Chứng minh rằng với mọi cách tô màu trên các điểm chỉ dùng 3 màu: xanh, đỏ, vàng và mọi cách tô màu trên các đoạn thẳng nối giữa các cặp điểm chỉ dùng hai màu: tím hoặc nâu ta đều tìm đư[r]
(1)Dịch Vụ Toán Học 32 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Đại học KHTN Hà Nội (kèm theo đáp án) Môn Toán WWW.VNMATH.COM Lop10.com (2) About VnMath.Com Đại số Giải tích vnMath.com Giáo án Dịch vụ Toán học các môn Sách info@vnmath.com Hình học Các loại Olympic khác Đề thi Chuyên đề Đáp án Toán Luyện thi Đại học Thi lớp 10 Đại học Bồi dưỡng Cao học HSG 1 Tài liệu tìm thấy trên mạng và không rõ tác giả Lop10.com (3) Chương 1.1 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1989 (cho thí sinh) Bài Cho đa thức P (x) = ax2 + bx + c Biết với giá trị nguyên x, giá trị đa thức P (x) là số chính phương (nghĩa là bình phương số nguyên) Chứng minh các hệ số a, b, c là số nguyên, và b là số chẵn Bài Tìm giá trị bé biểu thức a2 + ab + b2 − 3a − 3b + 1989 Giá trị bé đó đạt giá trị nào a và b? Bài Chứng minh 52 số nguyên dương luôn luôn có thể tìm số cho tổng hiệu số đó chia hết cho 100 [ = Bài Cho tam giác ABC Về phía ngoài tam giác vẽ các góc BAx ◦ [ = 21 Hạ BE vuông góc với Ax (E nằm trên Ax), CF vuông góc với CAy Ay (F nằm trên Ay M là trung điểm BC Chứng minh tam giác MEF là tam giác cân Tính các góc tam giác MEF Bài Có học sinh vừa lớp A vừa lớp B thành hàng dọc, đứng cách Chứng minh có ít học sinh đứng cách hai em cùng lớp với mình khoảng cách Lop10.com www.vnmath.com Đề thi tuyển sinh lớp 10 (4) Chương Đề thi tuyển sinh lớp 10 1.2 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1989 (cho thí sinh thí sinh chuyên lý) Bài Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức sau là số nguyên −2x2 + x + 36 2x + Bài Tìm giá trị bé biểu thức a2 + ab + b2 − 3a − 3b + Chứng minh với m nguyên dương, biểu thức m2 + m + không phải là số chính phương (nghĩa là không thể bình phương số nguyên) Chứng minh với m nguyên dương, m(m + 1) không thể tích bốn số nguyên liên tiếp Bài Cho tam giác ABC vuông cân, góc A = 90◦ CM là trung tuyến (M nằm trên AB) Từ A vẽ đường vuông góc với MC cắt BC H Tính tỷ số BH HC Bài Có thành phố, đó thành phố thì có ít thành phố liên lạc với Chứng minh thành phố nói trên tồn thành phố liên lạc với 1.3 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1989 (cho thí sinh chuyên toán - tin học) Bài Phân tích biểu thức sau thành nhân tử a4 + b4 + c4 − 2a2 b2 − ab2c2 − 2c2 a2 Bài Cho biết x x2 +x+1 = − 23 Hãy tính giá trị biểu thức x2 x4 + x2 + Lop10.com www.vnmath.com Giá trị bé đó đạt giá trị nào a và b? Bài (5) 1.4 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1991 (cho thí sinh) Tìm giá trị lớn biểu thức x2 x4 + x2 + Giá trị lớn đó đạt giá trị nào x Bài Cho biểu thức P (n) = an + bn + c, đó a, b, c là số nguyên dương Chứng minh với giá trị nguyên dương n, P (n) luôn chia hết cho m (m là số nguyên dương cố định), thì b2 phải chia hết cho m Với ví dụ sau đây hãy chứng tỏ không thể suy b chia hết cho m Bài Cho đa giác lồi sáu cạnh ABCDEF.M, I, L, K, N, H là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, F A Chứng minh các trọng tâm hai tam giác MNL và HIK trùng Bài Giả sử trường có n lớp ta ký hiệu am là số học sinh lớp thứ m, dk là số lớp đó lớp có ít k học sinh, M là số học sinh lớp đông Chứng minh rằng: a1 + a2 + · · · + an = d1 + d2 + · · · + dM a21 + a22 + · · · + a2n = d1 + 3d2 + 5d3 + · · · + (2k − 1)dk + · · · + (2M − 1)dM 