tài liệu toán tài chính k58ktkt nguyenvantien0405

Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng.. Chú ý4[r]

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ

ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN Một ma trận A cấp

mxn bảng số hình chữ nhật gồm mxn phần tử, gồm m hàng n cột.

11 12

21 22

1

n n

m m mn

a a a

a a a

A

a a a

ỉ ư÷ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ = ỗỗ ữữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ K L

M M O M

L

11 12

21 22

1

n n

m m mn

a a a

a a a

hay A

a a a

é ù ê ú ê ú ê ú = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û K L

M M O M

ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN Ký hiệu ma trận:

Ví dụ:

Đây ma trận thực cấp 3x4 Gồm có hàng cột Các phần tử

ij m n

A a

´

é ù = ê úë û

1 2 7 0

4 5 7 1

0 2 8 9

A ổ - ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ = ỗ - ữữ ỗ ữ ỗ ữữ ỗ ố ø

11 12 13 14

22 32

1

5 ?

a a a a

a a

= = = - =

MA TRẬN VUÔNG

Nếu m=n ta nói A ma trận vng cấp n.

Đường chéo gồm phần tử:

11 12

21 22

ij

1

n n

n n nn

n n

a a a

a a a

A a

a a a

´ ỉ ư÷ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ộ ự = ỗỗ ữ ỳữ ỷ= ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ø K L

M M O M

L

11, 22, , nn

MA TRẬN KHÔNG

Tất phần tử Ký hiệu: hay 0mxn

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

m n

ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ = ỗỗ ữữ= ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ è ø L L

MA TRẬN HÀNG, CỘT

Ma trận hàng: có hàng Ma trận cột: có cột

( )

1 2

1 3 4 5

MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN

Ma trận vng

Các phần tử đường chéo

1 4 1 3

0 1 0 5

0 9 0 6

0 0 4

A B ổ ửữ ỗ ổ ửữ ỗ ữữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ = ỗ ữữ = ỗỗ ữữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữữ ỗ ữữ ỗ ỗ ố ứ ỗỗ ữữ ố ứ 0 ij

MA TRẬN TAM GIÁC DƯỚI

Ma trận vng

Các phần tử đường chéo

1 0 0 1 0

2 0 0 3 0

0 0 5 6

9 4

A B ổ ửữ ỗ ổ ửữ ỗ ữữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ = ỗ ữữ = ỗỗ ữữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữữ ỗ ữữ ỗ ỗ ố ứ ỗỗ ữữ ố ứ 0 ij

MA TRẬN CHÉO

Ma trận vuông

Tam giác trên: đường chéo Tam giác dưới: đường chéo

1 0 0 1 0

0 0 0 0

0 0

0 0 0

0 6

0 0 4

a

A B C

b ổ ửữ ỗ ổ ửữ ỗ ữữ ỗ ữ ỗ ữ ổ ử ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ = ỗ ữữ = ỗỗ ữữ = ỗ ữữ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ữứ ỗ ữữ ỗ ữữ ỗ ỗ ố ứ ỗỗ ữữ ố ứ 0 ij

MA TRẬN ĐƠN VỊ

Ma trận chéo

Các phần tử chéo

Ký hiệu: In ma trận đơn vị cấp n

2

1 0 0 1 0

1 0 0 0

0 1 0

0 1 0 0

0 1

0 0 1

I I I

MA TRẬN BẬC THANG

Phần tử khác hàng kể tử bên trái gọi phần tử sở hàng

Ma trận bậc thang:

Hàng khơng có phần tử sở (nếu tồn tại) nằm cùng.

Phần tử sở hàng nằm bên phải (không cột) so

VÍ DỤ 1

2 1 0 0

0 0 7 1

0 4 8 9

0 0 0 9

3 1 0 0 3

0 0 0 1 2

0 0 0 9 1

A B ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ - ữ ỗ ữ ỗ ữ = çç ÷÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ữ ỗ ố ứ ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ = ỗ ữữ ỗ ữ ỗ - ữữ ỗ ố ứ

Khụng l bc thang

VÍ DỤ 2

2 1 0 0

0 4 8 9

0 0 7 1

0 0 0 0

3 1 0 0 3

0 0 3 1 2

0 0 0 9 1

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP 1. Đổi chỗ hai hàng với nhau

2. Thay hàng hàng nhân với số khác 0

3. Thay hàng hàng cộng với hàng khác nhân với một số.

4. Tổng hợp:

Tương tự ta có phép bđsc cột.

i j

h « h

. 0

i i

h ® k h k ¹ .

i i j

h ® h + l h "l

. .

i i j

VÍ DỤ 3

Thực phép biến đổi ma trận:

Ma trận A’ gọi ma trận tương đương hàng với ma trận A Ký hiệu: A’ ~ A

2

3

3

2

8

1 4

8 3 ? ??

