Thực tế dạy học cho thấy hoạt động khai thác và mở rộng các bài toán quen thuộc là một phương pháp dạy học rất quan trọng thể hiện được tính sang tạo, khả năng tiếp thu của mỗi người thô[r]
(1)BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA HOẠT ĐỘNG KHAI THÁC VÀ MỞ RỘNG CÁC BÀI TOÁN
QUEN THUỘC.
A – ĐẶT VẤN ĐỀ:
Ở trường phổ thơng, dạy Tốn dạy hoạt động toán học Đối với học sinh THCS xem việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học
Các tốn hình học thường gây khơng khó khăn cho đại đa số học sinh Khi đứng trước trước tốn em thường khơng ? tốn có liên quan với tốn biết trước hay khơng ? Vì để phát huy lực giải tốn hình học cho học sinh ngồi việc trang bị cho em tảng kiến thức, kỹ giáo viên cần khéo léo khai thác, mở rộng từ tập sang loạt tập tương tự nhằm vận dụng tính chất, rèn luyện tập phương pháp chứng minh giúp học sinh dần hình thành phương pháp giải tốn hình học
Thực tế dạy học cho thấy hoạt động khai thác mở rộng toán quen thuộc phương pháp dạy học quan trọng thể tính sang tạo, khả tiếp thu người thông qua việc vận dụng tri thức có sẳn để giải tốn tương tự tìm lời giải cho tốn Vì việc vận dụng rèn luyện thường xuyên kỹ yêu cầu cần thiết bổ ích q trình học Tốn
Bài viết xin trao đổi số ví dụ cách khai thác toán quen thuộc chương trình THCS Do khn khổ viết có hạn nên số lời giải xin trình bày ý
B – NỘI DUNG:
1) Khai thác tốn dựa vào cấu trúc lơgic mệnh đề hình học: Ví dụ 1: ( Bài 30 – SGK – Trang 116 )
Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB M điểm thuộc nửa đường tròn; tiếp tuyến (O;R) M cắt tiếp tuyến A B C D Chứng minh rằng:
a) COD 90o
. b) CD = AC + BD c) AC BD = R2.
Đây toán quen thuộc có SGK – Tốn hầu hết em giải Tuy nhiên HS thấy tương đương khẳng định sau:
(1) CD tiếp tuyến
R
D
C
O B
A
(2)R
D
C
O B
E A
M
O D
M
C B
A
(2) COD 90o
. (3) CD = AC + BD (4) AC BD = R2.
Thật vậy, kéo dài OD cắt AC E Dễ dàng chứng minh
được OD = OE , AE = BD (*) +) Nếu COD 90o
từ (*) suy CED cân C CO phân giác góc ECD O cách CD một khoảng OA ( = R ) CD tiếp tuyến của (O;R)
+) Nếu CD = AC + BD từ (*) suy CD = CE CED cân C suy CD tiếp tuyến (O;R)
+) Nếu AC BD = R2 từ (*) AC AE = OA2 ACO OCE
(c.g.c) COE CAO 900 CED cân C suy được CD tiếp tuyến (O;R)
Dựa vào tương đương kết giáo viên thiết kế thành nhiều tốn khác để học sinh luyện tập
Ví dụ 2: ( Bài 20 – SBT – Toán ).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm cung nhỏ BC Trên MA lấy điểm D cho MD = MB
a) Tam giác MBD tam giác ? b) So sánh hai tam giác BDA BMC c) Chứng minh MA = MB + MC
Đây toán quen thuộc , lời giải có SBT nhiều tài liệu khác, kết cụ thể là:
a) MBD tam giác b) BDA = BMC
c) MA = MB + MC
Nhận thấy xem:
+ ) Hình H : “ Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC”
+ ) Tính chất T : “ Trong ba đoạn MA , MB , MC có đoạn tổng hai đoạn cịn lại”
Thì ta chứng minh được:
1) Mọi điểm thuộc hình H thì có tính chất T và ngược lại
2) Những điểm khơng thuộc hình H thì khơng có tính chất T và ngược lại. Do giáo viên cho HS tập sau:
(3)D O
M C B
A
Gợi ý:
* Xét trường hợp điểm M nằm góc BAC ( trường hợp khác hoàn toàn tương tự )
Vẽ tam giác BMD MB = MD BMD 60o (1). Dễ dàng chứng minh BDA = BMC (c.g.c )
MC = DA (2)
Vì M (O) nên BMA60o (3) Từ (1), (2) (3) suy A, D , M không thẳng hàng MA , MB , MC độ dài ba cạnh tam giác MAD
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc nửa mặt phẳng không chứa A bờ BC thỏa mãn MA = MB + MC Chứng minh ABMC tứ giác nội tiếp
Gợi ý: Làm tương tự toán chứng minh MB = MD , MC = DA Suy
MB + MC = MA = MD + DA D MA BMA BMD 600 BMA BCA , suy ra ABMC tứ giác nội tiếp
Bài tốn diễn đạt tập sau:
Bài 3: Cho tam giác ABC cố định điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) sao cho đoạn MA , MB , MC tồn đoạn tổng hai đoạn Chứng minh điểm M chạy đường tròn cố định
Bài 4: Cho tam giác ABC cố định điểm M thuộc mặt phẳng (ABC). Gọi x , y , z thứ tự khoảng cách từ M tới A , B C Biết ba số x , y , z ln có số tổng hai số cịn lại Tìm quỹ tích điểm M
Gợi ý:
- Vận dụng tốn để tìm hình H đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
- Vận dụng ví dụ để chứng minh phần đảo
Qua số ví dụ ta thấy người dạy biết nắm bắt cấu trúc lơgic tốn sẻ tạo nhiều tốn , hình thành cho học sinh thói quen nhìn nhận tốn theo nhiều hướng khác Từ gúp HS phát huy lực giải toán
Bây ta lại tiếp cận ví dụ theo hướng sau:
“Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc cung BC ( không chứa A ) Các khẳng định sau có tương đương với hay không ?
