Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C.[r]
(1)Hướng dẫn giải
bài tập tuần từ 19.3 đến 28.3
Câu
1) Rút gọn: : 2 10 12 A
2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x 2012 x 2013 với x số tự nhiên Câu (5,0 điểm)
1) Tìm x biết
2x.3 5x x 10800
2) Ba bạn An, Bình Cường có tổng số viên bi 74 Biết số viên bi An Bình tỉ lệ với 6; số viên bi Bình Cường tỉ lệ với Tính số viên bi bạn
Câu (4,0 điểm)
1) Cho plà số nguyên tố lớn Chứng minh p22012 hợp số
2) Cho n số tự nhiên có hai chữ số Tìm n biết n4 2n số phương
Câu (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân A có ba góc góc nhọn Về phía ngồi tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân B Gọi H trung điểm BC, tia đối tia AH lấy điểm I cho AI BC
Chứng minh hai tam giác ABI BEC BICE Câu (1,0 điểm)
Cho 1 1 1 2011 2012 2013
S
1 1 1007 1008 2012 2013
P Tính SP2013
Câu Phương pháp-Kết Điểm
Câu ( điểm)
(2điểm) 15 : 18
10 10 10 12 12 12 A
0.5đ
ĐỀ
(2)12 11 : 10 12
0.5đ
6 12 72
5 11 55
0.5đ Vậy 72
55
A 0.5
2 (2điểm)
2012 2013 P x x
+ Nếu x2012 x2013 P1 0.5 đ
+ Nếu x2013 P x 2012 x 2013 1 x 2013 1 0.5đ + Nếu x2012 P x 2012 x 2013 x 2012 1 0.5
+ Do giá trị nhỏ P 1, đạt x2012 2013
x
0.5 đ
Câu (4điểm)
1 (2.5điểm)
Ta có 2
2x.3 5x x 108002 3.5x x x 10800 1.0 đ 2.3.5x 900
0.5 đ
30x 30 x
0.5 Vậy x2 kết cần tìm 0.5 đ
2 (2.5điểm)
+ Gọi số viên bi An, Bình, Cường a b c, , Vì tổng số viên bi ba bạn 74 nên a b c 74
0.5 đ
+ Vì số viên bi An Bình tỉ lệ với nên
5 10 12 a b a b
0.5 đ + Vì số viên bi Bình Cường tỉ lệ với nên
4 12 15 b c b c
0.5
+ Từ ta có 74
10 12 15 10 12 15 37 a b c a b c
0.5đ
+ Suy a20;b24;c30
0.5đ
Câu (4điểm)
1
(2điểm) + Vì p3k1plà số nguyên tố lớn nên p có dạng k ,k1
0.5
+Với p3k1
suy
2
2 2
2012 2012 2013 2012
p k k k p
0.5
+Với p3k1
(3)suy
2
2 2
2012 2012 2013 2012
p k k k p
Vậy
2012
p hợp số 0.5
2
(2điểm) + Vì n số có hai chữ số nên 9 n 100 18 2n200
0.5đ + Mặt khác 2n số phương chẵn nên 2n nhận giá trị: 36; 64; 100; 144; 196
0.5đ + Với 2n36 n 18 n 22 không số phương
2n64 n 32 n 36là số phương
2n100 n 50 n 54khơng số phương 2n144 n 72 n 76 không số phương 2n196 n 98 n 102khơng số phương
0.5 đ
+ Vậy số cần tìm n32 0.5đ
Câu (6 điểm)
1 (3điểm)
+ Xét hai tam giác AIB BCE Có AI=BC (gt)
BE=BA( gt) 0.5
+ Góc IAB góc ngồi tam giác ABH nên
90
IABABHAHBABH 0.5
+ Ta có
90
EBCEBAABCABC Do IABEBC
+ Do ABI BEC c( g c) 0.5 đ + Do ABI BEC c( g c) nên AIBBCE 0.5 đ + Trong tam giác vng IHB vng H có
90
AIBIBH
Do
90
BCEIBH 0.5đ
KL: CE vng góc với BI 0.5đ
2
(3điểm) + Do tính chất đường phân giác, ta có DM DN 0.5 đ + Gọi F trung điểm MN Ta có FM FDFN 0.5 đ + Tam giác FDM cân F nên FMDMDF
( óc ngồi tam giác) FMDMBDBDM g
MBD CDM
(4)Suy MBDCDF (1) 0.5 đ Ta cóMCDCDFCFD (2)
Do tam giác ABC cân A nên MCD2MBD(3) 0.5 đ Từ (1), (2), (3) suy MBDDFC hay tam giác DBF cân D
Do
2
BDDF MN 0.5 đ
Câu
(1 điểm) Cho
1 1 1
1
2 2011 2012 2013
S
1 1
1007 1008 2012 2013
P Tính SP2013
(1 điểm)
+ Ta có:
1 1
1007 1008 2012 2013
P
1 1 1 1
1
2 1006 1007 1008 2012 2013
1 1
1 1006
0.5 đ
1 1 1 1
1
2 1006 1007 1008 2012 2013
1 1
2
2 2012
1 1 1
1
2 2012 2013
=S
Do 2013 SP =0
0.5 đ
Điểm toàn (20điểm)
Bài (2.0 điểm):
a) Cho 99 100
1 2 3 4 5 99 100
2 2 2 2 2 2 2
A So sánh A với 2.
