phép tính vi phân hàm

• Định nghĩa: Đạo hàm của hàm f tại điểm a, ký hiệu f’(a) là:.. (nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn)..[r]

(1)

Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

CHƯƠNG 2

Đạo hàm điểm

• Định nghĩa:Đạo hàm hàm f điểm a, ký hiệu f’(a) là:

(nếu giới hạn tồn hữu hạn) • Chú ý:đặt h=x-a, ta có:

' lim

x a

f x f a

f a

x a

0

' lim

h

f a h f a f a

h

Ví dụ • Tìm đạo hàm hàm: a=2 theo định nghĩa

Ta xét giới hạn sau:

Vậy:

2 8 9

f x x x

2

0

2 4

lim lim

h h

h h h h

h h

'

f

0

2

lim h

f h f

h

Đạo hàm phải – trái

• Đạo hàm trái f(x) a là:

• Đạo hàm phải f(x) a là:

0

' lim lim

x a h

f x f a f a h f a

f a

x a h

0

' lim lim

x a h

f x f a f a h f a

f a

x a h

Định lý

• Định lý:Hàm số f(x) có đạo hàm điểm a có đạo hàm trái; đạo hàm phải a hai đạo hàm

• Định lý:Nếu hàm số f(x) có đạo hàm a hàm số liên tục a Chiều ngược lại khơng

' ' '

f a L f a f a L

' lim

x a

f a L f x f a

Ví dụ

• Cho hàm số:

Tìm

Ta có:

Vậy khơng tồn đạo hàm hàm số

1/ , 0

0 ,

x

e x

f x

x

' ; '

f f

1/

0

0 0

' lim lim lim

0 0

' lim lim

h

u h

u

h h

f h f e u

f

h h e

f h f e

f

(2)

Hàm số đạo hàm

• Với a cố định ta có:

• Thay a x ta có:

• Với giá trị khác x ta tính f’(x) giới hạn tồn hữu hạn Như giá trị f’(x) phụ thuộc vào biến độc lập x nên xemf’là hàm theo x gọi làđạo hàm hàm f

0

' lim h

f a h f a

f a

h

0

' lim

h

f x h f x

f x

h

Hàm số đạo hàm

• Hàm số đạo hàm hàm y=f(x)

• Ký hiệu:

• Tập xác định hàm f’ tập giá trị x cho f’(x) tồn Nó nhỏ TXĐ hàm số f(x)

'; ';df dy; ; d

f y f x

dx dx dx

Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 1

• Tìm hàm số đạo hàm hàm y=x2. • Ta có:

• Giới hạn tồn hữu hạn với x thuộc TXĐ

• Vậy đạo hàm hàm số:

2 2

0

lim lim

h h

f x h f x x h x

x

h h

'

y x

Ví dụ 2

• Tìm đạo hàm hàm:

• Ta có:

• Vậy:

• Chú ý: tập xác định hàm f(x) là: [0;)

0

1

' lim lim

2

h h

f x h f x x h x

f x

h h x

1

' D : 0;

2

f x TX

x

f x x

Qui tắc tính đạo hàm 1

• Cho u, v hai hàm theo x Khi đạo hàm theo x hàm sau là:

• Đạo hàm dạng:uv

• Cách tính:lấy logarit Nêpehai vế hàm số:

' ' ' ' '

' '

' ' '

i u v u v ii ku k u

u u v u v

iii u v u v u v iv

v v

' ' ln

v v u

u u v u v

u

v

y u

Qui tắc tính đạo hàm 2

• Đạo hàm hàm hợp:

• Ví dụ: Hàm hàm hợp hàm:

Vậy:

0 x g x

y f g x y f g

ln cos

y x

ln ; cos

f x x g x x

1

sin tan

cos x g x

y f g x x

(3)