(A): Tam giác ABC (B): MA = MB + MC.”
D O
M
C B
(4)N
M
C B
A1
A
O D
M
C B
A
Trong trường hợp nhiều HS ngộ nhận từ (B) suy (A) Điều
Thật , xét tam giác BCA1 ta có: MA1 = MB +
MC ( theo vd.2 )
Lấy A đối xứng với A1 qua đường kính MN , suy A
thuộc (O) MA = MA1
( tính chất đối xứng ) Do với tam giác khơng ABC ta có MA = MB + MC
Để xây dựng tốn ngược lại tình giáo viên cần bổ sung thêm điều kiện để ràng buộc điểm A Chẳng hạn ta phát biểu toán sau:
Bài 5: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O); M điểm thuộc cung BC không chứa A Chứng minh MA = MB + MC (*) ABC tam giác
Gợi ý:
Vì tam giác ABC cân A nên MA phân giác góc BMC Do đó:
MB MA MBI MAC
BI AC
MB AC MA BI
(1).
MC MA MCI MAB
CI AB
MC AB MA CI
(2).
Vì AB = AC nên từ (1) (2) suy ra: MA MB AB MA BC MA MB BC.MA
AB
Kết hợp với (*) suy
BC
AB BC
AB đpcm.
2 ) Khai thác toán dựa kết tốn cũ:
Trong ví dụ , lấy kết “ MA = MB + MC ” làm tiền đề cho việc khai thác tốn ta có kết sau:
Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) cố định; M điểm thuộc cung nhỏ BC Xác định vị trí điểm M để:
a) Chu vi tam giác MBC đạt giá trị lớn b) Tổng ( MA + MB + MC ) đạt giá trị lớn
Gợi ý: a) Chu vi MBC đạt giá trị lớn MB + MC lớn MA lớn MA đường kính
M trung điểm cung nhỏ BC. b) Làm tương tự
Nếu kết hợp với BĐT – Cô si ta có kết quả: MA = MB + MB 2 MB MC Dấu xảy khi M nằm cung nhỏ BC MA đạt giá trị lớn Từ ta có tốn sau:
I M
C B
(5)I K H
C B
A
Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) cố định; M điểm thuộc cung nhỏ BC Tìm giá trị lớn (MA.MB.MC)
Nếu gọi E giao điểm MA BC ta nhận thấy:
MB MA MB MC BME AMC
ME MC MC
Suy
1 1
MB MC
ME MB MC MB MC
Từ ta có tốn: Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); M điểm thuộc cung nhỏ BC Các đoạn thẳng MA BC cắt E Chứng minh rằng:
1 1
ME MB MC .
Khai thác kết toán 7, ta nhận gọi F trung điểm cung BC ta có
AFBC, AMF 90 .
Suy ra: AM AF,AE AH .
Do ME = AM – AE AF – AH = FH
1 ME FH
( không đổi ) Dấu xảy M F Từ ta có toán sau:
Bài 9: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); M điểm thuộc cung nhỏ BC Các đoạn thẳng MA BC cắt E Xác định vị trí M cung nhỏ BC để
1
MB MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta lại thấy rầng M trùng với F
1
MA đạt giá trị nhỏ Từ ta
lại có thêm tốn hay khó sau:
Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); M điểm thuộc cung nhỏ BC Các đoạn thẳng MA BC cắt E Xác định vị trí M cung nhỏ BC để
1 MA+
1
MB MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vng A Gọi H hình chiếu A BC; I K thứ tự trung điểm AH CK Chứng minh: BI AK
Gợi ý: Ta có:
KH KC IH IA
IK đường trung bình tam giác AHC suy ra IK // AC IK AB Do I trực tâm tam giác ABK, suy BI AK
Từ kết tốn ta có nhận xét sau:
- Những đường thẳng song song với AK vng góc với BI.
