Từ các chữ số của tập E lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?. Theo chương trình Nâng cao: Câu VIbb[r]
(1)đề thi thử đại học MÔN: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút - TRƯỜNG ĐAI HỌC VINH Trường THPT chuyên - A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y x 3(m 1) x x m , với m là tham số thực Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị x1 , x cho x1 x Câu II (2,0 điểm) sin x sin( x ) sin x cos x 2 Giải phương trình: log (3 x 1) log (2 x 1) Giải phương trình: cot x Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I x2 1 x 3x dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A' B ' C ' có AB 1, CC ' m (m 0) m biết góc hai đường thẳng AB' và BC ' 60 Tìm Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn x y z Tìm giá trị lớn biểu thức A xy yz zx x yz B PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần a, b) a Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 6) , phương trình các đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh C là x y 13 và x 13 y 29 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M (5; 3; 1), P (2; 3; 4) Tìm toạ độ đỉnh Q biết đỉnh N nằm mặt phẳng ( ) : x y z Câu VIIa (1,0 điểm) Cho tập E 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 Từ các chữ số tập E lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác nhau? b Theo chương trình Nâng cao: Câu VIb (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét elíp (E ) qua điểm M (2; 3) và có phương trình đường chuẩn là x Viết phương trình chính tắc (E ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B (0;1; 0), C (0; 3; 2) và mặt phẳng ( ) : x y Tìm toạ độ điểm M biết M cách các điểm A, B, C và mặt phẳng ( ) Câu VIIb (1,0 điểm) Khai triển và rút gọn biểu thức x 2(1 x) n(1 x) n thu đa thức P ( x) a a1 x a n x n Tính hệ số a8 biết n là số nguyên dương thoả mãn Cn Cn n Lop10.com (2) Trường Đ¹i häc Vinh đáp án đề thi thử đại học Khèi THPT chuyªn Câu I (2,0 điểm) M«n To¸n, khèi A ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ LẦN – NĂM 2009 Đáp án Điểm (1,25 điểm) Víi m ta cã y x x x * Tập xác định: D = R * Sù biÕn thiªn ChiÒu biÕn thiªn: y ' x 12 x 3( x x 3) x 0,5 Ta cã y ' , y' x x Do đó: + Hàm số đồng biến trên khoảng (,1) và (3, ) + Hàm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng (1, 3) Cực trị: Hàm số đạt cực đại x và yCD y (1) ; đạt cực tiểu x và yCT y (3) 1 0,25 Giíi h¹n: lim y ; lim y x x B¶ng biÕn thiªn: x y’ 0,25 y -1 * §å thÞ: §å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0, 1) y 0,25 x O -1 (0,75 ®iÓm) Ta cã y ' x 6(m 1) x +) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 , x phương trình y ' có hai nghiệm pb là x1 , x Pt x 2(m 1) x cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x1 , x Lop10.com 0,25 (3) m 1 (1) ' (m 1) m +) Theo định lý Viet ta có x1 x 2(m 1); x1 x Khi đó x1 x x1 x 2 x1 x 4m 12 12 (m 1) 3 m 0,5 (2) Tõ (1) vµ (2) suy gi¸ trÞ cña m lµ m 1 vµ m II (2,0 điểm) (1,0 ®iÓm) §iÒu kiÖn: sin x 0, sin x cos x cos x sin x cos x cos x Pt đã cho trở thành sin x sin x cos x cos x sin x cos x 0 sin x cos x 0,5 cos x sin( x ) sin x +) cos x x k , k x m2 x x m2 4 +) sin x sin( x ) x n 2 2 x x n 2 4 t 2 x , t §èi chiÕu ®iÒu kiÖn ta cã nghiÖm cña pt lµ t 2 x k ; x , k, t 2 (1,0 ®iÓm) §iÒu kiÖn x (*) Với đk trên, pt đã cho log (3x 1) log (2 x 1) log 5(3 x 1) log (2 x 1) m, n 0,5 0,5 5(3 x 1) (2 x 1) x 33 x 36 x ( x 2) (8 x 1) x x §èi chiÕu ®iÒu kiÖn (*), ta cã nghiÖm cña pt lµ x III (1,0 điểm) §Æt t x dt 3dx dx 3x Khi x th× t = 2, vµ x = th× t = 2tdt Lop10.com 0,5 (4) 0,5 t 1 2tdt Suy I t 1 t 4 dt (t 1)dt 92 t 1 4 21 t 1 100 t t ln ln 93 t 1 27 2 IV (1,0 ®iÓm) ( D A' B ' ) - KÎ BD // AB' 0,5 ( AB' , BC ' ) ( BD, BC ' ) 600 0,5 DBC ' 60 hoÆc DBC ' 1200 - NÕu DBC ' 600 Vì lăng trụ nên BB' ( A' B ' C ' ) áp dụng định lý Pitago và định lý cosin ta cã A 0,5 B C BD BC ' m vµ DC ' KÕt hîp DBC ' 600 ta suy BDC ' Do đó m m - NÕu DBC ' 1200 áp dụng định lý cosin cho BDC ' suy m (lo¹i) VËy m 1 m2 A’ m B’ 120 C’ D * Chú ý: - Nếu HS xét trường hợp góc 600 thì cho 0,5đ giải đúng - HS có thể giải phương pháp vectơ toạ độ với nhận xét: cos( AB' , BC ' ) cos( AB', BC ') V (1,0 ®iÓm) AB'.BC ' AB'.BC ' t2 3 §Æt t x y z t 2( xy yz zx) xy yz zx Ta cã xy yz zx x y z nªn t t v× t t 3 t t2 XÐt hµm sè f (t ) , t t t3 Ta cã f ' (t ) t v× t t t Khi đó A Suy f (t ) đồng biến trên [ , 3] Do đó f (t ) f (3) Dấu đẳng thức xảy t x y z Lop10.com 14 0,5 0,5 (5) VËy GTLN cña A lµ VIa (2,0 ®iÓm) 14 , đạt x y z (1 ®iÓm) - Gäi ®êng cao vµ trung tuyÕn kÎ tõ C lµ CH C(-7; -1) và CM Khi đó CH có phương trình x y 13 , CM có phương trình x 13 y 29 2 x y 13 - Tõ hÖ C (7; 1) 6 x 13 y 29 - AB CH n AB u CH (1, 2) H M(6; 5) A(4; 6) pt AB : x y 16 x y 16 - Tõ hÖ M (6; 5) 6 x 13 y 29 B (8; 4) - Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC : x y mx ny p 52 4m 6n p m 4 V× A, B, C thuéc ®êng trßn nªn 80 8m 4n p n 50 m n p p 72 2 Suy pt ®êng trßn: x y x y 72 hay ( x 2) ( y 3) 85 (1 ®iÓm) - Gi¶ sö N ( x0 ; y0 ; z0 ) V× N ( ) x0 y0 z0 (1) MN PN - MNPQ lµ h×nh vu«ng MNP vu«ng c©n t¹i N MN PN ( x0 5) ( y0 3) ( z0 1) ( x0 2) ( y0 3) ( z0 4) ( x0 5)( x0 2) ( y0 3) ( z0 1)( z0 4) (2) x0 z0 (3) ( x0 5)( x0 2) ( y0 3) ( z0 1)( z0 4) y 2 x0 - Tõ (1) vµ (2) suy Thay vµo (3) ta ®îc x02 x0 z x0 0,5 B(8; 4) 0,5 0,5 0,5 x0 2, y 3, z 1 N (2; 3; 1) hay N (3; 1; 2) x0 3, y 1, z 2 - Gäi I lµ t©m h×nh vu«ng I lµ trung ®iÓm MP vµ NQ I ( ; 3; ) 2 NÕu N (2; 1) th× Q(5; 3; 4) NÕu N (3;1; 2) th× Q(4; 5; 3) VIIa (1,0 ®iÓm) Gi¶ sö abcd lµ sè tho¶ m·n ycbt Suy d 0, 2, 4, 6 +) d Sè c¸ch s¾p xÕp abc lµ A63 A63 A52 +) d Sè c¸ch s¾p xÕp abc lµ +) Với d d kết giống trường hợp d Do đó ta có số các số lập là A63 A63 A52 420 Lop10.com 0,5 0,5 (6) (1 ®iÓm) VIb (2,0 ®iÓm) - Gọi phương trình ( E ) : x2 y2 1 a2 b2 (a b 0) 4 (1) a b - Gi¶ thiÕt a (2) c Ta cã (2) a 8c b a c 8c c c(8 c) 1 Thay vµo (1) ta ®îc 8c c(8 c) c 2 2c 17c 26 13 c x y2 * NÕu c th× a 16, b 12 ( E ) : 16 12 39 x2 y2 13 (E) : * NÕu c th× a 52, b 52 39 / 0,5 0,5 (1 ®iÓm) Giả sử M ( x0 ; y0 ; z0 ) Khi đó từ giả thiết suy ( x0 1) y02 z02 x02 ( y0 1) z02 x02 ( y0 3) ( z0 2) ( x0 1) y02 z02 x02 ( y0 1) z02 x02 ( y0 1) z02 x02 ( y0 3) ( z0 2) ( x0 1) y02 z02 ( x0 y0 2) y0 x0 Tõ (1) vµ (2) suy z0 x0 VIIb (1,0 ®iÓm) (1) x0 y0 0,5 (2) (3) Thay vµo (3) ta ®îc 5(3 x02 x0 10) (3 x0 2) 0,5 x0 M (1; 1; 2) 23 23 14 x0 23 M ( ; ; ) 3 3 n Ta cã 7.3! Cn Cn n n(n 1) n(n 1)(n 2) n 0,5 n n n n 36 Suy a8 lµ hÖ sè cña x8 biÓu thøc 8(1 x)8 9(1 x)9 §ã lµ 8.C88 9.C98 89 Lop10.com 0,5 (7) Lop10.com (8)