Toán 8 - Các bài toán áp dụng định lí Talets

Baøi 3: Cho hình bình haønh ABCD, ñöôøng thaúng a ñi qua A laàn löôït caét BD, BC, DC theo thöù töï taïi E, K, G... Chøng minh: CG.[r]

CÁC BÀI TỐN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT A.Kiến thức:

1 Định lí Ta-lét: * Định lí Ta-leùt::

ABC MN // BC

 

  

AM AN = AB AC

* Hệ quả: MN // BC 

AM AN MN =

AB ACBC B Baøi tập áp dụng:

1 Bài 1:

Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC G

a) chứng minh: EG // CD

b) Giả sử AB // CD, chứng minh AB2 = CD EG Giải

Goïi O giao điểm AC BD a) Vì AE // BC 

OE OA =

OB OC (1) BG // AC 

OB OG =

OD OA (2) Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có:

OE OG =

OD OC  EG // CD b) Khi AB // CD EG // AB // CD, BG // AD neân

2

AB OA OD CD AB CD

= = AB CD EG

EG OG OB AB  EG AB  Baøi 2:

Cho ABC vng A, Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD vng cân B, ACF vuông cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm Ac BF

Chứng minh rằng: a) AH = AK b) AH2 = BH CK

N M

C B

A

H

F K

D

C B

A

O G E

D C

Giaûi

Đặt AB = c, AC = b

BD // AC (cùng vng góc với AB) nên

AH AC b AH b AH b

HB BD  c HB c HB + AH b + c

Hay

AH b AH b b.c

AH

AB b + c  c b + c b + c (1) AB // CF (cùng vng góc với AC) nên

AK AB c AK c AK c

KC CF  b KC  b KC + AK b + c

Hay

AK b AK c b.c

AK

AC b + c b b + c b + c (2) Từ (1) (2) suy ra: AH = AK

b) Từ

AH AC b HB BD c vaø

AK AB c

KC CF b suy

AH KC AH KC

HB AK HB AH(Vì AH = AK)  AH2 = BH KC

3 Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G

Chứng minh rằng: a) AE2 = EK EG b)

1 1

AEAK AG

c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí qua A tích BK DG có giá trị khơng đổi Giải

a) Vì ABCD hình bình hành K  BC nên AD // BK, theo hệ định lí Ta-lét ta có:

2

EK EB AE EK AE

= = AE EK.EG

AE ED EG  AE EG 

b) Ta coù:

AE DE = AK DB ;

AE BE =

AG BD neân

AE AE BE DE BD 1

= AE

AK AG BD DB BD AK AG

 

       

  

1 1

AE AK AG (ñpcm) c) Ta coù:

BK AB BK a = =

KC CG KC CG (1);

KC CG KC CG = =

AD DG b DG (2)

G b

a

E K

D C

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có:

BK a

= BK DG = ab

b DG khơng đổi (Vì a = AB; b = AD độ dài hai cạnh hình bình hành ABCD khơng đổi)

4 Baøi 4:

Cho t.giác ABCD, điểm E, F, G, H theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2. Chứng minh rằng: a) EG = FH

b) EG vng góc với FH Giải

Gọi M, N theo thứ tự trung điểm CF, DG Ta có CM =

1

2 CF = 3BC 

BM = BC 

BE BM = = BA BC

 EM // AC 

EM BM 2

= EM = AC AC BE  (1) T¬ng tù, ta cã: NF // BD 

NF CF 2

= NF = BD BDCB  (2)

mµ AC = BD (3)

Tõ (1), (2), (3) suy : EM = NF (a)

T¬ng tù nh trªn ta cã: MG // BD, NH // AC vµ MG = NH =

1

3AC (b)

Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC  BD  EM  MG  EMG = 900(4) T¬ng tù, ta cã: FNH = 90 0(5)

Tõ (4) vµ (5) suy EMG = FNH = 90  (c)

Tõ (a), (b), (c) suy EMG = FNH (c.g.c)  EG = FH

b) Gọi giao điểm EG FH O; cđa EM vµ FH lµ P; cđa EM vµ FN Q

PQF = 90  QPF + QFP = 90 

mà QPF = OPE   (đối đỉnh), OEP = QFP   (EMG = FNH) Suy  

0

EOP = PQF = 90  EO  OP  EG  FH

5 Bµi 5:

Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D vẽ đờng thẳng song song với BC, cắt AC M AB K, Từ C vẽ đờng thẳng song song với AD, cắt AB F, qua F ta lại vẽ đờng thẳng song song với AC, cắt BC P Chứng minh

a) MP // AB

b) Ba đờng thẳng MP, CF, DB đồng quy Giải

a) EP // AC 

CP AF =

PB FB (1)

Q P O

N M

H F

G E

D

C B A

I P

F K M

D C

AK // CD 

=

AM AK (2)

c¸c tø gi¸c AFCD, DCBK la hình bình hành nên AF = DC, FB = AK (3)

KÕt hỵp (1), (2) vµ (3) ta cã

CP CM

PB AM  MP // AB (Định lí Ta-lét đảo) (4)

b) Gọi I giao điểm BD CF, ta cã:

CP CM PBAM =

DC DC AK FB

Mµ

DC DI

FB IB (Do FB // DC) 

CP DI

PBIB  IP // DC // AB (5)

Từ (4) (5) suy : qua P có hai đờng thẳng IP, PM song song với AB // DC nên theo tiên đề Ơclít ba điểm P, I, M thẳng hang hay MP qua giao điểm CF DB hay ba đờng thẳng MP, CF, DB đồng quy

6 Bµi 6:

Cho ABC có BC < BA Qua C kẻ đờng thẳng vng gốc với tia phân giác BE ABC ; đờng thẳng cắt BE F cắt trung tuyn BD ti G Chng minh rng

đoạn thẳng EG bị đoạn thẳng DF chia làm hai phần Giải

Gọi K giao điểm CF AB; M giao điểm DF BC

KBC có BF vừa phân giác vừa đờng cao nên KBC cân tại

B  BK = BC vµ FC = FK

Mặt khác D trung điểm AC nên DF đờng trung bình  AKC  DF // AK hay DM // AB

Suy M trung điểm BC

DF =

1

2 AK (DF đờng trung bình AKC), ta có BG BK

=

GD DF( DF // BK) 

BG BK 2BK =

GD DF AK (1)

Mỉt kh¸c

CE DC - DE DC AD

1

DE  DE DE DE (V× AD = DC) 

CE AE - DE DC AD

1

DE DE DE DE

Hay

CE AE - DE AE AB

1 2

DE DE  DE DF (v× AE DE=

AB

DF: Do DF // AB)

Suy

CE AK + BK 2(AK + BK)

2

DE  DE   AK  (Do DF =

2 AK) 

CE 2(AK + BK) 2BK

DE  AK   AK (2)

Tõ (1) vµ (2) suy

BG GD =

CE

DE  EG // BC

Gọi giao điểm EG DF lµ O ta cã

OG OE FO = = MC MB FM

 

 

   OG = OE

Bµi tËp vỊ nhµ

M G

K

F

D E C

B

Bµi 1:

Cho tứ giác ABCD, AC BD cắt O Đờng thẳng qua O song song với BC cắt AB E; đờng thẳng song song với CD qua O cắt AD F

a) Chøng minh FE // BD

b) Từ O kẻ đờng thẳng song song với AB, AD cắt BD, CD G H Chứng minh: CG DH = BG CH

Bµi 2:

Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối tia BC cho BN = CM; đờng thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự E, F

Chøng minh: a) AE2 = EB FE

b) EB =

2

AN DF