Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng.. Chú ý4[r]
(1)ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ
(2)ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN Một ma trận A cấp
mxn bảng số hình chữ nhật gồm mxn phần tử, gồm m hàng n cột.
11 12
21 22
1
n n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
ỉ ư÷ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ = ỗỗ ữữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ K L
M M O M
L
11 12
21 22
1
n n
m m mn
a a a
a a a
hay A
a a a
é ù ê ú ê ú ê ú = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û K L
M M O M
(3)ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN Ký hiệu ma trận:
Ví dụ:
Đây ma trận thực cấp 3x4 Gồm có hàng cột Các phần tử
ij m n
A a
´
é ù = ê úë û
1 2 7 0
4 5 7 1
0 2 8 9
A ổ - ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ = ỗ - ữữ ỗ ữ ỗ ữữ ỗ ố ø
11 12 13 14
22 32
1
5 ?
a a a a
a a
= = = - =
(4)MA TRẬN VUÔNG
Nếu m=n ta nói A ma trận vng cấp n.
Đường chéo gồm phần tử:
11 12
21 22
ij
1
n n
n n nn
n n
a a a
a a a
A a
a a a
´ ỉ ư÷ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ộ ự = ỗỗ ữ ỳữ ỷ= ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ø K L
M M O M
L
11, 22, , nn
(5)MA TRẬN KHÔNG
Tất phần tử Ký hiệu: hay 0mxn
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
m n
ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ = ỗỗ ữữ= ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ è ø L L
(6)MA TRẬN HÀNG, CỘT
Ma trận hàng: có hàng Ma trận cột: có cột
( )
1 2
1 3 4 5
(7)MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN
Ma trận vng
Các phần tử đường chéo
1 4 1 3
0 1 0 5
0 9 0 6
0 0 4
A B ổ ửữ ỗ ổ ửữ ỗ ữữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ = ỗ ữữ = ỗỗ ữữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữữ ỗ ữữ ỗ ỗ ố ứ ỗỗ ữữ ố ứ 0 ij
(8)MA TRẬN TAM GIÁC DƯỚI
Ma trận vng
Các phần tử đường chéo
1 0 0 1 0
2 0 0 3 0
0 0 5 6
9 4
A B ổ ửữ ỗ ổ ửữ ỗ ữữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ = ỗ ữữ = ỗỗ ữữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữữ ỗ ữữ ỗ ỗ ố ứ ỗỗ ữữ ố ứ 0 ij
(9)MA TRẬN CHÉO
Ma trận vuông
Tam giác trên: đường chéo Tam giác dưới: đường chéo
1 0 0 1 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0
0 6
0 0 4
a
A B C
b ổ ửữ ỗ ổ ửữ ỗ ữữ ỗ ữ ỗ ữ ổ ử ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ = ỗ ữữ = ỗỗ ữữ = ỗ ữữ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ữứ ỗ ữữ ỗ ữữ ỗ ỗ ố ứ ỗỗ ữữ ố ứ 0 ij
(10)MA TRẬN ĐƠN VỊ
Ma trận chéo
Các phần tử chéo
Ký hiệu: In ma trận đơn vị cấp n
2
1 0 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0
0 1 0 0
0 1
0 0 1
I I I
(11)MA TRẬN BẬC THANG
Phần tử khác hàng kể tử bên trái gọi phần tử sở hàng
Ma trận bậc thang:
Hàng khơng có phần tử sở (nếu tồn tại) nằm cùng.
Phần tử sở hàng nằm bên phải (không cột) so
(12)VÍ DỤ 1
2 1 0 0
0 0 7 1
0 4 8 9
0 0 0 9
3 1 0 0 3
0 0 0 1 2
0 0 0 9 1
A B ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ - ữ ỗ ữ ỗ ữ = çç ÷÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ữ ỗ ố ứ ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ = ỗ ữữ ỗ ữ ỗ - ữữ ỗ ố ứ
Khụng l bc thang
(13)VÍ DỤ 2
2 1 0 0
0 4 8 9
0 0 7 1
0 0 0 0
3 1 0 0 3
0 0 3 1 2
0 0 0 9 1
(14)(15)(16)CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP 1. Đổi chỗ hai hàng với nhau
2. Thay hàng hàng nhân với số khác 0
3. Thay hàng hàng cộng với hàng khác nhân với một số.
4. Tổng hợp:
Tương tự ta có phép bđsc cột.
i j
h « h
. 0
i i
h ® k h k ¹ .
i i j
h ® h + l h "l
. .
i i j
(17)VÍ DỤ 3
Thực phép biến đổi ma trận:
Ma trận A’ gọi ma trận tương đương hàng với ma trận A Ký hiệu: A’ ~ A
2
3
3
2
8
1 4
8 3 ? ??
