nhập môn phương trình đạo hàm riêng

Một số bài toán thực hành quan trọng nằm ngoài khả năng tiếp cận bằng phương pháp khai triển hàm riêng. Chẳng hạn như khi không gian biến số được xác định trên toàn tập s[r]

0 TẬP ĐỒN DẦU KHÍ QUỐC GIA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC DẦU KHÍ VIỆT NAM

NHẬP MƠN

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

NGUYỄN VĂN TIẾN

1 CHƯƠNG

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Trong tốn phương trình đạo hàm riêng (PDEs) ta thường chuyển toán tìm nghiệm lớp phương trình vi phân thường (ODEs) Chương ta nhắc lại số phương pháp tích phân để giải phương trình vi phân thường hay gặp Phần đề cập đến nghiệm thực phương trình vi phân thường với hệ số thực

1.1 Phương trình vi phân cấp

Phương trình tách biến Dạng tổng quát phương trình tách biến sau:

   

dy

y f x g y dx

  

Để giải phương trình tách biến ta đưa phương trình dạng:

   

dy dx g y  f x Sau lấy tích phân hai vế theo biến tương ứng

Ví dụ 1.1 Giải phương trình sau: y y2  2x 0

Biến đổi phương trình ta được: 2

3

y dy xdx y  x C

 

Hay y x 3x2C1/3 với C số

Phương trình tuyến tính Dạng tổng qt sau:

   

y p x yq x Trong p q hàm cho trước

Ta tính tốn thừa số tích phân  x theo công thức:  x exp p x dx  

 

Ta nghiệm tổng quát phương trình dạng:

   1    

y x x q x dx x 



 

Một dạng khác nghiệm tổng quát:  

 1    

x a

y x t q t dt C

x 

  

   

 

2 Ví dụ 1.2 Xét phương trình: xy   2y x2 0 x0

Ta đưa phương trình dạng tuyến tính sau:

2

y y x x

   với p x  2, q x  x x

 

Thừa số tích phân tính sau:     ln 2

exp exp x

x p x dx dx e x

x

      

Nghiệm tổng quát phương trình:

 

2

1

4

C y x x dx x

x x

    với C số

1.2 Phương trình tuyến tính với hệ số

Phương trình bậc Bao gồm phương trình có dạng sau:

0, a const

y ay 

Các phương trình dạng giải phương pháp thừa số tích phân phương pháp tách biến phương trình đặc trưng

Ta có phương trình đặc trưng phương trình trên:

0

s a   s a

Nghiệm tổng quát dạng: y x Ceax, Cconst Ví dụ 1.3 Giải phương trình vi phân sau: y 3y

Phương trình đặc trưng: s 3

Vậy nghiệm tổng quát là: y x Ce3x, Cconst

Phương trình bậc hai Bao gồm phương trình có dạng sau:

0, a, b const

yay by  Phương trình đặc trưng: s2  as b 0

Căn vào nghiệm phương trình đặc trưng (PTĐT), ta có trường hợp:

 Nếu PTĐT có hai nghiệm thực phân biệt s1s2 nghiệm tổng quát dạng:

 

1 , ,1

s x s x

y x C e C e C C const

 Nếu PTĐT có nghiệm kép s1 s2 s0 nghiệm tổng quát dạng:

   

1 , ,1

s x

3  Nếu PTĐT có hai nghiệm phức liên hợp dạng s1  i, s2  i

nghiệm tổng quát là:

   1cos  2sin , ,1

x

y x e C x C x C C const

Bảng tổng hợp

Phương trình đặc trưng Công thức nghiệm tông quát

Hai nghiệm thực phân biệt:

1

s s  

1

1 s x s x , ,1

y x C e C e C C const

Nghiệm kép:

1

s  s s    

0

1 , ,1

s x

y x  C xC e C C const Hai nghiệm phức liên hợp dạng:

1 ,

s   i s   i    1cos  2sin , ,1

x

y x e C x C x C C const

1.3 Chú ý

Khi s1  s2 s0 (hai nghiệm thức trái dấu) nghiệm tổng quát biểu diễn dạng sau: y x C y x1 1 C y x2 2  , ,C C1 2const

Trong y x y x1   , 2 tổ hợp hai hàm tùy ý số hàm sau đây:

 0  0  0   0 

cosh s x , sinh s x , cosh s x c , sinh s x c Với c số thực khác

Thông thường, c chọn để thỏa mãn điều kiện biên cho trước

Ví dụ 1.4 Xét phương trình vi phân sau:

3 0,

y y y Phương trình đặc trưng: s2 3 2 0

2

s s

s

  

     

Vậy nghiệm tổng quát phương trình vi phân cho:

 

1 , 1,

x x

y x C e C e C C const

Ví dụ 1.5 Nghiệm tổng qt phương trình y 4y có dạng:

  2

1 x x, 1,

y x C e C e C C const

4  Nếu điều kiện biên liên quan đến y 0 , y 1 ta chọn biểu diễn dạng:

  1sinh 2  2sinh 2  , 1,

y x C x C x C C const

 Nếu điều kiện biên liên quan đến y 0 , y 3 ta chọn biểu diễn dạng:

  1sinh 2  2cosh 2  , 1,

y x C x C x C C const

Ví dụ 1.5 Tìm nghiệm tổng quát phương trình sau:

) 4 )

a y y y b y y Đáp án

 

 

1

2

1 2

1

1 2

) 2,

, ,

) ,

cos sin , ,

x

a s s

y C C x e C C const

b s i s i

y C x C x C C const



  

  

  

  

Chú ý Ta dùng phương pháp phương trình đặc trưng để tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính bậc cao

1.4 Phương trình tuyến tính khơng với hệ số  Phương trình bậc có dạng: y ay f, aconst

 Phương trình bậc hai có dạng: yay by f, a b, const Trong f hàm số cho trước

Nghiệm tổng quát phương trình dạng tổng hàm bổ sung tích phân riêng

 Hàm bổ sung nghiệm phương trình

 Tích phân riêng nghiệm riêng tốn khơng

Để tìm tích phân riêng ta thường dự đoán từ cấu trúc hàm f cho sử dụng nhiều phương pháp khác, chẳng hạn phương pháp biến thiên số

Nghiệm tổng quát có dạng sau: y yCyP hay y yCF yPI

Trong CF: complementary function; PI: particular integral

Ví dụ 1.6 Xét phương trình vi phân: y 3y ex

Hàm bổ sung hàm yCe3x, Cconst

Để tìm kiếm tích phân riêng, ta dự đoán dạng: x,

P

5

Thay vào phương trình ta

4

a 

Vậy nghiệm tổng quát cần tìm: ,

4

x x

yCe  e Cconst

Ví dụ 1.7 Nếu hàm bên vế phải ví dụ 1.6 thay e3x ta khơng thể tìm nghiệm riêng dạng ae3x nghiệm phương trình Để

thay thế, ta tìm nghiệm riêng dạng axe3x

Sau thay vào phương trình ta giải a=1 Vậy nghiệm tổng quát trường hợp là:

3x 3x,

yCe xe Cconst

Ví dụ 1.8 Giải phương trình sau: y 4y 4x2

Ta tìm nghiệm riêng dạng: , , ,

P

y ax  bx c a b cconst

Thay trực tiếp ta được: 1, 0,

2

a b c

Hàm bổ sung dạng: yCC1cos 2 x C2sin 2 x

Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho:

   

1 2

1

cos sin , ,

2

yC x C x  x C C const

1.5 Phương trình Cauchy – Euler

Phương trình vi phân bậc hai có dạng sau:

2 0, ,

x yxyy  const Để đơn giản, ta giả sử x0

Khi nghiệm phương trình tìm dạng: yxr, rconst

Thay vào phương trình ta có: r2  1r 

Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm thực phân biệt nghiệm phương trình ban đầu cho bởi:

1

1 , 1,

r r

yC x C x C C const

Ví dụ 1.9 Nghiệm tổng quát phương trình vi phân 2x y2 3xy y 0 có dạng:

1 1/2

1 , 1,

6 1.6 Một vài ý hàm toán tử

Ở phần trên, ta có đề cập đến thuật ngữ phương trình tuyến tính Mục ta làm rõ khái niệm “tuyến tính”

Định nghĩa 1.1 Cho  không gian hàm, L tốn tử tác động khơng gian hàm  theo luật

Tốn tử L gọi tuyến tính nếu:

 1 2 1 1 2 2

L c f c f c Lf c Lf

Trong f f1, 2; ,c c1 2

Ngược lại tốn tử L gọi phi tuyến (khơng tuyến tính)

Ví dụ 1.10 Các tốn tử đạo hàm tích phân xác định khơng gian hàm biến phù hợp tốn tử tuyến tính,

       

              

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

b b b

a a a

L c f c f c f c f c f c f c Lf c Lf

L c f c f c f x c f x dx c f x dx c f x dx c Lf c Lf

  

      

        

Ví dụ 1.11 Cho ,   hàm cho trước Ta dễ dàng chứng minh toán tử L định nghĩa sau:

Lf ff tốn tử tuyến tính

Ví dụ 1.12 Cho L toán tử xác định sau: Lf  f f  Ta có:

       

 

   

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2

1 2 1 1 2 2 2

1 2 1 2

L c f c f c f c f c f c f c f c f c f c f L c f c f c f f c c f f c c f f c f f

c Lf c Lf c f f c f f

  

      

   

    

 

  

Hai biểu thức L c f 1 1c f2 2và c Lf1 1 c Lf2 2 không đồng với giá trị c c f f1, , ,2 1 2

Do tốn tử L khơng tuyến tính Ta nói L tốn tử phi tuyến

Định nghĩa 1.2 Xét phương trình vi phân có dạng sau:

,

Lug

 Nếu L toán tử vi phân tuyến tính g hàm cho trước gọi phương trình tuyến tính

7 Nguyên lý chồng chất nghiệm (principle of superposition)

Định lý 1.3 Nếu Lug phương trình tuyến tính u u1, 2 nghiệm phương trình tương ứng với gg1 gg2 u1u2 nghiệm phương trình với g g1 g2

Nói cách khác, nếu: Lu1g Lu1, 2g2 L u 1u2 g1 g2

BÀI TẬP CHƯƠNG

Bài Tìm cơng thức nghiệm tổng quát phương trình đây:

                     

2

2

1

2

3 ,

4

5

6

7

8

9 4

10

11

( )

( )

( )

x

x y xy

y x y

x y y x x

x y xy x e

y y

y y

y y y

y y y

y y y

y y y

y y y



 

  



   

 

  

    

           

               

   

   

4

/2

2

2

2

12 13

13 2

14 3

15

16

17

18 4

19 25 30

20 8cos

21

22

x x x

x

x

y y y

y y x e

y y x e

y y e

y y x e

y y x x

y y y x x

y y e

y y x

x y xy y

x y xy y



   

   

     

       

    

 

  

     

Bài Xác định xem phương trình vi phân sau tuyến tính hay phi tuyến

   

   

23 24

25 26 ln

x

xy y sinx xe y xsiny

y y xy x y x y x

    

8 CHƯƠNG

CHUỖI FOURIER

Ta biết hàm khả vi vơ hạn lần f x có thể khai triển qua chuỗi Taylor quanh điểm x0 khoảng xác định Chuỗi có dạng:

   0

0

n n

n

f x  c x x

 





Với hệ số xác định bởi:   0 1, 2, ;   !

n n

n

n n

f x d f

c n f

n dx

  

Trong vài điều kiện định, chuỗi hàm bên phải hội tụ điểm hàm

 

f x khoảng mở chứa x0 ta sử dụng dấu công thức khai triển Trong chương này, ta quan tâm đến lớp khai triển khác, hữu dụng nghiên cứu giải phương trình đạo hàm riêng (PDEs)

2.1 Hàm tuần hoàn

Định nghĩa 2.1 Một hàm f xác định  gọi hàm tuần hoàn tồn số dương T0sao cho: f x T   f x   x 

Giá trị nhỏ T thỏa mãn tính chất gọi chu kỳ (hay chu kỳ) hàm f Dễ thấy f hàm tuần hồn với chu kỳ T thì:

    ,

f x nT  f x    x  n 

Ví dụ 2.1 Các hàm sin ,cosx x hàm tuần hồn với chu kỳ 2 với xta có: sinx2sin ;x cosx2cosx

Mặt khác, với số nguyên dương n ta thấy:

 

 

2

cos cos cos

2

sin sin sin

n x L n x n x

L L L

n x L n x n x

L L L

   

   

 

    



 

 

 

    



 

 

Do đó, hàm sinn x;cosn x

L L

  hàm tuần hoàn với chu kỳ 2L

9 “ Mỗi hàm f(x) với chu kỳ 2𝜋 biểu diễn chuỗi lượng giác

vô hạn dạng:   0  

1

cos sin

2 n n n

f x a  a nx b nx



 

 ”

Một chuỗi vô hạn dạng gọi chuỗi Fourier, biểu diễn hàm thành chuỗi Fourier kỹ xảo ứng dụng rộng rãi tốn ứng dụng, đặc biệt việc giải phương trình đạo hàm riêng

2.2 Chuỗi fourier hàm có chu kỳ 2𝜋

Trong mục ta xét hàm chu kỳ 2𝜋 Ta cần xác định hệ số chuỗi Fourier để hội tụ tới hàm xét f(x) có chu kỳ 2𝜋 Với mục đích đó, ta cần nhớ lại tích phân sau, m,n số nguyên dương

cos sin

0 , ,

cos cos cos cos

, ,

0 ,

sin sin cos sin

,

nx dx nx dx

n m n m

mx nx dx mx nx dx

n m n m

n m

mx nx dx mx nx dx

n m

 

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

   

 

 

   

 

 

 



 

 

 

 

 

Từ công thức ta thấy hàm cosnx,sinnx tạo thành tập trực giao hàm khoảng [-𝜋, 𝜋]

Chú ý Hai hàm thực u(x), v(x) gọi trực giao khoảng [a,b] nếu:

   

b

a

u x v x dx 

Giả sử hàm f(x) liên tục khúc chu kỳ 2𝜋 biểu diễn chuỗi Fourier

 

 

 



1

0 cos sin

2 ) (

n

n

n nx b nx

a a

x

f (1)

Với giả thuyết chuỗi vô hạn bên vế phải hội tụ giá trị f(x) với x

Ta giả thiết thêm chuỗi vô hạn (1) nhân thêm hàm liên tục bất kỳ, chuỗi nhận tích phân số hạng Kết phép tính tích phân hai vế (1) từ - 𝜋 đến 𝜋 là:

 

 

1

0

1

cos sin

2

1

n n

n

f x dx a dx a nxdx b nxdx

hay f x dx a dx a

   

   

 

 



 

   

 

 

 

    

 

 

 



   

10

Vậy ta có hệ số a0 xác định cơng thức:

 

1

a f x dx

 



  (2)

Nếu ban đầu ta nhân vế (1) với cosnt sau tích phân số hạng thì:

        1

cos cos cos cos sin cos

2

cos cos cos

cos cos cos cos

n n

n

n n

m m n

f x mxdx a mxdx a nx mxdx b nx mxdx

f x mxdx a nx mxdx

f x mxdx a mx mxdx a f x nxdx a

                                                                       

Vậy hệ số an xác định công thức:

   

1

cos 1,2,3,

n

a f x nxdx n

 



   (3)

Nếu nhân vế (1) với sinnt sau tích phân số hạng thì:

        1

sin sin cos sin sin sin

2

sin sin sin

sin sin sin sin

n n

n

n n

m m n

f x mxdx a mxdx a nx mxdx b nx mxdx

f x mxdx b nx mxdx

f x mxdx b mx mxdx b f x nxdx b

                                                                       

Vậy hệ số bn xác định công thức:

   

1

sin 1,2,3,

n

b f x nxdx n

 



   (4)

Định nghĩa 2.2 Chuỗi Fourier hệ số Fourier

Cho f(x) hàm liên tục khúc chu kỳ 2𝜋 xác định với x Khi chuỗi Fourier hàm f(x) chuỗi:

 

0

1

( ) cos sin

2 n n n

f x a  a nx b nx



   (5)

11

   

1

cos 0,1,2,3,

n

a f x nxdx n

 



   (6)

   

1

sin 1,2,3,

n

b f x nxdx n

 



   (7)

Chú ý Chuỗi Fourier hàm không hội tụ hàm điểm xác định miền xác định hàm số Do thay viết dấu hàm số chuỗi Fourier ta sử dụng ký hiệu sau:

 

0

1

( ) cos sin

2 n n n

f x a  a nx b nx



  

Trong mục ta xét chuỗi Fourier hàm liên tục khúc nhiều hàm xuất ứng dụng liên tục khúc không liên tục Chú ý tích phân cơng thức tính hệ số Fourier tồn f(x) hàm liên tục khúc, hàm liên tục khúc có chuỗi Fourier

Chú ý Các cơng thức tính tích phân sau hữu ích tính tốn chuỗi fourier hàm đa thức:

1

1

cos cos sin

sin sin cos

cos sin sin

sin cos cos

n n n

n n n

u u du u u u C

u u du u u u C

u u du u u n u u du

u u du u u n u u du

 

  

  

 

  

 

 

 

Ví dụ 2.2 Tìm chuỗi Fourier hàm tuần hồn chu kỳ 2𝜋 xác định bởi:

 

      

 

 

   

 

 

t x x

x x

f

2

0

Giải

Giá trị hàm số f  khơng ảnh hưởng đến giá trị tích phân hệ số Fourier Vì f x 0 ,0 nên ta cần tích tích phân khoảng

12

Đầu tiên ta tính hệ số a0 theo công thức (6):

   

0 0 0

1 1

2

a  f x dx  f x dx xdx





   

      

Các hệ số an xác định bởi:

  0   0

1 1

cos cos cos

n

a  f x nxdx  f x nxdx x nxdx



   

     

Đặt ux dv, cosnxdxvà theo cơng thức tích phân phần ta có:

