Đang tải... (xem toàn văn)
Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta thu được nhiều ma trận bậc thang khác nhau.4. Ma trận bằng nhau.[r]
(1)ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 1
ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN Một ma trận A cấp
mxn bảng số hình chữ nhật gồm mxn phần tử, gồm m hàng n cột
11 12
21 22
1
n n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
11 12
21 22
1
n n
m m mn
a a a
a a a
hay A
a a a
ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN Ký hiệu ma trận:
Ví dụ:
Đây ma trận thực cấp 3x4 Gồm có hàng cột Các phần tử
ijm n
A a
1 2 7 0
4 5 7 1
0 2 8 9
A
11 12 13 14
22 32
1
5 ?
a a a a
a a
MA TRẬN VUÔNG
Nếu m=n ta nói A ma trận vng cấp n
Đường chéo gồm phần tử:
11 12
21 22
ij
1
n n
n n nn
n n
a a a
a a a
A a
a a a
11, , ,22 nn
a a a
MA TRẬN KHÔNG
Tất phần tử Ký hiệu: hay 0mxn
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
m n
MA TRẬN HÀNG, CỘT
Ma trận hàng: có hàng Ma trận cột: có cột
1 2
1 3 4 5 4
(2)MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN
Ma trận vuông
Các phần tử đường chéo
1 4
1 3 0 1
0 5 0 9
0 6 0 0 4
A B 0 ij
a i j
MA TRẬN TAM GIÁC DƯỚI
Ma trận vng
Các phần tử đường chéo
1 0 0
1 0 2 0 0
3 0 0 0
5 6 9 4
A B 0 ij
a i j
MA TRẬN CHÉO
Ma trận vuông
Tam giác trên: đường chéo Tam giác dưới: đường chéo
1 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 6 0 0 4
a
A B C b
0 ij
a i j
MA TRẬN ĐƠN VỊ
Ma trận chéo
Các phần tử chéo Ký hiệu: Inlà ma trận đơn vị cấp n
2
1 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0
0 0 1
I I I
MA TRẬN BẬC THANG
Phần tử khác hàng kể tử bên trái gọi phần tử sở hàng
Ma trận bậc thang:
Hàng khơng có phần tử sở (nếu tồn tại) nằm
Phần tử sở hàng nằm bên phải (không cột) so với phần tử sở hàng
VÍ DỤ 1
2 1 0 0
0 0 7 1
0 4 8 9
0 0 0 9
3 1 0 0 3
0 0 0 1 2
0 0 0 9 1
A B
Không bậc thang
(3)VÍ DỤ 2
2 1 0 0
0 4 8 9
0 0 7 1
0 0 0 0
3 1 0 0 3
0 0 3 1 2
0 0 0 9 1
C
D
bậc thang
bậc thang
MA TRẬN CHUYỂN VỊ
MA TRẬN ĐỐI XỨNG – PHẢN ĐỐI XỨNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP
1 Đổi chỗ hai hàng với
2 Thay hàng hàng nhân với số khác
3 Thay hàng hàng cộng với hàng khác nhân với số
4 Tổng hợp:
Tương tự ta có phép bđsc cột
i j
h h
. 0
i i
h k h k .
i i j
h h h
. .
i i j
h k h h
VÍ DỤ 3
Thực phép biến đổi ma trận:
Ma trận A’ gọi ma trận tương đương hàng với ma trận A Ký hiệu: A’ ~ A
2 3
3
2
8
1 4
8 3 ? ??
