phép tính vi phân

Do đó ta không quan tâm việc hàm số có xác định tại a hay không.. • Chẳng hạn hàm f(x)=sinx/x.[r]

(1)

Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

CHƯƠNG 1

Định nghĩa hàm biến • ChoD, Elà tập tập số thực R.Hàm số flà

một quy tắc cho tương ứng phần tửxtrong tậpDvới phần tửf(x)trong tậpE

1

a f a

1 f

D f E

Định nghĩa hàm biến • D: miền xác định (domain)

• E: miền giá trị (range)

• x:biến độc lập (independent variable) • f(x): biến phụ thuộc (dependent variable)

Đồ thị hàm số • Cho hàm số:

• Đồ thị hàm f tập hợp tất điểm (x,y) thỏa y=f(x) với xD

• Ký hiệu đồ thị hàm f G(f) Ta có:

• Biểu diễn tập G(f) lên mặt phẳng Oxy ta đường (cong thẳng), đường gọi đồ thị hàm số f

:

f D E

,

G f x f x x D

Đồ thị hàm số • Đồ thị hàm số y=2x+x2

2

f

2

f

2

Đồ thị hàm số

domain mxd range

mgt y f x

0 x

(2)

Tiêu chuẩn đường thẳng đứng • Đường cong mặt phẳngOxylà đồ thị

hàm f khơng có đường thẳng đứng cắt đường congnhiều điểm

• Chú ý: đường thẳng đứng Oxy có dạng: x=a

Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

0 x

y

Đây đồ thị hàm biến

x a

Ví dụ

0 x

y

Đây đồ thị hàm biến

Hàm xác định khúc • Được định nghĩa khác tập

khác miền xác định

Ví dụ 1: Hàm giá trị tuyệt đối

Ví dụ 2:

,

???

,

x x

f x x mxd

x x

2

1 ,

???

,

x x

f x mxd

x x

Hàm xác định khúc

0 x

y

y x

,

x x

f x

x x

0

f

Hàm xác định khúc

0 x

y

1

2

y x

1

y x

0

1

2

f f f

2

1 ,

,

x x f x

x x

(3)

Tính đối xứng

• Hàm số chẵn: f hàm chẵn miền D nếu:

• Hàm số lẻ: f hàm lẻ miền D nếu:

• Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy trục đối xứng

• Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O tâm đối xứng

à

x D x D v f x f x

à

x D x D v f x f x

Ví dụ

• Hàm số sau chẵn, lẻ hay khơng chẵn khơng lẻ?

• Giải:

• Vậy hàm f(x) hàm lẻ

5

2

) )

a f x x x b g x x

c h x x x d k x x

5 5

x x x x f x

f x

Ví dụ

b) Ta có:

Vậy g hàm chẵn c)

Vậy hàm h không chẵn, không lẻ

4 4

1 x x g

g x x

2

2 2

h x x x

x

h x x x

h x h x h x h x

x

Ví dụ

d) Tập xác định:

Vì:

Nên hàm số cho có tập xác định khơng đối xứng Vậy hàm số không chẵn, không lẻ

;

D

4 D ; mà D

Hàm số tăng, giảm • Hàm số f tăng khoảng I nếu:

• Hàm số f giảm khoảng I nếu:

• Đồ thị hàm số tăng lên từ trái sang phải

• Đồ thị hàm số giảm xuống từ trái sang phải

1 2 , 1,

x x f x f x x x I

1 2 , 1,

x x f x f x x x I

Ví dụ y f x

b

a0 c x

y

d

(4)

Hàm số ngược

• Định nghĩa hàm 1-1:Hàm số f gọi hàm 1-1 khơng nhận giá trị lần trở lên Nghĩa là:

• Tiêu chuẩn đường nằm ngang:Hàm f hàm 1-1 đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều điểm

1 ,

f x f x x x

Ví dụ

• Hàm f hàm 1-1; hàm g không hàm 1-1

1

4

10 21

5

1

4

3 15

f

g

Ví dụ • Hàm số sau có hàm 1-1?

• Ta có:

• Theo định nghĩa f hàm 1-1

3 f x x

3

1 2

x x x x f x f x

Ví dụ • Đồ thị hàm số

f(x)=x3

• Ta thấy đường nằm ngang cắt đồ thị điểm Khơng có đường cắt nhiều điểm Vậy f hàm 1-1

0

x y

Ví dụ • Hàm số: g(x)=x2có phải hàm 1-1?

