Baøi 3: Cho hình bình haønh ABCD, ñöôøng thaúng a ñi qua A laàn löôït caét BD, BC, DC theo thöù töï taïi E, K, G... Chøng minh: CG.[r]
(1)CÁC BÀI TỐN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT A.Kiến thức:
1 Định lí Ta-lét: * Định lí Ta-leùt::
ABC MN // BC
AM AN = AB AC
* Hệ quả: MN // BC
AM AN MN =
AB ACBC B Baøi tập áp dụng:
1 Bài 1:
Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC G
a) chứng minh: EG // CD
b) Giả sử AB // CD, chứng minh AB2 = CD EG Giải
Goïi O giao điểm AC BD a) Vì AE // BC
OE OA =
OB OC (1) BG // AC
OB OG =
OD OA (2) Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có:
OE OG =
OD OC EG // CD b) Khi AB // CD EG // AB // CD, BG // AD neân
2
AB OA OD CD AB CD
= = AB CD EG
EG OG OB AB EG AB Baøi 2:
Cho ABC vng A, Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD vng cân B, ACF vuông cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm Ac BF
Chứng minh rằng: a) AH = AK b) AH2 = BH CK
N M
C B
A
H
F K
D
C B
A
O G E
D C
(2)Giaûi
Đặt AB = c, AC = b
BD // AC (cùng vng góc với AB) nên
AH AC b AH b AH b
HB BD c HB c HB + AH b + c
Hay
AH b AH b b.c
AH
AB b + c c b + c b + c (1) AB // CF (cùng vng góc với AC) nên
AK AB c AK c AK c
KC CF b KC b KC + AK b + c
Hay
AK b AK c b.c
AK
AC b + c b b + c b + c (2) Từ (1) (2) suy ra: AH = AK
b) Từ
AH AC b HB BD c vaø
AK AB c
KC CF b suy
AH KC AH KC
HB AK HB AH(Vì AH = AK) AH2 = BH KC
3 Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G
Chứng minh rằng: a) AE2 = EK EG b)
1 1
AEAK AG
c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí qua A tích BK DG có giá trị khơng đổi Giải
a) Vì ABCD hình bình hành K BC nên AD // BK, theo hệ định lí Ta-lét ta có:
2
EK EB AE EK AE
= = AE EK.EG
AE ED EG AE EG
b) Ta coù:
AE DE = AK DB ;
AE BE =
AG BD neân
AE AE BE DE BD 1
= AE
AK AG BD DB BD AK AG
1 1
AE AK AG (ñpcm) c) Ta coù:
BK AB BK a = =
KC CG KC CG (1);
KC CG KC CG = =
AD DG b DG (2)
G b
a
E K
D C
(3)Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có:
BK a
= BK DG = ab
b DG khơng đổi (Vì a = AB; b = AD độ dài hai cạnh hình bình hành ABCD khơng đổi)
4 Baøi 4:
Cho t.giác ABCD, điểm E, F, G, H theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2. Chứng minh rằng: a) EG = FH
b) EG vng góc với FH Giải
Gọi M, N theo thứ tự trung điểm CF, DG Ta có CM =
1
2 CF = 3BC
BM = BC
BE BM = = BA BC
EM // AC
EM BM 2
= EM = AC AC BE (1) T¬ng tù, ta cã: NF // BD
NF CF 2
= NF = BD BDCB (2)
mµ AC = BD (3)
Tõ (1), (2), (3) suy : EM = NF (a)
T¬ng tù nh trªn ta cã: MG // BD, NH // AC vµ MG = NH =
1
3AC (b)
Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC BD EM MG EMG = 900(4) T¬ng tù, ta cã: FNH = 90 0(5)
Tõ (4) vµ (5) suy EMG = FNH = 90 (c)
Tõ (a), (b), (c) suy EMG = FNH (c.g.c) EG = FH
b) Gọi giao điểm EG FH O; cđa EM vµ FH lµ P; cđa EM vµ FN Q
PQF = 90 QPF + QFP = 90
mà QPF = OPE (đối đỉnh), OEP = QFP (EMG = FNH) Suy
0
EOP = PQF = 90 EO OP EG FH
5 Bµi 5:
Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D vẽ đờng thẳng song song với BC, cắt AC M AB K, Từ C vẽ đờng thẳng song song với AD, cắt AB F, qua F ta lại vẽ đờng thẳng song song với AC, cắt BC P Chứng minh
a) MP // AB
b) Ba đờng thẳng MP, CF, DB đồng quy Giải
a) EP // AC
CP AF =
PB FB (1)
Q P O
N M
H F
G E
D
C B A
I P
F K M
D C
(4)AK // CD
=
AM AK (2)
c¸c tø gi¸c AFCD, DCBK la hình bình hành nên AF = DC, FB = AK (3)
KÕt hỵp (1), (2) vµ (3) ta cã
CP CM
PB AM MP // AB (Định lí Ta-lét đảo) (4)
b) Gọi I giao điểm BD CF, ta cã:
CP CM PBAM =
DC DC AK FB
Mµ
DC DI
FB IB (Do FB // DC)
CP DI
PBIB IP // DC // AB (5)
Từ (4) (5) suy : qua P có hai đờng thẳng IP, PM song song với AB // DC nên theo tiên đề Ơclít ba điểm P, I, M thẳng hang hay MP qua giao điểm CF DB hay ba đờng thẳng MP, CF, DB đồng quy
6 Bµi 6:
Cho ABC có BC < BA Qua C kẻ đờng thẳng vng gốc với tia phân giác BE ABC ; đờng thẳng cắt BE F cắt trung tuyn BD ti G Chng minh rng
đoạn thẳng EG bị đoạn thẳng DF chia làm hai phần Giải
Gọi K giao điểm CF AB; M giao điểm DF BC
KBC có BF vừa phân giác vừa đờng cao nên KBC cân tại
B BK = BC vµ FC = FK
Mặt khác D trung điểm AC nên DF đờng trung bình AKC DF // AK hay DM // AB
Suy M trung điểm BC
DF =
1
2 AK (DF đờng trung bình AKC), ta có BG BK
=
GD DF( DF // BK)
BG BK 2BK =
GD DF AK (1)
Mỉt kh¸c
CE DC - DE DC AD
1
DE DE DE DE (V× AD = DC)
CE AE - DE DC AD
1
DE DE DE DE
Hay
CE AE - DE AE AB
1 2
DE DE DE DF (v× AE DE=
AB
DF: Do DF // AB)
Suy
CE AK + BK 2(AK + BK)
2
DE DE AK (Do DF =
2 AK)
CE 2(AK + BK) 2BK
DE AK AK (2)
Tõ (1) vµ (2) suy
BG GD =
CE
DE EG // BC
Gọi giao điểm EG DF lµ O ta cã
OG OE FO = = MC MB FM
OG = OE
Bµi tËp vỊ nhµ
M G
K
F
D E C
B
(5)Bµi 1:
Cho tứ giác ABCD, AC BD cắt O Đờng thẳng qua O song song với BC cắt AB E; đờng thẳng song song với CD qua O cắt AD F
a) Chøng minh FE // BD
b) Từ O kẻ đờng thẳng song song với AB, AD cắt BD, CD G H Chứng minh: CG DH = BG CH
Bµi 2:
Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối tia BC cho BN = CM; đờng thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự E, F
Chøng minh: a) AE2 = EB FE
b) EB =
2
AN DF