2 1
?? '
h h h
h h h
h h h
h h
A
A
ĐƯA MA TRẬN VỀ DẠNG BẬC THANG Định lý Mọi ma trận đưa dạng bậc thang phép biến đổi sơ cấp hàng
(4)VÍ DỤ 4 VÍ DỤ 4
CÁC PHÉP TỐN TRÊN MA TRẬN
1 Ma trận
2 Cộng hai ma trận cấp
3 Nhân số với ma trận
4 Nhân hai ma trận
5 Lũy thừa ma trận
HAI MA TRẬN BẰNG NHAU
Hai ma trận phần tử tương ứng
1 2
4 5
2 1
4 5
a d
A b c B
a d
A B b
c
CỘNG HAI MA TRẬN
Cộng phần tử tương ứng với
Điều kiện: hai ma trận phải cấp
1 2
4 5
2 1
4 5
a d
A b c B
a d
A B b c
CỘNG HAI MA TRẬN
Điều kiện: hai ma trận phải cấp
1 ;
3 5
2 10
4
A B
A B
(5)NHÂN MỘT SỐ VỚI MA TRẬN
Nhân số với ma trận ta lấy số nhân vào tất phần tử ma trận
Ví dụ
1
4
2
2 2 2
2
4
a d
A b c B f
a
A b c
k dk k
kB k k fk
TÍNH CHẤT ) )
) )
) )
a A B B A b A B C A B C c A A d k A B kA kB e k mA km A f k m A kA mA
1 10
8 7
2 3
1
) )2 )3 7
A B
a A B b A B c A B
PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN
Cho ma trận:
Khi ma trận A nhân với ma trận B
Điều kiện: số cột ma trận trước số dòng ma trận sau
;
m n n k
A B
.
m n n k m k
A B C
VÍ DỤ 5
Các ma trận nhân với nhau?
1 4 0 2 10 4
8 3 1 7 6 0
2 1 2 3 2 4
1 2
2 4 1 2 3
0 1 2 4 1
3 7 A B C D
QUI TẮC NHÂN
Phần tử nằm vị trí ij ma trận hàng i ma trận đầu nhân với cột jcủa ma trận sau
Ví dụ Muốn tìm phần tử c23 ta lấy hàng A nhận với cột B (giống nhân tích vơ hướng vecto)
hang cot
ij
c i j
C A B
(6)VÍ DỤ 7 TÍNH CHẤT
LŨY THỪA CỦA MA TRẬN VÍ DỤ 8
(7)VÍ DỤ 11 HẠNG CỦA MA TRẬN
Định nghĩa Giả sử Amxntương đương hàng (cột) với ma trận bậc thang E Khi ta gọi hạng ma trận A số hàng khác không ma trận bậc thang
Ký hiệu: r(A) hay rank(A)
r(A) = số hàng khác không ma trận bậc thang E
Ma trận bậc thang A:
A→ bđsc theo dịng… →A’ (có dạng bậc thang)
VÍ DỤ 12 VÍ DỤ 13
Sử dụng phép biến đổi sơ cấp tìm hạng ma trận sau
1 2 2 1 6 3
2 9
A B
C D
VÍ DỤ 14
Tìm hạng ma trận
3 21 0 9 0
1 7 1 2 1
2 14 0 6 1
6 42 1 13 0
A
TÍNH CHẤT
) )
) min ,
) 0 0
T
ij m n
i r A r A
ii A B r A r B
iii A a thì r A m n
iv r A A
(8)VÍ DỤ 15 VÍ DỤ 16
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Ma trận vuông A gọi ma trận khả nghịch tồn ma trận B cho: A.B=I=B.A
Khi B gọi nghịch đảo ma trận A Kí hiệu: B=A-1
CHÚ Ý
Chỉ ma trận vng khả nghịch
Khơng phải ma trận vuông A khả nghịch Có nhiều ma trận vng khơng khả nghịch
Ma trận khả nghịch gọi ma trận không suy biến
Ma trận không khả nghịch gọi ma trận suy biến
SỰ TỒN TẠI MA TRẬN KHẢ NGHỊCH MA TRẬN SƠ CẤP
Ma trận thu từ ma trận đơn vị I phép biến đổi sơ cấp gọi ma trận sơ cấp
(9)CHÚ Ý
Một phép biến đổi sơ cấp hàng ma trận A đồng nghĩa với nhân bên trái A với ma trận sơ cấp tương ứng
Một phép biến đổi sơ cấp cột ma trận A đồng nghĩa với nhân bên phải A với ma trận sơ cấp tương ứng
VÍ DỤ 17
BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Ta có:
VÍ DỤ 18 - TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
VÍ DỤ 18 - TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO TÍNH CHẤT
Cho hai ma trận A, B khả nghịch Ta có:
1
1 1 1
1
)
)
) T T
i A A
ii A B B A
iii A A
(10)VÍ DỤ 19
Tìm m để ma trận sau khả nghịch
1 1 1
2
3 3
A m B
m m
TỔNG HỢP
Ma trận gì? Phân loại? Các phép toán với ma trận? Hạng ma trận? Ma trận khả nghịch?