1.4 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1991 (cho thí sinh) Bài 1 Giải và biện luận phương trình √ √ a+x+ a−x √ √ √ = b a+x− a−x Trong đó a, b là các số dương đã cho Cho phương trình x2 + ax + b + = Trong đó a, b ∈ Z và b 6= −1 Chứng minh phương trình có hai nghiệm là số nguyên thì a2 + b2 là hợp số Lop10.com www.vnmath.com P (n) = 3n + 2n + (xét m = 4) (6) Chương Đề thi tuyển sinh lớp 10 Bài Cho a, b, c là các số đôi khác và khác Giải hệ a x + a y + az = b3x + b2 y + bz = c x + c2y + cz = Bài 3.Tìm nghiệm nguyên, dương phương trình 7x = 3.2y + Bài Cho tam giác ABC M, N, P là các điểm trên các cạnh BC, CA, AB Nối AM, BN, CP Chứng minh diện tích bốn tam giác gạch chéo thì các diện tích ba tứ giác không gạch chéo (Xem hình vẽ) Bài Tồn hay không 1991 điểm trên mặt phẳng cho ba điểm chúng là ba đỉnh tam giác có góc tù? 1.5 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1991 (cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin) Bài 1 Rút gọn biểu thức q q √ √ √ A = − 44 + 16 Phân tích biểu thức sau thành nhân tử P = (x − y)5 + (y − z)5 + (z − x)5 Lop10.com www.vnmath.com Cho hình thang ABCD(AB//CD) Gọi giao điểm AD và BC là E, giao điểm AC và BD là F Chứng minh đường thẳng EF qua giao điểm hai đáy AB, CD (7) 1.6 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1992 (cho thí sinh) Bài Cho các số a, b, cα, β, γ thoả mãn các điều kiện a + b + c = α+β+γ =0 α β γ + b +c =0 a Hãy tính giá trị biểu thức A = αa2 + βb2 + γc2 Cho bốn số a, b, c, d số không âm và nhỏ Chứng minh Khi nào thì dấu đẳng thức xảy ra? Bài Cho trước a và d là số nguyên dương Xét tất các số có dạng a, a + d, a + 2d, , a + nd, Chứng minh các số đó có ít số mà chữ số đầu tiên nó là 1991 Bài Trong hội thảo khoa học có 100 người tham dự Giả sử người quen biết với ít 67 người Chứng minh có thể tìm nhóm người mà người nhóm đó quen biết Bài Cho hình vuông ABCD Lấy điểm M nằm hình vuông cho \ = 15◦ \ = MBA MAB Chứng minh tam giác MCD là tam giác Hãy xây dựng tập hợp gồm điểm có tính chất: Đường trung trực đoạn nối hai điểm luôn qua ít hai điểm tập hợp điểm đó 1.6 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1992 (cho thí sinh) Bài Lop10.com www.vnmath.com ≤ a + b + c + d − ab − bc − cd − da ≤ (8) 10 Chương Đề thi tuyển sinh lớp 10 Giải phương trình q q √ √ √ x + + 2x − + x − − 2x − = 2 Giải hệ phương trình ( xy − 2y + 3x2 = y + x2y + 2x = Bài Tìm tất các cặp số nguyên không âm (m, n) để phương trình có nghiệm nguyên Bài Cho tam giác ABC có diện tích S Trên các cạnh AB, BC, CA lấy C 0, A0, B tương ứng, cho AC = C 0B, BA0 = , AC CB = BA Giả sử AA0 cắt BB M, BB cắt CC N , CC cắt AA0 P Tính diện tích tam giác MNP theo S Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Lấy điểm D trên cung BC (không chứa A) đường tròn đó Hạ DH vuông góc với BC, DI vuông góc với CA và DK vuông góc với AB Chứng minh AC AB BC = + DH DI DK Bài Tìm tất các cặp số nguyên dương (m, n) cho 2m + chia hết cho n và 2n + chia hết cho m 1.7 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1992 (cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin) Bài 1 Tìm tất các số nguyên n để n4 + 2n3 + 2n2 + n + là số chính phương Cho a, b, c > và a + b + c > Chứng minh a2 1 + + >9 + 2bc b + 2ca c + 2ab Lop10.com www.vnmath.com x2 − mnx + m + n = (9) 1.8 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1993 (cho thí sinh) 11 Bài Cho a là tổng các chữ số (29 )1945, b là tổng các chữ số số a Tìm tổng các chữ số