0 0

1 sin

cos sin

n

x nx

a x nxdx nxdx

n n                       

Vậy 2  0 2  

2

0

1

cos cos 2

2

n

n

a nx n

n n n n                 

Tương tự, ta tính hệ số bn xác định từ (7):

  0   0

1 1

sin sin sin

n

b  f x nxdx  f x nxdx x nxdx



   

     

Đặt ux dv, sinnxdx tính tích phân phần:

0 0

1 cos

sin cos

n

x nx

b x nxdx nxdx

n n                        

Vậy ta có:    

1 1 cos 1 n n nchan n

b n n

n n nle n          

Cơng thức chuỗi Fourier cần tìm:

           le n n n n nt n nt x f 1 sin cos ) (  

Tính chất Nếu hàm f(x) tuần hồn với chu kỳ 2𝜋 ta có:

  aa  

f x dx f x dx

 





 

  với giá trị a

Điều có nghĩa tích phân hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2𝜋 khoảng có độ dài 2𝜋 ln Do đó, ta hay đưa khoảng tính tích phân

khoảng [0, 2𝜋 ] để có cơng thức thuận tiện

13

   

2

0

1

cos sin

n n

a  f x nxdx b  f x nxdx

 

    (8)

2.3 Chuỗi Fourier đầy đủ

Trong mục 2.2 ta định nghĩa chuỗi Fourier hàm tuần hoàn có chu kỳ

2 Bây giờ, giả sử f x là hàm liên tục khúc có chu kỳ P2L0 Ta gọi L nửa chu kỳ hàm f

Ta xác định hàm g sau: g u  f Lu



  

    với u

Khi đó: g u 2 f L u 2 f Lu 2L f Lu g u 

  

      

     

        

Vậy g(u) hàm tuần hoàn chu kỳ g 2 Ta gọi chuỗi Fourier tương ứng g là:

 

0

1

( ) cos sin

2 n n n

g u a  a nu b nu



  

Với hệ số xác định bởi:

     

     

1

cos 0,1,2,3,

1

sin 1,2,3,

n

n

a g u nu du n

b g u nu du n

  











 

 

 

Ta đặt: x Lu u x f x  f Lu g u 

L



   

        , ta có:

 

 

0

0

0

1

( ) cos sin

2

cos sin

2

cos sin

2

n n

n

n n

n

n n

n

g u a a nu b nu

x n x n x

g a a b

L L L

n x n x

f x a a b

L L

  

 

  

 



  

   

     

 

  

   

 

 

    

 

  

14

   

   

1

cos 0,1,2,3,

1

sin 1,2,3,

L n

L L n

L

n x

a f x dx n

L L

n x

b f x dx n

L L









  

   

  

   

 

Định nghĩa 2.3 Chuỗi Fourier hệ số Fourier

Cho hàm f(x) liên tục khúc có chu kỳ 2L xác định với x Khi chuỗi Fourier hàm f(x) chuỗi

 

1

cos sin

2 n n n

n x n x

f x a a b

L L

 

 

 

 

    

 

 (9)

Với hệ số xác định bởi:

   

   

1

cos 0,1,2,3,

1

sin 1,2,3,

L n

L L n

L

n x

a f x dx n

L L

n x

b f x dx n

L L









  

   

  

   

 

(10)

Ta đánh giá tích phân khoảng có độ dài 2L

   

2

0

1

cos sin

L L

n n

n x n x

a f x dx b f x dx

L L L L

 

    (11)

Định nghĩa 2.4 Hàm liên tục khúc

Hàm f gọi liên tục khúc [a,b] có phân chia hữu hạn khoảng [a,b] với điểm chia: a    x0 x1 x2 xn1 xn b cho:

i) Hàm f liên tục khoảng mở xi1,xi

ii)Tại điểm chia xi khoảng con, tồn hữu hạn giới hạn trái giới hạn phải f x 

Hàm f gọi liên tục khúc liên tục khúc khoảng giới nội Như hàm liên tục khúc liên tục ngoại trừ điểm cô lập (điểm gián đoạn) Tại điểm gián đoạn ta có:

       

lim , lim

i i

i i

x x f x f x x x f x f x

 

    tồn hữu hạn

Nói cách khác hàm liên tục khúc hàm có hữu hạn điểm gián đoạn điểm gián đoạn điểm gián đoạn loại I (điểm nhảy hữu hạn)

15 Định nghĩa 2.5 Hàm trơn khúc

Một hàm liên tục gọi hàm trơn đạo hàm liên tục Một hàm liên tục khúc f gọi trơn khúc đạo hàm liên tục khúc

Ví dụ 2.3

Hàm liên tục khúc Hàm không liên tục khúc

Nếu hàm số liên tục khúc L L, thì giá trị hàm số f điểm gián đoạn không ảnh hưởng tới việc xây dựng chuỗi Fourier Cụ thể tích phân

  L

L f x dx 

 tồn độc lập với giá trị gán cho hàm số (hữu hạn) điểm gián đoạn

Định lý sau khẳng định chuỗi Fourier hàm trơn khúc hội tụ điểm

Định lý 2.6 Sự hội tụ chuỗi Fourier

Giả sử hàm tuần hoàn f trơn khúc Khi chuỗi Fourier hội tụ: a) Đến giá trị f(x) điểm mà f(x) liên tục

b) Đến giá trị 1    

2 f x f x

   điểm mà f khơng liên tục

Chú ý Biểu thức 1    

2 f x f x

   giá trị trung bình giới hạn trái giới

hạn phải hàm f điểm x Nếu hàm f liên tục điểm x ta có:

  12    

f x  f x  f x

Từ ta phát biểu lại định lý sau:

“Chuỗi Fourier hàm trơn khúc f hội tụ tới 1    

2 f x f x

16

Do đó, ta viết:   0

1

1

cos sin

2 n n n

n x n x

f x a a b

L L

 

 

 

 

    

 



2.4 Chuỗi Fourier Cosine chuỗi Fourier Sine 2.4.1 Hàm số chẵn hàm số lẻ

 Hàm số f(x) xác định với x gọi chẵn nếu: f  x f x , x

 Hàm số f(x) xác định với x gọi lẻ nếu: f  x f x , x Tính chất:

- Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục Oy - Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O

- Tích hai hàm chẵn hàm chẵn - Tích hai hàm lẻ hàm chẵn

- Tích hàm chẵn hàm lẻ hàm lẻ

- Tích phân hàm số chẵn:    

0

2

a a

a f x dx f x dx

 

 

- Tích phân hàm số lẻ: a  

a f x dx

 



- Chuỗi Fourier hàm chẵn gồm phần tử cosine - Chuỗi Fourier hàm lẻ gồm phần tử sine

2.4.2 Mở rộng hàm chẵn hàm lẻ

Trong mục trước ta thường xét hàm số tuần hoàn với x, chuỗi hàm Fourier hàm số xác định công thức hệ số Fourier Tuy nhiên tình thực tế, ta thường sử dụng hàm số xác định khoảng 0 x L ta muốn biểu diễn giá trị đoạn chúng chuỗi hàm số Fourier với chu kỳ 2L

17    

f x L  f x

Tuy nhiên, làm để xác định giá trị hàm f khoảng

L x

   ? Và ta hiểu chuỗi hàm số Fourier biểu diễn hàm f x  khoảng 0 x L mà ta thu phụ thuộc vào lựa chọn mở rộng

Các lựa chọn khác phần mở rộng hàm số f x  khoảng

L x

   sinh chuỗi hàm số Fourier khác Các chuỗi Fourier hội tụ hàm số f x  khoảng ban đầu 0 x L, khoảng

0

L x

   chúng hội tụ đến phần mở rộng khác hàm số f x 

Trên thực tế, với f x xác định khoảng 0 x Lta thường chọn hai cách mở rộng tự nhiên f x : mở rộng chẵn mở rộng lẻ (mở rộng để thu hàm chẵn hàm lẻ)

Mở rộng chẵn chu kỳ 2L f hàm số, ký hiệu fE định nghĩa sau:

   

0

0

E

f x x L

f

f x L x

  



      fEx2L f x ,x

Giá trị hàm số f xE  điểm x bội nguyên L khơng quan trọng chúng khơng ảnh hưởng tới chuỗi hàm số Fourier fE Chuỗi hàm số Fourier fE bao gồm phần tử cosine gọi chuỗi hàm số Fourier cosine hàm số f ban đầu

Mở rộng lẻ chu kỳ 2L f hàm số, ký hiệu fO định nghĩa sau:

   

0

0

E

f x x L

f

f x L x

  



      fOx2L f x ,x

Chuỗi hàm số Fourier fO bao gồm phần tử sine gọi chuỗi hàm số Fourier sine hàm số f ban đầu

2.4.3 Chuỗi Fourier Cosine Fourier Sine

Giả sử hàm số f x liên tục khúc khoảng  0,L Khi đó:

18  

1

cos ,

2 n n

a n x

f x a

L



 

  với  

0

2

cos

L n

n x

a f x dx

L L



  (12)

 Chuỗi Fourier sine hàm f chuỗi:

 

sin ,

2 n n

a n x

f x b

L



 

  với  

0

2

sin

L n

n x

b f x dx

L L



  (13)

Nếu giả sử thêm f x  hàm trơn khúc thỏa mãn điều kiện

  12    

f x  f x  f x điểm không liên tục Khi này, theo định lý hội tụ 2.6, chuỗi Fourier Cosine Fourier Sine hàm số f hội tụ f x  với x 0,L

Ngoài khoảng này, chuỗi hội tụ mở rộng hàm f Nhưng không cần quan tâm đến giá trị hàm số f ngồi khoảng  0,L ta lựa chọn hai chuỗi để biểu diễn giá trị hàm số f khoảng

 0,L

Ví dụ 2.4 Giả sử f x  1 x, 0  x 1 Hãy tìm biểu diễn Fourier sine cosine hàm số f

Giải

Đồ thị hàm số cho có dạng:

 Khai triển chuỗi Fourier sine:

Đầu tiên ta mở rộng lẻ đoạn 1,0, ta có: f   x f x    1 x 0

Ta có:  

 

0 1:

1 :

x f x x

x f x x

   

19

Vậy ta dùng hàm   ,

1 ,

x x

f x

x x

   



      để khai triển tuần hồn

Sau đó, ta mở rộng tồn trục số:

Tính hệ số chuỗi Fourier sine:

   

   

           

       

1

0

1

1

0

1

1 0

1

1 0

1

sin sin

1 sin sin

1

1 1

1 cos cos cos cos

1

1

1 cos cos

L

n L

n

n

n

n x

b f x dx f x n xdx

L L

b x n xdx x n xdx

x

b x n x n x dx n x n x dx

n n n n

x

b x n x n x

n n n

 

 

   

   

 

  

 



 



 

    

 

    

 

      

   

 

    

 

     

   

 

 

 

1

n n

 

Chuỗi Fourier sine:  

1

2 sin

n

f x n x

n  

 



Do hàm mở rộng không liên tục x0 0 Giá trị điểm xác định bởi:

   0 1  1

0

2

f   f   

 

Ta có:

1

0

2 sin

1

n

x n x

x x

n  



 



     

 Chuỗi Fourier cosine:

Đầu tiên ta mở rộng chẵn đoạn 1,0, ta có: f   x f x    1 x 0

Ta có:  

 

0 1:

1 :

x f x x

x f x x

   

20

Vậy ta dùng hàm   ,

1 ,

x x

f x

x x

   



      để khai triển tuần hoàn

Sau đó, ta mở rộng tồn trục số:

Tính hệ số chuỗi Fourier sine:

                                  1 1

0 0 1

1 0 1 cos cos

1 cos cos

1

1 1

1 sin sin sin sin

1 1

sin sin cos

L n L n n n n x

a f x dx f x n x dx

L L

a x n x dx x n x dx

x

a x n x n x dx n x n x dx

n n n n

a n x dx n x dx n x

n n n

                                                                                   2 2 cos

2 4

1 cos 1

2 n n n x n n a n n

n n n

                                     

Chuỗi Fourier cosine:     2 2

1

1

1 cos

2

n n

f x n x

n  

 

 

   



Do hàm mở rộng liên tục  nên ta có:

  2

1

1 cos ,

2

n n

n x x x

n  

 

 

       

2.5 Vi phân phần chuỗi Fourier

Định lý 2.7 Giả sử hàm số f liên tục với x, tuần hoàn với chu kỳ 2L, có đạo hàm fvà đạo hàm trơn khúc với x Khi đó, chuỗi Fourier f

là chuỗi:

 

' nsin ncos

n

n n x n n x

f x a b

L L L L

           

21  

1

cos sin

2 n n n

a n x n x

f x a b

L L

 

 

 



   

Định lý 2.8

i) Nếu f liên tục L L, , f  L f L  f hàm trơn khúc

L L,  Khi chuỗi Fourier đầy đủ hàm f lấy đạo hàm theo số hạng chuỗi thu chuỗi Fourier f Chuỗi hội tụ đến f điểm mà f tồn

ii) Nếu f liên tục  0,L , f 0  f L 0 f hàm trơn khúc

 0,L Khi chuỗi Fourier sine hàm f lấy đạo hàm theo số hạng chuỗi thu chuỗi Fourier cosine f Chuỗi hội tụ đến f điểm mà f tồn

iii) Nếu f liên tục  0,L f hàm trơn khúc  0,L Khi chuỗi Fourier cosine hàm f lấy đạo hàm theo số hạng chuỗi thu chuỗi Fourier sine f Chuỗi hội tụ đến f điểm mà

f tồn

Ví dụ 2.5 Xét hai chuỗi Fourier sine cosine hàm f x  1 x, 0  x 1 ví dụ 2.4

+ Chuỗi Fourier sine không lấy đạo hàm số hạng vi phạm tính liên tục

   

1 1

2

sin cos cos

n n n

f x n x f x n n x n x

n  n   

  

  



 

  

 

+ Chuỗi Fourier cosine lấy đạo hàm số hạng

Ta có:     2 2

1

1

1 cos

2

n n

f x n x

n  

 

 

   



Nên đạo hàm số hạng ta được:

    2   

1

2

1 n sin 1 sinn

n n

f x n n x n x

n

n     

 

 



   

          

Nghiệm chuỗi Fourier phương trình vi phân

22

   

   

0

0

ay by cy f x x L

y y L

    

 

Trong f x  hàm số cho trước Bài tốn dạng giải phương pháp chồng chất nghiệm chương Tuy nhiên ta ứng dụng chuỗi Fourier vào giải toán nhiều trường hợp phương pháp tỏ hiệu phương pháp chương

Bước Mở rộng định nghĩa hàm số f x  đến khoảng   L x theo cách thích hợp

Bước Mở rộng tuần hồn toàn trục số

Bước Nếu hàm số mở rộng có chuỗi Fourier:

 

cos sin

2 n n n

A n x n x

f x A B

L L

 

 

 



   

Thì ta giả sử phương trình vi phân có nghiệm y x  có chuỗi Fourier:

 

cos sin

2 n n n

a n x n x

y x a b

L L

 

 

 



   

và giả sử chuỗi vi phân phần hai lần

Bước Thay chuỗi vào phương trình vi phân cân hệ số

Nếu cách làm tìm chuỗi thỏa mãn phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện biên ta có chuỗi Fourier nghiệm hình thức tốn giá trị biên Do đó, ta cần ý đến tính đắn việc tính vi phân số hạng chuỗi Fourier

Ví dụ 2.6 Hãy tìm nghiệm dạng chuỗi Fourier toán biên sau đây:

   

4

0

y y x

y y

  

 

Giải

Ta có f x 4 , 0x   x 4

23

   

1

1

4 sin ,

n n

x n x x

n 



 

 

   

Do đó, ta sử dụng chuỗi sine:  

1

sin

n n

y x  b n x 



Chú ý chuỗi dạng thỏa mãn điều kiện biên

Thay vào phương trình ta được:

 2   

1

1

4 b sin sin

n n

n n

n n x n x

n

  





 

 



  

 

Cân hệ số ta có:  

 

1 2

8

4

n n

b

n n    



Vậy nghiệm dạng chuỗi Fourier:    

 

1 2

1

sin

n n

y x n x

n n 

 

 

  

 

Nghiệm xác toán là:   sin 0 1 sin

x

y x  x  x

2.6 Tích phân phần chuỗi Fourier

Định lý 2.9 Giả sử hàm số f x  liên tục với x, tuần hoàn với chu kỳ 2L chuỗi Fourier:

 

cos sin

2 n n n

a n x n x

f x a b

L L

 

 

 



   

Chuỗi khơng hội tụ Khi đó:

  0

1

sin cos

2

x

n n

n

a x L n x n x

f t dt a b

n L L

 



 

  

  

      

  

 

24 BÀI TẬP CHƯƠNG

Bài Xây dựng chuỗi Fourier hàm số Trong trường hợp nêu rõ khoảng hội tụ chuỗi hàm số miền cho

       

       

       

       

1 , 0 ,

1

0 ,0 ,0

2 , 1 , /

3

3 ,0 ,0 /

5 , 1 , 2

1 , 2 , 1/

7

2 ,0 ,0 1/

x x

f x f x

x x

x x

f x f x

x x

f x x x f x x x

x x x

f x f x

x x x

                                                                                                                2

, 1 ,

9 10

2 ,0 ,0

11 3, 1 12 , 2

1 , /

,

13 14

sin ,0 /

2 ,0

0 , ,

15 16

1 ,

x

x x x x

f x f x

x x x x

f x x x x f x e x

x

x x

f x f x

x x

x x

x

f x f x

x x                                                                            /

1 , /

x x            

Bài Xây dựng chuỗi Fourier sine Fourier cosine hàm Nêu khoảng hội tụ chuỗi hàm số khoảng [0,L]

       

       

       

       

