• Phân phối lề (tính từ ppxs đồng thời) • Phân phối xác suất điều kiện.. • Sự độc lập của hai biến ngẫu nhiên • Các tham số đặc trưng.?[r]
(1)Chương 4
(2)Yêu cầu • Phân phối xác suất đồng thời
• Phân phối lề (tính từ ppxs đồng thời) • Phân phối xác suất điều kiện
(3)Khái niệm
• Là có thứ tự (X,Y) với X, Y biến ngẫu nhiên
• Nếu X Y rời rạc ta có bnn hai chiều rời rạc • Nếu X Y liên tục ta có bnn hai chiều liên tục
(4)Ví dụ 1
• Một nhà máy sản xuất loại sản phẩm Nếu kích thước sản phẩm đo chiều rộng X chiều dài Y ta có bnn hai chiều (X, Y)
• Nếu xét thêm chiều cao Z ta có bnn chiều (vec tơ ngẫu nhiên chiều) (X,Y,Z)
(5)Hàm khối xác suất đồng thời • Joint probability mass function (p.m.f.)
• Cho X, Y hai biến ngẫu nhiên rời rạc Gọi S tập hợp giá trị X Y
• Ký hiệu: pX,Y(x,y)
, , ,
X Y
p x y P X x Y y
, , , , ,
) ,
) ,
) , , , X Y X Y X Y
x y S
x y A
i p x y
ii p x y
iii P X Y A p x y A S
SS
(6)Bảng ppxs đồng thời (X,Y)
y1 y2 … yj … ym ∑
x1 p11 p12 … p1j … p1m p1●
x2 p21 p22 … p2j … p2m p2●
… … … … … … … …
xi pi1 pi2 … pij … pim pi●
… … … … … … … …
xn pn1 pn2 … pnj … pnm pn●
∑ p●1 p●2 … p●j … p●m 1
Y
(7)Bảng ppxs đồng thời (X,Y) • Trong đó:
, 1 1 ) , , ) 1 ) ;
ij X Y i j i j
n m
ij i j
m n
i ij j ij
j i
i p p x y P X x Y y ii p
iii p p p p
(8)Phân phối lề
• Marginal Probability Mass Function • Phân phối lề X:
• Phân phối lề Y:
, , ,
X X Y
y
p x p x y P X x x S
, , ,
Y X Y
x
(9)Sự độc lập
Hai biến ngẫu nhiên X, Y gọi độc lập nếu:
• Dấu hiệu:
• Hai hàng tỷ lệ. • Hai cột tỷ lệ.
, , 1,
(10)Ví dụ 2
Cho hàm khối xác suất đồng thời sau:
Trong đó:
a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời b) Hai biến ngẫu nhiên X, Y có độc lập?
2 , ,
13
X Y
xy
p x y
1,1 , 1, , 2,
(11)(12)Ví dụ 3
129 130 131
15 0,12 0,42 0,06 16 0,08 0,28 0,04
X: chiều dài (mm) Y:
chiều rộng (mm)
• Tìm xác suất CD có chiều dài 130mm biết chiều rộng 15mm
(13)Ppxs có điều kiện
• Giả sử bnn chiều (X,Y) có hàm khối xác suất đồng thời hàm khối xác suất thành phần:
• PPXS điều kiện X cho Y=y là:
• PPXS điều kiện Y cho X=x là:
, , ; ;
X Y X Y
p x y p x p y
, ,
| X Y
X
Y
p x y p x y
p y
, ,
| X Y
Y
X
p x y p y x
(14)Kỳ vọng có điều kiện (hồi quy)
• Kỳ vọng X với điều kiện Y=y (còn gọi hồi quy X theo Y Y=y)
• Kỳ vọng Y với điều kiện X=x (còn gọi hồi quy Y theo X X=x)
| . Y x| Y x|
y
E Y X x y p y
| . X y| X y|
x
(15)Phương sai có điều kiện • Phương sai X với điều kiện Y=y
• Tương tự cho Y.
| 2 | | | X y X y x
X y X y X y
y
V X Y y x p x
(16)Ví dụ 4
129 130 131
15 0,12 0,42 0,06 16 0,08 0,28 0,04
X: chiều dài (mm) Y:
chiều rộng (mm)
(17)Ví dụ 5
• Chọn ngẫu nhiên cục pin, khơng hồn lại, từ 12 cục pin, bao gồm cục mới, cục sử dụng cục bị hỏng
• Gọi X số pin chọn.
• Gọi Y số pin sử dụng chọn. • Lập bảng ppxs đồng thời (X,Y)
(18)Ví dụ 6
• Cho biến ngẫu nhiên (X,Y) có bảng phân phối xác suất:
• Tìm luật ppxs biến X Y.
1 2 3
1 0,10 0,25 0,10
2 0,15 0,05 0,35
(19)Ví dụ 7
• Phân phối xác suất đồng thời biến ngẫu nhiên (X,Y) cho bảng sau:
• Tính P(X=6) P(X ≥ 7, Y ≥2)
• Lập bảng ppxs thành phần tính E(X), E(Y).