b Bài Cho tam giác ABC Giả sử đường phân giác và ngoài góc A cắt đường thẳng BC D, K tương ứng Chứng minh AD = AK thì AB + AC = 4R2 , đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài Trong mặt phẳng kẻ 1992 đường thẳng cho không có đường nào song song và không có ba đường nào đồng quy Tam giác tạo ba đường thẳng số các đường thẳng đã cho gọi là "tam giác xanh" nó không bị đường thẳng nào số các đường thẳng còn lại cắt Chứng minh số tam giác xanh không ít 664 Bài Có 41 thành phố nối với các đường chiều Biết từ thành phố có đúng 16 đường đến các thành phố khác và đúng 16 đường từ các thành phố khác đến nó Giữa hai thành phố không có quá đường mạng đường nói trên Chứng minh từ thành phố A có thể đến thành phố B mà qua nhiều hai thành phố trung gian 1.8 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1993 (cho thí sinh) Bài 1 Giải phương trình s x+ x+ + r x+ =2 Giải hệ phương trình ( x3 + 2xy + 12y = 8y + x2 = 12 Bài Tìm giá trị lớn và bé biểu thức A = x2 y(4 − x − y) x và y thay đổi thoả mãn điều kiện: x > 0, y > 0, x + y 6 Lop10.com www.vnmath.com Chứng minh kết luận mạnh hơn: Số tam giác xanh không ít 1328 (10) 12 Chương Đề thi tuyển sinh lớp 10 1.9 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1994 (cho thí sinh) Bài Giải các phương trình sau: x4 − 2x3 − 6x2 + 16x − = √ x2 + 2x + = x3 + 4x Bài Xét các số x, y, z, t > thoả mãn hệ thức xy + 4zt + 2yz + 2xt = Tìm giá trị lớn biểu thức √ √ A = xy + zt Bài Tìm tất các số nguyên x, y, z, t thoả mãn hệ phương trình ( xy − 3zt = xz + yt = Bài Cho tam giác cân ABC có AB = AC và H là trung điểm cạnh BC Một đường tròn qua A và tiếp xúc với cạnh BC B cắt AC, AH D và E Biết D là trung điểm AC và bán kính đường tròn R Tính độ dài các dây cung AE, AD theo R Bài Cho tam giác ABC có BC > AC Một đường thẳng song song với cạnh AB cắt các cạnh BC và AC các điểm M và N Chứng minh BN > AM Lop10.com www.vnmath.com Bài Cho hình thoi ABCD Gọi R, r là bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ABC và a là độ dài cạnh hình thoi Chứng minh rằng: + = 2 R r a Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Quay 4ABC góc 90◦ quanh tâm O ta 4A1 B1 C1 Tính diện tích phần chung hai hình tam giác ABC và A1 B1C1 theo R Bài Tìm tất các số nguyên dương a, b, c đôi khác cho biểu thức 1 1 1 A= + + + + + a b c ab ac bc nhận giá trị nguyên dương (11) 1.10 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1994(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)13 1.10 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1994 (cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin) Bài Giải hệ phương trình (x + y)(y + z) = 4xy z (y + z)(z + x) = 4yz x (z + x)(x + y) = 4zx2 y Bài Tìm tất các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn phương trình Bài Xác định các giá trị nguyên dương n(n > 3) cho số A = 1, 2, n (tích n số nguyên dương đầu tiên) chia hết cho số B = + + + · · · + n Bài Cho a, b, c > Chứng minh 1 1 1 √ √ √ + + > + + 4 1+a 1+b 1+c + ab3 + bc3 + ca3 Bài Cho 4ABC có AB = AC Chứng minh ∠BAC = 20◦ thì luôn tìm các điểm D và K trên các cạnh AB và AC cho AD = DK = KC = CB Ngược lại, chứng minh tồn các điểm D và K trên các cạnh AB và AC cho AD = DK = KC = CB thì ∠BAC = 20◦ 1.11 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1995 (cho thí sinh) Bài Giải hệ phương trình ( 2x2 − y = xy + x2 = Bài Giải phương trình √ √ 1−x+ 4+x=3 Lop10.com www.vnmath.com 12x2 + 6xy + 3y = 28(x + y) (12) 14 Chương