2 1

?? '

h h h h h h

h h h

ĐƯA MA TRẬN VỀ DẠNG BẬC THANG

Định lý Mọi ma trận đưa dạng bậc thang phép biến đổi sơ cấp hàng

CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN

1 Ma trận

2 Cộng hai ma trận cấp

3 Nhân số với ma trận

4 Nhân hai ma trận

HAI MA TRẬN BẰNG NHAU

CỘNG HAI MA TRẬN

Cộng phần tử tương ứng với

Điều kiện: hai ma trận phải cấp

CỘNG HAI MA TRẬN

Điều kiện: hai ma trận phải cấp

1

;

3 5

2 10

4

NHÂN MỘT SỐ VỚI MA TRẬN

Nhân số với ma trận ta lấy số nhân vào tất phần tử ma trận

Ví dụ

1

4 2 2 2 a d A B

b c f

a A

b c

k dk k

kB

k k fk

TÍNH CHẤT

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

) )

) )

) )

a A B B A b A B C A B C

c A A d k A B kA kB

e k mA km A f k m A kA mA

+ = + + + = + +

+ = + = +

= + = +

1 10 7 3

1

) )2 )

3

A B

a A B b A B c A B

PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN

Cho ma trận:

Khi ma trận A nhân với ma trận B

Điều kiện: số cột ma trận trước số dòng ma trận sau

;

m n n k

A ´ B ´

.

m n n k m k

VÍ DỤ 5

Các ma trận nhân với nhau?

1 4 0 2 10 4

8 3 1 7 6 0

2 1 2 3 2 4

1 2

2 4 1 2 3

0 1 2 4 1

QUI TẮC NHÂN

Phần tử nằm vị trí ij ma trận hàng i ma trận đầu nhân với cột j ma trận sau

Ví dụ Muốn tìm phần tử c23 ta lấy hàng A nhận với cột B (giống nhân tích vơ hướng vecto)

( hang ) ( cot )

ij

c i j

C A B

HẠNG CỦA MA TRẬN

Định nghĩa Giả sử Amxn tương đương hàng (cột) với ma

trận bậc thang E Khi ta gọi hạng ma trận A số hàng khác không ma trận bậc thang

Ký hiệu: r(A) hay rank(A)

r(A) = số hàng khác không ma trận bậc thang E

Ma trận bậc thang A:

VÍ DỤ 13

Sử dụng phép biến đổi sơ cấp tìm hạng ma trận sau

1 3 2 2 1 2

0 2 1 0 2 3

2 6 4 5 6 4

1 3 2 3 1 4

2 9 3 4 2 9

2 6 2 0 1 3

VÍ DỤ 14

Tìm hạng ma trận

3 21 0 9 0

1 7 1 2 1

2 14 0 6 1

6 42 1 13 0

A

ổ ửữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ - - - ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

= ỗỗ ữữ

ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ - ữ

ỗ

TNH CHT

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

) )

) min ,

) 0 0

T

ij m n

i r A r A

ii A B r A r B

iii A a thì r A m n

iv r A ´ A

=

= é ù

= ê úë û £

= Û =

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Ma trận vuông A gọi ma trận khả nghịch tồn ma trận B cho: A.B=I=B.A

CHÚ Ý

 Chỉ ma trận vng khả nghịch

 Không phải ma trận vuông A khả nghịch

Có nhiều ma trận vng khơng khả nghịch

MA TRẬN SƠ CẤP

Ma trận thu từ ma trận đơn vị I phép biến đổi sơ cấp gọi ma trận sơ cấp

CHÚ Ý

 Một phép biến đổi sơ cấp hàng của ma trận A

đồng nghĩa với nhân bên trái A với ma trận sơ cấp tương ứng

 Một phép biến đổi sơ cấp cột của ma trận A

BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

TÍNH CHẤT

Cho hai ma trận A, B khả nghịch Ta có:

( )

( )

( ) ( )

1

1 1 1

1

)

) . .

) T T

i A A

ii A B B A

iii A A

VÍ DỤ 19

Tìm m để ma trận sau khả nghịch

1 1 2 1 1 1 1

2 1 2 3 1 4

3 2 1 3 3 1

A m B

m m

ổ ửữ ổ ửữ

ỗ ữ ỗ ữ

ỗ ữ ỗ ữ

ỗ ữ ỗ ữ

ỗ ỗ

= ỗ ữữ = ỗ ữữ

ỗ ữ ỗ ữ

ỗ ữữ ỗ + ữữ

ỗ ỗ

TNG HP

Ma trận gì? Phân loại? Các phép tốn với ma trận? Hạng ma trận?