BÀI 1 BÀI 2
(11)BÀI 5 BÀI 6
ĐỊNH THỨC
Cho ma trận A vuông, cấp n Định thức ma trận A, ký hiệu:
Đây số thực, xác định sau:
det A hay A
11 1 1 11
11 12
11 22 21 12 21 22 2
det
det
A a A a
a a
A a a A a a a a
ĐỊNH THỨC CẤP n≥3
Dùng phần bù đại số
Gọi Mijlà ma trận nhận từ ma trận A cách bỏ hàng thứ i cột thứ j
Phần bù đại số phần tử aij ký hiệu xác định sau:
11 12
21 22
1 n n
n n nn n n
a a a
a a a
A
a a a
ij det ij ij
i j i j
A M M
4
3 21
1
2 14
6 42 13
A
VÍ DỤ 1
Cho ma trận:
23 23
3 21
2 14
6 42 13
M M
boû hàng cột
M23=??? A23=???
KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC
Định thức ma trận vuông cấp n:
Đây khai triển theo dòng
Ta khai triển dịng hoặt cột
11 11 12 12 1
det A a A a A a An n
1 2 ij ij
1
det i i i i in in n
j
A a A a A a A a A
(12)TỔNG QUÁT
111 11
11 12
11 22 21 12 11 11 12 12 21 22 2
11 12 13
21 22 23 11 11 12 12 13 13
31 32 33
) : det
) : det
) : det
a k A a A a
a a
b k A a a A a a a a a A a A
a a a
c k A a a a A a A a A a A
a a a
VÍ DỤ 2
Tính định thức sau: Khai triển theo dịng 1: Khai triển theo dòng 2:
Khai triển theo cột 1, cột cho kết tương tự
5
A
1+1 1+2
detA=5 -1 +7 -1 =5.8-7.2=26
2+1 2+2
detA=2 -1 +8 -1 =-2.7+8.5=26
A=ac bddetA= a d b c
VÍ DỤ 3
Tính định thức sau: Khai triển theo dòng 1:
Khai triển theo cột
Nên chọn cột có nhiều số để khai triển
1
A
1+15 1+20 1+30
detA=1 -1 2 8+2 -1 0 8+3 -1 0 2
detA=1 5.8-2.7 -2 0.8-0.7 +3 0.2-5.0 =26
1+1
21 31
5
detA=1 -1 2 8+0.A +0.A 1 5.8-2.7 =26
ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC
Định thức ma trận tam giác tích số đường chéo
Định thức ma trận chéo?