• Đáp số:

Vì 1-1 g(1)=1=g(-1) nên hàm cho khơng hàm 1-1

Tuy nhiên xét riêng miền [0, +) hàm g hàm 1-1

Vì: 2

1 2

1, 0;

x x x x g x g x

x x

Ví dụ • Xét tồn

trục số g khơng 1-1

• Xét miền [0; +) hàm g 1-1

0 x

(5)

Hàm số ngược Định nghĩa:

• Cho f hàm 1-1, có miền xác định A miền giá trị B

• Hàm ngược hàm f kí hiệu f-1, có miền xác

định B, miền giá trị A

• Được xác định theo hệ thức sau:

1 ,

f y x f x y y B

Ví dụ • Hàm số ngược hàm f

1

4

10 21

5 f

1 10 1

f

4

10 21

5

1 10

f

1

f

Chú ý

• Miền xác định f-1= miền giá trị f.

• Miền giá trị f-1= miền xác định f.

• Ta thường ký hiệu y biến phụ thuộc x biến độc lập nên hàm số ngược thường viết dạng:

1

y f x f y x

Ví dụ • Hàm ngược hàm:

• Là:

• Vì:

3

f x x

3

1 1/3

f x x x

3

1/3 1/3

f y f x x x

Cách tìm hàm ngược

1 Viết:

2 Giải phương trình tìm x theo y (nếu được)

3 Hốn đổi x y Ta có kết quả:

1

y f x

y f x

Ví dụ • Tìm hàm ngược hàm:

• Giải:

• Hốn đổi:

• Vậy hàm ngược:

3 2

f x x

3 2 2 2

y x x y x y

3 2

y x

3

1 2

(6)

Ví dụ • Tìm hàm ngược của:

• Chú ý: miền cho g hàm 1-1 nên có hàm ngược

• Ta có:

• Hốn đổi: Vậy hàm ngược:

2, 0

g x x x

2

,

y x x x y x y

y x x g x x 0 x

Chú ý • Từ định nghĩa ta có:

• Đồ thị hàm ngược f-1đối xứngvới hàm f qua

đường thẳng y=x (phân giác góc phần tư thứ nhất)

1

) ,

i f f x x x A

ii f f x x x B

Đồ thị

Đồ thị hàm ngược

f-1đối xứngvới

hàmf quađường thẳngy=x(phân giác góc phần tư thứ nhất)

Các phép tốn hàm số • Cho hai hàm số f, g có miền xác định A, B Khi đó: • Tổng hiệu f g:

• Tích f g:

• Thương f g:

; :

f g x f x g x mxd A B

, :

f g x f x g x mxd A B

:

f x

f x mxd x A B g x

g g x

Hàm số hợp • Cho hai hàm:

• Thỏa:

• Khi tồn hàm hợp:

• Ta có:

: :

f X R g Y R

:

o

f g X Z

h x f g x f g x

g Y X

o

f g h

Ví dụ • Cho

• Ta có:

2 3;

g x x f x x

2

3

o o

f g x f g x f x x

(7)

Ví dụ • Cho hai hàm số:

• Xác định miền xác định hàm sau:

;

f x x g x x

) ; ; ;

) o ; o ; o ; o f a f g f g fg

g b f g g f f f g g

Giải • Ta có:

• Vậy:

: 0;

f x x mxd A

2 : ;2

g x x mxd B

2 : 0;2

f g x x x mxd A B

2 : 0;2

f g x x x mxd A B

Giải • Vậy:

: 0;2

fg x x x mxd A B

2

: \ 0;2 \ 0;2

f x

x

g x

mxd A B x g x

4

0 2

: ;

2

x x

f g x f g x f x

mxd

Giải

0

: : 0;

2

g f x g f x g

x

DK x mx

x

d

x

4

: 0;

x

f f x f f x f x x

mxd

Giải

0 2

g g x g g x g x x

2

: 2

2

: 2;2

x x

DK x

x x

mxd

Ví dụ • Cho hàm số:

• Tìm hàm f, g, h cho:

• Đặt:

• Khi đó:

2

cos

F x x

0 F f g h

2

9, cos ,

h x x g x x f x x

0 0

2 2

9

9 cos

cos cos

f g h x f g h x f g x

f g x f x

(8)

CÁC LOẠI

HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

Hàm tuyến tính • Ta nói y hàm tuyến tính x nếu:

• Đồ thị hàm y đường thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b, hệ số góc a

y ax b

Đa thức • Hàm P gọi đa thức nếu:

• a0,a1, …, an: hệ số đa thức

• n: bậc đa thức (an0)

• Miền xác định: D=R

1

n n

P x a x a x a x a x a

n

Hàm hữu tỷ • Dạng:

• Trong P, Q đa thức

• Miền xác định: tập giá trị x thỏa Q(x)0

• Ví dụ:

P x f x

Q x

5

2

3 ; : 3

9

x x

f x mxd x R x

x

Hàm đại số

• Sử dụng phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, lấy hàm đa thức ta hàm đại số

• Ví dụ:

2

3

2

1 2 4

2

f x x x

x

g x x x x

x x

Hàm lũy thừa • Dạng:

• >0 : hàm số tăng

• <0 : hàm sốgiảm

• Đồ thị hàm số ln qua điểm (1,1) quagốc (0,0) vàkhông quagốc nếu<0

, ,

(9)

Hàm lũy thừa

Giá trị của Miền xác định

Z * \

Q 0;

\

hay * 0;

• Miền xác định:tùy thuộc vào số mũ

Hàm số mũ • Dạng:

• Miền xác định:D=R • Miền giá trị: (0; +) • Nếua>1: hàm sốtăng

• Nếu0<a<1: hàm sốgiảm

• Đồ thị hàm số ln qua điểm (0,1), nằm phía vàtiệm cận với trục hoành

,( 0, 1)

x

y a a a

Đồ thị hàm số 2xvà (1/3)x

Hàm số mũ • Tính chất:

1

, , ;

x y x y x

x y x

y x

y x x y

x x x

m n m n

i a a a

a

ii a a

a a

iii a a

iv a b a b

v a a m n N n

Hàm logarit số a

• Dạng:

• Miền xác địnhD= (0; +),miền giá trị: R • Là hàmsố ngược hàm số mũy=ax.

• Logarit với số e (e≈2.71828) gọi logarit số tự nhiên

log ,a 0,

y x a a

log y

a

y x x a

logex lnx

(10)

Đồ thị log2x log1/3x Hàm số tăng a>1 giảm 0<a<1

Hàm logarit • Tính chất:

log

log ( ) log log

log log log

log ( ) log

log log log a

a a a

a a

x

a a b

i x y x y

x

ii x y

y

iii x x

iv x a

v c b c

Hàm logarit • Tính giá trị sau:

• Giải:

2 2 10

) log 80 log ? )log 10.log

a b

4

2 2 2

80

)log 80 log log log 16 log

5

a

1/2

2 10

10

0

2

)log 10.log log 10 log

1log 0.log 4 1log 4

2

b

Hàm lượng giác • Hàm sin, cos:

• Tập xác địnhR, • Tập giá trị [-1, 1] • Tuần hoàn với chu kỳ 2π

sin ; cos

y x y x

sin sin ,

cos cos ,

x k x k Z

Hàm lượng giác • Đồ thị hàm

sin x cosx [-2; 2]

Hàm lượng giác • Hàm tan:

• Điều kiện xác định:

• Tập giá trị làR

• Tăng khoảng:

• Tuần hồn với chu kỳπ tan

y x

2

x k

( , )

2 k k

(11)

Đồ thị hàm tan(x)

4 Hàm lượng giác • Hàm cot:

• Điều kiện xác định:

• Tập giá trị làR

• Tăng khoảng:

• Tuần hồn với chu kỳπ cot

y x

x k

( ,k k )

cot x k cot ,x k Z

Quan hệ hàm lượng giác • Ta hay dùng cơng thức sau:

• Sinh viên tự ơn lại kiến thức lượng giác

2

sin

) sin cos ) tan

cos cos

) cot ) tan cot

sin

1

) tan ) cot

cos sin

x

i x x ii x

x x

iii x iv x x

x

v x vi x

x x

Hàm arcsinx • Đồ thị hàm sinx [-;]

• Đồ thị y=sinx [-/2;/2]

Hàm lượng giác ngược

1 Hàm arcsin: (đọc ác – sin) hay sin-1

Là hàm ngược hàm y=sin(x)

Tập xác định:[-1,1] Tập giá trị: Là hàm lẻ, tăng

1

arcsin sin

y x x

, 2

arcsin sin

2

y x x y y

Hàm arcsinx • Đồ thị hàm arcsin x:

(12)

Đồ thị hàm sin(x) arcsin(x)

Ví dụ • Tính:

• Giải:

1 1

)sin ) tan arcsin

2

a b

1 1

sin ì sin ;