ĐỊNH THỨC

Cho ma trận A vuông, cấp n

Định thức ma trận A, ký hiệu:

Đây số thực, xác định sau: ( )

det A hay A

( ) ( )

( )

11 1 1 11

11 12

11 22 21 12 21 22 2

det

det . .

A a thì A a

a a

A thì A a a a a

ĐỊNH THỨC CẤP n≥3

Dùng phần bù đại số

Gọi Mij ma trận nhận từ ma trận A cách bỏ

hàng thứ i cột thứ j

Phần bù đại số phần tử aij ký hiệu xác định sau:

11 12

21 22

1 n n

n n nn n n

a a a

a a a

A

a a a

ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ = çç ÷÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ữ ỗ ố ứ ( ) ( ) ( )

ij 1 det ij 1 ij

i j i j

4

3 21

1

2 14 6 42 13

A ´ ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ - - ữ ç ÷ ç ÷ = çç ÷÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç - ÷ ç è ø

VÍ DỤ 1

Cho ma trận:

( )

23 23

3 21 14 6 42 13

M M ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ = ị = ỗ ữữ ỗ ữ ỗ ữữ ỗ ố ứ

boỷ hàng cột

KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC

Định thức ma trận vuông cấp n:

Đây khai triển theo dòng

Ta khai triển dịng hoặt cột

( ) 11 11 12 12 1

det A = a A. +a A. + +a An n

1 2 ij ij

1

det i i i i in in n

j

A a A a A a A a A

=

= + +L = å

n

1j 1j 2j 2j nj nj ij ij i=1

TỔNG QUÁT

( ) ( )

( ) ( )

11 1 1 11 11 12

11 22 21 12 11 11 12 12 21 22 2

11 12 13

21 22 23 11 11 12 12 13 13 31 32 33

) 1: det

) 2: det

) 3: det

a k A a thì A a

a a

b k A thì A a a a a a A a A

a a

a a a

c k A a a a thì A a A a A a A

a a a

VÍ DỤ 2

Tính định thức sau:

Khai triển theo dòng 1:

Khai triển theo dòng 2:

Khai triển theo cột 1, cột cho kết tương tự

5 7 2 8

A = ổỗỗỗ ửữữữữ

ỗ ữ

ỗ

è ø

( )1+1 ( )1+2

detA=5 -1 +7 -1 =5.8-7.2=26

( )2+1 ( )2+2

detA=2 -1 +8 -1 =-2.7+8.5=26

A= a b detA= ad bc

VÍ DỤ 3

Tính định thức sau:

Khai triển theo dòng 1:

Khai triển theo cột

Nên chọn cột có nhiều số để khai triển

1 2 3

0 5 7

0 2 8

A ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ = ỗ ữữ ỗ ữ ỗ ữữ ỗ ố ứ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1+1 57 1+207 051+3

detA=1 -1 +2 -1 +3 -1

28 08 02

detA=1 5.8-2.7 -2 0.8-0.7 +3 0.2-5.0 =26

( )1+1 ( )

21 31

57

detA=1 -1 +0.A +0.A 5.8-2.7 =26

ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC

Định thức ma trận tam giác tích số đường chéo

Định thức ma trận chéo?

1 0

0 0

0

0 0

NGUYÊN TẮC TÍNH BẰNG BĐSC

1 Chọn hàng (cột) tùy ý

2 Chọn phần tử khác hàng (cột) Khử tất phần tử khác biến đổi sơ cấp

VÍ DỤ 6

Tính định thức ma trận sau:

1 2 3 4

1 2 3

0 5 7 6

0 5 7

1 2 8 5

1 2 8

0 0 0 2

QUY TẮC TÍNH ĐỊNH THỨC CẤP 3

Ta có quy tắc Sarrus

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a a a

A a a a a a

a a a a a

ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ = ỗ ữữ ỗ ữ ỗ ữữ ỗ è ø ( ) ( )

( 3111 2222 1333 3212 2323 1131 3313 2121 1232)

det . . .

. . .

