng ta thử biến đổi tiếp xem ? cos x − sin2 x 2cos2x ( tgx - cotgx ) 22007 cos2007 2x = ⇒ = sin x.cosx sin 2x sin 2x sin2009 2x cos2007 2x dx Cã thÓ b¹n sÏ thÊy buån bμi to¸n nμy l¹i VËy b¹n sÏ cã mét bμi to¸n míi : T×m hä nguyªn hμm : ∫ sin 2009 2x cã c¸ch gi¶i ng¾n h¬n ®−êng chóng ta ®i ! Nh−ng phải tự an ủi mình : “ Thực trên mặt đất lμm gì có đ−ờng ” ☺ Chẳng lẽ chúng ta không thu lượm điều gì ? Nhưng tôi lại có suy nghĩ khác, biết đâu nhà viết sách lại xuất phát từ ý tưởng chúng ta …??? Hãy thử xét sang dạng toán khác : 2007 Ta cã : tgx − cot gx = C Tạo d(u(x)) để tính tích phân π VD TÝnh tÝch ph©n : dx ∫ cosx Râ rμng bμi to¸n kh«ng xuÊt hiÖn d¹ng : ∫ f ( u ( x ) )u'( x ) dx = ∫ f ( u )du Vậy để lμm đ−ợc bμi toán, ph−ơng pháp ta có thể nghĩ đến lμ tạo d( u(x)) nh− sau : π π π π 6 dx cosxdx d ( sin x ) 1 − sin x 1 ∫0 cosx = ∫0 cos2 x = ∫0 − sin2 x = ln + sin x = ln B¹n cã nghÜ r»ng m×nh còng cã kh¶ n¨ng s¸ng t¹o d¹ng to¸n nμy ! T¹o d(sinx) cosxdx dx ∫ sin xcosx sin2 x dx ∫ cosx T¹o d(cosx) dx ∫ sin xcosx tg x dx cosx cos2 xdx ∫ cos3x ∫ dx ∫ cos x ∫ dx sin xcosx −sinxdx dx ∫ sin x π cos3 x ∫π sin5 x dx ª 0974.337.449 _ Lop10.com Th¸ng 12 – n¨m 2007 _ Trang 18 (20) 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 dx ∫ ∫ sin x ( cos3 x − 1) π 4 sin3 x ∫ + cosx ∫ ( sin x ) π sin2 x dx + cos x ∫ tg xdx ∫ ∫ tg xdx ∫ − d(cotgx) π ∫ cotg xdx π dx sin x ∫ dx cos2 x T¹o d(tgx) T¹o dx sin xcos x d( tg ( cosx )3 dx sin2 x − sin xcosx − 3cos2 x ∫ ( sin x − 2cosx ) dx dx sin x ∫ ( cotg5x ) ∫ ( sin 5x )8 10 dx sin2 x − 2cos x dx dx ∫ sin 2n x 1 x dx < Phép đặt ẩn phụ t= tg > x cos2 2 dx dx ∫ ∫ 2cos3x + sin 3x sin x + cosx sin x − 5cosx sin x − cosx + dx ∫ ∫ sin x + 2cosx + 3 ( sin x + 4cosx ) T¹o dx x ) dx ∫ sin x + 5cosx + D s¸ng t¹o bμi tËp NÕu ®−îc phÐp hái, t«i sÏ hái r»ng b¹n cã c¶m thÊy nhµm ch¸n b¹n cø suèt ngµy «m lÊy mét cuèn s¸ch tham kh¶o vµ lµm hÕt bài tập này đến bài tập khác, mà đôi lúc bạn cảm giác khả giải toán mình không giỏi lên Còn tôi đam mê môn Toán từ t«i biÕt thÕ nµo lµ s¸ng t¹o B¹n cã muèn thö xem m×nh cã kh¶ n¨ng s¸ng t¹o hay kh«ng ? Dù khả sáng tạo bài tập đ−ợc xuất phát từ chất sơ đẳng, có thể bạn sáng tạo bài toán mà bạn đã bắt gặp sách nào đó nh−ng nó mang “ dáng dấp “ bạn Tôi mạn phép t− để cùng tham khảo cho “ vui “ ! Tôi lấy hμm số f(x) nμo đó mμ tôi thích, đạo hμm để tìm d(f(x)) h T«i chän : f ( x ) = sin4 x + cos4 x , f' ( x ) = ( sin3 xcosx − cos3 x sin x ) = 2.sin 2x ( sin2 x − cos x ) = − sin 4x π Một bμi toán đơn giản đ−ợc tạo : Tính sin4x ∫ sin x + cos xdx 4 Một bμi toán nhìn khá đẹp mắt, bạn đã gặp đâu ch−a ? Nếu gặp bμi toán nμy tr−ớc bạn biết sáng tạo bạn gi¶i quyÕt nã nh− thÕ nμo ? Để tăng khả “ đánh lừa trực giác “ bạn có thể tạo mẫu số thμnh hμm số hợp nμo đó quen thuộc , ví dụ : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : π ∫ π sin4x 4 sin x + cos x ª 0974.337.449 dx ∫ π sin4x ( sin x + cos x ) 4 _ Lop10.com 2007 dx sin4x ∫ cos ( sin x + cos x )dx 4 Th¸ng 12 – n¨m 2007 _ Trang 19 (21)