b) Cho B = x20132014x20122014x20112014x2010 2014x 2 2014x 1 Tính giá trị biểu thức B với x = 2013
Bài (2.0 điểm):
a) Tìm số nguyên x, y thoả mãn: x2012 2013 y b) Tìm x biết: x7x11 x 7x1 0
Bài (2.0 điểm):
(5)a) Cho tỉ lệ thức: d c b a
b) Chứng minh rằng: 2012 2013 2012 2013 2012 2013 2012 2013
a b c d
a b c d
c) Cho số a, b, c khác thoả mãn:
a c
ca c b
bc b a
ab
Tính giá trị biểu thức: 2 2 2 c b a
ca bc ab M
Bài (4.0 điểm):
Tam giác nhọn ABC có AB<AC Các đường cao BE CF cắt O Trên tia đối tia BE lấy điểm G cho BG = AC; tia đối tia CF lấy điểm H cho CH = AB
a) Chứng minh AGB = HAC b) Chứng minh AG AH
c) Gọi M trung điểm GH, N giao điểm BC GH - Chứng minh OAM BNG
- So sánh số đo hai góc BAM MAC
Bài (2.0 điểm):
2 98 99
2 3 4 5 99 100
2 1
2 2 2 2 2 2
A 0,25
2 98 99 99 100
2 99 100
2 99 100 99 100
2 (1 ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 1 100
1
2 2
A A A
0,25
Đặt 1 12 199
2 2
B . Có 2 1 12 198
2 2
B
2 98 99 99
1 1 1 1
2 (1 )
2 2 2 2
B B B
0,25
100 99 100 100
100 100 102
2
2 2
A B < 0,25
(6)Thay 2014 x +1 ta được:
2013 2012 2011 2010
2013 2013 2012 2012 2011 2
x (x 1)x (x 1)x (x 1)x (x 1)x (x 1)x
x x x x x x x x x
x
0,75
Thay x = 2013 A = 2013 – = 2012 0,25 Bài (2.0 điểm):
x2012 , 2013y số tự nhiên Tổng chúng nên: Trường hợp 1: x 2012 = 2013y=1
0,25 Giải được: (x,y) = (2012, 2012 ); (x,y) = (2012,2014) 0,25 Trường hợp 2: x 2012 =1 2013 y =0 0,25 Giải được: (x,y) = (2013, 2013 ); (x,y) = (2011,2013)
(Vậy: (2012, 2012 ); (2012,2014), (2013, 2013 ); (2011,2013) cặp số nguyên cần tìm)
0,25
1 10
(x7)x (x7) 1 0 0,25
1
(x7)x =0 được: x -7 = (và x + 1>0) x = 0,25 10
(x7) 1=0 x -7 = x - = -1 0,25 x – = x =
x – = -1 x =
0,25
Bài (2.0 điểm): Đặt
d c b a
= k Có a = bk c = dk 0,25
Thay a, c vào được:
2012a 2013b 2012bk 2013b 2012k 2013 2012a 2013b 2012bk 2013b 2012k 2013
2012c 2013d 2012dk 2013d 2012k 2013 2012c 2013d 2012dk 2013d 2012k 2013
0,50
2012 2013 2012 2013
2012 2013 2012 2013
a b c d
a b c d
0,25
ab bc ca abc bca cab
ab bc c a (ab)c (bc)a (c a)b 0,25 abc abc
ac bc ab ac bc ab a c acbc abac Tương tự, chứng minh được: a b c
(7)Thay b = a; c = a M = 0,25
Bài (4.0 điểm):
ABE ACF (Cùng phụ với góc Â) 0,25
GBA ACH(Cùng bù với cặp góc ABE ACF ) 0,25 Cùng với BG = AC; AB = CH GBA = ACH (c.g.c) (*) 0,50
GBA = ACH AGB HAC (1) 0,25 GAE AGE= 900 (AGE vuông E) (2) 0,25
Từ (1) (2): GAE HAC = 900 GAH = 900 hay AG AH 0,50
AGH cân A nên trung tuyến AM đường cao AMMN 0,25 AO đường cao thứ ba tam giác ABC nên AO BN (tại K) 0,25
OAM BNG(Hai tam giác vng có cặp góc nhọn nhau) 0,50
ABG có BA < BG (do BG = AC mà AB <AC) GAB AGB
GABHAC (doAGB HAC có từ (*)) 0,50
AGH cân A nên trung tuyến AM phân giác GAM HAM 0,25
GAM-GAB < HAMHAC BAM MAC 0,25