A a a a a a a a a a a a a a a a a a a

= + +

VÍ DỤ 7

Tính định thức sau quy tắc Sarrus

( ) ( )

1 2 3 1 2 1

0 5 7 0 1 0

1 2 8 2 2 2

5 7 6 0 1 1

1 2 5 1 2 2

0 3 9 3 3

TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC

1 det(A)=det(AT)

2 det(AB)=det(A) det(B)

3 det(kA)=kndet(A)

4 Ma trận có hàng hay cột khơng detA=0

5 Ma trận có hai hàng (hai cột) tỷ lệ detA=0

6 Chú ý: det(A+B) ≠ detA + detB

7 Ma trận A khả nghịch detA ≠

TÍNH CHẤT TÁCH ĐỊNH THỨC

Tách định thức: dòng (cột) tổng hai số hạng tách tổng định thức

1 3 1 3 1 3

0 7 0 7 0 7

1 8 1 8 1 8

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 3 4 6 5 7

10 12

2 2

5 5

2

5 10 12 5 1

6 6

1

2

2 4 5

4 14

16 16

3 6 7

0 12 5 +

+ = +

- + -

ĐỊNH THỨC VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN

Định thức ma trận:

Cho A ma trận cấp mxn Chọn phần tử nằm giao k dòng k cột A ta ma trận

vuông cấp k Định thức ma trận vuông cấp k ta gọi định thức cấp k A.

Hỏi. Có định thức cấp k ma trận A cấp mxn

VÍ DỤ 8

Cho ma trận A

Hãy lập định thức cấp 1; cấp 2; cấp 3? Định thức cấp lớn nhất?

1

0

1 3



 

 

 

 

  

 

HẠNG CỦA MA TRẬN

Định nghĩa: Cho A ma trận cấp m.n khác O Hạng ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A) cấp cao định thức khác ma trận A.

Vậy hạng A, rank(A)=r thỏa

a) Tồn định thức cấp r khác A .

ĐIỀU KIỆN KHẢ NGHỊCH & TÍNH CHẤT

Cho ma trận A vng cấp n Ta có:

Nếu ma trận A khả nghịch thì:

( ) ( ) ( ) det 0 det 0 n

A A I

A r A n

A A A A Û Û = Û ¹ Û = :

i) khả nghịch ii) khả nghịch iii) khả nghịch

iv) không khả nghịch

( )

1 1

) det ) det det

det

n A

a A b P A

A

PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH THỨC TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Cho A ma trận khả nghịch Ta có:

Với PA ma trận chứa phần bù đại số A

Ma trận PA gọi ma trận phụ hợp ma trận A

( )1 det ij

i j ij

A = - + M

11 12

21 22

1 det n n A A

n n nn

T

A A A

A A A

A P P

A

A A A

-é ù ê ú ê ú ê ú = = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û L L

M M M

VÍ DỤ 9

Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau có

3 4 6

0 1 1

2 3 4

A

ổ- ửữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ

= ỗ ữữ

ỗ ữ

ỗ - - ữữ

ỗ

ố ứ

( )

VÍ DỤ 9

Bước Tính detA Ta có:

detA≠0 nên ma trận A khả nghịch

Ta tìm phần bù đại số lập ma trận phụ hợp PA

3

3

det 1 1

2

2

A

-

-= = = =

-VÍ DỤ 9

Ta có:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 1

1 2

3 4

4 6

2

3 4

4 6

2 3

1 1

A A A

A A A

A A A

= + = - = - = = + = - - -= - = - = + = = - = - - -= + = - = - = = + =

-11 12 13 21 22 23 31 32 33

1 2 2

2

2 3 3

T

A

A A A

A A A P

A A A

VÍ DỤ 13

Ta có:

1 2 2

2

2 3

1 2 2

1

2 3

det

2 3

BÀI 1

GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES

1 Nhập ma trận.

Nhấn Mode (Matrix)  Chọn 1( matA)  Chọn matrix

có số dịng cột tương ứng cần tính tốn Nhập kết vào phím =,

Sau nhập xong ma trận A, nhập thêm ma trận B cách: Nhấn Shift (Matrix)  (Dim)  (MatB)

Lập lại tương tự cho MatC

GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES

2 Tính định thức

Thao tác sau để tính định thức cho MatA: Shift (Matrix)  (Det)  Shift (Matrix)  (MatA)  =

3 Tìm ma trận nghịch đảo

Thao tác sau để tìm ma trận nghịch đảo MatA: Shift (Matrix)  (MatA)  x-1

(x-1: phím nghịch đảo máy tính, Mode)

4 Giải phương trình: AX = B

Thao tác theo bước bên để tính: MatA  x-1  x

KIỂM TRA 20PH

Bài Cho hai ma trận:

Tìm:

Bài Tìm r(A) ma trận nghịch đảo A có:

3 4 6

0 1 1

2 3 4

A ổ- ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ = ỗ ữữ ỗ ữ ỗ - - ữữ ỗ è ø

3

0 1

2 16

A B ỉ- ư÷ ỉ ư÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ç = ç ÷÷ = ç ÷÷ ç ÷ ç ÷ ç - - ÷÷ ç ÷÷ ç ç è ø è ø

) ) T )