0 ,0 ,0

17 18

1 ,1 ,

1 ,0 ,0 /

19 20

1 ,1 , /

21 , 22 ,0

,0 ,0

23 24

2 ,1 2 ,1

x x

f x f x

x x

x x

f x f x

x x

f x x x f x x x

x x x x

f x f x

x x x

                                                                                                     2

2 ,0

25 26 1,

1 ,1

1 ,0

27 28 ,0

2 ,1

cos ,0 /

29 sin , 30

1 , /

x

x x

f x f x x x x

x x

x x

f x f x e x

x x x

x x

f x x x x f x

25 CHƯƠNG

BÀI TOÁN STURM - LIOUVILLE

Trong phương trình vi phân thường, có lớp tốn bậc có vai trị đặc biệt quan trọng việc tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng Mục này, ta giới thiệu xem xét số kết quan trọng liên quan đến toán Từ đó, cung cấp kiến thức tảng cho phương pháp tách biến khai triển hàm riêng chương sau

3.1 Bài toán Sturm – Liouville quy

Để tránh phức tạp hóa ký hiệu, phần ta ký hiệu khoảng nói chung I, cho dù khoảng đóng, mở, nửa mở, hữu hạn hay vơ hạn Nếu khoảng đặc biệt ký hiệu riêng thông qua đầu mút bất đẳng thức Các hàm xác định khoảng giả sử khả tích khoảng

Định nghĩa 3.1 Cho  không gian hàm xác định khoảng I Một tốn tử vi phân tuyến tính L  gọi đối xứng X nếu:

       

 2 

I

f x Lf x  f x Lf x dx

 với f f1, 2

Ví dụ 3.1 Xét  không gian hàm khả vi cấp đoạn [0,1] triệt tiêu 0, Gọi L toán tử đạo hàm cấp  Như với f f1, 2 ta có:

 1 1,  2 2,

L f  f L f  f

Ta có:

   

   

1

1 2 1 2

0

1 1 1

1 0 2 0

0 0

I f L f f L f dx f f f f dx

I f f f f dx f f f f dx

 

   

       

      

 

 

Vậy L toán tử đối xứng

Chú ý Một tốn tử đối xứng khơng gian hàm lại không đối xứng với không gian hàm khác Nếu ví dụ hàm số khơng có điều kiện triệt tiêu tốn tử L khơng đối xứng

Định nghĩa 3.2 Cho 𝜎 hàm xác định I thỏa mãn 𝜎(𝑥)>0, với 𝑥∈𝐼 Hai

26

     

1

I

f x f x  x dx



Nếu  x 1, ta nói ngắn gọn hai hàm f f1, 2 trực giao Tập hợp hàm trực giao đôi I gọi tập trực giao

Ví dụ 3.2 Hàm f x1 1 f x2 9x5 hai hàm trực giao với hàm trọng số

 x x

   khoảng [0,1] vì: 1   1 

0 9x5 x1 dx 9x 4x5 dx0

 

Ta nói hai hàm f x1   x1 f x2 9x5 trực giao [0,1]

Ví dụ 3.3 Hàm sin 3 x cos 2 x hai hàm trực giao khoảng  ,  vì:

       

sin cos sin sin

x x dx x x dx

 

 

      

 

Định nghĩa 3.3 Cho L toán tử vi phân tuyến tính khơng gian hàm  bao gồm hàm số xác định (a,b) Ta xét phương trình dạng:

  Lf x    x f x 0, a x b  (1) Với  tham số thực  hàm cho trước cho  x 0, x  a b, gọi toán giá trị riêng Số  cho phương trình (1) có nghiệm khác gọi giá trị riêng, hàm nghiệm tương ứng phương trình (1) gọi hàm riêng

Định lý 3.4 Nếu toán tử L tốn (1) đối xứng thì: i) Tất giá trị riêng số thực

ii) Các giá trị riêng tạp thành dãy vô hạn  1 2  n thỏa mãn lim n  iii)Các hàm riêng tương ứng với giá trị riêng khác hàm trực giao

với hàm trọng số  (a,b)

Định nghĩa 3.5 Cho [a,b] khoảng hữu hạn, cho p q, , hàm số thực,

1, , ,2

k k k k số thực cho:

i) p x  hàm khả vi liên tục [a,b] p x 0,  x  a b,

ii) q x   , x hàm liên tục [a,b]  x 0, x  a b,

iii) k k1, 2 không đồng thời k k3, 4 không đồng thời Xét toán giá trị riêng dạng:

   

27

   

1 '

k f a k f a  (3) k f b3  k f b4 ' 0 (4) Khi toán (2), (3), (4) gọi toán Sturm – Liouville (S-L) dạng quy

Ví dụ 3.4 Nếu chọn p x 1,q x 0, x 1,k11, k20,k31,k4 0,a0,b L

thì ta có tốn S-L dạng quy sau:

   

   

0,

0 0,

f x f x x L

f f L



    

 

Bài toán dạng quen thuộc!!!

Ví dụ 3.5 Nếu chọn p q, , , , a b ví dụ k10,k2 1, k30, k41 ta có tốn S-L dạng quy sau:

   

   

0,

0 0,

f x f x x L

f f L



    

   

Ví dụ 3.6 Nếu p q, , , , a b chọn giống ví dụ

1 1, 0, ,

k  k  k h k  ta có tốn S-L dạng quy sau:

   

     

0,

0 0,

f x f x x L

f hf L f L



    



  

Ví dụ 3.7 Bài toán biên      

   

2 0,

0 0,

f x f x f x x

f f



      



  

 tốn

S-L quy

Thật vậy, từ hệ số f x , sử dụng kỹ thuật thừa số tích phân ta chọn:

    exp 2 2x,   0

p x  x   dx e q x 

Từ ta biến đổi phương trình ban đầu sang dạng tương đương sau:

 

e f x2x  e f x2x  0, 0 x 1

Định lý 3.6 Trên không gian  bao gồm hàm thỏa mãn điều kiện biên (3) (4), xét toán tử

 

28 Trong p q, hàm thỏa mãn điều kiện phương trình (2) Định nghĩa 3.5

Khi L tốn tử đối xứng không gian hàm 

Chứng minh Xem tập

Bổ đề 3.7 Các giá trị riêng hàm riêng toán Sturm – Liouville dạng

quy có đầy đủ tính chất nêu Định lý 3.4

Trước tính tốn giá trị riêng hàm riêng cho toán S-L cụ thể, ta đưa công thức liên quan đến đại lượng Bằng cách nhân phương trình (2) với f (x) ta được:

                

2

2

0

f x p x f x q x f x x f x hay f pf qf f

  

   



   

Lấy tích phân hai vế (a,b) ta có:

  2 2    2 2 2

0 b b b b

a f pf qf dx af dx a pff p f qf dx  a f dx

        

          

   

   

Ta có:  b b  2 b 0

a a a

pff  p f qf dx  f dx

Từ ta có cơng thức Rayleigh sau:

 2 2  

2

b b

a a

b a

p f qf dx pff f dx





     

 



 (6)

Ví dụ 3.8 Xét tốn S-L ví dụ 3.4, ta có:

 2 2  2      

0

2

0

0; 0;

0

b L b L

a a

b L

a

p f qf dx f dx pff f x f x

f dx f dx



           

 

 

 

 

Vậy theo cơng thức (6) ta có:    

2 2

2

b b

a a

b a

p f qf dx pff f dx





     

 

 



Nhận xét thấy 0 f x  hàm Nhưng từ hai điều kiện biên: f 0 0, f L 0 ta suy f x 0

Điều mâu thuẫn với giả thiết hàm riêng nghiệm khác không Do 0 nghiệm tổng qt phương trình ví dụ 3.4 là:

  1cos  1sin , 1,

29

Thay vào điều kiện biên f 0 0 ta được: C10

Dùng điều kiện biên thứ f L 0 ta có:

2sin sin , 1, 2,3,

C L  L  L n  n

Vậy giá trị riêng toán là:

2

, 1, 2,3,

n n

L



   

 

Các hàm riêng tương ứng: f x  C2sinn x, n 1, 2,3,

L



 

Để thuận tiện ta chọn số C21

Dễ dàng kiểm tra lại tính chất Định lý 3.4 thỏa mãn Tính trực giao hàm riêng khoảng  0,L kiểm tra trực tiếp đây:

   

0

0 ,

sin sin cos cos

2 ,

2 L

L m n x m n x n m

m x n xdx dx

L

L L L L n m

 

           

   

  

 

Ví dụ 3.9 Một cách tương tự ta tính tốn hàm riêng tốn S-L ví dụ

3.5 Ta có bất đẳng thức:    

2 2

2

b b

a a

b a

p f qf dx pff f dx





     

 

 



Tuy nhiên, ta khơng loại trường hợp  0 Vì hàm f x c khác thỏa mãn hai điều kiện biên:

 0 0,  

f  f L 

Chọn

2

c ta nói tốn có cặp giá trị riêng – hàm riêng: 0 0, 0 

f x

  

Với 0 nghiệm tổng quát phương trình là:

  1cos  1sin , 1,

f x C x C x C C const Từ điều kiện biên: f 0  0 C2 0

Từ điều kiện f L  0 C1 sin L 0

Do nghiệm hàm riêng khác nên ta có  

2

sin L n , n 1, 2,3,

L



        

30

 

2

, 1, 2,3, cos , 1, 2,3,

n n f x n x n

L L

 

       

   

Ta dễ dàng kiểm chứng hàm riêng giá trị riêng thỏa mãn tính chất Định lý 3.4

Ví dụ 3.10 Giả sử h0 tốn S-L Ví dụ 3.6 Viết lại điều kiện biên thứ dạng f L  hf L  ta thấy:

            2 

0 0

b L

a

pff  ff  f L f L  f f  hf L Từ cơng thức Rayleigh ta có:

 2 2    2 2 2 

2

b b b

a

a a

b b

a a

p f qf dx pff p f qf dx hf L

f dx f dx



 

          

   

    

 

Dễ thấy ta loại trường hợp 0

Từ công thức nghiệm tổng quát điều kiện biên ta được: C10

Sử dụng điều kiện biên f L hf L 0 ta có:

       

2 cos 2sin cos sin

C  L hC L    L h L 

Ta phương trình: tan L  L

h hL



     

Đặt L ta thấy  hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số ytan y

hL

 

31

Dựa vào đồ thị ta thấy có đếm điểmn cho tốn S-L có vơ hạn dãy giá trị riêng dương:

2

, 1, 2,3, , lim n

n n n n

L



 



 

    

 

Tương ứng với hàm riêng:   sin  sin n , 1, 2,3,

n n

x

f x x n

L

 

  

Tập hợp hàm riêng   sin  sin n , 1, 2,3,

n n

x

f x x n

L

 

   trực giao [0,L]

Ví dụ 3.11 Tìm hàm riêng vecto riêng tốn S-L Ví dụ 3.7 sau:

     

   

2 0,

0 0,

f x f x f x x

f f



      



  

 Đáp án

 Bài tốn khơng có giá trị riêng 1

 Nếu  1 nghiệm tổng quát dạng:

   1cos  2sin , 1, x

f x e C  x C  x C C const

 Các giá trị riêng: 2 1, 1, 2,3,

n n n

    

 Các hàm riêng tương ứng:   xsin , 1, 2,3, n

f x e n x n 

Bài tốn Sturm-Liouville quy có hai tính chất quan trọng Định lý 3.8

i) Với giá trị riêng n tồn hàm riêng độc lập tuyến tính fn ii)Tập hợp  fn n1 hàm riêng tập đầy đủ, có nghĩa là, hàm u trơn

khúc [a,b] có chuỗi Fourier (hay chuỗi hàm riêng) dạng:

   

1

, n n n

u x  c f x a x b 

   (7)

Chuỗi hội tụ điểm đến 1    

2 u x u x

   a x b  hội tụ u x  hàm u x  liên tục x

Chú ý

i) Các hệ số cn công thức khai triển (7) xác định sau:

         

2 , 1, 2,3, b

n a

n b

n a

u x f x x dx

c n

f x x dx

 

  

32

ii)Bài tốn S-L ví dụ 3.4 ví dụ 3.8 từ cơng thức khai triển (7) cho ta chuỗi Fourier sine hàm u Cịn tốn S-L ví dụ 3.5 ví dụ 3.9 từ cơng thức khai triển (7) cho ta chuỗi Fourier cosine hàm u

iii) Tương tự ví dụ 3.11 ta tính tốn giá trị riêng hàm riêng toán S-L tổng quát sau

       

   

0,

0 0,

f x af x bf x cf x x L

f f L



       



  



Trong a b, c0 số Giá trị riêng hàm riêng sau:

 

2

/ 2

2

1 4 , sin , 1, 2,3,

a x

n n

n a b f e n x n

c L L

 

        

 

 

Ví dụ 3.12 Giả sử ta muốn khai triển hàm u x  x 1, 0 x thông qua hàm riêng ví dụ 3.6 3.10 với L h 1

Ta viết lại toán:    

     

0,

0 0,

f x f x x L

f hf L f L



    



  

Các giá trị riêng (theo ví dụ 3.10):

2

, 1, 2,3, , n

n n

L



   

 

Các hàm riêng (theo ví dụ 3.10):   sin  sin n , 1, 2,3,

n n

x

f x x n

L

 

  

Năm nghiệm phương trình tan   xấp xỉ sau đây:

1 2,0288 4,9132 7,9787 11, 0855 14, 2074

         

Sử dụng cơng thức (8) ta có hệ số:

1 1,9184, 0,1572, 0,3390, 0,1307, 0,1696,

c  c  c  c  c 

Vậy chuỗi khai triển có dạng:

1,9184sin 2,0288 0,1572sin 4,9132 0,3390sin 7,9787 0,1307sin 11

( ) ( ) ( ) ( )

( ,0855 ) 0,1696si (n 14,2074 ) ···

u x x x x

x x

  

  

Ví dụ 3.13 Giả sử ta muốn khai triển hàm u x ex, 0 x 1 thơng qua hàm

riêng ví dụ 3.7 3.11

Ta viết lại toán:      

   

2 0,

0 0,

f x f x f x x

f f



      



  



Các giá trị riêng (theo ví dụ 3.11): 2 1, 1, 2,3,

n n n

    

Các hàm riêng (theo ví dụ 3.11):   xsin , 1, 2,3, n

33

Sử dụng công thức (8) với ý  x e2x ta có: 1  1n , 1, 2,3, n

c n

n

 

    

Do đó, từ cơng thức (7) ta có khai triển hàm u x ex là:

     

1

2

1 n xsin n

u x e n x

n 



 

 

34 BÀI TẬP CHƯƠNG

Bài Chứng tỏ toán sau toán Sturm – Liouville xác định loại tốn (chính quy hay phi quy)

                   

1 0, 1,

0 0,

2 0, 1,

0 0,

3

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

0, 2,

0 0, ,

4

)

( ) ( ) (

f x f x x

f f f

f x xf x x f x x

f f

x f x f x f x x

f f x f x bounded as x

f x f x f x

                                                      

0, 2,

0 0, 2

5 0, ,

0 0, ,

6 0, 1,

,

)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) , 1

x

f f f

f x f x x f x x

f f x f x bounded as x

x f x xf x x f x x

f x f x bounded as x f f

                                

Bài Tính giá trị riêng hàm riêng tốn Sturm – Liouville quy sau                             ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

7 0, ,

0 0,

8 0, 1,

0 0,

9 0, 1,

0 0,

10 0, 1,

0 0, 1

)

( ) ( )

( )

11 ( )

f x f x x

f f

f x f x x

f f

f x f x x

f f f

f x f x x

f f f

f x f x

                                                        ( )

0, 1,

0 0,

12 ( 1) ( 0, 2,

0 0, )

x

f f f

f x f x x

f f                       

13 ( ) ( ) ( ) 0, 1,

0 0,

f x f x f x x

f f



      

35  

     

     

 

14 0, 1,

0 0, 15

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) (

0, 1,

0 0,

16 0, / 2,

0 0, /

) (

)

( )

f x f x f x x

f f

f x f x f x x

f f

f x f x f x x

f f





 



      

   

      



 

      

36 CHƯƠNG

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG & MỘT VÀI PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ CƠ BẢN 4.1 Phương trình đạo hàm riêng phân loại

Định nghĩa 4.1 Một phương trình đạo hàm riêng phương trình có chứa hàm nhiều biến chưa biết đạo hàm riêng

Để thống ký hiệu, ta ký hiệu đạo hàm riêng hàm số số dưới, Chẳng hạn với hàm uu x t , ta ký hiệu:

2

2

, , , ,

t tt x xx

u u u u

u u u u

t t x x

   

     

 

Ví dụ 4.1 Các phương trình sau PTĐHR hàm hai biến u x y ,

 ,

u x t :

   

 

2

2 2

e) ( ) ( , ) ( , )

) ) ,

) ,

2

)

t x xx yy

x x

xx yy x

x xy yy

x xx y

a u cu b u u f x y

c x y u u x u e

d u u u u u a x y u b x y u





   

  

    

Nói chung ta viết PTĐHR dạng:

 1, , , , ,2 1, , n,  ,

n

n x x x x

x x x u u u u  x Ω  (4.1)

trong xx x1, , ,2 xnlà biến độc lập, u hàm biến

Một nghiệm (4.1) Ω hàm u xác định, khả vi đến cấp cần thiết Ω thỏa mãn phương trình điểm thuộc Ω Nói chung PTĐHR thường có vơ hạn nghiệm

Ví dụ 4.2 Các hàm ( , ) u x t  ex ct ( , ) u x t  cos( - )x ct nghiệm a) Ví dụ 4.1 Hơn nữa, hàm khả vi x ct đều nghiệm phương trình

37

2 Theo mức độ phi tuyến, tuyến tính (phương trình tuyến tính nói chung đơn giản phương trình phi tuyến, mức độ phi tuyến cao phức tạp)

3 Theo phụ thuộc vào thời gian (phương trình biến đổi theo thời gian gọi phương trình tiến hóa, trái lại gọi phương trình dừng) Trong tình người ta thường kí hiệu biến thời gian t, biến cịn lại biến khơng gian Cụ thể ta có khái niệm sau đây:

Định nghĩa 4.2 Cấp PTĐHR cấp cao đạo hàm riêng có mặt phương trình

Định nghĩa 4.3 Một PTĐHR tuyến tính có dạng tốn tử:

   

L u  f x (4.2)

trong L[u] tổ hợp tuyến tính u đạo hàm riêng u với hệ số hàm biến độc lập x Nếu f ≡ ta nói phương trình tuyến tính (4.2) nhất, trái lại ta nói phương trình khơng

Định nghĩa 4.4 Một PTĐHR khơng tuyến tính gọi phi tuyến

Ví dụ 4.3 Trong ví dụ 4.1 ta có:

- Phương trình a) phương trình cấp 1, cịn phương trình b), e) phương trình cấp hai

- Phương trình a), b), c) tuyến tính, a) nhất, c) khơng

Nhận xét Nói chung PTĐHR phức tạp phương trình vi phân thường

vì với phương trình vi phân thường, để tìm nghiệm riêng từ nghiệm tổng quát ta phải tìm giá trị số tùy ý, với PTĐHR, việc chọn nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện bổ sung có cịn khó việc tìm nghiệm tổng qt Đó vì, nghiệm tổng quát PTĐHR phụ thuộc vào hàm tùy ý (xem ví dụ 4.4 sau đây) có vơ hạn nghiệm độc lập tuyến tính

Ví dụ 4.4 Giải PTĐHR tuyến tính cấp hai: uxy x y, 0

Lấy tích phân phương trình theo x (giữ y cố định) ta có: u x yy ,  f y  (do y cố định nên số tích phân phụ thuộc y)

Lấy tích phân theo y (giữ x cố định) ta nhận được: u x y ,  f y dy G x    

38  ,    

u x y F y G x

trong F,G hai hàm khả vi Như vậy, để nhận nghiệm riêng thỏa mãn số điều kiện ta phải xác định hai hàm F,G

4.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai

Trong học phần này, nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai Loại phương trình xuất nhiều mơ hình thực tế Chúng ta nghiên cứu ba lớp đặc biệt phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai là: phương trình elliptic, hyperbolic parabolic thông qua đại diện chúng phương trình Laplace, phương trình truyền sóng phương trình truyền nhiệt

Xét PTĐHR tuyến tính cấp hai tổng quát hàm u x u x x 1, ,··· ,2 xn:

   

, i j

n n

ij x x i xi

i j i

a u b u c x u d x

    

  (4.3)

trong hệ số aij  a x bij , i  b x ci ,  c x d ,  d x là hàm liên tục cho Ω, aij ajivà aijkhông đồng thời khơng

Việc phân loại phương trình (4.3) phụ thuộc vào hệ số aij đạo hàm riêng cấp hai định nghĩa điểm sau

Gọi A x  a xij là ma trận vuông cấp n hệ số đạo hàm riêng cấp hai Tại x cố định, A x là ma trận thực, đối xứng nên A x có n giá trị riêng thực Ta nói:

 Phương trình (4.3) thuộc loại elliptic x A(x) có n giá trị riêng dấu;

 Phương trình (4.3) thuộc loại hyperbolic x A(x) có giá trị riêng trái dấu với n−1 giá trị riêng lại;

 Phương trình (4.3) thuộc loại parabolic x A(x) có giá trị riêng cịn n−1 giá trị riêng cịn lại dấu;

 Phương trình (4.3) thuộc loại elliptic (hyperbolic, parabolic) miền Ω thuộc loại điểm x ∈ Ω

Ví dụ 4.5

a Phương trình Laplace

1

0,

i i

n

n x x

i

u u x



39

b Phương trình truyền nhiệt ut u 0,  x t, n1 phương trình parabolic

1

n

 ;

c Phương trình truyền sóng utt u 0, x t, n1 phương trình hyperbolic

1

n



d Phương trình  

1 2

2

1 x x x x x 0, 1,

x u u u  x x x  thuộc loại elliptic miềnx10, thuộc loại hyperbolic miền x10 thuộc loại parabolic đường thẳng x10

Đặc biệt, trường hợp hai biến độc lập, phương trình (4.3) có dạng:

2

( , ) xx ( , ) xy ( , ) yy ( , , , , )x y 0, ( , )

a x y u  b x y u c x y u d x y u u u  x y  (4.4) hệ số a,b,c hàm liên tục hai biến (x,y) cho, a,b,c khơng đồng thời khơng Khi (x,y) ma trận hệ số đạo hàm riêng cấp hai là:

a b a b

A A I

b c b c

 



    

 

    



   

có giá trị riêng nghiệm phương trình bậc hai

   

det aI    a c   ac b (4.5) Dễ dàng kiểm tra phương trình có hai nghiệm thực dấu giá trị riêng kết luận nhờ định lý Viet thông qua dấu   b2 ac Cụ thể: + Nếu ∆ < (4.5) có hai nghiệm dấu nên (4.4) thuộc loại elliptic;

+ Nếu ∆ > (4.5) có hai nghiệm trái dấu nên (4.4) thuộc loại hyperbolic;

+ Nếu ∆ = (4.5) có nghiệm khơng nghiệm khác khơng nên (4.4) thuộc loại parabolic

4.3 Phương trình truyền nhiệt

Sự truyền nhiệt chiều

Trong mục này, lượng nhiệt (the heat energy or the thermal energy) gọi tắt nhiệt

40 x x + ∆x

Gọi E x t , mật độ nhiệt (the thermal density-nhiệt đơn vị thể tích) Giả thiết mặt xung quanh cách nhiệt hoàn toàn Khi khơng có nhiệt khỏi qua mặt xung quanh Nhiệt phụ thuộc vào x t khơng nung nóng

Xét phần nhỏ (lát cắt) với độ dài ∆x x x + ∆x Nếu lát cắt đủ mỏng tổng nhiệt lát cắt tích mật độ nhiệt thể tích, tức là: E x t A x , 

Tốc độ thay đổi nhiệt cho bởi: E x t A x ,

t

    

Theo định luật bảo toàn nhiệt năng, tốc độ thay đổi đơn vị thời gian phải tổng lượng nhiệt sinh bên đơn vị thời gian với lượng nhiệt truyền qua hai đầu (ta gọi biên) đơn vị thời gian

Gọi ϕ(x,t) thông lượng nhiệt (heat flux - lượng nhiệt đơn vị thời gian truyền sang phải đơn vị diện tích), S(x,t) lượng nhiệt đơn vị thể tích sinh đơn vị thời gian Khi đó, luật bảo tồn nhiệt mô tả bởi:

 ,  x t A, x x t A,   ,

E x t A x S x t A x

t  

    

    

Phương trình mơ tả gần đúng, xác chuyển qua giới hạn độ dày lát cắt ∆x → Chia hai vế cho A∆x cho ∆x → 0, ta nhận phương trình:

 ,    x t, S x t,

E x t

t x

     

 

  (4.6)

Bây giờ, ta viết lại phương trình thông qua hàm nhiệt độ (the temperature) u(x,t) Mật độ nhiệt E x t , cho bởi:

       , ,

41 o c(x) nhiệt dung riêng (the specific heat - nhiệt cần phải cung cấp để

đơn vị khối lượng tăng nhiệt độ lên độ)

o ρ(x) mật độ khối (the mass density)

Thông lượng nhiệt có liên hệ với nhiệt độ thơng qua định luật Fourier:

 x t, K u x t ,

x

   

 (4.8)

trong K hệ số dẫn nhiệt (the thermal conductivity) Thế (4.7) (4.8) vào (4.6) ta có:

 

( ) ( ) u ,

c x x K u x t S

t x x

      

  (4.9)

Đặc biệt, c, ρ, K số ta nhận được:

t xx

u ku Q

trong k K Q S

c c



 

Chú ý Q đại diện cho nguồn nhiệt Nếu khơng có nguồn cấp nhiệt ta có phương trình sau:

 ,  , , ,

t xx t xx

u ku hay u x t ku x t  x L t

Phương trình dạng gọi phương trình truyền nhiệt chiều Trong trình giải phương trình truyền nhiệt, ta thường phải xác định thêm điều kiện Do hàm nhiệt độ phụ thuộc vào biến thời gian t biến vị trí x nên thông thường ta xác định thêm điều kiện: hai điều kiện biên điều kiện ban đầu

Điều kiện ban đầu

Điều kiện ban đầu phân bố nhiệt thời điểm t = 0, tức là: u x ,0  f x  Điều kiện biên Các điều kiện biên thuộc loại sau đây:

1 Biết nhiệt độ hai điểm biên (điều kiện biên Dirichlet)

 0,  

u t  p t hay u L t   , q t

2 Hai đầu cách nhiệt (điều kiện biên Neumann): ux 0,t 0 u L tx , 0 Điều có nghĩa thơng đầu

Điều kiện thơng hai đầu cho dạng tổng quát sau:

 ,  ,

x

42

Khi đầu (chẳng hạn đầu x = 0) tiếp xúc biên với chất, mơi trường khác (dịng chất lỏng khí chuyển động) có trao đổi nhiệt Sự trao đổi xác định định luật đối lưu nhiệt Newton (Newton’s law of cooling)

“Năng thông điểm biên tỷ lệ với độ chênh lệch nhiệt nhiệt độ bên chất, môi trường mới”

      

0 x 0, 0,

K u t H u t U t t

trong H hệ số đối lưu nhiệt (the heat transfer/convection coefficient) U(t) nhiệt độ mơi trường xung quanh Bài tốn thường gặp ta cho đầu cách nhiệt đầu lại tiếp xúc với chất lỏng làm mát

Nếu xét đầu mút xa thì: K u L t0 x , H u L t  , U t  t0

Chú ý

(i) Tại điểm có loại điều kiện biên (ii) Điều kiện biên x = khác x = L

(iii) Phương trình truyền nhiệt phương trình tuyến tính

(iv) Phương trình truyền nhiệt chiều phương trình dạng parabolic đơn giản

Ví dụ 4.6 Bài tốn biên điều kiện ban đầu mơ tả q trình truyền nhiệt nhiệt đồng chất có nguồn cung cấp nhiệt, bề mặt cách nhiệt xét đến nhiệt độ hai đầu có dạng sau:

     

     

   

, , , , ,

0, ( ), , ,

,0 ,

t xx

u x t ku x t q x t x L t

u t u L t t t

u x x L

t

x f

 

    

  

  

Ví dụ 4.7 Nếu đầu mút gần cách nhiệt đầu mút xa nhúng vào chất làm mát có nhiệt độ số khơng có nguồn cung cấp nhiệt tốn trở thành:

   

     

   

, , , ,

0, 0, , , 0,

,0 ,

t xx

x x

u x t ku x t x L t u t u L t hu L t t

u x f x x L

   

   

  

4.4 Phương trình truyền sóng

Sự dao động dây (bài toán dây rung)

43

theo phương ngang xét dao động dây theo phương thẳng đứng Xem hình đây:

Ta đặt:

L: chiều dài dây;

x: biến thể vị trí điểm dây (0<x<L)

t: biến thời gian (t>0)

u x t , : độ lệch dây so với vị trí cân điểm x thời điểm t

0 x : tỷ trọng dài dây (mật độ phân bố vật chất theo chiều dài)

 F x t , : lực căng dây điểm x, thời điểm t

q x t , : ngoại lực tác động lên dây theo phương thẳng đứng phân phối đơn vị chiều dài

Ta giả sử thêm độ dao động dây khỏi vị trí cân theo phương thẳng đứng nhỏ Tức độ lệch dây u(x,t) đạo hàm riêng ux nhỏ đến mức bỏ qua đại lượng  ux

Ta xét đoạn dây giới hạn hai điểm M M1, 2 với hồnh độ tương ứng x x1, 2 Vì ta bỏ qua đại lượng  ux nên độ dài đoạn dây M M1 2 bằng:

 

2

2

2 1

' x x

x

l   u dx  x x M M

Điều có nghĩa ta giả sử chiều dài dây gần không đổi dao động Vậy, theo định luật Hooke, lực căng sợi dây không thay đổi

 ,

44

"Trong chuyển động đoạn dây, tổng lực tác động vào đoạn dây, kể lực qn tính khơng; tổng hình chiếu lực trục không."

Các lực tác dụng lên đoạn dây:

- Lực căng dây hai đầu M1 M2 (ngược chiều hình vẽ);

- Lực quán tính;

- Ngoại lực tác dụng (chỉ xét ngoại lực theo phương thẳng đứng, tức song song với Ou)

Ta có hình chiếu lên trục Ou tổng lực tác dụng lên đoạn dây

Khi ta có lực căng dây hướng theo phương tiếp tuyến M1 M2,

T0 Như tổng hình chiếu lực căng M1 M2 lên trục u

 2, sin  2,   1, sin  1,  sin  2,  sin  1, 

YF x t  x t F x t  x t F   x t   x t 

Ta có:        

0

, ,

tan , lim x ,

x

u x x t u x t

x t u x t

x

     

Mà dây dao động nhỏ nên ta xem góc    x t1, , x t2, nhỏ, tức ta xấp xỉ:

 

       

 

       

2 2

1 1

sin , tan , ,

sin , tan , ,

x x

x t x t u x t

x t x t u x t

  

  

 

 

Vậy    

1

0 2, 1,

x

x x x xx

Y F u x t u x t F  u dx

Hình chiếu trục Ou ngoại lực tác động lên đoạn dây xét là:

 

2

,

x x

P q x t dx

Ta có tỷ trọng dài sợi dây ρ0(x) ( tức mật độ phân bố vật chất theo chiều dài)

45    

2

1

,

x

tt x

Z    x u x t dx

Tổng hợp lực tác động lên đoạn dây theo phương thẳng đứng là:

     

 

2

1 0

0 x xx , tt ,

x

Y   P Z  F u q x t  x u x t dx

Do x x1, 2 tùy ý nên ta có:

           

0 xx , tt , 0 tt , xx ,

F u q x t  x u x t   x u x t F u q x t

Biến đổi thêm ta dạng gọn hơn:

     

, , , , ,

tt xx

u x t c u x t q x t  x L t (4.10) Với

 

2

0

F c

x



    

 

0

, , q x t

q x t

x





Phương trình gọi phương trình dao động dây Trong trường hợp dây đồng chất, khơng có ngoại lực tác động, phương trình trở thành:

 ,  , , 0 , 0

tt xx

u x t c u x t  x L t (4.11) Tất nhiên, phương trình (4.10) hay (4.11) có vơ số nghiệm Nghiệm xác định ứng với số điều kiện cho trước đấy, tương ứng với toán biên tốn giá trị ban đầu cho phương trình (4.10) hay (4.11) Việc nghiên cứu toán biên tốn giá trị ban đầu đóng vai trị quan trọng nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng

Điều kiện ban đầu

Vì phương trình đạo hàm riêng cấp hai biến thời gian t nên ta cần có hai điều kiện ban đầu Thơng thường điều kiện là:

 ,0  , t ,0  

u x  f x u x  g x

tức cho biết độ lệch vận tốc ban đầu sợi dây

Điều kiện biên

1 Nếu đầu mút dây cố định độ lệch khơng, nên ta có điều kiện:

 0,  ,

u t  hay u L t 

Chúng ta cho đầu mút chuyển động theo quy luật biết đó, chẳng hạn:

 0,    ,  

46 Một trường hợp đặc biệt, đầu dây tự (khơng có lực căng phương thẳng đứng) nên: F0sinF0tanF u0 x 0

Ta có điều kiện biên tự do: u 0,t

x

 

 hay  ,

u L t x

 



3 Một điều kiện thường gặp khác đầu sợi dây gắn với hệ động lực đó:

             

0 x 0, 0, E x , , E

F u t k u t u t hay F u L t k u L t u t

Điều kiện thường gọi điều kiện biên đàn hồi Nếu u tE 0, tức vị trí cân hệ động lực trùng với vị trí cân dây, điều kiện biên

Ví dụ 4.8 Bài tốn dây rung với đầu mút cố định, xét đến trọng lực dây cho dạng sau:

     

   

       

1

, , , , ,

0, 0, , 0,

,0 , ,0 ,

tt xx

t

u x t c u x t q x t x L t

u t u L t t

u x f x u x g x x L

    

  

   

Ví dụ 4.9 Nếu Ví dụ 4.8 ta nối đầu mút gần với dây đàn hồi để đầu mút phía xa tự do, bỏ qua yếu tố trọng lực thì:

   

     

       

, , , ,

0, 0, 0, , 0,

,0 , ,0 ,

tt xx

x x

t

u x t c u x t x L t

u t ku t u L t t

u x f x u x g x x L

   

   

   

4.5 Phương trình Laplace

Phương trình truyền nhiệt nhiều chiều

47

Ta giả sử mặt đĩa cách nhiệt, đủ mỏng để nhiệt độ không thay đổi theo hướng trao đổi nhiệt thẳng đứng Ta muốn xác định u x y t , ,  nhiệt độ điểm (x,y) thời điểm t

Giả sử kim loại làm từ vật liệu với mật độ  nhiệt độ c (khối lượng đơn vị thể tích), số dẫn nhiệt K tất giả thiết tồn đĩa kim loại Dưới giả thiết đó, ta hàm nhiệt độ

 , , 

u x y t thỏa mãn phương trình truyền nhiệt hai chiều sau đây:

2

2

u u u

k

t x y

 

     

 



    (4.12)

Tương tự phương trình truyền nhiệt chiều, k số khuyếch tán

nhiệt k K c

 vật liệu làm đĩa Tổng đạo hàm thứ vế phải, gọi Laplacian hàm số u, thường viết dạng sau:

2

2

2

u u

u

x y

  

 

   

 

Do phương trình truyền nhiệt hai chiều viết lại dạng sau:

2

u

k u t

  

 (4.13)

Nếu có nguồn nhiệt kim loại ta có phương trình khơng sau:

 , ,   , ,   , , 0 t

48

So sánh với phương trình đẳng nhiệt u kuxx t

 

 ta thấy chuyển từ

phương trình chiều sang hai chiều tốn tử đạo hàm uxx thay toán tử Laplace 2u Cách áp dụng tổng quát, chẳng hạn kéo dãn mặt

phẳng khỏi vị trí cân mặt phẳng xy rung (gõ) theo hướng u, hàm dịch chuyển u x y t , ,  thỏa mãn phương trình truyền sóng hai chiều:

2 2

2 2

2 2

u u u

c c u

t x y

 

      

 



   

Phương trình Laplace

Nếu nghiệm u(x,y,t) phương trình (4.13) độc lập với thời gian, tức uu x y , ta nói trạng thái ổn định (steady state) Dễ thấy nghiệm thỏa mãn phương trình:

2

2

2

u u

u

x y

 

   

  (4.14)

Và thỏa mãn điều kiện biên độc lập với biến thời gian, chẳng hạn:

 ,    , , ,

u x y  x y x y  D

Phương trình (4.14) gọi phương trình Laplace hai chiều Mở rộng tốn ta

có phương trình Laplace chiều dạng:

2 2

2

2 2

u u u

u

x y z

  

    

  

Nếu đĩa có nguồn nhiệt ổn định q x y , nhiệt độ cân thỏa mãn phương trình Poisson sau

 

2

2

2

1 ,

u u

u q x y

k

x y

  

   

  (4.15)

Nhận xét

- Ta xem phương trình Poisson phương trình Laplace khơng

- Bài tốn tìm nhiệt độ cân có nghiệm khơng có nghiệm Về điều kiện ban đầu

Trong toán này, điều kiện ban đầu có dạng:

 , ,0    , ,

u x y  f x y  x y D

49 Về điều kiện biên

Các điều kiện biên tương tự phương trình truyền nhiệt chiều Thông thường bao gồm dạng sau:

1 Biết nhiệt độ biên (điều kiện biên Dirichlet)

 , ,   , , ,  , ,

u x y t  x y t x y D t

2 Biết dòng thông qua biên (tốc độ phân tán nhiệt mơi trường bên ngồi biên)

gradu x y t n x y , ,    , x y t, ,   x y, D t, 0 Tương đương với: u x y tn , , x y t, ,   x y,  D t, 0 Với n vec tơ đơn vị chuẩn theo D un u

n  

 Điều kiện gọi điều kiện

biên Neumann Nói riêng, biên cách nhiệt ta có:

 , ,  0,  , ,

n

u x y t  x y D t

3 Biên có đối lưu nhiệt, từ định luật đối lưu nhiệt Newton ta có:

        

0 n , , , , , , , , ,

K u x y t H u x y t U x y t x y D t

     

Điều kiện biên gọi điều kiện biên Robin

Chú ý

(i) Phương trình Laplace Poisson phương trình tuyến tính (ii) Phương trình Laplace phương trình dạng elliptic đơn giản

Ví dụ 4.10 Bài tốn tìm nhiệt độ cân phân bố đĩa mỏng, đều, có nguồn cung cấp nhiệt, mặt cách nhiệt biết nhiệt độ biên mô tả toán biên sau đây:

   

     

2 , ,

, , ,

u q x y x y D

u x y  x y x y D

  

   (4.16)

Với biên miền D D đường cong đóng

Định lý 4.5 (Nguyên lý cực đại phương trình Laplace) Nếu u nghiệm tốn (4.16) u đạt cực đại cực tiểu biên Dcủa đĩa D

Bổ đề 4.6 Nếu nghiệm u toán (4.16) triệt tiêu biên D u triệt tiêu miền D

50 Định nghĩa 4.8 Một nghiệm toán biên gọi phụ thuộc liên tục vào liệu (hoặc ổn định) thay đổi nhỏ liệu (chẳng hạn thay đổi điều kiện biên, điều kiện ban đầu, thành phần không …) dẫn đến thay đổi nhỏ nghiệm

Định lý 4.9 Nghiệm toán biên (4.16) phụ thuộc liên tục vào liệu biên

Chú ý Bài toán biên gọi đặt chỉnh (well posed) có nghiệm phụ thuộc liên tục vào liệu Bài tốn Dirichlet phương trình Laplace tốn đặt chỉnh Ta chứng minh kết chương sau

4.6 Các phương trình khác

Dưới số phương trình đạo hàm riêng tuyến tính quan trọng

4.6.1 Chuyển động Brownian Hàm u(x,t) thể xác suất điểm x thời gian t hạt chuyển động chiều chất lỏng, thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng cấp 2, dạng parabolic sau:

 ,  ,  ,

t xx x

u x t au x t bu x t

Trong tham số a>0 độ lệch trung bình dao động hạt đơn vị thời gian b>0 phương sai độ lệch xung quanh trung bình mà ta quan sát

4.6.2 Bài toán khuyếch tán – đối lưu Trong trường hợp chiều, tốn mơ tả phương trình đây:

 ,  ,  ,  ,

t xx x

u x t ku x t au x t bu x t

Trong u x t , hàm nhiệt độ hệ số ,k a0 b đại lượng thể tính chất vật lý chất liệu, tốc độ dòng nhiệt, độ mạnh nguồn cấp nhiệt Khi a=0 b>0 phương trình mơ tả trình khuyếch tán theo dây chuyền

4.6.3 Giá thị trường chứng khốn Giá V(s,t) cơng cụ phái sinh thị trường chứng khoán nghiệm phương trình đạo hàm riêng bậc 2, dạng parabolic sau đây:

 S, 2  ,  ,  , 0

2

t SS S

V t   S V S t rSV S t rV S t 

51

CHƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN

Phương pháp tách biến phương pháp lâu đời hiệu để tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng Chương cho ta thấy ứng dụng phương pháp vào tốn biên cho phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt phương trình Laplace

5.1 Phương trình truyền nhiệt

Trong mục ta tìm nghiệm tổng qt tốn giá trị biên đặc trưng phương trình truyền nhiệt Các toán xác định điều kiện biên khác Bài toán A Thanh nhiệt với nhiệt độ hai điểm đầu mút

Xét phương trình nhiệt:

 ,  , , ,

t xx

u x t ku x t  x L t (5.1) Với điều kiện biên:

 0, 0,  , 0,

u t  u L t  t (5.2) Và điều kiện ban đầu:

 ,0  ,

u x  f x  x L (5.3) Bài toán B Điều kiện cách nhiệt hai điểm đầu mút

Xét phương trình nhiệt:

 ,  , , ,

t xx

u x t ku x t  x L t Với điều kiện biên:

 0, 0,  , 0,

x x

u t  u L t  t (5.4) Và điều kiện ban đầu:

 ,0  ,

u x  f x  x L

Nhận xét

- Phương trình truyền nhiệt (5.1) tuyến tính Hai điều kiện biên (5.2), (5.4) gọi điều kiện biên Điều kiện ban đầu (5.3) gọi không

- Nếu u1, u2 hai nghiệm (5.1) tổ hợp tuyến tính hai nghiệm nghiệm phương trình (5.1)

- Nếu u1, u2 thỏa mãn điều kiện biên (5.2) (5.4) tổ hợp tuyến tính chúng thỏa mãn (5.2) (5.4)

52 trình (5.1) điều kiện biên (5.2) (5.4) Sau ta kết hợp nghiệm lại với tìm điều kiện kết hợp thỏa mãn ln điều kiện ban đầu (5.3)

Ví dụ 5.1 Bằng cách thay trực tiếp, ta dễ dàng để kiểm tra hàm số sau:

     

1 , sin , sin , sin

t t

u x t e x u x t e x u x t e x

Đều thỏa mãn phương trình ut uxx Ta dùng hàm để tìm nghiệm cho tốn biên sau:

     

     

   

, , , , *

0, 0, , 0, **

,0 80sin 60sin 30sin ***

t xx

u x t u x t x t

u t u t t

u x x x x

 

   

  

  

Ta thấy, tổ hợp tuyến tính có dạng sau:

       

 

1 2 3

1

1

, , , ,

, sin tsin tsin

u x t c u x t c u x t c u x t u x t c e x c e x c e x

  

  

Cũng thỏa mãn phương trình (*) điều kiện biên (**) Nhận thấy, điều kiện ban đầu không (***) thỏa mãn với c160,c2 0,c3 20 nên nghiệm toán biên là: u x t , 60e1sinx20e9tsin 3x

Bài toán biên Ví dụ 5.1 trường hợp đơn giản đặc biệt cần chồng chất số hữu hạn nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện biên không

Thông thường có vơ hạn hàm số thỏa mãn phương trình (5.1) điều kiện biên (5.2) (5.4), tổng quát ta tìm nghiệm dạng chuỗi vô hạn sau:

   

1

, n n , n

u x t  c u x t 

 (5.5)

Sau ta tìm hệ số để hàm (5.5) thỏa mãn điều kiện ban đầu (5.3) 5.1.1 Giải toán A Thanh nhiệt với nhiệt độ hai điểm đầu mút Ta dùng phương pháp tách biến tìm hàm số thỏa mãn (5.1) (5.2) dạng:

 ,    

u x t  X x T t

Thay vào phương trình (5.1) ta được: X x T t     kX x T t    Chia hai vế phương trình cho kX x T t    ta được:  

    

1T t X x k T t X x

 



53 Do ta có:  

    

1T t X x k T t X x 

 

  

Trong  gọi số tách Phương trình tương đương với:

    0

X x X x   x L (5.6) Và T t k T t  0 t0 (5.7) Đầu tiên ta tìm hàm X x  Từ điều kiện biên (5.2) ta có:

 0,    0 0,

u t  X T t   t

Do hàm T t 0 nên ta có: X 0 0 Một cách tương tự ta có: X L 0 Vậy hàm X x thỏa mãn toán giá trị biên sau:

   

   

0

0 0

X x X x x L

X X L



    

  (5.8)

Đây toán giá trị riêng toán S-L quy Ta tính hàm riêng giá trị riêng sau:

 

2

sin 1, 2,

n n

n n x

X x n

L L

 

    

  (5.9)

Với giá trị riêng

2

n

n L

    

  , thay vào phương trình (5.7) ta có:

       / 2

0 k n L t n

n

T t k T t T t e L



 

 

      

  (5.10)

Như từ (5.9) (5.10) ta có hai dãy    Xn , Tn Kết hợp lại với ta đặt:

       / 2

, sin k n L t

n n n

n x u x t X x T t e

L



 

 

Dễ dàng kiểm tra hàm u x tn , thỏa mãn phương trình (5.1) điều kiện biên (5.2) với giá trị n

Theo nguyên lý chồng chất nghiệm ta kết hợp nghiệm

     / 2

1

, , b sin k n L t

n n n

n n

n x

u x t b u x t e

L





 



 

  (5.11)

54

   

1 ,0 b sinn

n

n x u x f x

L



 

 

Theo cơng thức tính hệ số chuỗi Fourier sine ta có:

 

0

sin L

n

n x

b f x dx

L L

  

Do đó, nghiệm tốn cho chuỗi vô hạn sau:

   2

/

, b sin k n L t n

n

n x

u x t e

L







 



với  

0

2 L sin n

n x

b f x dx

L L



  (5.12)

Định lý 5.1 Bài toán biên A hay toán (5.1), (5.2), (5.3) nhiệt với nhiệt độ điểm đầu mút có nghiệm chuỗi hình thức sau:

   / 2

1

, b sin k n L t n

n

n x

u x t e

L







 



Trong bn hệ số chuỗi Fourier sine phương trình (5.12) hàm nhiệt độ ban đầu u x ,0  f x 

Ví dụ 5.2 Tìm nghiệm tốn biên sau đây:

   

   

     

, , , 1,

0, 0, 1, 0,

,0 sin 2sin ,

t xx

u x t u x t x t

u t u t t

u x x x x

   

  

   

Giải

Theo cơng thức nghiệm Định lý 5.1 ta có:    / 2

, b sin k n L t n

n

n x

u x t e

L







 



Áp dụng công thức nghiệm tổng quát cho trường hợp k=1, L=1 ta có:

     2

1

, b sin n t n

n

u x t  n x e   



Chú ý vế phải điều kiện đầu tổ hợp tuyến tính hàm riêng Do đó, ta tìm được: b31, b5 2, bn 0n3,5

55

   

   

 

, , , 1,

0, 0, 1, 0, ,0 ,

t xx

u x t u x t x t

u t u t t

u x x x

   

  

  

Áp dụng công thức nghiệm tổng quát cho trường hợp k=1, L=1 ta có:

     2

1

, b sin n t n

n

u x t  n x e   

 Các hệ số bn tính cơng thức:

   

1 1

0

2

2 sin n , 1, 2,3, n

b x n x dx n

n







    

Vậy nghiệm tổng quát toán:        2

2

, n sin n t n

u x t n x e

n



 



 



  5.1.2 Giải toán B Hai đầu mút cách nhiệt Nhắc lại toán:

 ,  , , ,

t xx

u x t ku x t  x L t (5.13) Với điều kiện biên:

 0, 0,  , 0,

x x

u t  u L t  t (5.14) Và điều kiện ban đầu:

 ,0  ,

u x  f x  x L (5.15) Một cách tương tự, ta tìm nghiệm phương trình (5.13) (5.14) dạng tách biến:

 ,    

u x t  X x T t

Giống toán A (hai đầu có nhiệt độ 0), sau thay xét điều kiện biên ta có:

Bài tốn biên xác định hàm X(x):    

   

0

0 0

X x X x x L

X X L



    

    (5.16)

Và phương trình vi phân sau: T t k T t  0, t0 (5.17) Ta tính hàm riêng giá trị riêng toán (5.16) sau:

 

2

cos 1, 2,

n n

n X x n x n

L L

 

    

  Với giá trị riêng

2

n

n L

    

56

       / 2

0 k n L t

n

n

T t k T t T t e L              

Vậy nghiệm dạng chuỗi toán biên ban đầu tính sau:

   / 2

0 1

, cos

2

k n L t n

n

n x

u x t a a e

L       

Dễ thấy, hàm dạng thỏa mãn phương trình (5.13) điều kiện biên (5.14) Sử dụng điều kiện ban đầu (5.15) ta được:

   

1

,0 cos ,

2 n n

n x

u x f x a a x L

L



 

    

Điều chứng tỏ a a0, n hệ số chuỗi Fourier cosine hàm số f Ta có cơng thức tính hệ số sau:

 

0

cos , 0,1, 2, L

n

n x

a f x dx n

L L



   (5.18)

Do đó, nghiệm tốn cho chuỗi vơ hạn sau:

   / 2

0 1

, cos

2

k n L t n

n

n x

u x t a a e

L     

  với  

0

cos , 0,1, 2, L

n

n x

a f x dx n

L L



  

Định lý 5.2 Bài toán biên B hay toán (5.13), (5.14), (5.15) nhiệt với hai đầu mút cách nhiệt có nghiệm chuỗi hình thức sau:

   / 2

1

, cos

2

k n L t n

n

n x

u x t a a e

L        Trong bn hệ số chuỗi Fourier cosine phương trình (5.18) hàm nhiệt độ ban đầu u x ,0  f x 

Ví dụ 5.4 Tìm nghiệm tổng qt phương trình sau:

   

   

 

, , , 1,

0, 0, 1, 0, ,0 ,

t xx

x x

u x t u x t x t

u t u t t

u x x x

   

  

  

Theo cơng thức tổng qt ta tính hệ số:

   

1

0 0 0 2

2

2 n cos n , 1, 2,

a xdx a x n x dx n

n





 

         

Vậy nghiệm tổng quát theo định lý 5.2:     2 2   2

1

, 1 cos

2

n n t

n

u x t n x e

57 5.2 Phương trình truyền sóng

Xét tốn biên sau:

 ,  , , 0 , 0

tt xx

u x t c u x t  x L t  (5.19)

 0,  , 0

u t  u L t  t (5.20)

 ,0   t ,0  

u x  f x u x g x  x L (5.21) Đây phương trình dây chuyển động tự với hai đầu cố định, vị trí ban đầu f(x) tốc độ ban đầu g(x)

Phương trình (5.19) tuyến tính, điều kiện (5.20) điều kiện (5.21) không Ta phải xử lý hai điều kiện không

Phương pháp tách biến bao gồm việc chồng chất nghiệm thỏa mãn điều kiện để nghiệm thỏa mãn điều kiện không Để áp dụng kỹ thuật này, ta dùng chiến lược chia để trị, ta chia toán thành toán tách biệt Mỗi toán bao gồm điều kiện khơng

Bài tốn A Bài tốn B

   

   

   

 

2

, ,

0, ,

,0 ,0

tt xx

t

u x t c u x t

u t u L t

u x f x u x



 

 

   

   

 

   

2

, ,

0, ,

,0 ,0

tt xx

t

u x t c u x t

u t u L t

u x

u x g x



 

 

Nếu ta tìm nghiệm u x tA , nghiệm u x tB , độc lập tổng chúng u x tA , u x tB , u x t , nghiệm toán ban đầu

Từ (5.19), (5.20) phương pháp tách biến ta được: X T2

X c T 

   

Bài toán biên xác định hàm X(x):    

   

0

0 0

X x X x x L

X X L



    

  (5.22)

Bài toán biên xác định hàm T(t): T t c T t2  0, t0 (5.23) Các giá trị riêng hàm riêng toán (5.22):

 

2

sin 1, 2,3

n n

n n x

X x n

L L

 

    

 

Thay vào phương trình (5.23) ta được:     2

2 0,

n n

n

T t c T t t

L



   

58

1 2

) ,

( ,

n n n n n

n c n c

T t b cos t b sin t b b const

L L

 

  

Ta giả sử nghiệm tốn ban đầu có dạng sau:

     

1 1

, n n sin

n n n n

n ct n ct b cos b sin

L n x

u x t X

L L

x T t   

            

  (5.24)

Tính đạo hàm theo t ta được:

     

1

1 sin c

, sin n n os

t n n

n n

n ct n x

u x t X x T t b b n ct n t

L L L L                  

  (5.25)

Thay (5.24) vào điều kiện ban đầu u x ,0  f x của toán A ta có:

     

1

1

0

,0 sin n n sin

n n n

b cos b sin

n x n x

u x f x

L L b

 

