Đề và đáp án thi thử đại học Môn: Toán

Từ các chữ số của tập E lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?. Theo chương trình Nâng cao: Câu VIbb[r]

đề thi thử đại học MÔN: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút - TRƯỜNG ĐAI HỌC VINH Trường THPT chuyên - A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y  x  3(m  1) x  x  m , với m là tham số thực Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m  Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị x1 , x cho x1  x  Câu II (2,0 điểm) sin x   sin( x  ) sin x  cos x 2 Giải phương trình: log (3 x  1)   log (2 x  1) Giải phương trình: cot x  Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I   x2 1 x 3x  dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A' B ' C ' có AB  1, CC '  m (m  0) m biết góc hai đường thẳng AB' và BC ' 60 Tìm Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức A  xy  yz  zx  x yz B PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần a, b) a Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 6) , phương trình các đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh C là x  y  13  và x  13 y  29  Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M (5; 3;  1), P (2; 3;  4) Tìm toạ độ đỉnh Q biết đỉnh N nằm mặt phẳng ( ) : x  y  z   Câu VIIa (1,0 điểm) Cho tập E  0,1, 2, 3, 4, 5, 6 Từ các chữ số tập E lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác nhau? b Theo chương trình Nâng cao: Câu VIb (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét elíp (E ) qua điểm M (2;  3) và có phương trình đường chuẩn là x   Viết phương trình chính tắc (E ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B (0;1; 0), C (0; 3; 2) và mặt phẳng ( ) : x  y   Tìm toạ độ điểm M biết M cách các điểm A, B, C và mặt phẳng ( ) Câu VIIb (1,0 điểm) Khai triển và rút gọn biểu thức  x  2(1  x)   n(1  x) n thu đa thức P ( x)  a  a1 x   a n x n Tính hệ số a8 biết n là số nguyên dương thoả mãn   Cn Cn n Lop10.com Trường Đ¹i häc Vinh đáp án đề thi thử đại học Khèi THPT chuyªn Câu I (2,0 điểm) M«n To¸n, khèi A ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ LẦN – NĂM 2009 Đáp án Điểm (1,25 điểm) Víi m  ta cã y  x  x  x  * Tập xác định: D = R * Sù biÕn thiªn  ChiÒu biÕn thiªn: y '  x  12 x   3( x  x  3) x  0,5 Ta cã y '    , y'    x  x  Do đó: + Hàm số đồng biến trên khoảng (,1) và (3,  ) + Hàm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng (1, 3)  Cực trị: Hàm số đạt cực đại x  và yCD  y (1)  ; đạt cực tiểu x  và yCT  y (3)  1 0,25  Giíi h¹n: lim y  ; lim y   x   x    B¶ng biÕn thiªn: x   y’     0,25 y -1  * §å thÞ: §å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0,  1) y 0,25 x O -1 (0,75 ®iÓm) Ta cã y '  x  6(m  1) x  +) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 , x  phương trình y ' có hai nghiệm pb là x1 , x  Pt x  2(m  1) x   cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x1 , x Lop10.com 0,25 m  1  (1)  '  (m  1)     m     +) Theo định lý Viet ta có x1  x  2(m  1); x1 x  Khi đó x1  x   x1  x 2  x1 x   4m  12  12   (m  1)   3  m  0,5 (2) Tõ (1) vµ (2) suy gi¸ trÞ cña m lµ   m  1  vµ    m  II (2,0 điểm) (1,0 ®iÓm) §iÒu kiÖn: sin x  0, sin x  cos x  cos x sin x cos x   cos x  Pt đã cho trở thành sin x sin x  cos x cos x  sin x  cos x 0 sin x  cos x 0,5     cos x sin( x  )  sin x     +) cos x   x    k , k       x   m2 x  x   m2    4  +) sin x  sin( x  )    x    n 2 2 x    x    n 2   4  t 2 x  , t  §èi chiÕu ®iÒu kiÖn ta cã nghiÖm cña pt lµ   t 2 x   k ; x   , k, t   2 (1,0 ®iÓm) §iÒu kiÖn x  (*) Với đk trên, pt đã cho  log (3x  1)   log (2 x  1)  log 