1 2 3
6 0,10 0,05 0,15
7 0,05 0,15 0,10
8 0,10 0,20 0,10
(20)Ví dụ 8
• Phân phối xác suất đồng thời biến ngẫu nhiên (X,Y) cho bảng sau:
• Lập bảng ppxs X với đk Y=2 Tính E(X|Y=2)? • Lập bảng ppxs Y với đk X=8 Tính E(Y|X=8)?
1 2 3
6 0,10 0,05 0,15
7 0,05 0,15 0,10
8 0,10 0,20 0,10
(21)Ví dụ 9
• Chi phí quảng cáo X (triệu đồng) doanh thu Y (triệu đồng) cơng ty có bảng ppxs đồng thời sau:
500
(400-600) (600-800)700 (800-1000)900
30 0,10 0,05 0
50 0,15 0,20 0,05
80 0,05 0,05 0,35
X
(22)Ví dụ 9
• Nếu doanh thu quảng cáo 700 triệu đồng chi phí quảng cáo trung bình bao nhiêu?
A 60,5 B 48,3333
(23)Ví dụ 10
• Lãi suất cổ phiếu tính 100 USD đầu tư vào hai ngân hàng A B năm tương ứng X, Y )(đơn vị %) có ppxs đồng thời sau:
• A) Lập bảng phân phối biên X, Y Tính lãi trung bình ngân hàng
-2 10
- 0,10 0,05 0,15 0,20 0,05 0,05 0,05 0,35
(24)Ví dụ 10
• B) Khi Y=5% tính lãi cổ phần trung bình X? • C) X Y có độc lập khơng
• D) Lập bảng ppxs T=X+Y Tìm E(T), V(T)
-2 10
- 0,10 0,05 0,15 0,20 0,05 0,05 0,05 0,35
(25)Kỳ vọng hàm theo X,Y
• Cho X,Y có phân phối biết Đặt Z=h(X,Y) biến
• Ta có:
, i, j i , j
i j
E h X Y h x y P X x Y y
, , X Y, ,
x y
(26)Ví dụ 11
• Cho bnn rời rạc X, Y có phân phối xác suất đồng thời sau:
• Tìm kỳ vọng h(X,Y)=X.Y2
1 2 3
4 0,10 0,15 0,1
5 0,25 0,20 0,2
X
(27)Ví dụ 12
• Cho Z=X+Y bảng ppxs đồng thời sau:
(X,Y) (0;0) (0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2)
pij 0,1 0,2 0,3 0,05 0,15 0,2
0 0,1 0 0, 2
0 0,3 1 0,05 1 0,15
1 0, 1,75
E Z E X Y
(28)Hiệp phương sai (Covariance)
• Hiệp phương sai hai biến ngẫu nhiên X Y, ký hiệu cov(X,Y), kỳ vọng tốn tích sai lệch bnn kỳ vọng tốn chúng
cov X Y, E X X Y Y XY
(29)Tính chất Covariance 1
1) cov , cov ,
2) cov ,
3) cov ', cov , cov ',
4) cov , cov ,
5) cov , cov ,
X Y Y X
X X V X
X X Y X Y X Y
kX Y k X Y
aX c bY d ab X Y
(30)Ví dụ 13
•
-2 10
- 0,10 0,05 0,15 0,20 0,05 0,05 0,05 0,35
(31)Tính chất Covariance 2 2
6) cov , 0,
7) 2cov ,
8) 9) co 2 co v , , v .
Nếu X Y độc lập
ngược lại khơng đúng.
X Y
V X Y V X
V aX bY a V X b V Y ab X Y
X Y
V Y X
V X V Y
(32)Hệ số tương quan
• Hệ số tương quan hai biến ngẫu nhiên X, Y ký hiệu Corr(X,Y) định nghĩa cơng thức:
• Hệ số tương quan ký hiệu là:
, cov ,
X Y
orr X Y
C X Y
X Y, ; r X Y ,
(33)Tính chất , , , , , ,
) 1 1
) 0.
)
) , 0
1 1
với X, Y. Nếu X Y độc lập
nếu ab>0 nếu ab<0
khi khi: nếu a>0
nếu a<0
X Y
X Y X Y
aX c bY d
X Y
X Y
i ii iii
iv Y aX b a
(34)Ý nghĩa
• Hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến
tính X Y
• Khi |ρX,Y| gần mức độ quan hệ tuyến tính chặt
• Khi |ρX,Y| gần mức độ quan hệ tuyến tính yếu
(35)Về dấu Corr(X,Y)
• https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/113/
• Tại ρX,Y đo mức độ tương quan tuyến tính?
• Tại ρX,Y càng gần 1; -1 mức độ quan hệ tuyến tính
(36)Ví dụ 14 Cho bảng ppxs đồng thời:
a) Tìm hệ Corr(X,Y)
https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/113/