2 v v 2

Ví dụ • Tính:

• Đặt:

• Vậy:

1 ) tan arcsin

3

b

1

arcsin sin

3 2

x x v x

1

tan arcsin tan

3 x 2 2

Ví dụ • Tìm

• Giải:

1

)sin sin )sin sin )sin sin

6

a b c

1

) ; sin sin

6 2 6

a

Ví dụ • Ta có:

• Tính trực tiếp:

1

7 7

; sin sin

6 2 6

1 1

sin sin sin

6

ì sin ;

6 2

v v

2 Hàm arccos: (đọc ác – cô sin) hay cos-1

Là hàm ngược hàm y=cos(x)

Tập xác định:[-1,1] Tập giá trị: [0;] Là hàm giảm

1

arccos cos

y x x

arccos cos , 0

(13)

Hàm arccos x y=cosx miền [0; 2]

y=cosx miền [0; 2]

Hàm arccos(x) cos(x)

3 Hàm arctan: (đọc ác – tang) Là hàm ngược hàm y=tan(x)

Là hàm lẻ, tăng Tập xác định: R Tập giá trị:

1

arctan tan

y x x

/ 2; /

arctan tan ,

2

y x x y y

Ví dụ • Đơn giản biểu thức:

• Ta có:

1 cos tan x

1

tan tan ,

2

y x x y y

2

1

1 tan cos

cos tan

1

cos

1 tan

y y

y

y x

4 Hàm arccot: (đọc ác – cô tang) Là hàm ngược hàm y=cot(x)

Tập xác định: R Tập giá trị: Là hàm giảm

1

arccot cot

y x x

0,

arccot cot ,

y x x y y

Hàm siêu việt

• Các hàm hàm đại số gọi hàm siêu việt

(14)

Một số hàm phân tích Kinh tế

• Hàm sản xuất: Q=Q(L)

• Hàm doanh thu: R=R(Q)

• Hàm chi phí: C=C(Q)

• Hàm lợi nhuận: π= π(Q)=R(Q)-C(Q)

• Hàm cung: Qs=S(p), tăng theo p

• Hàm cầu: Qd=D(p), giảm theo p

• Ghi chú: L lao động; Q sản lượng; p giá

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ • Giới hạn dãy số

• Giới hạn hàm số

• Tính chất

• Cơng thức giới hạn

• Vơ lớn

• Vơ bé

• Ngắt bỏ vơ bé tương đương

Dãy số

• Dãy số: hàm số xác định tập số tự nhiên khác

• Ta thường ký hiệu dãy số (un)

• ungọi số hạng thứ n dãy *

:

u N R

n u n

Dãy số • Cho dãy số:

• Ta có:

• Hỏi:

• Khi n lớn giá trị dãy số bao nhiêu?

1

2

n u n

n

1

1 2; 1; 4;

2

1

u u u

100 ? 999 ? 9999999 ?

u u u

Dãy số • 10 giá trị đầu dãy:

n un

1

2

3 0.8

4 0.714285714 0.666666667 0.636363636 0.615384615

8 0.6

9 0.588235294 10 0.578947368

• Các giá trị tiếp theo:

n un

100 0.507537688 101 0.507462687 9999 0.500075011 10000 0.500075004 10000000 0.500000075 100000000 0.500000008 1000000000 0.500000001 10^9

Dãy số • Nhận xét:

• Giá trị dãy ngày gần với số0.5

• Khi n lớn chênh lệch dãy số và0.5

càng nhỏ (tại số hạng thứ tỷ chênh lệch 10 -9).

• Độ chênh lệch nhỏ tăng n lên có thểnhỏ tùy ýmiễn đủ lớn • Vậy ta nói giới hạn dãy số là0.5.

1

2

n u n

(15)

Định nghĩa giới hạn dãy số • Dãy số (un) có giới hạn a nếu:

• Chênh lệch(un) a có thểnhỏ tùy ýkhin đủ lớn

• Ký hiệu:

0 0

0, n :n n un a

lim lim

n

n n

u a hay u a

hay u a

nhỏ tùy ý n đủ lớn Chênh lệch

Ví dụ • Chứng minh:

• Bước Lấy>0

• Bước Lập hiệu:

• Bước Tìm điều kiện n để:(nếu có)

1

lim 0,

2

n

n n

n

u a

n

u a

Ví dụ

• Bước Chọn n0, viết lại dạng định nghĩa

và kết luận

• Giải

• Với mọi>0 Ta có: n

n

u a

n n

1

2 2

3

2

Ví dụ • Chọn

• Ta có:

Vậy theo định nghĩa:

0

3

2

n

0

3 1

0, :

2 n

n n n u

1 lim

2

n n u

Ví dụ

• Chứng minh giới hạn sau định nghĩa:

lim

1

n

n n

Hệ quả

• Số a khơng giới hạn dãy (un) nếu:

• Tồn tại>0 cho với n0đều tồn n1>n0

để chênh lệch un1và a lớn hơn

• Nói cách khác tồn khoảng cách dãy (un) a Độ chênh lệch (un) a

không thể nhỏ tùy ý

1

0

(16)

Giới hạn vô cực dãy số. • Ta nói dãy (un) tiến đến +khi khi:

• (un) lớn số dương tùy ý n đủ lớn

• Ký hiệu:

0

0, : n

A n n n u A

lim n

n u

Giới hạn vô cực dãy số. • Ta nói dãy (un) tiến đến -khi khi:

• (un) nhỏ số âm tùy ý n đủ lớn

• Ký hiệu:

0

0, : n

A n n n u A

lim n

n u

Tính chất

• Giới hạn dãy số có

• Cho lim ; limn n tồn hữu hạn Khi đó: n u n v

) lim lim lim

) lim lim lim lim

) lim , lim

lim ) lim lim

n n n n

n n n

n n n n

n n n

n

n n

n n n

n n

a u v u v

b u v u v

u u

c v

v v

d u u

Tính chất

• Định lý giới hạn kẹp: Cho ba dãy số thỏa:

• Nếu:

lim

) lim lim , lim

) lim lim

n

n n v

v

n n n

n n

e u u u

f u u

0

n n n

u v z n n

lim n lim n

n u n z a nlimvn a

Minh họa

0

n n n

u v z n n

a

Ví dụ • Tìm giới hạn dãy số:

• Ta có:

• Vậy:

2

sin

) )

1

n

n n n

n

a u b v

n n

2

sin

0

1

n

n u

n n

lim n 0 lim n 0

(17)

Công thức giới hạn

1

6) lim 0 7) lim 1,

ln ln

8) lim 0 9) lim

n p

n n

p p

n

n n

a n p

n n n n e 1) lim 2) lim 0 n n C C n

0 ,

3) lim , n n q q q 4) lim

n

n n e 5) lim

n a n a e n

Các dạng vơ định • Có dạng vơ định:

• Quy tắc cần nhớ:

0

; ; ; ; ; ;

0

ln n n an n! , 0;a

Tìm giới hạn dãy số

• Biến đổi đại số (nhân liên hợp, đẳng thức …)

• Chia tử mẫu cho biểu thức khác (thường chia cho nhay an…)

• Dùng cơng thức giới hạn dãy số e

• Dùng định lý kẹp

Ví dụ • Tìm giới hạn sau:

2

2 2

3

2

) lim

1 1

) lim

1.2 2.3

1

) lim ) lim 1 n n n n

a n n

b n n n c n n n d n n Ví dụ • Tìm giới hạn sau:

1 1 1 ) lim 3 ) lim 5.2 3.5 ) lim 100.2 2.5 ) lim n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b c d Ví dụ • Tìm giới hạn sau:

2 3 2 ) lim

(18)

Ví dụ • Tìm giới hạn sau:

2

sin ) lim

1 arctan ) lim

sin cos ) lim

1.sin ! ) lim

n

n n

a n

n b

n

n n

c

n

n n

d

n

Giới hạn hàm số • Để có nhìn trực

quan giới hạn hàm số ta xét ví dụ sau

• Cho hàm số:

2 2

f x x x

Giới hạn hàm số

• Bảng giá trị hàm số x gần (nhưng không 2)

• Ta có: x f(x) x f(x)

1

1.5 2.75 2.5 5.75 1.75 3.3125 2.2 4.64 1.9 3.71 2.1 4.31 1.95 3.8525 2.05 4.1525 1.99 3.9701 2.01 4.0301 1.995 3.985025 2.005 4.015025 1.999 3.997001 2.001 4.003001

Giới hạn hàm số

• Từ bảng giá trị đồ thị ta thấy Khix dần

(cả phía) giá trị củaf(x) dần Có nghĩa giá trị f(x) có thểgần cách tùy ýnếu ta chọnx đủ gần

• Ta nói: Giới hạn hàm số f(x)=x2-x+4khi x

dần đến

2

lim

x x x

Định nghĩa

• Giới hạn hàm sốf(x)khix dần đến abằngL

nếu giá trị củaf(x)có thểgần Lmột cáchtùy ý lấy giá trị x đủ gần a x khơng a

• Ký hiệu:

• Dạng tốn học:

lim

x a f x L

lim

0, 0, :0

x af x L

x D x a f x L

Ví dụ • CMR:

• B1 Lấy>0 tùy ý

• B2 Lập hiệu:

• B3.Khi x gần Từ bất phương trình giải:

2

lim

x x x

2

4

f x x x

2 ???