5(3 x  1)  log (2 x  1) m, n   0,5 0,5  5(3 x  1)  (2 x  1)  x  33 x  36 x    ( x  2) (8 x  1)  x   x   §èi chiÕu ®iÒu kiÖn (*), ta cã nghiÖm cña pt lµ x  III (1,0 điểm) §Æt t  x   dt  3dx  dx  3x  Khi x  th× t = 2, vµ x = th× t = 2tdt Lop10.com 0,5 0,5  t 1     2tdt Suy I     t 1 t 4 dt   (t  1)dt   92 t 1 4 21  t 1 100   t  t   ln   ln 93 t 1 27  2 IV (1,0 ®iÓm) ( D  A' B ' ) - KÎ BD // AB' 0,5  ( AB' , BC ' )  ( BD, BC ' )  600 0,5  DBC '  60 hoÆc DBC '  1200 - NÕu DBC ' 600 Vì lăng trụ nên BB'  ( A' B ' C ' ) áp dụng định lý Pitago và định lý cosin ta cã A 0,5 B C BD  BC '  m  vµ DC '  KÕt hîp DBC ' 600 ta suy BDC ' Do đó m    m  - NÕu DBC ' 1200 áp dụng định lý cosin cho BDC ' suy m  (lo¹i) VËy m  1 m2 A’ m B’ 120 C’ D * Chú ý: - Nếu HS xét trường hợp góc 600 thì cho 0,5đ giải đúng - HS có thể giải phương pháp vectơ toạ độ với nhận xét: cos( AB' , BC ' )  cos( AB', BC ')  V (1,0 ®iÓm) AB'.BC ' AB'.BC ' t2 3 §Æt t  x  y  z  t   2( xy  yz  zx)  xy  yz  zx  Ta cã  xy  yz  zx  x  y  z  nªn  t    t  v× t  t 3  t t2 XÐt hµm sè f (t )    ,  t  t t3  Ta cã f ' (t )  t    v× t  t t Khi đó A  Suy f (t ) đồng biến trên [ , 3] Do đó f (t )  f (3)  Dấu đẳng thức xảy t   x  y  z  Lop10.com 14 0,5 0,5 VËy GTLN cña A lµ VIa (2,0 ®iÓm) 14 , đạt x  y  z  (1 ®iÓm) - Gäi ®­êng cao vµ trung tuyÕn kÎ tõ C lµ CH C(-7; -1) và CM Khi đó CH có phương trình x  y  13  , CM có phương trình x  13 y  29  2 x  y  13  - Tõ hÖ   C (7;  1) 6 x  13 y  29  - AB  CH  n AB  u CH  (1, 2) H M(6; 5) A(4; 6)  pt AB : x  y  16   x  y  16  - Tõ hÖ   M (6; 5) 6 x  13 y  29   B (8; 4) - Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC : x  y  mx  ny  p  52  4m  6n  p  m  4   V× A, B, C thuéc ®­êng trßn nªn 80  8m  4n  p   n  50  m  n  p   p  72   2 Suy pt ®­êng trßn: x  y  x  y  72  hay ( x  2)  ( y  3)  85 (1 ®iÓm) - Gi¶ sö N ( x0 ; y0 ; z0 ) V× N  ( )  x0  y0  z0   (1) MN  PN - MNPQ lµ h×nh vu«ng  MNP vu«ng c©n t¹i N   MN PN  ( x0  5)  ( y0  3)  ( z0  1)  ( x0  2)  ( y0  3)  ( z0  4)  ( x0  5)( x0  2)  ( y0  3)  ( z0  1)( z0  4)  (2)  x0  z0    (3) ( x0  5)( x0  2)  ( y0  3)  ( z0  1)( z0  4)   y  2 x0  - Tõ (1) vµ (2) suy  Thay vµo (3) ta ®­îc x02  x0    z   x0  0,5 B(8; 4) 0,5 0,5 0,5  x0  2, y  3, z  1  N (2; 3;  1) hay    N (3; 1;  2)  x0  3, y  1, z  2 - Gäi I lµ t©m h×nh vu«ng  I lµ trung ®iÓm MP vµ NQ  I ( ; 3;  ) 2 NÕu N (2;  1) th× Q(5; 3;  4) NÕu N (3;1;  2) th× Q(4; 5;  3) VIIa (1,0 ®iÓm) Gi¶ sö abcd lµ sè tho¶ m·n ycbt Suy d  0, 2, 4, 6 +) d  Sè c¸ch s¾p xÕp abc lµ A63 A63 A52 +) d  Sè c¸ch s¾p xÕp abc lµ  +) Với d  d  kết giống trường hợp d  Do đó ta có số các số lập là A63  A63  A52  420  Lop10.com  0,5 0,5 (1 ®iÓm) VIb (2,0 ®iÓm) - Gọi phương trình ( E ) : x2 y2  1 a2 b2 (a  b  0) 4 (1)  a  b  - Gi¶ thiÕt   a  (2)  c Ta cã (2)  a  8c  b  a  c  8c  c  c(8  c)  1 Thay vµo (1) ta ®­îc 8c c(8  c) c  2  2c  17c  26    13 c   x y2   * NÕu c  th× a  16, b  12  ( E ) : 16 12 39 x2 y2 13  (E) :   * NÕu c  th× a  52, b  52 39 / 0,5 0,5 (1 ®iÓm) Giả sử M ( x0 ; y0 ; z0 ) Khi đó từ giả thiết suy ( x0  1)  y02  z02  x02  ( y0  1)  z02  x02  ( y0  3)  ( z0  2)   ( x0  1)  y02  z02  x02  ( y0  1)  z02    x02  ( y0  1)  z02  x02  ( y0  3)  ( z0  2)  ( x0  1)  y02  z02  ( x0  y0  2)   y0  x0 Tõ (1) vµ (2) suy   z0   x0 VIIb (1,0 ®iÓm) (1) x0  y0  0,5 (2) (3) Thay vµo (3) ta ®­îc 5(3 x02  x0  10)  (3 x0  2) 0,5  x0   M (1; 1; 2)     23 23 14  x0  23  M ( ; ;  ) 3 3   n   Ta cã     7.3! Cn Cn n  n(n  1)  n(n  1)(n  2)  n  0,5 n    n  n  n  36   Suy a8 lµ hÖ sè cña x8 biÓu thøc 8(1  x)8  9(1  x)9 §ã lµ 8.C88  9.C98  89 Lop10.com 0,5 Lop10.com