Cơng thức tính đạo hàm 1

2

1

3

1 ln

5 sin cos cos sin

1 tan cos cot sin x x

C x x

e e x x x x x x x x x x

Đạo hàm hàm hợp

2

2 '

1 ln ' sin ' cos cos sin

1 tan '

cos cot '

s

'

in

u u

e e u

u u

u

u u u

u u u u u u u u u

Cơng thức tính đạo hàm 2

2

2 ln

1 10 log ln 11 arcsin 1 12 arccos 1 13 arctan 1 14 arc cot

1

x x

a

a a a

x x a x x x x x x x x

Đạo hàm hàm hợp

10 log 11 arcsin 12 arccos 13 arctan 14 arc cot

u a a u u u u u

Ví dụ

• Tìm f’(x) biết:

• Ta có:

3 ln cos x e f x x

ln cos

1 sin sin

' 1

3 cos cos

y x x

x x

y

x x

Ví dụ

• Tìm f’(x) biết:

• Ta có:

• Vậy:

2

3

1 sin

x

f x y

x x

2

4

ln ln ln ln sin

' cos

3 sin

y x x x

y x x

y x x x

2

3

2 cos

'

sin sin

x x x y x x x x x

Hàm số cho tham số

• Hàm số y=f(x) thỏa điều kiện:

• Khi hàm số cho gọi hàm cho phương trình tham số

• Ví dụ:Cho hàm

Đặt: ta có dạng tham số sau:

x x t

y y t

lnx y x t x e t t x e t y e

Cơng thức đạo hàm tham số

• Cho hàm y=f(x) dạng tham số:

• Khi đó:

• Ví dụ:

x x t

y y t

/ / t x t y

dy dy dt

y

dx dx dt x

2

1

1 ln t

t

t t

t

x t t

x e t y e t t x e y

e e x

(4)

Đạo hàm hàm ngược

• Hàm số có hàm ngược là:

• Khi đó:

• Ví dụ 1:Hàm y=arctanx có hàm ngược x=tany

1

x f y

1

y x

x y

y x

2

1 1

1 tan x

y

x y x

y f x

Đạo hàm hàm ngược

• Ví dụ 2:Hàm y=arcsinx có hàm ngược x=siny

• Ví dụ 3:Hàm y=arccosx có hàm ngược x=cosy

2

1 1

cos 1 sin 1

2

x y y

x y y x

do y

2

1 1

sin cos

0 x

y y

x y y x

do y

Hàm ẩn

• Hàm y=f(x) với x(a;b) hàm ẩn cho phương trình F(x,y)=0 thay y=f(x) vào ta đẳng thức

• Nghĩa là: F(x, f(x))=0 với x(a;b)

• Ví dụ:Phương trình:

xác định hai hàm ẩn:

2

,

F x y x y

2

1 , 1;1

y x x

2

2 , 1;1

y x x

Đạo hàm hàm ẩn

• Cho phương trình: F(x;y)=0

• Để tính: y’x

• B1 Lấy đạo hàm hai vế phương trình theo x Chú ýy hàm theo x

• B2 Giải phương trình tìm y’

• B3 Để tính y’(a) ta thay x=a vào phương trình Ví dụ:Cho phương trình:

Tính đạo hàm y theo x

3 ln 2y 0

x y x e

Đạo hàm hàm ẩn • B1 Lấy đạo hàm theo x

• B2 Giải tìm y’

3 ln 2y 0

x

x y x e

2

*

3

'

1

'

y y

y

x y xy e x ye

x y xy e x

y y

ye x y xy e

y

x ye y

2 '

3x y 2x.ey ey.y'.x * y

Đạo hàm hàm ẩn • B3 Tính y’(0)

• Ta có:

• Thay x=0 y(0)=1 vào ta có:

3 ln 0

0 ln

y

x y x e

x y y y

2

3

'

1 y

y x y xy e y

x ye

1

0

3

' 0

0.1 e y

(5)