(19)

Ví dụ • B3.Vì x gần nên ta giả sử:

• Ta có:

• Vậy:

1;

x x

2 2 2 1 4 2

x x x x x

2

2 2

4 x

x x x

Ví dụ • B4 Viết lại theo định nghĩa:

• Kết luận:

2

0, :

4 x x x

2

lim

x x x

Định nghĩa • Ta quan tâm đến giá trị

hàm số f(x) x gần a xa Do ta khơng quan tâm việc hàm số có xác định a hay khơng

• Chẳng hạn hàm f(x)=sinx/x

khơng xác định Nhưng ta có:

x (sinx)/x

1 0.841470985

0.5 0.958851077

0.4 0.973545856

0.3 0.985067356

0.2 0.993346654

0.1 0.998334166

0.01 0.999983333

0.005 0.999995833 0.001 0.999999833

sin

lim

x

x x

Giới hạn bên trái

• Định nghĩa:Giới hạn hàm số f(x) x dần đến a từbên tráibằng L giá trị hàm số

f(x)có thểgần Lmột cáchtùy ýkhi giá trị củax đủ gần a x nhỏ a

• Ký hiệu: lim

x a f x L

lim

0, 0, :0

x a f x L

x D a x f x L

L f x

y f x

0 x

x y

a

lim

x a f x L

Giới hạn bên phải

• Định nghĩa:Giới hạn hàm số f(x) x dần đến a từbên phảibằng L giá trị hàm số

f(x)có thểgần Lmột cáchtùy ýkhi giá trị củax đủ gần a x lớn a

• Ký hiệu: lim

x a f x L

lim

0, 0, :0

x a f x L

(20)

L

f x y f x

0

x

x y

a

lim

x a f x L

Định lý

lim lim

lim x a x a

x a

f x L

• Hàm số f có giới hạn L x tiến tới a khi:

• f có giới hạn trái giới hạn phải a

• Hai giới hạn

• Bằng L

Luật tính giới hạn

• Cho giới hạn sau tồn hữu hạn:

• Ta có:

lim ; lim

x af x x ag x

1.lim 2.lim 3.lim n n

x aC C x ax a x ax a

5 lim lim lim

x a f x g x x a f x x ag x

4 lim lim lim

x a f x g x x a f x x ag x

Luật tính giới hạn (tt) lim

6 lim lim

lim x a

x a x a

x a

f x f x

g x

g x g x

9 limn n x a x a limn n lim

x a f x x af x

7 lim n lim n

x a f x x af x

Với điều kiện biểu thức có nghĩa

Tính chất

• Nếu f đa thức hay hàm hữu tỷ a nằm tập xác định f thì:

• Nếu tồn giới hạn: thì:

lim

x af x f a ,

f x g x x a

lim

x ag x L

lim lim

x af x x ag x L

Ví dụ • Tính:

• Giải:

2

)lim ) lim

5

x x

x

a x x b

x

2

) lim 3.2

x

a x x

2

) lim

5 11

x

x b

(21)

Ví dụ • Tính:

• Ta có:

• Mà:

• Vậy:

2

4

lim ???

2 x

x x

2 4 2 2

2,

2

x x

x

x x

2

lim

x x

2

4

lim lim

2

x x

x

x x

Giới hạn vơ cực • Xét:

• Khi x gần 0, f(x) lớn cách tùy ý f(x) khơng dần đến số

• Ta nói: giới hạn hàm số x=0 khơng tồn viết:

2 f x

x

2

1 lim x x

Giới hạn vơ cực

• Cho hàm f xác định phía điểm a, trừ điểm a

• Nếu giá trị f(x) lớn tùy ý x đủ gần a, xa Ta nói:

• Nếu giá trị f(x) nhỏ tùy ý x đủ gần a, xa

lim

x a f x

lim

x a f x

Giới hạn vô cực

0

x

y x a

lim x a f x

Định lý kẹp

• Nếu x gần a (có thể trừ điểm a) và:

• Thì:

f x g x h x

lim lim

x af x x ah x L

lim

x ag x L

Công thức giới hạn

sin

1 lim

x

x x

1

3 lim x

x x e

0

1

7 lim

x x

e x

1

5 lim

x x

x

0 tan

2.lim

x

x x

1 lim

x

x x e

2

1 cos

6.lim

2 x

x x

0 ln

8.lim

x

(22)

Cơng thức giới hạn

arcsin

9 lim

x

x x

11 lim arctan

x x

13 lim arcco t

x x arctan 10.lim x x x

12 lim arctan

x x

14 lim arcco t

x x

Ví dụ • Nhận dạng tính giới hạn sau

4

0

2

0

2

lim

2

lim

sin lim sin ln ln lim lim x x x x x x x x a x

b x x

x c

x

x a a

d x e e e x 0 0 0 0

Ví dụ • Nhận dạng tính giới hạn:

1/

2

lim

ln

lim

lim tan

2 x x

x e

x

a x e

x b

x e

c x x

.0 0

Ví dụ • Nhận dạng tính giới hạn:

2 2 2 2 lim cos lim 5 lim x x x x x x a x x x b x x c x 1

Vô bé

• Định nghĩa: hàm số f(x) gọi vơ bé (VCB) xa nếu:

• Ví dụ:

sinx VCB x0 vì: 1/x VCB xvì:

lim

x af x

0

lim sin

x x

1

lim

x x

Tính chất

1 Tổng hữu hạn VCB VCB Tích hai VCB VCB

3 Tích VCB hàm bị chặn VCB

(23)

Định nghĩa • Chof(x); g(x)là hai VCB khixa Giả sử:

1 Nếuk=0thìf(x) làVCB bậc caohơng(x)

Ký hiệu: f(x)=0(g(x))

2 Nếukhữu hạn, khác ta nóif(x)vàg(x)là haiVCB cấp

3 Nếuk=1thìf(x)vàg(x)là haiVCB tương đương

Ký hiệu: f(x) ~ g(x)

4 Nếuk=ta nóif(x)làVCB bậc thấphơng(x) lim

x a f x

k g x

Các VCB tương đương x0

2

1) sin 2) tan

3)arcsin 4)arctan

1

5) cos 6) 1

2

7) 8) ln

1

9) ln 10) log

ln

x x

a

x x x x

e x a x a

x x x x

a

• Đây VCB khix0

Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao

• Các VCBbậc caobị ngắt bỏ

• Giới hạn có dạng 0/0

• Các dạng khác ta biến đổi để xuất dạng 0/0

Tổng hữu hạn VCB lim

Tổng hữu hạn VCB

x a

VCB bậc tử lim

VCB ba

thấp thấp nha

äc át ẫum

x a

Ví dụ • Tính:

• Ta có:

• Vậy: x x I x 1 lim arctan

x x x khi x

x x

1/5

51 1 1 1

0 arctan x x x x I x x 0

1 5

lim lim

arctan

Ví dụ • Tính:

• Ta có:

• Vậy:

x

x x

J

x2 3x

0

ln tan

lim

sin

x x x x x

khi x

x x

2

3

ln tan tan

0 sin

x x x

x x x x

I

x2 3x x2 x3 x2

0 0

ln tan

lim lim lim

sin Ví dụ • Tính: x x x x x x x x x e x K x e e L x e M x e x N x x 2 sin 1 cos lim sin lim

ln

sin

lim

ln

1 cos 1

lim

(24)

Vô lớn

• Định nghĩa: hàm số f(x) gọi vơ lớn (VCL) xa nếu:

• Ví dụ:

x a f x hay lim

) ; ;cot laø VCL sin

) tan laø VCL

i x x

x x

ii x x hay x

1

0

2

Định nghĩa • Chof(x); g(x)là hai VCL khixa Giả sử:

1 Nếu k=thìf(x) làVCL bậc caohơng(x) Nếukhữu hạn, khác ta nóif(x)vàg(x)là haiVCL

cùng cấp

3 Nếuk=1thìf(x)vàg(x)là haiVCL tương đương

Ký hiệu: f(x) ~ g(x)

lim

x a f x

k g x

Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp

• Các VCLbậc thấpbị ngắt bỏ

• Giới hạn có dạng/

Tổng hữu hạn VCL lim

Tổng hữu hạn VCL

x a

VCL bậc tử lim

VCL ba

cao nhaát cao nhaá

äc t ẫum

x a

Ví dụ • Tính:

• Ta có:

• Vậy:

x

x x x

I

x x

2

4

lim

4

x x x

khi x

x x

2

2 4

2

4 3

lim lim

2

x x

x x x x x x

I

x x

Ví dụ

x x

x x x

e e x

J

x x x

ln ln

lim lim lim

x

x x

3 3

3

lim x

x x x

K

x x

3 2

3

3 32

lim

2

x

x x 3

3

lim

Liên hệ VCB VCL • Định lý: Xét q trình xa:

• Nếu f(x) VCB thì: VCL

• Nếu f(x) VCL thì: VCB

g x f x

1

g x f x

(25)

Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Chú ý thay hàm tương đương

• Cho f(x)~f1(x) g(x)~g1(x)

• Khi đó:

f x g x f x1 g x1 f x1 g x1

Thay sai

x x

x x x

x

x3

0

tan sin

lim lim

x x

x x x

x

3

0

tan sin tan

lim lim

x x

x

x x x

x3 x3

0

tan sin sin

lim lim

x x

x x x x

2

0 2

1 cos cos

lim lim

sin

Liên tục • Liên tục điểm

• Liên tục trái

• Liên tục phải

• Điểm gián đoạn

• Liên tục khoảng

Hàm số liên tục điểm

• Định nghĩa 1.Hàm y=f(x) gọi liên tục x0nếu

xác định điểm và:

• Định nghĩa 2.Hàm số f(x) liên tục x0khi khi: x x0f x f x0

lim

Nếu hàm không liên tục x0ta nói hàm gián

đoạn điểm

x x0 f x f x0

0, :

Liên tục trái – Liên tục phải • Hàm số f(x) liên tục trái x0:

• Hàm số f(x) liên tục phải x0:

• Định lý:f(x) liên tục x0khi f(x) liên

tục trái phải x0

x x0 f x f x0 lim

xlimx0 f x f x0

Điểm gián đoạn • Cho x0là điểm gián đoạn đồ thị hàm số

1 Điểm gián đoạn loại 1:

• Tồn hữu hạn:

2 Điểm gián đoạn loại 2:nếu không điểm gián đoạn loại

- Một hai giới hạn không tồn - Hoặc tồn bằng

x x0 f x x x0 f x lim ; lim

điểm khử điểm nhảy

ta noùi ta nói

x x x x

f x f x x

0

lim lim

(26)

Liên tục khoảng

• f liên tục trên(a;b)nếu f liên tục tạimọi điểm thuộc(a;b)

• f liên tục trên[a;b)nếu f liên tục điểm thuộc(a;b) vàliên tục phải a

• f liên tục trên(a;b]nếu f liên tục điểm thuộc(a;b) vàliên tục trái b

• f liên tục trên[a;b]nếu f liên tục điểm thuộc(a;b); liên tụcphải avà liên tụctrái b

Tính chất hàm số liên tục • Cho f(x) g(x) hàm liên tục x0 Khi đó:

• Cho f(x), g(x) hai hàm liên tục [a,b] Khi đó:

liên tục Nếu liên tục

0

; ;

i f x f x g x f x g x x

f x

ii g x thì x

g x

liên tục Nếu liên tục

liên tục

; ; ;

;

i f x f x g x f x g x a b

f x

ii g x thì a b

g x

iii f x a b

Hàm sơ cấp • Hàm sơ cấp bản:

• Hàm sơ cấp:là hàm thu từ hàm sơ cấp cách sử dụng hữu hạn phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, khai phép hợp

1

3

4 log

5 sin ; cos ; tan ; cot

6 arcsin ; arccos ; arctan ; arc cot

x

a

y C y x

y a a

y x a

y x y x y x y x

y x y x

Sự liên tục hàm sơ cấp Định lý.Hàm sơ cấp liên tục miền xác định

của

Ví dụ: Tìm khoảng liên tục hàm số:

) ;2 2;

) 3;

) 1;

a b c

2

3

)

2

)

) ln

3 , 1

) 1

2 ,

x x

a f x x

b g x x

c h x x

x x x

d k x x

x

) ;

: ;1 1;

k d D Lien tuc

Kiểm tra 30’ 1.Tìm tập xác định hàm số: Tìm giới hạn sau: a)

2

3

0

ln sin

2

lim

2

cos ) lim

ln sin

1

) lim

arctan sin n

n x x

x

f x x

n n

e x

b

x x c