 

 

   

Vậy hệ số b1n hệ số chuỗi Fourier sine f x  Ta có:

  0 sin L n n x

b f x dx

L L

  

Thay (5.25) vào điều kiện ban đầu u xt ,0 0của toán A ta có:

   

1 2

sin

,0 sin cos sin

t

n n n n n

n x n x

u b b n c b n c

L L x L L             

Tương tự ta được: 0 0sin L n n x b dx L L    

Vậy nghiệm toán A:

      0  

1 1

2

, sin ; L sin

A n n n n n n n ct b cos

n x n x

u x t X x T t b f x d

L x

L L L

  

 

 

   

Tương tự cho toán B, (5.24) vào điều kiện u x ,0 0 ta được: b1n0 Thay (5.25) vào điều kiện u xt ,0 g x  ta có:

     

1

1

,0 sin sin

t

n n

n n

n x n x L

u x n c g x g x

n L

L b L b c

           

Ta có: 2    

0

2 Lg sin Lg sin n

L n x n x

b x dx x dx

L n c L n c L

 

 

   

Vậy nghiệm toán B:

      2 0  

1

2

, sin sin ; L s ni

B n n n

n n

n

n

n x n x

u x t X x T t b g x dx

L n c

59 Kết hợp lại ta có nghiệm tốn ban đầu: u x t , u x tA , u x tB ,

     

1

1

2

, n n sin n nsin

n n

n ct n ct b co

n x

u x t X x T t s b

L L L              

  (5.26)

Trong đó: 1   2  

0

2 L sin L sin

n n

n x n x

b f x dx b g x dx

L L n c L

 



    (5.27)

Định lý 5.3 Bài toán biên (5.19), (5.20), (5.21) mô tả chuyển động dây với hai đầu cố định, vị trí ban đầu f(x) tốc độ ban đầu g(x) có nghiệm dạng chuỗi:

 

1

2

i

, sin s n

n

n n

n ct n ct b cos b

L L

n x u x t

L             

Trong b b1n, 2n hệ số chuỗi Fourier sine tính (5.27)

Ví dụ 5.5 Giải tốn sau:

   

   

     

 

, , , 1,

0, 1, 0

,0 3sin 1,

2sin , ,

0 ) ,

, (

tt xx

t

u x t u x t x t

u t u t t

u x x x x

sin

u x x x

                  Theo công thức nghiệm từ định lý 5.3 ta có:

 

1

i

, sin s n

n n n

n ct n ct b cos b

L L

n x u x t

L              Với     0

11 12 13

2

sin ( ) ( )

b 3, 0, 2,

3

L n

k

sin x sin n x

b f x dx f x

L L

b b b k

x                Và     0 22

2 sin ( )

b 2,

2 L n k si n x

b g x dx g x

n c L n

b x k             Vậy nghiệm tổng quát cần tìm:

 

1 , sin ( )

sin

, ( ) ( ) (3 ) (3 ) (2 ) (2 ) n

n

n

n x u x t

L

n ct n ct b cos b

L L

u x t sin x cos t sin x cos t sin x sin t

60 5.3 Phương trình Laplace

Xét tốn sau:

1

1

, , 0, , , 0, ,

( ) ( )

( ) ( , , , ,0 , , ,

) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

xx yy

u x y u x y x L y K

u y f y u L y f y y K u x g x u x K g x x L

     

   

   

Theo nguyên lý chồng chất nghiệm ta tách toán thành tốn (thậm chí tách thành toán đơn giản nữa)

Bài toán A:

1

, , 0, , , 0, 0, , 0, ,

,0 , , , ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

xx yy

u x y u x y x L y K

u y u L y y K

u x g x u x K g x x L

     

   

   

Bài toán B: 1 2

, , 0, , , 0, ,

( ) ( )

( ) ( ) ( , ) ( ), , ,0 0, , 0,

( ) ( )

xx yy

u x y u x y x L y K

u y f y u L y f y y K

u x u x K x L

     

   

   

Giả sử gọi u x yA , u xB , y nghiệm hai tốn theo ngun lý chồng chất nghiệm ta có: u x y , u x yA , u x yB , nghiệm cần tìm tốn ban đầu

Giải toán A phương pháp tách biến

Đặt u x y ,  X x Y y   , thay vào ta được: X x Y y( ) ( ) X x Y y( ) ( ) 

Tương tự: ( ) ( )

( ) ( )

X x Y y

X x Y y 

    

Từ hai điều kiện biên ta có:

 0 ( ) 0, ( ) ( ) 0,

X Y y  X L Y y   y K

Do Y(y) đồng không nên: X 0  0, X L( ) 

Phương trình tìm X x( ) là: X x( )X x( )0, X 0  X L 0

Nghiệm tổng quát:

2

( )

, , 1, 2,

n n

n x n x

X x sin n

L L

 

     Phương trình tìm Y(y):

2

0,

( ) ( )

n n

n

Y y Y y y K

L



 

     

 

Nghiệm tổng quát phương trình dạng:

1 sinh sinh , ,

(

( ) )

n n n n n

n y K n y

Y y C C C C const

L L

  

  

61

   

1

, sin sinh ( ) sinh

( )

A n n n n

n n

n x n y K n y

u x y X x Y y C C

L L L

                    

Để thỏa mãn hai điều kiện biên không ta cần:

1 1

1

1 2

1

,0 sin sinh sinh

( ) ( )

( )

b sin , sin sinh sinh ( ) b sin

A n n n

n n

n n n

n n

n x n K n x

u x C C g x

L L L

n x n K n x

u x K C C g x

L L L

                                    

Bằng cách sử dụng chuỗi Fourier g x1 , g x2 ta được:    

1 0

2 0

2 sinh sin sinh sin L n n L n n

n K n x

b C g x dx

L L L

n K n x

b C g x dx

L L L

           Do ta có cơng thức tính hệ số cn:

     

     

1

1 0

2

2 0

2

csch / sin

sinh /

2

csch / sin

sinh / L n n L n n

b n x

C n K L g x dx

n K L L L

b n x

C n K L g x dx

n K L L L

             Vậy nghiệm tổng quát toán A:

1

1

( )

, sin sinh si

( ) nh

A n n

n

n x n y K n y

u x y C C

L L L

                

với C1n,C2n xác định theo công thức

Việc tìm nghiệm tốn B làm tương tự tốn A Ví dụ 5.6 Giải tốn biên sau đây:

, , 0, 1, 2,

0, 0, 1, 0, 2,

,0 , , 3sin ,

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 1,

xx yy

u x y u x y x y

u y u y y

u x x u x x x

     

   

   

Bài toán trường hợp riêng ứng với:

    1  2 

1, 2, 1, 0, 0, 0, , 3si (n )

L K  f y  f y  g x x g x  x

62

     

1

( , ) sin sinh ( 2) sinh

A n n

n

u x y  n x C n y C n y



 

    

Bằng tích phân phần ta có:

       

1 1

1

1

sin 1n n 1n csch 1,2,3,

x n x dx C n n

n n

 

 



     



Tương tự ta có: C213csch ,  C2n3csch ,  n2,3,

Vậy nghiệm toán trên:

       

             

2

1

( ) ( )

( )

2

, sin sinh sinh

2

, sin csch sinh ( 2) 3csch sin sinh

n

A n

n

n A

n

u x y n x n y C n y

n

u x y n x n n y x n y

n

   

     



   

 

 

     

 

 

    

63

CHƯƠNG

BÀI TỐN TUYẾN TÍNH KHƠNG THUẦN NHẤT

Phương pháp tách biến áp dụng cho phương trình đạo hàm riêng điều kiện biên Tuy nhiên, mơ hình tốn học chứa thành phần, số hạng không (chứa hàm chưa biết đạo hàm chúng) phương trình có liệu điểm biên không (khác 0) Chương giải vấn đề

6.1 Nghiệm cân

Ta biết tới khái niệm nghiệm cân (trạng thái ổn định, trạng thái dừng hay độc lập với thời gian) toán truyền nhiệt nhiều chiều Mục ta xem xét nhiệt độ cân phân bố đồng chất

6.1.1 Đã biết nhiệt độ điểm biên

Bài toán biên giá trị đầu tổng quát với nguồn cung cấp nhiệt xét dạng sau:

                 

, , , , ,

0, , , ,

,0 ,

t xx

u x t ku x t q x t x L t

u t t u L t t t

u x f x x L

 

    

  

  

Nếu ,  số qq x  ta “có thể” có nghiệm cân thỏa mãn toán biên sau:

   

   

0,

0 , ,

q x

u x x L

k

u  u L 

    

 

Trong nghiệm cân khơng ảnh hưởng thời gian nên đại lượng thể biến động theo thời gian t Do nghiệm u x t , không phụ thuộc thời gian nên ta có: lim  ,  

tu x t u x

Do đó, để thuận tiện ký hiệu tốn tìm nghiệm cân sau:

   

   

0,

0 , ,

u x q x x L

u  u L 



 

    

 

64 Ví dụ 6.1 Tìm nhiệt độ cân tốn biên giá trị ban đầu sau:

   

   

 

, , 1, 2,

0, 1, 2, 2,

,0 sin ,

2

t xx

u x t u x t x x t

u t u t t

x

u x  x

     

   

  

Giải

Nhiệt độ cân nghiệm toán sau:

 

   

4 , 0,

0 1, 2

u x t x x

u u



 

     

 

Bằng cách tính tích phân lần ta có:

 

1 2

1

, ,

12

u x   x  x C x C C C const

Kết hợp điều kiện biên ta có nghiệm cân bằng:

  17 1

12 12

u x   x  x  x 6.1.2 Đã biết thơng lượng nhiệt điểm biên

Bài tốn tương ứng có dạng:

     

           

, , , , ,

0, , , ,

,0 ,

t xx

x x

u x t ku x t q x t x L t

u t t u L t t t

u x f x x L

 

    

  

  

Cũng mục trên, nghiệm cân tồn trường hợp ,

  số q không phụ thuộc thời gian Nghiệm cân (nếu tồn tại) thỏa mãn toán sau:

   

   

0,

0 , ,

u x q x x L

u  u L 



 

    

   

Trong toán điều kiện đầu khơng thể bỏ qua tốn Thực tế, điều kiện đầu đóng vai trị quan trọng để tìm nghiệm cân (nhiệt độ cân bằng) Do đó, điều kiện giả thiết với ,  q ta lấy tích phân phương trình từ đến L sử dụng điều kiện biên, được:

     

0 , ,

L L L

xx d

u x t dx k u x t dx q x dx

65

       

0 , , 0,

L L

x x

d

u x t dx k u L t u t q x dx

dt     

       

0 ,

L L

d

u x t dx k t t q x dx

dt    

Chú ý bề mặt hình trụ cách nhiệt, nhiệt độ cân tồn điều kiện tổng nguồn nhiệt thông lượng nhiệt qua đầu mút phải Ta có điều kiện:

    0L  

k t  t  q x dx

Nếu thỏa mãn điều kiện  

0 , ,

L

u x t dxconst  t

 đó:

   

   

0

0

,0 lim ,

L L

t

L L

u x dx u x t dx

hay u x dx f x dx

 

 

 

  (6.1)

Ví dụ 6.2 Tìm nhiệt độ cân toán IBVP sau đây:

   

   

 

, , 24, 2,

0, 2, 2, 14,

,0 sin ,

2

t xx

x x

u x t u x t x x t

u t u t t

x

u x x



 

     

  

  

Với const

Giải

Nhiệt độ cân thỏa mãn toán sau.:

 

   

4 24 0,

0 2, 14,

u x x x L

u u





 

     

   

Từ phương trình vi phân thường ta có:

 

1

1

6

u x   x  x C

Từ điều kiện biên ta được:  48,C12

Đây giá trị  để nhiệt độ cân tồn Lấy tích phân ta được:

 

2

2

66

Ta có:  

0 sin

L x

f x dx    dx

 

 

 

 

2

0 2

L

u x dx  x  x  x C dx  C 

 

 

Từ điều kiện (6.1) ta có  

2

C  u x  x  x  x

Dễ dàng kiểm tra lại tổng nguồn nhiệt thông lượng điểm mút

6.1.3 Điều kiện biên dạng hỗn hợp

Ví dụ 6.3 Tìm nhiệt độ cân tốn biên giá trị ban đầu sau đây:

   

   

 

, , 16, 2,

0, 5, 2, 4,

,0 sin ,

2

t xx

x

u x t u x t x t

u t u t t

x

u x  x

    

   

  

Ta cần giải toán sau:

 

   

4 16 0,

0 5, 4,

u x x

u u



 

    



  

Bằng phương pháp lấy tích phân sử dụng điều kiện ta được:

  2 4 5

u x  x  x

Ví dụ 6.4 Tìm nhiệt độ cân toán biên giá trị ban đầu sau đây:

   

     

 

, , 32, 2,

13

0, 0, , 2, 1,

2

,0 sin ,

2

t xx

x

u x t u x t x t

u t u t u t t

x

u x  x

    

 

 

     

 

  

Ta cần giải toán sau:

 

     

4 32 0,

13

0 ,

2

u x x

u u u



  

    

 

     

 

Bằng phương pháp lấy tích phân sử dụng điều kiện ta được:

  4 7 3

67 6.1.4 Hình khun trịn với nhiệt độ cho biên (đọc thêm)

Do tính chất hình học miền xác định nên phần ta sử dụng Laplacian tọa độ cực

Ví dụ 6.5 Tìm nhiệt độ cân toán IBVP sau đây:

       

   

   

1

, , , , 2,

1, 3, 2, 1,

,0 ,

t r r

u r t k u r t kr ru r t r t

u t u t t

u r f r r



     

   

  

Mơ hình truyền nhiệt hình khun trịn đồng chất khơng có nguồn nhiệt bề mặt bên trong, bên (ứng với r=1, r=2) giữ cố định hai nhiệt độ khác điều kiện ban đầu phụ thuộc vào r (Do phần thân điều kiện biên có đối xứng theo hình trịn nên ta giả sử nghiệm u độc lập với góc  tọa độ cực)

Khi nhiệt độ cân u r thỏa mãn toán sau:

 

 

   

0,

1 3,

ru r r

u u



 



   

  

Bằng phương pháp lấy tích phân sử dụng điều kiện ta được:

  2 4 5

u x  x  x

 Lấy tích phân lần ta được: ru  r  C1 const

 Lấy tích phân lần 2: u r C1lnr C 2, C2const

Kết hợp với điều kiện biên ta có nhiệt độ cân bằng:   ln ln

u r  r 6.2 Bài tốn khơng

6.2.1 Điều kiện biên độc lập với thời gian

Xét toán sau:

   

   

   

, , , ,

0, , , ,

,0 ,

t xx

u x t ku x t x L t

u t u L t t

u x f x x L

 

   

  

  

(6.2)

68

Giống mục 6.1 dễ thấy nghiệm cân toán là:

  ,

u x x x L

L

  

      (6.3)

Khi hàm v u u nghiệm toán biên giá trị đầu:

   

   

     

, , , ,

0, 0, , 0,

,0 u ,

t xx

v x t kv x t x L t

v t v L t t

v x f x  x x L

   

  

   

Nghiệm toán (xem mục 5.1) có dạng:

   2/ 

1

, nsin k n L t

n

n x

v x t b e

L





 





Các hệ số bn tính tương tự ta cần thay f x  f x u x 

Ta có:     

0

2

u sin , 1,2,

L n

n x

b f x x dx n

L L





    (6.4)

Vậy nghiệm tốn có dạng:

         2 

/

, , nsin k n L t

n

n x

u x t v x t u x u x b e

L





 

 



   

Với u x b, n cho công thức (6.3) (6.4)

6.2.2 Điều kiện biên nguồn nhiệt độc lập với thời gian

Xét toán sau:

     

   

   

, , , ,

0, , , ,

,0 ,

t xx

u x t ku x t q x x L t

u t u L t t

u x f x x L

 

    

  

  

Trong , ,k   số f hàm cho trước

Ta sử dụng phương pháp tương tự 6.2.1 với toán này, ý thêm chỗ nguồn nhiệt q(x) Nếu tồn nghiệm ổn định ta làm tương tự cho dạng điều kiện biên khác

69

     

   

 

2

2

, , sin , 1,

0, 1, 1, 3,

,0 ,

t xx

u x t u x t x x t

u t u t t

u x x x

 

    

   

  

Giải

Bài tốn tìm nghiệm cân bằng:

       

2sin 0, 0 1

0 1, 3,

u x x x

u u

 



 

    

  

Nghiệm tìm dạng: u x sin x  4x

Đặt v x t   , u x t, sin x  4x 1, ta có tốn tìm nghiệm v(x,t) sau:

   

   

   

, , , 1,

0, 0, 1, 0,

,0 sin ,

t xx

v x t v x t x t

v t v t t

v x x x x x

   

  

     

Bài toán giải phương pháp tách biến

Nghiệm u(x,t) tốn ban đầu có dạng: u x t   , v x t, u x Ví dụ 6.7 Nếu toán biên giá trị ban đầu:

   

   

 

, , , 1,

0, 0, 1, 0,

1 1

,0 ,

2

t xx

x x

u x t u x t x x t

u t u t t

u x x x x x



     

  

      

Với  số, có nghiệm trạng thái ổn định nghiệm thỏa mãn tốn:

 

   

0,

0 0, 0,

u x x x

u u





 

     

   

Tích phân hai vế, ta có:   1

2

u x   x  x C

Thay vào điều kiện biên ta tìm được: 1/ 2,C10

Lấy tích phân lần hai, ta được:  

2

1

6

u x   x  x C

70

Khi đặt    , ,

6

v x t u x t  x  x ta có tốn:

   

   

 

, , , 1,

0, 0, 1, 0,

1

,0 ,

2

t xx

x x

v x t v x t x t

v t v t t

v x x x

   

  

   

Bài tốn giải tiếp phương pháp tách biến Sinh viên tự giải tiếp

6.2.3 Trường hợp tổng quát

Ta xét toán sau:

                 

, , , , ,

0, , , ,

,0 ,

t xx

u x t ku x t q x t x L t

u t t u L t t t

u x f x x L

 

    

  

  

Trong , , ,  f q hàm cho trước

Ta đặt: p x t , C t1 C t x2  đa thức tuyến tính theo x, thỏa mãn điều kiện biên có nghĩa là:

   

    12  

0,

/ ,

p t t C

C L

p L t t

 

  

   

 

 

 

    

 



Đặt u v p ta biến đổi toán cho dạng:

       

   

     

, , , , , ,

0, 0, , 0,

,0 ,0 ,

t xx t

v x t kv x t q x t p x t x L t

v t v L t t

v x f x p x x L

 

      

  

   

Trong toán trên, điều kiện biên phương trình chưa Các toán dạng với điều kiện biên khác giải phương pháp khai triển hàm riêng đề cập đến chương sau

Ví dụ 6.8 Xét toán biên giá trị ban đầu sau

   

   

 

2

, , , 1,

0, , 1, ,

,0 ,

t xx

u x t u x t xt x t

u t t u t t t

u x x x

    

   

  

71  ,

q x t xt Do đó, ta tính được: p x t ,     1 t t2 t 1x đặt

   , , 1  1

u x t v x t     t t t x

Ta toán dạng đơn giản với điều kiện biên sau:

   

   

 

, , , 1,

0, 0, 1, 0,

,0 1,

t xx

v x t v x t xt x x t

v t v t t

v x x x

      

  

   

Ví dụ 6.9 Xét toán biên giá trị ban đầu sau

   

   

 

2

, , , 1,

0, , 1, ,

,0 1,

t xx

x x

u x t u x t xt x t

u t t u t t t

u x x x

    

  

   

Đối với dạng ta làm tương tự Ví dụ 6.8 thay p x tx , p x t , Ta được:

         

1

, ; 0, ; 1,

x x x

p x t C t C t x p t t p t t

Ta tính p x tx ,   t  t2 t x

Lấy tích phân hai vế ta có:  , 2 2

p x t  xt x t t (cho số tự 0)

Đặt:    , , 2 2

2

u x t v x t  xt x t t

Ta toán dạng đơn giản với điều kiện biên sau:

     

   

 

2

, , , 1,

2

0, 0, 1, 0,

,0 1,

t xx

x x

v x t v x t t t xt x t x x t

v t v t t

v x x x

         

  

   

72

CHƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN HÀM RIÊNG

Phương pháp tách biến thực phương trình điều kiện biên không Như ta thấy chương 6, có số trường hợp riêng ta đưa tốn dạng tương đương với phương trình điều kiện biên nhất, luôn làm điều Trong trường hợp tổng quát, cách tốt ta đưa điều kiện biên dạng Kỹ thuật khai triển theo hàm riêng áp dụng cho toán biên giá trị ban đầu (IBVP) với phương trình khơng điều kiện biên

7.1 Phương trình truyền nhiệt

Ta xét toán IBVP sau:

     

   

   

, , , , ,

0, 0, , 0,

,0 ,

t xx

u x t ku x t q x t x L t

u t u L t t

u x f x x L

    

  

  

Các giá trị riêng hàm riêng tương ứng toán (xem mục 5.1)

 

, sin , 1,2,

n n

n n x

X x n

L L

 

      

Do chuỗi  Xn n1 tập đầy đủ nên ta xem nghiệm cần tìm khai triển dạng:

     

, n n

n

u x t  c t X x 

 (7.1)

Đạo hàm hai vế chuỗi (7.1) thay vào phương trình với ý

n n n

X X  ta được:

               

1 1

, ,

n n n n n n n

n n n

c t X x k c t X x q x t k c t  X x q x t

  

  

     

  

Hay        

1

,

n n n n

n

c t k c t X x q x t 



    

 



Nhân hai vế phương trình với Xm x , sau lấy tích phân [0,L] ý cách hàm riêng trực giao theo định lý 3.8 mục iii) ta được:

    2     

0 ,

L L

m m m m m

c t k c t X x dx q x t X x dx

    

73

Đổi ký hiệu m n ta phương trình sau:

         

2

,

, 0, 1,2,

L

n

n n n L

n

q x t X x dx

c t k c t t n

X x dx



     

 (7.2)

Dễ thấy điều kiện biên thỏa mãn hàm X xn  (7.1) thỏa mãn điều kiện biên

Từ (7.1) điều kiện ban đầu ta có:

       

,0 n n

n

u x f x  c X x



 

Làm tương tự ta được:

       

2

0 , 1,2,

L

n

n L

n

f x X x dx

c n

X x dx

  

 (7.3)

Rõ ràng, điều tương tự tìm dạng khai triển hàm số sau:

         

1

, n n , n n ,

n n

q x t  q t X t f x  f X t

 

 

Trong q t fn , n xác định vế phải (7.2) (7.3) Khi nghiệm toán IBVP ban đầu có dạng (7.1) với hệ số c tn  xác định theo (7.2) (7.3)

Khi toán ban đầu trở thành:

       

   

2

0

0

2

, sin ,

2

0 sin ,

L

n n n

L

n n

n n x

c t k c t q t q x t dx

L L L

n x

c f f x dx

L L

 



  

        

 

Bài toán IBVP với điều kiện biên dạng khác tính tốn tương tự

Ví dụ 7.1 Các giá trị riêng hàm riêng toán IBVP sau:

     

   

   

2

2 24

, , e sin , 1,

0, 0, 1, 0,

,0 3sin ,

t

t xx

u x t u x t x x t

u t u t t

u x x x



 





    

  

  

74

Do q x t , 2e242tsin 5   x , f x 3sin 4 x trùng với hàm riêng nên ta suy phương trình sau:

     

2

2 24

2 e , n

0,

3, n

0

0,

t

n n

n

c t n c t

n c n                 

Với n4 ta có:    

   

2

2

4 16

4

16 0,

3

0

t

c t c t t

c t e

c              

Với n5 ta có:    

     

2

2

2 24

5 25

5

25 ,

1

0

t

t t

c t c t e t

c t e e

c                   

Với

5 n n     

 ta có:

   

   

2 0, 0

0

0

n n

n n

c t n c t t

c t c            

Vậy nghiệm toán cho:

      4   4 5   5

, n n

n

u x t  c t X x c t X x c t X x 

  

Do đó: u x t , 3e162tsin 4 x e252te2t1 sin 5  x Ví dụ 7.2 Các giá trị riêng hàm riêng toán IBVP sau:

   

   

 

, , , 1,

0, 0, 1, 0,

,0 1,

t

t xx

u x t u x t xe x t

u t u t t

u x x x



    

  

   

Là nn2 2 X xn sin n x n , 1,2,

Do q x t ,  xet, f x  x nên theo (7.2), (7.3) công thức khai triển chuỗi Fourier ta có:

  2    

2 t sin

n n

c t n  c t  e  x n x dx

Hay c tn  n2 2c tn   1n e t, t

n





 

75

Và   1   

0

2

0 sin

n

c x n x dx

n







    (7.5)

Sử dụng thừa số tích phân (7.4) en2 2t , kết hợp điều kiện (7.5) ta tính được:

    1   2

2 2

2 1

1

1

n t n n t

n

c t e e

n n n

                          

Do theo cơng thức (7.1) ta có nghiệm tốn xét là:

    1   2  

2 2

1

2 1

, 1 sin

1

n t n n t

n

u x t e e n x

n n n

                                    

Ví dụ 7.3 Các giá trị riêng hàm riêng toán IBVP sau:

     

   

   

, , cos , 1,

0, 0, 1, 0,

1

,0 cos ,

2

t xx

x x

u x t u x t t x x t

u t u t t

u x x x

              

Là nn2 2 X xn cos n x n , 0,1,2,

Trong để thuận tiện ta đặt 01 thay 1/ Bằng phương pháp tương tự thực với chuỗi hàm riêng sin ta thấy (7.1) (7.3) đúng, ý n=0,1,2,… X xn  hàm cosine

Do  , cos 2   , 12cos 2 

q x t t x f x x



   tổ hợp tuyến tính

các hàm riêng nên theo (7.2), (7.3) công thức khai triển chuỗi Fourier ta có:

  2    

2 , 1

,

1, , 0;

0,

0, 0,2

n n n

t n

n

c t n c t n t c

n n                          

Với n0 ta có:  

   

0

0

2 ,

0

c t t t

c t t c

   

  

 



Với n2 ta có:    

       

2

2

2 1

2

2

2

4 1,

4

1

2

t

c t c t t

c t e

c                  

Với n0, ta có:    

   

2 0, 0

0

0

n n

n n

c t n c t t

76

Do theo cơng thức (7.1) ta có nghiệm toán xét là:

      0   0 2   2

, n n

n

u x t  c t X x c t X x c t X x 

  

Do đó:  , 121 cos 2 

4

t

u x t t e  x

 

  

Ví dụ 7.4 Các giá trị riêng hàm riêng toán IBVP sau:

   

   

 

3

, , sin sin , 1,

2

0, 0, 1, 0,

1

,0 sin 2sin ,

2

t xx

x

u x t u x t x t x x t

u t u t t

u x x x x

                                  

Là  

2

2

4

n

n 

     sin 2 1 , 1,2,

2

n

n x

X x      n 

 

Tương tự ví dụ ta có:

   2    

1, 1,

1

2 t, , 0; 2,

4

0, 2,3 0, 1,2

n n n

n n

c t n c t n t c n

n n                               

Với n1 ta có:    

   

2

2

1 /4

1 1 0, t

c t c t t

c t e c              

Với n2 ta có:

   

   

2

2

2 2 /4

2

9

1, 4 4

4

9

0

t

c t c t t

c t e

c                           

Với n3 ta có:

   

   

2

2

3 25 /4

3

25

, 16 4 16

4

625 25 625

0

t

c t c t t t

c t e t

c                   

Với n1,2,3 ta có:      

   

2

1

2 0,

4

0

n n

n n

c t n c t t

77

Do theo cơng thức (7.1) ta có nghiệm toán xét là:

  2

2

2

/4 /4

2

25 /4

4

1 18 4

, sin sin

2 9

16 16

sin

625 25 625

t t

t

u x t e x e x

e t x

 





 

 



  

 



 

      

  

      

   

 

      7.2 Phương trình truyền sóng

Ta xét toán IBVP sau:

     

   

       

, , , , ,

0, 0, , 0,

,0 , ,0

tt xx

t

u x t c u x t q x t x L t

u t u L t t

u x f x u x g x x L

    

  

   

Các giá trị riêng hàm riêng tương ứng toán (xem mục 5.2)

 

, sin , 1,2,

n n

n n x

X x n

L L

 

      

Do chuỗi  Xn n1 tập đầy đủ nên ta xem nghiệm cần tìm khai triển dạng:

     

, n n

n

u x t  c t X x 



Làm tương tự phương trình truyền nhiệt, kết hợp với điều kiện ban đầu thứ 2, ta được:

         

2

2

,

, 0, 1, 2,

L

n

n n n L

n

q x t X x dx

c t c c t t n

X x dx



     

 (7.6)

Ta thấy đẳng thức (7.3) sau thỏa mãn:

       

2

0 , 1,2,

L

n

n L

n

f x X x dx

c n

X x dx

  



và ta có thêm điều kiện sau:

       

2

0 , 1,2,

L

n

n L

n

g x X x dx

c n

X x dx

   

78

Khi nghiệm tốn IBVP có dạng (7.1) với hệ số c tn  xác định theo (7.3), (7.6) (7.7)

              2 0

, sin ,

2

0 sin ,

2 sin L n n L n L n

n n x

c t c c t q x t dx

L L L

n x

c f x dx

L L

n x

c g x dx

L L                   

Bài toán IBVP với điều kiện biên dạng khác tính tốn tương tự

Ví dụ 7.5 Cho toán sau:

     

   

     

2

, , sin , 1,

0, 0, 1, 0,

,0 , ,0 sin

tt xx

t

u x t u x t x x t

u t u t t

u x u x x x

 

  

    

  

   

Dễ nhận thấy tốn có dạng toán xét với:

         

2 1, 1, , 2sin , , 2 sin 2

c  L q x t  x f x  g x   x

Do ta có:

              2 , , 0,

0 sin 1 , 1,2,

2 ,

0 0, n n L n n n n

c t n c t t

n

c n x dx n

n n c n                               

Với n1 ta có:    

        2 1 1 , 3cos

0 2, 0

c t c t t

c t t

c c                 

Với n2 ta có:    

       

2

2

2

2

4 0,

sin

0 0,

c t c t t

c t t

c c                

Với n1, ta có:

   

           

2 0, 0

2

1 cos

2

0 1 , 0

n n

n n

n

n n

c t n c t t

c t n t

79

Vậy nghiệm cần tìm:

               

3

2

, 3cos sin sin sin 1n cos sin

n

u x t t x t x n t n x

n                    

Ví dụ 7.6 Cho toán sau:

     

   

     

, , cos , 1,

0, 0, 1, 0,

,0 2, ,0 2cos

tt xx

x x

t

u x t u x t t x x t

u t u t t

u x u x x x





     

  

   

Các giá trị riêng hàm riêng toán là:

   

2 2, cos , 0,1, 2,

n n X xn n x n

     

Thực tương tự ta có:

     

   

2

1,

, ,

0, 0,1

2, 2,

0 ,

0, 0,

n n

n n

n

c t n c t t n t

n n n c c n n                            

Do đó, với n0 ta có:  

     

0

0

0

1, 1

2

0 2, 0

c t t

c t t

c c

   

   

   



Với n1 ta có:    

       

2

1

1

1

,

sin

0 0, 0

c t c t t t

c t t t

c c                   

Với n2 ta có:    

       

2

2

2

2

4 0,

sin

0 0,

c t c t t

c t t

c c                 

Với n0,1, ta có:

   

     

2 0, 0

0

0 0, 0

n n

n

n n

c t n c t t

c t c c              

Vậy nghiệm cần tìm:

         

2

1 1

, sin cos sin cos

2

u x t t t t x t x

80 7.3 Phương trình Laplace

Ta xét toán BVP sau:

     

   

  1    2 

, , , , ,

0, 0, , 0,

,0 , , ,

xx yy

u x y u x y q x y x L y K

u y u L y y K

u x f x u x K f x x L

     

   

   

Các giá trị riêng hàm riêng tương ứng toán (xem mục 5.3)

 

, sin , 1,2,

n n

n n x

X x n

L L

 

      

Ta tìm nghiệm dạng:

   

1

, n sin

n

n x

u x y c y

L



 



Làm tương tự mục 7.1 7.2 ta được:

              2 2

, sin ,

2

0 sin ,

2 sin , L n n L n L n n x

c y n c y q x y dx y K

L L

n x

c f x dx

L L

n x

c K f x dx

L L               (7.8)

Ví dụ 7.8 Cho toán sau:

     

   

       

2

, , sin , 1,

0, 0, 1, 0,

,0 2sin , ,2 sin ,

xx yy

u x y u x y x x y

u y u y y

u x x u x x x

 

 

     

   

    

Do ta có:

   

   

2

2 , 1, 0 2

0,

2, 1,

0 ,

0, 0,

n n

n n

n

c y n c y y

n n n c c n n                           

Do đó, với n1 ta có:

               2 1 1

,

csch sinh

0 0,

c y c y y

c y y

81

Với n3 ta có:

   

          

2

3

3

3

9 ,

2csch sinh

0 2,

c y c y y

c y y

c c

   

     

    

  



Với n1,3 ta có:

   

     

2

2

0,

0

0 0,

n n

n n

c y n c y y

c y

c c



     

  

  



Vậy nghiệm cần tìm:

 , csch sinh    2 sin  2csch sinh 3    sin 3  

82

CHƯƠNG

BIẾN ĐỔI FOURIER

Một số tốn thực hành quan trọng nằm ngồi khả tiếp cận phương pháp khai triển hàm riêng Chẳng hạn không gian biến số xác định tồn tập số thực hệ khơng có điểm biên Điều đưa đến toán việc có continuum giá trị riêng thay tập đếm Trong trường hợp ta cần tìm kỹ thuật giải khác Biến đổi Fourier xuất phát từ việc khai triển hàm thành chuỗi Fourier công cụ quan trọng làm việc với tốn có miền spatial vơ hạn hay bán vô hạn vi phép biến đổi phát triển từ toán rút gọn biến phương trình đạo hàm riêng

8.1 Biến đổi Fourier đầy đủ Xây dựng phép biến đổi

Để đơn giản, ta xét hàm số f liên tục tuần hoàn với chu kỳ 2L R Khi ta có khai triển Fourier hàm số sau:

 

1

cos sin

2 n n n

n x n x

f x a a b

L L

 

 

 



    (8.1)

Với

   

   

1

cos 0,1,2,

1

sin 1, 2,

L

n L

L

n L

n x

a f x dx n

L L

n x

b f x dx n

L L

 

 

 

 



 (8.2)

Từ công thức Euler:

 

   

2

1 cos

cos sin , 2

1

cos sin , sin

2

i i

i i

i i i i

e e

e i i

i

e i i e e e e

i

 



    

  

  



  

  

  

     

   

         



Thay n x

L



 ta có:

   

0

0

1

1

cos sin

2

cos sin

2

n n

n

n n

n n

n x n x

f x a a b

L L

n x n x

f x a a b

L L

 

 

 

 

 

 



    

  



83         1 1 1

2 2

1 1

2 2

in x in x in x in x

L L L L

n n

n n

in x in x

L L

n n n n

n n

i

f x a a e e b e e

f x a a ib e a ib e

                                                

Trong tổng  

1 in x L n n n

a ib e



  

 ta thay n –n ý rằng:

   

1

cos ; sin

L L

n L n n L n

n x n x

a f x dx a b f x dx b

L L L L

 

          

Sau thay trở lại ta được:

     

1

1 1

2 2

in x in x

L L

n n n n

n n

f x a a ib e a ib e

 

   

 

 

      