Đạo hàm cấp cao

• Cho f hàm khả vi Đạo hàm (nếu có) f’ gọi làđạo hàm cấp 2của hàm số f(x)

• Ký hiệu:

• Đạo hàm cấp 3của hàm f đạo hàm đạo hàm cấp

2

d df d f

f f

dx dx dx

2

d d f d f

f f

dx dx dx

• Đạo hàm cấp ncủa hàm f đạo hàm đạo hàm cấp (n-1)

• Ví dụ: Cho hàm:

Tìm đạo hàm cấp n hàm số Giải:

1

n n

d d f d f

f f

dx dx dx

.x f x x e

.x x x x x

f x x e x e e x e x e

• Ta có:

• Tương tự:

• Tổng qt:

1 x x x x

f x x e e x e x e

4

3 x; x

f x x e f x x e

n x

f x x n e

Đạo hàm cấp cao thường gặp

1

)

1

) !

)

1 !

) ln

) sin sin ) cos cos

2

n n

n

n ax n ax

n n

n

n n

i x a n x a

ii n

x a x a

iii e a e

n

iv x

x

v ax a ax n

vi ax a ax n

Chú ý

1

)

1 !

) ln

) sin sin

2

) cos cos

2

n

n n

n

n n

n

i ax b n ax b

n

iv ax b

ax b

v ax b a ax b n

vi ax b a ax b n

a a

Ví dụ

• Tính đạo hàm cấp n của:

2

1

) )

3

a f x b g x

x x

(6)

Đạo hàm cấp cao hàm ẩn

• Biết: CM:

• Đạo hàm vế theo x:

• Do đó:

• Thay y’ vào:

4 16

x y

7 48x y

y

3

3 4x 'y y y' x

y

3 3

3

3 '

3 ' x xy y

x x y x y y

y

y y y

3

2

2 4 2

4 7

3

3 48

x x y

x x y x

y y

x y y

y

Đạo hàm cấp cao tham số

• Ta biết:

• Theo cơng thức đạo hàm hàm hợp:

• Do đó:

' ' t x

t

x x t y

y

y y t x

x t

x t x x t x t x

t y

y y x y x y

x

3

t t t

x

t

y x y x

y

x

Ví dụ

• Tìm y’’ biết:

• Ta có:

• Vậy:

2 sin

x t

y t

cos ; sin

2 ;

t t

x t x t

y t y

3

2 ; cos

2 cos sin 2 cos 2 sin cos cos

x

x t y

t

t t t t t t

y

t t

Cơng thức Leibnitz

• Dễ thấy:

• Mở rộng:

f g f g g f

f g f g g f f g f g f g

0

n

n k k n k

n k

f g C f g

Gần giống khai triển nhị thức Newton

Ví dụ

• Tính đạo hàm:

3 2

f g f g f g f g g f

f g f g f g f g f g g f

10

2 1 sin ???

f x x x f x

VI PHÂN

• Vi phân điểm

• Vi phân khoảng

(7)

Vi phân điểm

• Định nghĩa Hàm số f(x) gọi khả vi x0nếu:

0

f x h f x Ah h

: số hữu hạn VCBù bậc cao Người ta ký hiệu

0

0 : lim

h A

h

h h

h

h x

0

f x x f x A x x

Vi phân điểm

• Cho hàm f khả vi x0 Khi đóA.hgọi làvi phân

củahàm số f(x) x0

Ký hiệu:

Định lý:Hàm y= f(x) khả vi x0khi tồn

tại f’(x0)

Ta chứng minh được:

0

df x A h

hay df x A x

0

'

A f x

Vi phân điểm

• Vi phân hàm số f(x)tại x0

• Tính chất:

0

' '

df x f x h

hay df x f x x

2

)

) ) ) )

i d C

ii d f df

iii d f g df dg

iv d fg gdf fdg

f gdf fdg

v d

g g

Vi phân hàm hợp

• Cho hàm hợp:

• Vi phân:

• Hai cơng thức có dạng giống

• Vậy vi phân cấp có tính bất biến

0

f u x hay f u x

' '

df f x dx f u u x dx f u du

Ứng dụng vi phân

0 y

0

x x0 x

0 f x

0

f x x

x

0

f x x f x

f

0

'

f x x

0

'

f f x x khi x

Ứng dụng vi phân tính gần đúng

• Cho hàm f(x) khả vi lân cận x0 Ta có:

• Hay cơng thức:

0 '

f x x f x f x x

0 '

(8)

Ví dụ

• Cho hàm số:

a) Tính vi phân cấp hàm số x0=1

b) Tính gần đúng: Giải:

3

f x x

4, 03

1

2 3

f x df x dx

x x

1 1

1

4

2

df dx dx x

Ví dụ

• Cho hàm số:

a) Tính vi phân cấp hàm số x0=1

b) Tính gần đúng: Giải:

Nếu tính máy tính:

f x x

4, 03

1

4

1 0, 03

4, 03 1, 03 1, 03 2, 0075

4

f x f x

f f

4, 03 2, 00748599

Vi phân cấp cao

• Vi phân cấp 1:

• Là hàm theo x Nếu hàm số có vi phân vi phân gọi vi phân cấp hàm f(x)

• Vậy:

• Tương tự vi phân cấp n vi phân vi phân cấp (n-1)

df x f x dx

2

2 '

'

d f x d df d f x dx

dx d f x dx f x dx f x dx

1 n .

n n n

d f x d d f f x dx

Vi phân cấp cao hàm hợp

• Cho hàm hợp: f(g(x))

• Vi phân cấp 2:

2

'

' '

d f d df d f u du

d f u du f u d d u f u du f u d u

2

d f x f x dx

CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI

• Định lý giá trị trung bình (tham khảo)

• Cơng thức Taylor

• Qui tắc L’ Hospitale

Định lý Fermat

• Cho hàm số y=f(x) xác định lân cận x0 • Nếu f(x) đạt cực đại x0và có đạo hàm x0

thì:

0

'

(9)

Định lý Rolle

• Nếu hàm f(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b) f(a)=f(b) thị tồn điểm c thuộc (a,b) cho f’(c)=0

• Đặc biệt f(a)=f(b)=0 định lý Rolle có nghĩa hai nghiệm hàm số có nghiệm đạo hàm

Định lý Lagrange

• Nếu f(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b) tồn c thuộc (a,b) cho:

'

f b f a

f c b a

Định lý Cauchy

• Nếu f(x), g(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b) g(x) khác (a,b) tồn c thuộc (a,b) cho:

' '

f b f a f c

g b g a g c

Cơng thức Taylor

• Khai triển hàm số phức tạp thành dạng đơn giản

• Khai triển hàm phức tạp thành hàm đa thức

• Ví dụ:khai triển Taylor x=0

2 1

2

arctan

3

1

2 ! ! !

n

n n

n

x n

x x x

n

x x x

e x x

n

Công thức Taylor Cho hàm số f(x):

• Liên tục [a,b]

• Có đạo hàm đến cấp n+1 (a,b)

• Xét x0(a,b) Khi [a,b] ta có:

2

0

0 0

1

0

' "

1! !

! !

n n

f x f x

f x f x x x x x

f x f c

x x x x

n n

Phần dư công thức Taylor

• Dạng Lagrange:

• Dạng Peano: (thường dùng hơn)

1

1 !

n

n n

f c

R x x

n

0

lim n

n x

R

x x

0 n

n

(10)

Công thức Maclaurin Cho hàm số f(x):

• Liên tục [a,b]

• Có đạo hàm đến cấp n+1 (a,b)

• Xét x0=0(a,b) Khi [a,b] ta có:

2

' " 0

0

1! ! !