Câu (4,0 điểm) 3) M =
2 1
0, 0, 25
2012
9 11 :
7 2013
1, 0,875 0, 11
4) Tìm x, biết: 1 2 x x
x
Câu (5,0 điểm)
K
N
M H
G
O F
E A
B
C
(8)a Cho a, b, c ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện:
b b a c a
a c b c
c b
a
Hãy tính giá trị biểu thức
b c c
a a
b
B 1
2) Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 sau chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có lớp nhận nhiều dự định gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua
Câu (4,0 điểm)
3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 2x 2 2x2013 với x số nguyên 4) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x y z xyz
Câu (6,0 điểm)
Cho xAy=600 có tia phân giác Az Từ điểm B Ax kẻ BH vng góc với Ay H, kẻ BK vng góc với Az Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM vng góc với Ay M Chứng minh :
a ) K trung điểm AC b ) KMC tam giác
c) Cho BK = 2cm Tính cạnh AKM
Câu Nội dung Điểm
Câu (4 điểm)
1) Ta có:
2 1
0, 0, 25
2012
9 11 :
7 2013
1, 0,875 0, 11
M
2 2 1
2012 11 :
7 7 7 2013
5 11 10
1 1 1
2
2012
5 11
:
1 1 1 2013
7
5 11
0.5đ
(9)2 :2012 7 2013
KL:…… 0.5đ 0.5đ 2)
1
x x nên (1) => 2
1
x x x hay x 1 +) Nếu x 1 (*) = > x -1 = => x =
+) Nếu x <1 (*) = > x -1 = -2 => x = -1 KL:………… 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu (5 điểm) 1)
+Nếu a+b+c 0
Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có:
b b a c a a c b c c b
a
= a b c b c a c a b
a b c
=
mà a b c b c a c a b
c a b
=
=> a b b c c a
c a b
=2
Vậy B = b a c (b a c)( a b c)( )
a c b a c b
=8
0.25đ 0.25đ 0.25đ
0.25đ
+Nếu a+b+c =
Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có:
b b a c a a c b c c b
a
= a b c b c a c a b
a b c
=
mà a b c b c a c a b
c a b
=
=> a b b c c a
c a b
=1
Vậy B = b a c (b a c)( a b c)( )
a c b a c b
=1
0.25đ 0.25đ 0.25đ
0.25đ 2) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x ( x số tự nhiên khác 0)
Số gói tăm dự định chia chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu là: a, b, c
Ta có: ; ;
5 18 18 18 18 18
a b c a b c x x x x x
a b c
(1)
Số gói tăm sau chia cho lớp a’, b’, c’, ta có: , , , , , ,
, , ,
; ;
4 15 15 15 15 15
a b c a b c x x x x x
a b c
(2)
So sánh (1) (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều lúc đầu
Vây: c’ – c = hay 4 360 15 18 90
x x x
x
Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói
0,5 đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ Câu 1) Ta có: A 2x 2 2x2013 2x 2 2013 2 x
(10)(4 điểm) 2x 2 2013 2 x 2011
Dấu “=” xảy (2 2)(2013 ) 2013
x x x
KL:……
0,5đ 0,5đ 0,5đ 2) Vì x,y,z nguyên dương nên ta giả sử xyz
Theo =
yz +
1 yx+
1
zx x +
1 x +
1 x =
3 x => x 2 => x =
Thay vào đầu ta có 1 y z yz => y – yz + + z = => y(1-z) - ( 1- z) + =0
=> (y-1) (z - 1) =