Do ta viết:  

in x L n n

f x c e



  

 

Và hệ số cn tính cơng thức:

   

     

1 cos sin 2 1 2 L

n n n L

in x L

L

n n n L

n x n x

c a ib f x i dx

L L L

c a ib f x e dx b

L                       

Tóm lại ta có:    

2

in in x

L

L L

L n

f x f e d e

L                   

  (8.3)

Nếu f hàm khơng tuần hồn theo nghĩa thơng thường ta xem tuần hồn với chu kỳ vô hạn Sử dụng thêm công cụ tốn cao cấp ta thấy L tiến vơ biểu diễn (8.3) có dạng:

 

1

i i xd

f  e d e   

             

  (8.4)

Từ ta định nghĩa phép biến đổi Fourier hàm f sau:

  f  F  21 f x e dx  i x



 

  

 (8.5)

84       

1

2

i x

F x f x F  e  dx





 



  

 (8.6)

Các tốn tử tích phân  , 1 gọi biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược tương ứng Biến  gọi tham số biến đổi

Chú ý

i) Công thức (8.5), (8.6) xác định  f x dx 

 

 , có nghĩa f hàm khả tích

tuyệt đối R Tuy nhiên biến đổi Fourier xác định với số hàm khơng thỏa mãn tính chất

ii) Xây dựng biến đổi Fourier đầy đủ mở rộng cho hàm liên tục trừng khúc Trong trường hợp này, f(x) phải thay 1    

2 f x f x

  

Ví dụ 8.1 Tìm biến đổi Fourier hàm sau:    

 

1 , ,

0 , ,

x a a f x

x a a

  



   

Ta có:

      

      

1

2

sin

1

2 2

a

iwx iwx

a

iaw iaw

a iwx

a

f w F w f x e dx e dx

aw

e e

f w F w e

w

iw iw

 

  



 

 

  

  

     

 

 

Định nghĩa 8.1 Cho f g hai hàm khả tích tuyệt đối R Tích chập (convolution) f g, ký hiệu f*g xác định bởi:

 *       ,

f g x f x  g  d x



 

     

Chú ý Bằng phép đổi biến ta có:

 *       ,

f g x f  g x  d x



 

     

Vậy tích chập có tính giao hốn hay f g x*    g f x*  

Định lý 8.2 (về tính chất phép biến đổi Fourier)

i)  tuyến tính, nghĩa c f1 1c f2 2c1 f1 c2 f2

ii) Nếu uu x t u x t   , , , 0 x , đặt   u w t, U w t , ta có:

 ux  w t, iwU w t ,

85

iii) Nếu có thêm điều kiện u x tx , 0 x  thì:

  ,  , x

u w t  w U w t



iv) Biến đổi Fourier đạo hàm theo biến thời gian:

  t ,     ,  ,

t

u w t  u w t U w t

 

v) Biến đổi Fourier tích chập: f g*    f  g Chú ý:

- Thông thường  f g    f  g

- Phép biến đổi Fourier ngược tuyến tính

- Ta có bảng tính sẵn biến đổi Fourier hàm sơ cấp phụ lục A2

 ỨNG DỤNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 8.1.1 Bài tốn Cauchy dây vơ hạn

Ta có toán sau:

           

, , , ,

, , , ,

,0 ,

t xx

x

u x t ku x t x t

u x t u x t x t

u x f x x

     

   

    

Ta ký hiệu biến đổi Fourier hàm u(x,t) hàm f(x) sau:

  u w t, U w t ,   f w F w 

 

Ta dùng phép biến đổi Fourier cho phương trình điều kiện ban đầu Kết là:

   

   

, , ,

,0

t

U w t kw U w t t

U w F w

  



Ta có phương trình vi phân:

 

2

2 0

0

kw t U kw U

U Fe

U F

 

    



  (8.7)

Để tìm nghiệm phương trình ban đầu, ta cần tính tốn biến đổi Fourier ngược cho hàm U tìm

Đặt P w t , ekw t2 ta tìm biến đổi Fourier ngược hàm Theo công thức

86

   2  

1 , 1 /4 ,

2

kw t iwx x kt

P x t e e dw e p x t

kt





   



   



Theo Định lý8.2 ta viết (8.7) dạng:

            

, , , kw t *

u w t U w t F w t e  f p  f p

   

Từ suy *  ,    

2

u f p u x t f x  p  d



 

    

Vậy  ,          2/

2 2

x kt

u x t f p x d f e d

kt



    

 

   

 

    

Một dạng khác công thức nghiệm là:

 ,  , , ,0  ,0

u x t  G x t  u  d 

 (8.8)

Trong đó:  , , ,0    2/

x kt

G x t e

kt







 

 gọi nhân Gauss-Weierstrass hay hàm

ảnh hưởng

Ví dụ 8.2 Xét tốn giá trị đầu sau

           

, , , ,

, , , ,

3,

,0

0,

t xx

x

u x t u x t x t

u x t u x t x t x

u x f x

x

     

   

 



  

 

Ta có:  , , ,0    2/ 2

x t

G x t e

t







  

Vậy          2/

1

3

, , , ,0 ,0

2

x t

u x t G x t u d e d

t



   



  

 



  

Nếu không dùng công thức nghiệm (8.8) ta sử dụng cơng thức 12 bảng phụ lục A2 để tính   sin

2 /

w F w

w





 phương trình vi phân sau:

 

2

2

2

2

3 sin sin

0

w t

U w U

w

U e

w w

U

w 



 

    

   

 

 

87  , 1  , 1

2 2 2

x x

u x t U x t erf erf

t t

    

    

Hàm yerf x  gọi hàm sai số Đồ thị hàm sai số sai số bổ sung xác định  ,  tương ứng là:

 

   

2

2

0

2

2

1

x

x x

y erf x e d

y erfc x e d erf x

 

 

 

 

 

   

  8.1.2 Dao động sợi dây vơ hạn

Ta có toán sau:

   

   

     

2

, , , ,

, , , ,

,0 , ,0

tt xx

x

t

u x t c u x t x t

u x t u x t x t

u x f x u x x

     

   

    

Sử dụng biến đổi Fourier ta có:

     

2 0 0

0 ; ' 0

U c w U t

U F w U

   

 

Công thức nghiệm tổng quát U w t , C w1   cos cwt C w2   sin cwt

Thay vào điều kiện ban đầu ta có: U w t , F w   cos cwt

Theo công thức Euler:

       

  1      

1

, cos

2

, , cos

icwt icwt

iwx

U w t F w cwt F w e e

u x t U x t F w cwt e dw

 

 



 

    

 

Vậy:  ,          

2

iw x ct iw x ct

u x t F w e  e  dw f x ct f x ct

    

           (8.9)

Ví dụ 8.3 Xét toán sau:

       

   

, , , ,

, , , ,

,0 , ,0

tt xx

x x

t

u x t u x t x t

u x t u x t x t

u x e u x x

     

   

     

88       1  2  2

,

2

x t x t

u x t  f x ct f x ct  e  e  8.2 Biến đổi Fourier Sine Cosine

Phép biến đổi Fourier sine cosine tổng quát hóa từ chuỗi Fourier sine cosine, tương ứng, xác định hàm f liên tục khúc 0, cho công thức:

                 

0

0

2

sin

cos

S

C

f F f x x dx

f F f x x dx

   

   

 

 

 

  



Phép biến đổi xác định f khả tích tuyệt đối 0, có nghĩa

  f x dx



  

Biến đổi ngược tương ứng

                 

0

0

2

sin

2

cos

S

C

F x f x F x d

F x f x F x d

   

   

 

 

 

 

  



Ví dụ 8.4 Biến đổi Fourier sine cosine hàm:

  10 x a

f x a const

a x

  



 

 

Giải Ta có:

             

            

0

0

2 2

sin sin cos

2 2

cos cos sin

a S

a C

f F f x x dx x dx aw

f F f x x dx x dx aw

       

   

   





    

   

 

 

 

Chú ý  S  C định nghĩa với hàm thực hàm chẵn lẻ

Định lý 8.3

i)  S, C toán tử tuyến tính

89      

       

, ,

2

, 0, ,

S x C

C x S

u w t w u w t

u w t u t w u w t



 

  

 

 

iii) Nếu có thêm điều kiện u x tx , 0 x  ta có:

               

2

2

2

, 0, ,

2

, 0, ,

S xx S

C xx x C

u w t wu t w u w t

u w t u t w u w t

 

 

 

 

 

iv) Đạo hàm theo thời gian có tính giao hốn biến đổi Fuorier sine Fourier cosine

               

, ,

, ,

S t S t

C t C t

u w t u w t

u w t u w t

 

 

 

Việc chọn biến đổi Fourier sine hay cosine phụ thuộc vào điều kiện biên mô tả x0 Bảng biến đổi Fourier sine cosine cho chi tiết bảng phụ lục A3 A4

8.2.1 Truyền nhiệt dây nửa vô hạn

Quá trình truyền nhiệt dây dài biết hiệt điểm đầu tác động điều kiện xa điểm đầu bỏ qua, tuân theo phương trình đạo hàm riêng sau

               

, , , 0,

0, ,

, , , ,

,0 ,

t xx

x

u x t ku x t x t

u t g t t

u x t u x t x t

u x f x x

  

 

   

 

Từ đặc điểm điều kiện biên, ta sử dụng biến đổi Fourier sine Đặt: S  u w t, U w t , S  f w F w 

Sử dụng biến đổi Fourier với phương trình điều kiện ban đầu sử dụng tính chất định lý ta phương trình vi phân thường sau:

     

   

2

, , ,

,0

U w t kw U w t kwg t t

U w F w



   



90 Ví dụ 8.5 Xét toán biên điều kiện giá trị đầu sau đây:

     

     

, , , 0,

0, 1,

, , , ,

,0 0,

t xx

x

u x t u x t x t

u t t

u x t u x t x t

u x x

  

 

   

 

Ta có phương trình:

   

 

2

, , ,

,0

U w t w U w t w t

U w



   



Nghiệm U(w,t) tìm được: U w t , 11 e w t2  w

 

 

Theo công thức số 12 bảng phụ lục ta được:  , 1  ,

2

S

x u x t U x t erfc

t 

 

8.2.2 Bài toán dao động dây nửa vơ hạn Ví dụ 8.6 Xét toán sau:

     

   

   

, , , 0,

0, 0,

, , , ,

,0 , ,0 0,

tt xx

x

x x

t

u x t u x t x t

u t t

u x t u x t x t

u x e u x x

  

 

   

  

Với điều kiện biên trên, ta sử dụng biến đổi Fourier cosine (điều kiện biên đạo hàm theo x 0)

Sử dụng công thức bảng A4, biến đổi Fourier cosine hàm ex

 2

2 / 1w  Do đó, theo Định lý 8.3 hàm U w t , C  u w t, thỏa mãn phương trình vi phân thường sau đây:

   

 

2

2

, , 0,

2

,0

1

U w t w U w t t

U w

w



   





Với công thức nghiệm tổng quát:  , cos 2 2

wt U w t

w







91   1    

2

cosh , /

, ,

cosh , /

x

C t

e t t x

u x t U x t

e x t x

 



 



  

 



8.2.3 Bài toán cân nhiệt dải nửa vô hạn

Trạng thái nhiệt độ ổn định phân bố dải nửa vô hạn 0 x L y, 0 mô tả toán biên:

   

           

       

1

1

, , 0, ,

0, , , ,

,

,0 ,

, , , ,0

xx yy

y

u x y u x y x L y

u y g y u L y g y y

g y g y y

u x f x x L

u x y u x y y x L

    

  

  

  

    

Sử dụng nguyên lý chồng chất nghiệm, ta tìm nghiệm dạng:

 , 1 , 2 ,

u x y u x y u x y

Trong u1 thỏa mãn toán với g10, g20 u2 thỏa mãn tốn với f 0 Do ta có tốn

Bài tốn thứ dạng:

       

   

         

1

1

1

1

, , 0, ,

0, 0, , 0,

,0 ,

, , , ,0

xx yy

y

u x y u x y x L y

u y u L y y

u x f x x L

u x y u x y y x L

    

  

  

    

Ta dùng phương pháp tách biến để giải toán Thực tương tự mục 5.3 từ phương trình điều kiện biên, điều kiện đầu ta có:

   

1

1

1

, sin cosh sinh

, sin

n n

n

n y n y

L L

n n

n

n x n y n y

u x y A B

L L L

n x

u x y a e b e

L

 

  



 

 



 



   

 

 



   

 

 

Do u x y1 , 0khi y  nên ta có an   0, n 1,2, đó:

 

1

, sin

n y L n

n

n x

u x y b e

L





 



 (8.10)

92

   

1

1

,0 nsin

n

n x

u x b f x

L



 

 

Do theo cơng thức chuỗi Fourier sine ta có:

 

2

sin 1,2,

L n

n x

b f x dx n

L L



  

Vậy nghiệm tốn biên ban thứ cho cơng thức (8.10) với hệ số bn tính

tốn theo cơng thức

Bài tốn biên thứ 2:

       

           

 

     

2

2 2

1

2

2

, , 0, ,

0, , , ,

,

,0 0,

, , , ,0

xx yy

y

u x y u x y x L y

u y g y u L y g y y

g y g y y

u x x L

u x y u x y y x L

    

  

  

  

    

Căn vào điều kiện biên, ta dùng biến đổi Fourier sine theo y ký hiệu sau:

  2 ,  , ,   1 1 ,   2 2 

S u x w U x w S g w G w S g w G w

  

Bài toán đưa về:

   

       

1

, , 0,

0, L,

U x w w U x w x L

U w G w U w G w

    

 

Nghiệm tổng quát phương trình vi phân là:

 , 1 sinh  2 sinh  

U x w C w wx C w w L x

Trong C C1, 2 hai hàm tùy ý theo biến w Sử dụng điều kiện biên x=0 x=L ta có:

 , csc    2 sinh  1 sinh  

U x w  h wL G w wx G w w L x  (8.11) Nghiệm u2 tốn tính tốn phép biến đổi ngược S1 hàm đẳng

thức

93    

     

   

   

, , 0, 1,

0, 0, 1, ,

1,

0,

,0 0,

, , , ,0

xx yy

y

u x y u x y x y

u y u y g y y

y g y

y

u x x

u x y u x y y x

    

  

  



  

  

    

Áp dụng cơng thức nghiệm tìm ta có:

   

2

2 2

1 cos sin

G w w w

w w

   

   

Theo công thức (8.11) ta có:

 , 2sin2 .csch .sinh 

U x w w w wx

w





Từ ta có:

  1        

0

4

, S , sin csch sinh sinh

u x y U x y w w wx wx dw

w



 

  

8.3 Ứng dụng khác

Biến đổi Fourier áp dụng với số toán khác chẳng hạn toán đề cập đến mục 4.1, bao gồm phương trình đạo hàm riêng khơng

Ví dụ 8.8 Xét tốn Cauchy sau:

       

     

2

2

, t , t , , ,

, t , , t ,0

,0 0,

x

t xx

x

u x u x u x t x t e x t

u x u x x t

u x x



        

   

    

Đây tốn mơ hình hóa q trình khuyếch tán với chuỗi phản ứng nguồn môi trường (chất liệu) chiều

Giải

Theo công thức 10 bảng A2 ta có:

    2/

2

1

2

x w

x t e w t e

      

   

 



94

       

 

2

2 /4

, , ,

2

,0

w

U w t w U w t w t e t

U w



 

        



Tính tốn trực tiếp ta có nghiệm:  , 2/4

w U w t  te

Theo công thức 8, nghiệm toán ban đầu:

    

1

, , x

u x t  U x t te Ví dụ 8.9 Xét toán sau:

       

 

   

   

2

2

, , , 4 , 0,

0, ,

, , , ,0

,0 0, ,0 0,

x

tt t xx

x t

u x t u x t u x t t t e x t

u t t t

u x t u x t x t

u x u x x



      

 

   

  

Đây tốn mơ hình truyền q trình tán xạ sóng dây nửa vơ hạn, tác động phép dời hình gần điểm đầu cho trước lực bên Căn vào điều kiện biên ta sử dụng biến đổi Fourier sine để tìm nghiệm

Theo cơng thức bảng A3 ta có:

 2  2

2

2

2 4 2

4

x S

w

t t e t t

w





     

 

  



Từ đây, Định lý 8.3 điều kiện ban đầu, đặt S  u w t, U w t , ta thấy U nghiệm toán biến đổi sau:

       

   

2 2

2

2

, , , 2 ,

4

,0 0, ,0

w

U w t U w t w U w t wt t t t

w

U w U w

 

        

 

 

Tính tốn trực tiếp ta có nghiệm:  , 2

w

U w t t

w







Theo công thức 8, nghiệm toán ban đầu:

 , 1  , 2x S

95

       

 

   

 

   

4

3

2

8

, , , , 1,

1

0, 0, 1, ,

1

,0 0,

, , , ,0

xx yy

y

y

x y y

u x y u x y u x y x y

y

u y u y y

y

u x x

u x y u x y y x

 

     



  



  

    

Đây tốn mơ tả trạng thái truyền nhiệt ổn định dải nửa vô hạn với nguồn nhiệt độc lập thời gian đáy cách nhiệt Căn vào điều kiện biên ta sử dụng biến đổi Fourier cosine để tìm nghiệm

Theo cơng thức 9-12 bảng A4, dễ thấy ta có:

 

   

 

4

2

2

2

8

1

1

2

w C

w C

x y y

w e x y

e y









   

 

   

  

 

 

 

  

 

  

 

 

Từ Định lý 8.3 điều kiện ban đầu, đặt C  u w t, U w t , ta thấy U nghiệm toán biến đổi sau:

       

   

2

, , ,

2

0, 0, 1,

2

w

w

U x w w U x w w e x x

U w U w e

 





      

 

Tính tốn trực tiếp ta có nghiệm:  ,

w U x w   xe

Theo công thức 9, nghiệm toán ban đầu:

  1  

2

, ,

1

C

x

u x y U x y

y 

 