2 1
?? '
h h h h h h
h h h
(18)ĐƯA MA TRẬN VỀ DẠNG BẬC THANG
Định lý Mọi ma trận đưa dạng bậc thang phép biến đổi sơ cấp hàng
(19)(20)(21)CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
1 Ma trận
2 Cộng hai ma trận cấp
3 Nhân số với ma trận
4 Nhân hai ma trận
(22)HAI MA TRẬN BẰNG NHAU
(23)CỘNG HAI MA TRẬN
Cộng phần tử tương ứng với
Điều kiện: hai ma trận phải cấp
(24)CỘNG HAI MA TRẬN
Điều kiện: hai ma trận phải cấp
1
;
3 5
2 10
4
(25)NHÂN MỘT SỐ VỚI MA TRẬN
Nhân số với ma trận ta lấy số nhân vào tất phần tử ma trận
Ví dụ
1
4 2 2 2 a d A B
b c f
a A
b c
k dk k
kB
k k fk
(26)TÍNH CHẤT
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
) )
) )
) )
a A B B A b A B C A B C
c A A d k A B kA kB
e k mA km A f k m A kA mA
+ = + + + = + +
+ = + = +
= + = +
1 10 7 3
1
) )2 )
3
A B
a A B b A B c A B
(27)PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN
Cho ma trận:
Khi ma trận A nhân với ma trận B
Điều kiện: số cột ma trận trước số dòng ma trận sau
;
m n n k
A ´ B ´
.
m n n k m k
(28)VÍ DỤ 5
Các ma trận nhân với nhau?
1 4 0 2 10 4
8 3 1 7 6 0
2 1 2 3 2 4
1 2
2 4 1 2 3
0 1 2 4 1
(29)QUI TẮC NHÂN
Phần tử nằm vị trí ij ma trận hàng i ma trận đầu nhân với cột j ma trận sau
Ví dụ Muốn tìm phần tử c23 ta lấy hàng A nhận với cột B (giống nhân tích vơ hướng vecto)
( hang ) ( cot )
ij
c i j
C A B
(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)HẠNG CỦA MA TRẬN
Định nghĩa Giả sử Amxn tương đương hàng (cột) với ma
trận bậc thang E Khi ta gọi hạng ma trận A số hàng khác không ma trận bậc thang
Ký hiệu: r(A) hay rank(A)
r(A) = số hàng khác không ma trận bậc thang E
Ma trận bậc thang A:
(39)(40)VÍ DỤ 13
Sử dụng phép biến đổi sơ cấp tìm hạng ma trận sau
1 3 2 2 1 2
0 2 1 0 2 3
2 6 4 5 6 4
1 3 2 3 1 4
2 9 3 4 2 9
2 6 2 0 1 3
(41)VÍ DỤ 14
Tìm hạng ma trận
3 21 0 9 0
1 7 1 2 1
2 14 0 6 1
6 42 1 13 0
A
ổ ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ - - - ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
= ỗỗ ữữ
ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ - ữ
ỗ
(42)TNH CHT
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
) )
) min ,
) 0 0
T
ij m n
i r A r A
ii A B r A r B
iii A a thì r A m n
iv r A ´ A
=
= é ù
= ê úë û £
= Û =
(43)(44)(45)MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Ma trận vuông A gọi ma trận khả nghịch tồn ma trận B cho: A.B=I=B.A
(46)CHÚ Ý
Chỉ ma trận vng khả nghịch
Không phải ma trận vuông A khả nghịch
Có nhiều ma trận vng khơng khả nghịch
(47)(48)MA TRẬN SƠ CẤP
Ma trận thu từ ma trận đơn vị I phép biến đổi sơ cấp gọi ma trận sơ cấp
(49)CHÚ Ý
Một phép biến đổi sơ cấp hàng của ma trận A
đồng nghĩa với nhân bên trái A với ma trận sơ cấp tương ứng
Một phép biến đổi sơ cấp cột của ma trận A
(50)(51)BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
(52)(53)(54)TÍNH CHẤT
Cho hai ma trận A, B khả nghịch Ta có:
( )
( )
( ) ( )
1
1 1 1
1
)
) . .
) T T
i A A
ii A B B A
iii A A
(55)VÍ DỤ 19
Tìm m để ma trận sau khả nghịch
1 1 2 1 1 1 1
2 1 2 3 1 4
3 2 1 3 3 1
A m B
m m
ổ ửữ ổ ửữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ỗ
= ỗ ữữ = ỗ ữữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữữ ỗ + ữữ
ỗ ỗ
(56)TNG HP
Ma trận gì? Phân loại? Các phép tốn với ma trận? Hạng ma trận?
