Đang tải... (xem toàn văn)
Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E.[r]
(1)SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ
KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2010
Đề thức Mơn: Tốn (Dành cho thí sinh thi vào lớp chun Tốn) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng năm 2009
Câu 1: (2,0 điểm)
Cho số x (x∈R ; x>0) thoả mãn điều kiện: x2 +
x2 = 7
Tính giá trị biểu thức: A = x3 +
x3 B = x5 +
x5
Giải hệ phương trình:
1
2
1
2
y x
x y
Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: ax2 bx c 0(a 0) có hai nghiệm 1,
x x thoả mãn điều kiện: 0 x1 x2 2.Tìm giá trị lớn biểu thức:
2
2
2 3
2
a ab b Q
a ab ac
Câu 3: (2,0 điểm)
Giải phương trình: √x −2 + √y+2009 + √z −2010 =
1
2(x+y+z)
2 Tìm tất số nguyên tố p để 4p2 +1 6p2 +1 số nguyên tố. Câu 4: (3,0 điểm)
Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Một đường thẳng qua A, cắt cạnh BC M cắt đường thẳng CD N Gọi K
giao điểm đường thẳng EM BN Chứng minh rằng: CK BN
Cho đường trịn (O) bán kính R=1 điểm A cho OA= √2 Vẽ
các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C tiếp điểm).Một góc xOy có
số đo 450 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB D cạnh Oy cắt đoạn thẳng
AC E Chứng minh rằng: 2√2−2≤DE<1
Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức P=a2+b2+c2+d2+ac+bd ,trong
(2)SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ
KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2010
Mơn: Tốn (Dành cho thí sinh thi vào lớp chun Tốn) Đáp án thức
Mơn: Tốn ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Ngày thi: 19 tháng năm 2009
(Đáp án gồm 04 trang)
Câu ý Nội dung Điểm
1
1 Từ giả thiết suy ra: (x +
x )2 = x +
1
x = (do x > 0) 21 = (x + 1x )(x2 +
x2 ) = (x +
x3 ) + (x +
1
x ) A = x3 +
1
x3 =18
7.18 = (x2 + x2 )(x
3 +
x3 ) = (x +
x5 ) + (x +
1
x ) B = x5+
x5 = 7.18 - = 123
0.25 0.25
0.25 0.25
Từ hệ suy
√x+√2−
1
y=
1
√y+√2−
1
x (2)
Nếu
√x>
1
√y √2−
1 y>√2−
1
x nờn (2) xảy x=y
thế vào hệ ta giải x=1, y=1
0.5
0.5
Theo Viét, ta có:
b x x
a
, 1. c x x a Khi 2 2 3 2
a ab b Q
a ab ac
= 2 3. 2 b b a a b c a a
( Vì a 0)
=
2
1 2
1 2
2 3( ) ( )
2 ( )
x x x x x x x x
Vì 0 x1 x2 2 nên
1
x x x x22 4 x12 x22 x x1 24
2
1
x x x x
Do
1 2
1 2
2 3( ) 3 4
3
2 ( )
x x x x Q
x x x x
(3)Đẳng thức xảy x1 x2 2 x10,x2 2
Tức
4
4 4
2
2 0
0 b a
c c b a
a
b a b
c a
c a
Vậy maxQ=3
0.25
3
1 ĐK: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010 Phương trình cho tương đương với:
x + y + z = √x −2 +2 √y+2009 +2 √z −2010
( √x −2 - 1)2 + (
√y+2009 - 1)2 + ( √z −2010 - 1)2 = √x −2 - = x =
√y+2009 - = y = - 2008 √z −2010 - = z = 2011
0.25
0.25 0.25
0.25 Nhận xét: p số nguyên tố 4p2 + > 6p2 + >
Đặt x = 4p2 + = 5p2- (p - 1)(p + 1) y = 6p2 +
4y = 25p2 – (p - 2)(p + 2) Khi đó:
- Nếu p chia cho dư dư (p - 1)(p + 1) chia hết cho
x chia hết cho mà x > x không số nguyên tố - Nếu p chia cho dư dư (p - 2)(p + 2) chia hết cho
4y chia hết cho mà UCLN(4, 5) = y chia hết cho mà y >
y không số nguyên tố
Vậy p chia hết cho 5, mà p số nguyên tố p = Thử với p =5 x =101, y =151 số nguyên tố Đáp số: p =5
0.25
0.25
0.25
(4)1
2
Trên cạnh AB lấy điểm I cho IB = CM
Ta có Δ IBE = Δ MCE (c.g.c)
Suy EI = EM , ∠MEC=∠BEI Δ MEI vuông cân E
Suy ∠EMI=450=∠BCE Mặt khác: IBAB=CM
CB =
MN
AN IM // BN
∠BCE =∠EMI =∠BKE tứ giác BECK nội tiếp ∠BEC +∠BKC=1800
Lại có: ∠BEC=900⇒∠BKC=900 Vậy CK BN
Vì AO = √2 , OB=OC=1 ABO=ACO=900 suy OBAC hình
vng
Trên cung nhỏ BC lấy điểm M cho DOM = DOB
MOE=COE
Suy Δ MOD= Δ BOD DME=900
Δ MOE= Δ COE EMO=900
suy D,M,E thẳng hàng, suy DE tiếp tuyến (O) Vì DE tiếp tuyến suy DM=DB, EM=EC
Ta có DE<AE+AD 2DE<AD+AE+BD+CE =2 suy DE<1
Đặt DM= x, EM=y ta có AD2 + AE2 = DE2 (1-x)2 + (1-y)2 = (x+y)2
1- (x+y) = xy (x+y)
2
4 suy DE
2 + 4.DE - 4 2 √2−2
DE 2√2−2
Vậy 2−2≤ DE<1
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
(5)5 Ta có:
ad−bc¿2=a2c2+2 abcd+b2d2+a2d2−2 abcd+b2c2
ac+bd¿2+¿
¿ ¿a2(c2+d2)+b2(d2+c2)=(a2+b2) (c2+d2) Vì ad−bc=1 nên ac+bd¿
❑2
=(a2+b2) (c2+d2)(1)
1+¿
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số khơng âm (a2+b2);(c2+d2) có: P=a2+b2+c2+d2+ac+bd≥2√(a2+b2) (c2+d2)+ac+bd
⇒P ≥2√1+(ac+bd)2+ac+bd (theo (1)) Rõ ràng P>0 vì: 2√1+(ac+bd)2>|ac+bd|2 Đặt x=ac+bd ,ta có: P≥2√1+x2+x
⇔P2≥4(1
+x2)+4x√1+x2+x2=(1+x2)+4x√1+x2+4x2+3 ¿(√1+x2+2x)2+3≥3
Vậy P≥3
0.25
0.25
0.25 0.25