Đề thi tuyển sinh lớp 10 + b+1 là số Bài Giả sử a, b là các số nguyên dương cho: a+1 b √ a nguyên Gọi d là ước số a và b Chứng minh rằng: d a + b Bài Cho hai hình chữ nhật có cùng diện tích Hình chữ nhật thứ có các kích thước a và b (a > b) Hình chữ nhật thứ hai có các kích thước c và d (c > d) Chứng minh rằng: a > c thì chu vi hình chữ nhật thứ lớn chu vi hình chữ nhật thứ hai Bài Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Gọi (Ω) là vòng tròn qua B và C Kẻ từ A các tiếp tuyến AE và AF đến vòng tròn (Ω) (E và F là các tiếp điểm) Gọi O là tâm vòng tròn (Ω), I là trung điểm BC, N là trung điểm EF Đường thẳng F I cắt vòng tròn (Ω) E Chứng minh EE song song với AB Chứng minh tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ON I nằm trên đường thẳng cố định vòng tròn (Ω) thay đổi 1.12 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1995 (cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin) Bài Cho x+ p √ x2 + y + y + = Hãy tính giá trị biểu thức E = x+y Bài Giải hệ phương trình x + xy + y = y + yz + z = z + zx + x = Bài Cho x, y > và x2 + y = Chứng minh √ x3 + y Bài Tìm số nguyên có chín chữ số A = a1 a2a3b1 b2b3 a1a2a3 , đó a1 6= và b1 b2b3 = 2a1 a2a3 đồng thời A có thể viết dạng A = p21 p22 p23 p24 với p1 , p2 , p3 , p4 là bốn số nguyên khác Lop10.com www.vnmath.com Chứng minh rằng: E và F nằm trên vòng tròn cố định vòng tròn (Ω) thay đổi (13) 1.13 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1996 (cho thí sinh) 15 Bài Cho vòng tròn (Ω), vẽ hai dây cung AB và CD cắt I (I nằm vòng tròn) Gọi M là trung điểm BD, MI kéo dài cắt AC N Chứng minh AI AN = NC CI 1.13 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1996 (cho thí sinh) 6 1 x + x − x + x6 − P = 3 x + x1 + x3 + x13 Bài Giải hệ phương trình q √1 + − = x y q √1 + − = y x Bài Chứng minh với n nguyên dương ta có n3 + 5n Bài Cho a, b, c > 0, chứng minh a3 b3 c3 + + > ab + bc + ca b c a Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi M, N, P, Q là các điểm nằm trên các cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh 2a2 MN + NP + P Q2 + QM 4a2 Giả sử M là điểm cố định cho trước trên cạnh AB Hãy xác định vị trí các điểm N, P, Q trên các cạnh BC, CD, DA cho MNP Q là hình vuông Lop10.com www.vnmath.com Bài Cho x > 0, hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức (14) 16 Chương Đề thi tuyển sinh lớp 10 1.14 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1996 (cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin) Phần chung cho chuyên toán và chuyên tin Bài Giải phương trình √ √ ( x − + 1)3 + x − = − x Bài Cho x, y là số nguyên dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = 201 Hãy tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức: P = x(x2 +y)+y(y +x) Bài Cho đoạn thẳng BC và đường thẳng (d) song song với BC Biết khoảng cách đường thẳng (d) và đường thẳng qua BC nhỏ BC Giả sử A là điểm thay đổi trên đường thẳng (d) Hãy xác định vị trí điểm A để bán kính vòng tròn ngoại tiếp 4ABC nhỏ Gọi , hb , hc là độ dài các đường cao 4ABC Hãy xác định vị trí điểm A để tích hb hc là lớn Phần dành cho chuyên toán Bài Cho x, y, z > và x + y + z 32 Chứng minh rằng: r r r 1 3√ x2 − + y − + z − > 17 x y z Phần dành cho chuyên tin Câu Chia hình tròn thành 14 hình quạt Trong hình quạt đặt viên bi (xem hình vẽ) Gọi T là phép biến đổi: Lấy hai hình quạt có bi và chuyển từ hình quạt đó viên bi sang hình quạt liền kề theo hai chiều ngược (ví dụ, viên bi hình quạt