(57)(58)(59)(60)(61)(62)(63)ĐỊNH THỨC
Cho ma trận A vuông, cấp n
Định thức ma trận A, ký hiệu:
Đây số thực, xác định sau: ( )
det A hay A
( ) ( )
( )
11 1 1 11
11 12
11 22 21 12 21 22 2
det
det . .
A a thì A a
a a
A thì A a a a a
(64)ĐỊNH THỨC CẤP n≥3
Dùng phần bù đại số
Gọi Mij ma trận nhận từ ma trận A cách bỏ
hàng thứ i cột thứ j
Phần bù đại số phần tử aij ký hiệu xác định sau:
11 12
21 22
1 n n
n n nn n n
a a a
a a a
A
a a a
ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ = çç ÷÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ữ ỗ ố ứ ( ) ( ) ( )
ij 1 det ij 1 ij
i j i j
(65)4
3 21
1
2 14 6 42 13
A ´ ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ - - ữ ç ÷ ç ÷ = çç ÷÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç - ÷ ç è ø
VÍ DỤ 1
Cho ma trận:
( )
23 23
3 21 14 6 42 13
M M ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ = ị = ỗ ữữ ỗ ữ ỗ ữữ ỗ ố ứ
boỷ hàng cột
(66)KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC
Định thức ma trận vuông cấp n:
Đây khai triển theo dòng
Ta khai triển dịng hoặt cột
( ) 11 11 12 12 1
det A = a A. +a A. + +a An n
1 2 ij ij
1
det i i i i in in n
j
A a A a A a A a A
=
= + +L = å
n
1j 1j 2j 2j nj nj ij ij i=1
(67)TỔNG QUÁT
( ) ( )
( ) ( )
11 1 1 11 11 12
11 22 21 12 11 11 12 12 21 22 2
11 12 13
21 22 23 11 11 12 12 13 13 31 32 33
) 1: det
) 2: det
) 3: det
a k A a thì A a
a a
b k A thì A a a a a a A a A
a a
a a a
c k A a a a thì A a A a A a A
a a a
(68)VÍ DỤ 2
Tính định thức sau:
Khai triển theo dòng 1:
Khai triển theo dòng 2:
Khai triển theo cột 1, cột cho kết tương tự
5 7 2 8
A = ổỗỗỗ ửữữữữ
ỗ ữ
ỗ
è ø
( )1+1 ( )1+2
detA=5 -1 +7 -1 =5.8-7.2=26
( )2+1 ( )2+2
detA=2 -1 +8 -1 =-2.7+8.5=26
A= a b detA= ad bc
(69)VÍ DỤ 3
Tính định thức sau:
Khai triển theo dòng 1:
Khai triển theo cột
Nên chọn cột có nhiều số để khai triển
1 2 3
0 5 7
0 2 8
A ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ = ỗ ữữ ỗ ữ ỗ ữữ ỗ ố ứ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1+1 57 1+207 051+3
detA=1 -1 +2 -1 +3 -1
28 08 02
detA=1 5.8-2.7 -2 0.8-0.7 +3 0.2-5.0 =26
( )1+1 ( )
21 31
57
detA=1 -1 +0.A +0.A 5.8-2.7 =26
(70)ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC
Định thức ma trận tam giác tích số đường chéo
Định thức ma trận chéo?
1 0
0 0
0
0 0
(71)(72)(73)(74)NGUYÊN TẮC TÍNH BẰNG BĐSC
1 Chọn hàng (cột) tùy ý
2 Chọn phần tử khác hàng (cột) Khử tất phần tử khác biến đổi sơ cấp
(75)(76)(77)VÍ DỤ 6
Tính định thức ma trận sau:
1 2 3 4
1 2 3
0 5 7 6
0 5 7
1 2 8 5
1 2 8
0 0 0 2
(78)QUY TẮC TÍNH ĐỊNH THỨC CẤP 3
Ta có quy tắc Sarrus
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
A a a a a a
a a a a a
ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ = ỗ ữữ ỗ ữ ỗ ữữ ỗ è ø ( ) ( )
( 3111 2222 1333 3212 2323 1131 3313 2121 1232)
det . . .
. . .