1 0
0 0
0
0 0
A B
(13)TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG BĐSC NGUYÊN TẮC TÍNH BẰNG BĐSC
1 Chọn hàng (cột) tùy ý
2 Chọn phần tử khác hàng (cột) Khử tất phần tử khác biến đổi sơ cấp
3 Khai triển theo hàng (cột) chọn
VÍ DỤ 5 VÍ DỤ 5
VÍ DỤ 6
Tính định thức ma trận sau:
1
1 0 5 7 6
0 1 2 8 5
1 0 0 0 2
A B
QUY TẮC TÍNH ĐỊNH THỨC CẤP 3
Ta có quy tắc Sarrus
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
A a a a a a
a a a a a
11 2231 22 1333 3212 2323 1131 1333 21 1221 32
det
A a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
(14)VÍ DỤ 7
Tính định thức sau quy tắc Sarrus
1
0
1 2
5 1
1 2
0 3
A C
m m
m
B D
m
TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC
1 det(A)=det(AT)
2 det(AB)=det(A) det(B) det(kA)=kndet(A)
4 Ma trận có hàng hay cột khơng detA=0 Ma trận có hai hàng (hai cột) tỷ lệ detA=0 Chú ý: det(A+B) ≠ detA + detB
7 Ma trận A khả nghịch detA ≠
8 Tách định thức: dòng (cột) tổng hai số hạng tách tổng định thức
TÍNH CHẤT TÁCH ĐỊNH THỨC
Tách định thức: dịng (cột) tổng hai số hạng tách tổng định thức
1 3
0 7
1 8
1 3
2 10 12
2
5
2
5 10 12
6
1
2
2
4 14
16 16
3
0 12
ĐỊNH THỨC VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN
Định thức ma trận:
Cho A ma trận cấp mxn Chọn phần tử nằm giao k dòng k cột A ta ma trận vuông cấp k Định thức ma trận vuông cấp k ta gọi định thức cấp k A
Hỏi.Có định thức cấp k ma trận A cấp mxn
- Chọn k dòng - Chọn k cột
VÍ DỤ 8
Cho ma trận A
Hãy lập định thức cấp 1; cấp 2; cấp 3? Định thức cấp lớn nhất?
1 2 1 3
A
HẠNG CỦA MA TRẬN
Định nghĩa: Cho A ma trận cấp m.n khác O Hạng ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A) cấp cao định thức khác ma trận A Vậy hạng A, rank(A)=r thỏa
a) Tồn định thức cấp r khác A
(15)ĐIỀU KIỆN KHẢ NGHỊCH & TÍNH CHẤT
Cho ma trận A vng cấp n Ta có:
Nếu ma trận A khả nghịch thì:
det det n
A A I
A r A n
A A A A
i) khả nghịch ii) khả nghịch iii) khả nghịch iv) không khả nghịch
1
) det det ) det A det n
a A A b P A
PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH THỨC TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Cho A ma trận khả nghịch Ta có:
Với PAlà ma trận chứa phần bù đại số A Ma trận PAgọi ma trận phụ hợp ma trận A
1 det ij
i j ij
A M
11 12
21 22
1 det n n A A
n n nn
T
A A A
A A A
A P P
A
A A A
VÍ DỤ 9
Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau có
3
0 1
2
A
det A ???
VÍ DỤ 9
Bước Tính detA Ta có:
detA≠0 nên ma trận A khả nghịch
Ta tìm phần bù đại số lập ma trận phụ hợp PA
3 3 2
det 1 2 1
2
A
VÍ DỤ 9
Ta có:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 1 2 2
3 4
4 6
2
3 4
4 6
2 3
1 1
A A A
A A A
A A A
11 12 13
21 22 23
1 2 2
2
T A
A A A
A A A P
VÍ DỤ 13
Ta có:
1 2 2
2
2 3
1 2 2
1 2 0 3 2 0 3
det 2 1 3 2 1 3
T A
A P
A AP
(16)BÀI 1
Tính định thức ma trận A nếu:
BÀI 2
BÀI 3 BÀI 3
(17)BÀI 6 BÀI 7
GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES Nhập ma trận
Nhấn Mode (Matrix) Chọn 1( matA) Chọn matrix
có số dịng cột tương ứng cần tính tốn Nhập kết vào phím =,
Sau nhập xong ma trận A, nhập thêm ma trận B cách: Nhấn Shift (Matrix) 1 (Dim) 2 (MatB) Lập lại tương tự cho MatC
Lưu ý: nên nhập qua Shift +4 +1 để đỡ bị lỗi
GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES Tính định thức
Thao tác sau để tính định thức cho MatA: Shift (Matrix) 7 (Det)Shift (Matrix)3 (MatA) =
3 Tìm ma trận nghịch đảo
Thao tác sau để tìm ma trận nghịch đảo MatA: Shift (Matrix) 3 (MatA)x-1
(x-1: phím nghịch đảo máy tính, Mode)
4 Giải phương trình: AX = B
Thao tác theo bước bên để tính:MatA x-1x