n

n n

f x

f f f

f x x x x

n

Công thức L’Hospital

• Áp dùng tìm giới hạn dạng:

Định lý: Cho giới hạn: có dạng

Nếu

0

lim ;

0

lim lim

x a

x a x a

f x g x

f x f x

L L

g x g x

0;

lim lim

x a x a

f x f x

L

g x g x

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

• Ý nghĩa đạo hàm

• Giá trị cận biên

• Hệ số co dãn

• Lựa chọn tối ưu kinh tế

1 Ý nghĩa đạo hàm

• Cho hàm số y=f(x)

• Tại x0khi x thay đổi lượng Δx • Thì y thay đổi: Δy = f(x0+ Δx)-f(x0)

• Tốc độ thay đổi y theo x điểm x0chính

đạo hàm f’(x0)

0

0 0

' lim

x

f x x f x

f x

x

0 '

y f x khi x rat nho

x

• Ví dụ 1. Hàm cầu loại hàng hóa p=50-Q2

• Tìm tốc độ thay đổi giá lượng cầu thay đổi

• Giá thay đổi Q=1

• Ví dụ 2.Hàm cầu loại hàng hóa 𝑝 = 45 − 𝑄

• Tìm tốc độ thay đổi giá lượng cầu thay đổi

(11)

2 Giá trị cận biên

• Đo tốc độ thay đổi y theo x, ký hiệu My(x)

• Ta thường chọn xấp xỉ 𝑀𝑦(𝑥) ≈ ∆𝑦 tức My(x) gần lượng thay đổi y x thay đổi đơn vị∆𝑥=1

'

My x f x

Giá trị cận biên chi phí

• Cho hàm chi phí C=C(Q)

• Hàm cận biên chi phí: MC(Q)=C’(Q)

• Lượng thay đổi chi phí Q tăng lên đơn vị

Ví dụ

• Giả sử chi phí trung bình để sản xuất sản phẩm là:

• A) Xác định hàm tổng chi phí để sản xuất Q sản phẩm

• B) Tìm giá trị cận biên hàm chi phí Nêu ý nghĩa Q=50

2 500

0, 0001 0, 02

C Q Q

Q

Giá trị cận biên doanh thu

• Cho hàm doanh thu R=R(Q)

• Hàm cận biên doanh thu: MR(Q)=R’(Q)

• Lượng thay đổi doanh thu Q tăng lên đơn vị

Ví dụ

• Số vé bán Q giá vé p hãng xe bus cho cơng thức:

• A) Xác định hàm tổng doanh thu

• B) Xác định doanh thu cận biên p=30 p=32

10000 125

Q p

Độ thay đổi tuyệt đối tương đối

• Định nghĩa: đại lượng x thay đổi lượng Δx ta nói:

• Δx độ thay đổi tuyệt đối x

• Tỷ số ∆𝑥

𝑥 100% gọi độ thay đổi tương đối

(12)

Hệ số co dãn

• Hệ số co dãn y theo x tỷ số độ thay đổi tương đối y x thay đổi lượng Δx

• Ký hiệu:

• Thể % thay đổi y x thay đổi 1% '

/

/ y x

f x

y y y x

x

x x x y f x

Ví dụ

• Cho hàm cầu Q=30-4p-p2 Tìm hệ số co dãn khi

p=3

Lựa chọn tối ưu kinh tế

• Trong kinh tế ta quan tâm tốn sau:

• + Tìm p để sản lượng Q đạt tối đa

• + Tìm p Q để doanh thu R đạt tối đa

• + Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu)

• Ta đưa tốn dạng tìm cực trị hàm biến số học

Ví dụ 1

• Cho hàm cầu Q=300-p, hàm chi phí C=Q3

-19Q2+333Q+10

• Tìm Q để lợi nhuận lớn

Ví dụ 2

• Cho hàm cầu Q=100-p, hàm chi phí C=Q3

-25Q2+184Q+15