A a a a a a a a a a a a a a a a a a a
= + +
(79)VÍ DỤ 7
Tính định thức sau quy tắc Sarrus
( ) ( )
1 2 3 1 2 1
0 5 7 0 1 0
1 2 8 2 2 2
5 7 6 0 1 1
1 2 5 1 2 2
0 3 9 3 3
(80)TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC
1 det(A)=det(AT)
2 det(AB)=det(A) det(B)
3 det(kA)=kndet(A)
4 Ma trận có hàng hay cột khơng detA=0
5 Ma trận có hai hàng (hai cột) tỷ lệ detA=0
6 Chú ý: det(A+B) ≠ detA + detB
7 Ma trận A khả nghịch detA ≠
(81)TÍNH CHẤT TÁCH ĐỊNH THỨC
Tách định thức: dòng (cột) tổng hai số hạng tách tổng định thức
1 3 1 3 1 3
0 7 0 7 0 7
1 8 1 8 1 8
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 4 6 5 7
10 12
2 2
5 5
2
5 10 12 5 1
6 6
1
2
2 4 5
4 14
16 16
3 6 7
0 12 5 +
+ = +
- + -
(82)ĐỊNH THỨC VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN
Định thức ma trận:
Cho A ma trận cấp mxn Chọn phần tử nằm giao k dòng k cột A ta ma trận
vuông cấp k Định thức ma trận vuông cấp k ta gọi định thức cấp k A.
Hỏi. Có định thức cấp k ma trận A cấp mxn
(83)VÍ DỤ 8
Cho ma trận A
Hãy lập định thức cấp 1; cấp 2; cấp 3? Định thức cấp lớn nhất?
1
0
1 3
(84)HẠNG CỦA MA TRẬN
Định nghĩa: Cho A ma trận cấp m.n khác O Hạng ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A) cấp cao định thức khác ma trận A.
Vậy hạng A, rank(A)=r thỏa
a) Tồn định thức cấp r khác A .
(85)ĐIỀU KIỆN KHẢ NGHỊCH & TÍNH CHẤT
Cho ma trận A vng cấp n Ta có:
Nếu ma trận A khả nghịch thì:
( ) ( ) ( ) det 0 det 0 n
A A I
A r A n
A A A A Û Û = Û ¹ Û = :
i) khả nghịch ii) khả nghịch iii) khả nghịch
iv) không khả nghịch
( )
1 1
) det ) det det
det
n A
a A b P A
A
(86)
PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH THỨC TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Cho A ma trận khả nghịch Ta có:
Với PA ma trận chứa phần bù đại số A
Ma trận PA gọi ma trận phụ hợp ma trận A
( )1 det ij
i j ij
A = - + M
11 12
21 22
1 det n n A A
n n nn
T
A A A
A A A
A P P
A
A A A
-é ù ê ú ê ú ê ú = = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û L L
M M M
(87)VÍ DỤ 9
Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau có
3 4 6
0 1 1
2 3 4
A
ổ- ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ
= ỗ ữữ
ỗ ữ
ỗ - - ữữ
ỗ
ố ứ
( )
(88)VÍ DỤ 9
Bước Tính detA Ta có:
detA≠0 nên ma trận A khả nghịch
Ta tìm phần bù đại số lập ma trận phụ hợp PA
3
3
det 1 1
2
2
A
-
-= = = =
(89)
-VÍ DỤ 9
Ta có:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 1
1 2
3 4
4 6
2
3 4
4 6
2 3
1 1
A A A
A A A
A A A
= + = - = - = = + = - - -= - = - = + = = - = - - -= + = - = - = = + =
-11 12 13 21 22 23 31 32 33
1 2 2
2
2 3 3
T
A
A A A
A A A P
A A A
(90)VÍ DỤ 13
Ta có:
1 2 2
2
2 3
1 2 2
1
2 3
det
2 3
(91)BÀI 1
(92)(93)(94)(95)(96)(97)(98)(99)GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES
1 Nhập ma trận.
Nhấn Mode (Matrix) Chọn 1( matA) Chọn matrix
có số dịng cột tương ứng cần tính tốn Nhập kết vào phím =,
Sau nhập xong ma trận A, nhập thêm ma trận B cách: Nhấn Shift (Matrix) (Dim) (MatB)
Lập lại tương tự cho MatC
(100)GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES
2 Tính định thức
Thao tác sau để tính định thức cho MatA: Shift (Matrix) (Det) Shift (Matrix) (MatA) =
3 Tìm ma trận nghịch đảo
Thao tác sau để tìm ma trận nghịch đảo MatA: Shift (Matrix) (MatA) x-1
(x-1: phím nghịch đảo máy tính, Mode)
4 Giải phương trình: AX = B
Thao tác theo bước bên để tính: MatA x-1 x
(101)KIỂM TRA 20PH
Bài Cho hai ma trận:
Tìm:
Bài Tìm r(A) ma trận nghịch đảo A có:
3 4 6
0 1 1
2 3 4
A ổ- ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ = ỗ ữữ ỗ ữ ỗ - - ữữ ỗ è ø
3
0 1
2 16
A B ỉ- ư÷ ỉ ư÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ç = ç ÷÷ = ç ÷÷ ç ÷ ç ÷ ç - - ÷÷ ç ÷÷ ç ç è ø è ø
) ) T )