chuyển theo chiều kim đồng hồ thì viên bi hình quạt chuyển theo chiều ngược lại) Hỏi việc thực phép biến đổi trên, sau số hữu hạn bước ta có thể chuyển tất các viên bi vào hình quạt không Nếu có, hãy quá trình biến đổi.Nếu không, hãy giải thích sao? Lop10.com www.vnmath.com Bài Giải hệ phương trình √ x − √ y = y− z=1 √ z− x=1 (15) 1.15 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1997 1.15 (cho thí sinh) 17 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1997 (cho thí sinh) Bài Cho p √ √ 10 + 3( − 1) x= p √ √ 6+2 5− Bài Giải hệ phương trình 2xy = x + y + 2yz = y + z + 2xz = z + x + Bài Tìm tất các số tự nhiên n để 2n + 15 là số chính phương Bài Cho tam giác ABC cạnh l Bên tam giác ta đặt đường tròn (O, R) và (O0 , R0 ) tiếp xúc ngoài với nhau, cho hai đường tròn tiếp xúc với các cạnh BC và BA, đường tròn tiếp xúc với các cạnh BC và CA √ Chứng minh R + R0 > 3−1 2 Các bán kính R và R0 bao nhiêu để tổng diện tích các hình tròn (O, R) và O0 , R0 nhỏ và tính giá trị nhỏ đó 1.16 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1997 (cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin) Bài Giải hệ phương trình ( y + y 2x + 3x − 6y = x2 + xy = Lop10.com www.vnmath.com Tính P = (x3 − 4x + 1)1997 Bài Giải phương trình √ √ √ x+3+ x+8=5 x (16) 18 Chương Đề thi tuyển sinh lớp 10 Bài Có tồn hay không các số nguyên x, y thoả mãn điều kiện 1992x1993 + 1993y 1994 = 1995 Bài Số 1997 viết dạng tổng n hợp số, không viết dạng tổng n + hợp số Hỏi n bao nhiêu? Bài Cho các tam giác ABC ngoại tiếp vòng tròn có bán kính Gọi , hb , hc là độ dài các đường cao hạ từ đỉnh A, B, C tới các cạnh đối diện Hãy tìm giá trị lớn biểu thức 1 + + + 2hb hb + 2hc hc + 2ha Bài Trên đường tròn cho 16 điểm và dùng màu: xanh, đỏ, vàng để tô các điểm này (mỗi điểm tô màu Giữa cặp điểm nối đoạn thẳng tô màu tím màu nâu Chứng minh với cách tô màu trên các điểm (chỉ dùng màu: xanh, đỏ, vàng) và cách tô màu trên các đoạn thẳng nối các cặp điểm (chỉ dùng hai màu: tím nâu) ta tìm trên hình vẽ tam giác có đỉnh là các điểm đã cho, mà các đỉnh tô cùng màu và các cạnh tô cùng màu (dĩ nhiên khác màu tô trên đỉnh) 1.17 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1998 (cho thí sinh) Bài 1 Giải phương trình √ √ − x2 + x2 + = Giải hệ phương trình ( x2 + xy + y = x4 + x2y + y = 21 Bài Các số a, b thoả mãn điều kiện: ( a3 − 3ab2 = 19 b3 − 3a2 b = 98 Hãy tính giá trị biểu thức sau: P = a2 + b2 Lop10.com www.vnmath.com M= (17) 1.18 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1998(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)19 Bài Cho các số a, b, c ∈ [0, 1] Chứng minh a + b2 + c3 − ab − bc − ca Bài Cho đường tròn (ε) bán kính R A và B là hai điểm cố định trên đường tròn, (AB < 2R) Giả sử M là điểm thay đổi trên cung lớn AB đường tròn Kẻ từ B đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt AM I và cắt đường tròn (ε) N Gọi J là trung điểm MN Chứng minh M thay đổi trên đường tròn thì điểm I, J nằm trên đường tròn cố định Xác định vị trí điểm M để chu vi 4AMB là lớn Tìm tất các số nguyên dương n cho số n + 26 và n − 11 là lập phương số nguyên dương Cho các số x, y, z thay đổi thoả mãn điều kiện: x2 + y + z = Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P = xy + yz + zx + [x2(y − z)2 + y (z − x)2 + z 2(x − y)2] 1.18 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1998 (cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin) Bài 1 Giải hệ phương trình ( x + x2 + x3 + x4 = y + y + y + y x2 + y = Với giá trị nào a thì phương trình sau đây có nghiệm √ √ − x + + x = |1 − a| + |1 + a| Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình 19x3 − 98y = 1998 Bài Lop10.com www.vnmath.com Bài (18) 20 Chương Đề thi tuyển sinh lớp 10 Cho a, b, c là các số thoả mãn hai điều kiện sau i) < a < b ii) Phương trình ax2 + bx + c = vô nghiệm Chứng minh a+b+c >3 b−a Cho x, y, z > Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức y2 z2 x2 + + x2 + 2yz y + 2zx z + 2xy Bài Cho bảng ô vuông kích thước 1998 × 2000 (bảng gồm 1998 hàng và 2000 cột) Ký hiệu (m, n) là ô vuông nằm giao hàng thứ m (tính từ trên xuống dưới)và cột thứ n (tính từ trái qua phải) Cho các số nguyên p, q với p 1993 và q 1995; Tô màu các ô vuông bảng theo quy tắc: Lần thứ tô màu năm ô: (p, q); (p + 1, q + 1); (p + 2, q + 2); (p + 3, q + 3); (p + 4, q + 4) Lần thứ hai trở đi, lần tô năm ô chưa có màu nằm liên tiếp cùng hàng cùng cột Hỏi cách đó ta có thể tô màu hết tất các ô vuông bảng hay không? Vì sao? Bài Cho tam giác ABC Trong 4ABC, vẽ ba vòng tròn ε1 , ε2, ε3 có bán kính nhau, tiếp xúc ngoài lẫn và vòng tròn tiếp xúc với hai cạnh tam giác Gọi ε là vòng tròn tiếp xúc ngoài với ba vòng tròn ε1 , ε2, ε3 Biết bán kính vòng tròn ε là r, hãy tính độ dài cạnh 4ABC 1.19 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1999 (cho thí sinh) Bài Cho các số a, b, c thoả mãn điều kiện ( a+b+c = a2 + b2 + c2 = 14 Hãy tính giá trị biểu thức: P = + a4 + b4 + c4 Bài Lop10.com www.vnmath.com P = (19) (cho thí sinh) 21 Giải phương trình √ √ x+3− √ 7−x= 2x − Giải hệ phương trình ( x + y + x1 + xy + xy = 52 y = Bài Tìm tất các số nguyên dương n cho: n2 + 9n − chia hết cho n + 11 Bài Cho vòng tròn () và điểm I vòng tròn Dựng qua I hai dây cung MIN và EIF Gọi M , N , E 0, F là các trung điểm IM, IN, IE, IF Chứng minh tứ giác M E N F là tứ giác nội tiếp Giả sử I thay đổi, các dây cung MIN, EIF thay đổi Chứng minh vòng tròn ngoại tiếp tứ giác M E N F có bán kính không đổi Giả sử I cố định, các dây cung MIN, EIF thay đổi luôn luôn vuông góc với Tìm vị trí các dây cung MIN và EIF cho tứ giác M E 0N F có diện tích lớn Lop10.com www.vnmath.com 1.19 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1999 (20) 22 Chương Đề thi tuyển sinh lớp 10 Bài Các số dương x và y thay đổi thoả mãn điều kiện: x + y = Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 P = x2 + y + y x Các thí sinh chuyên Sinh không phải làm bài Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 1999 (cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin) Bài Giải phương trình r √ x+7 + = 2x2 + 2x − x+1 Bài Các số a1 , a2, xác định công thức ak = 3k + 3k + (k + k)3 với k>1 Hãy tính giá trị tổng: + a1 + a2 + · · · + a9 Bài Chứng minh tồn số chia hết cho 1999 và tổng các chữ số số đó bằng1999 Bài Cho vòng tròn tâm O √ bán kính R Giả sử A và B là hai điểm cố định trên vòng tròn với AB = R Giả sử M là điểm thay đổi trên cung lớn AB đường tròn Vòng tròn nội tiếp 4MAB tiếp xúc với MA E và tiếp xúc với MB F Chứng minh đường thẳng EF luôn tiếp xúc với đường tròn cố định M thay đổi Tìm tập hợp tất các điểm P cho đường thẳng vuông góc với OP P cắt đoạn thẳng AB Bài Cho hình tròn (C) bán kính Giả sử A1, A2, , A8 là điểm nằm tròn hình tròn (kể biên) Chứng minh các điểm đã cho luôn tồn hai điểm ma khoảng cách chúng nhỏ 1.21 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 2000 (cho thí sinh) Bài Lop10.com www.vnmath.com 1.20 (21)