TH1: y -1 = => y =2 z -1 = => z =3 TH2: y -1 = => y =3 z -1 = => z =2
Vậy có hai cặp nghiệp nguyên thỏa mãn (1,2,3); (1,3,2)
0,25đ 0,5đ
0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Câu (6 điểm)
V ẽ h ình , GT _ KL
a, ABC cân B CABACB(MAC) BK đường cao BK đường trung tuyến
K trung điểm AC
b, ABH = BAK ( cạnh huyền + góc nhọn ) BH = AK ( hai cạnh t ) mà AK =
2AC
BH =
2AC
Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH =
2AC CM = CK
MKC tam giác cân ( ) Mặt khác : MCB= 900 ACB= 300
MCK = 600 (2)
Từ (1) (2) MKC tam giác
c) Vì ABK vng K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm
Vì ABK vng K nên theo Pitago ta có: AK = AB2BK2 16 4 12
Mà KC =
2AC => KC = AK = 12 KCM => KC = KM = 12
0,25đ
1đ 1đ 0,5đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
(11)Theo phần b) AB = BC = AH = BK =
HM = BC ( HBCM hình chữ nhật) => AM = AH + HM =
0,25đ 0,5đ 0,25đ
Câu 1.( 4.0 điểm)
a) Tìm x, y, z biết 2x 3y 4z
3 x y z 49 b) Tìm x biết :45 x 40 x 35 x 30 x
1968 1973 1978 1983
Câu 2.(3.0 điểm)
Tìm nghiệm đa thức sau : a) f(x) = 2x2 3x 1
b) g(x) =
x x Câu 3.(3.0 điểm)
Tìm số tự nhiên nhỏ có chữ số mà chia số cho 11 dư chia cho 13 dư
Câu 4.(3.0 điểm)
Cho biểu thức A x x
2
Tìm khoảng giá trị x để biểu thức A không phụ thuộc vào biến x Câu 5.(4.0 điểm)
Cho tam giác ABC có
BAC60 Kẻ BM CN tia phân giác ABC ACB ( MAC; NAB), BM CN cắt I
a) Tính BIN
b) Chứng minh tam giác IMN cân
Câu Hướng dẫn chấm Biểu điểm
Câu1
(4đ) 1a (2.0đ)
2x 3y 4z =
x y z
= x y z
3
= 49 12 49 12
0.5đ
0.5đ
ĐỀ
(12)Câu2 (3đ)
Câu3 (3đ)
Câu4 (3đ)
3 x 12 18
2
y 12 16
z 12 15
1b (2.0đ)45 x 40 x 35 x 30 x 1968 1973 1978 1983
45 x 40 x 35 x 30 x
1 1
1968 1973 1978 1983
2013 x 2013 x 2013 x 2013 x 1968 1973 1978 1983
1 1
(2013 x)( )
1968 1973 1978 1983
2013 x
x 2013
2a.(1.5đ)
f(x) = 2x2 3x 1 2x2 x 2x 1 x(2x 1) (2x 1) (2x 1)(x 1)
f(x) = 2x 0 x 0 x
x = 2b(1.5đ)
𝑔(𝑥) = ⇔ 𝑥2 + 𝑥 = ⇔ 𝑥(𝑥 + 1) = ⇔ [ 𝑥 =
𝑥 = −1
3(3.0 điểm)
Giả sử số cần tìm a
a6 11 a 77 11 hay a83 11(1) a5 13 a 78 13 hay a83 13(2) Từ(1) (2) a 83 BCNN(11;13)
BCNN(11;13) = 143 nên *
a143k 83(k N ) A nhỏ k nhỏ
- Nếu k=1 a = 60 (loại) - Nếu k = a = 203 4(3.0đ)
Rút gọn biểu thức A nhờ vào bảng sau x
2
x
x
2
x
x
3 x
2
x
2
x
x
0.5đ 0.5đ
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0,25đ 0.25đ 0,5đ
(13)Câu5 (4đ)
1 x
2
- x
2
1 2x2
Vậy x
x
A khơng phụ thuộc vào x
5a(2.0đ) -Hình vẽ
Tam giác IBC cho: NIB IBC ICB (tính chất góc ngồi)
0
0
ABC ACB 180 BAC
NIB 60
2 2
5b(2.0đ) Kẻ tia phân giác IH BIC (HBC)
Tam giác NIB = Tam giác HIB (g-c-g) nên IN = IH (1) Tam giác MIC = Tam giác HIC (g-c-g) nên IM = IH (2) Từ (1) (2) IM = IN hay tam giác IMN cân I
0.5đ 1.0đ 1.0đ
0,5đ 0.5đ 1.0đ 0.5đ 0,5đ 0.5đ 0,5đ
H I
N M
C B