H F E M
C B
(6)- Những đường thẳng song song với BI vng góc với AK.
Từ ta tạo tốn sau:
+ Gọi D điểm đối xứng với C qua A DH song song với AK , từ kết ví dụ suy BI DH Từ ta có toán:
Bài 11: Cho tam giác BCD cân B; đường cao BA Gọi H hình chiếu A BC; I trung điểm AH Chứng minh DH BI
+ Nếu tạo hình bình hành BDKI suy DK song song với BI DK vng góc với AK Từ ta có tốn sau:
Bài 12: Cho hình thang vng ABDC ( A B 900) và
BD =
1
2AC Gọi H hình chiếu A BC, K trung
điểm HC Chứng minh DK AK
Gợi ý:
Gọi I trung điểm AH.Theo ví dụ ta có BIAK(1) Vì IK đường trung bình tam giác HAC nên suy
1
IK AC BD
Tứ giác BDKI có BD // KI BD = KI BDKI hình bình hành; suy DK // BI (2) Từ (1) (2) đpcm + Nếu lấy E đối xứng với B qua D tứ giác ABEC hình chử nhật từ ta có tốn sau:
Bài 13: Cho hình chử nhật ABEC Gọi H hình chiếu A BC; D K thứ tự trung điểm BE HC Chứng minh AK DK
( Giải tương tự 12 )
Xem xét kỹ ví dụ ta thấy kết tốn khơng thay đổi ta thay đường trung bình IK đường thẳng song song với AC Với cách tiếp cận này ví dụ khai thác theo hướng sau.
3) Chuyển từ quan hệ sang quan hệ đồng dạng để có tốn mới: Với hướng ví dụ diễn đạt sau:
I H
D C
B
A
K D
I H
C B
A
D
K H
E
C B
(7)I
E
K H
D
C A
B
Bài 14: Cho tam giác ABC vng A Gọi H hình chiếu A BC; I K thứ tự hai điểm thuộc AH CK cho
HK HI
KC IA Chứng minh: BI AK
Gợi ý:
Vì
HK HI
KC IA KI // AC ( Talet đảo ) mà ACAB KI AB Suy I trực tâm tam giác ABK BIAK Từ toán 11 , 12 , 13 giúp ta có thêm toán sau: Bài 15: Cho tam giác nhọn BDC đường cao BA Gọi H là hình chiếu A BC; I điểm thuộc đoạn AH cho
IH AD
IA AC Chứng
minh DHBI
Gợi ý:
- Vẽ IK // AC BIAK (1)
- Chứng minh DH // AK nhờ vào định lý Talet đảo (2)
Bài 16: Cho hình thang vng ABDC ( A B 900) AC = m; BD = n Gọi H
là hình chiếu A BC, K thuộc đoạn HC cho
HK n
HC m Chứng minh rằng
DKAK
Gợi ý: Từ K vẽ KI // AC // BD KIAB; suy I trực tâm tam giác ABK BIAK (1)
Vì IK // AC
IK AC
HK n HC m
BD AC
IK = BD Tứ giác BDKI có BD = IK BD // IK BDKI hình bình hành DK // BI (2) Từ (1) (2) DKAK
Bài 17: Cho hình chử nhật ABEC Gọi H hình chiếu A BC; Trên các đoạn BE HC lấy điểm D K cho
BD HK BE HC .
Chứng minh AK DK ( Giải tương tự 16 )
I K
H B
C A
K I
H
A C
B
D
n
m
I K
H D
C B
(8)C - BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
1) Cho tam giác ABC cố định có ABCACB . Gọi D trung điểm cạnh BC; đường tròn (O) tiếp xúc với AB , AC thứ tự I K E , F thứ tự hai điểm thay đổi AB AC Xét mối quan hệ khẳng định sau để tạo toán tương tự (a) EDF .
(b) EF tiếp tuyến đường tròn (D;DI) (c) ED2 = EF EB.
(d) Chu vi AEF ( AI + AK )
2) Tổ chức cho HS khai thác kết tốn sau:
“ Tích hai cạnh tam giác tích đường cao ứng với cạnh cịn lại với đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ”
D – KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ:
Trên số ví dụ minh họa cho hoạt động khai thác toán quen thuộc có chương trình nhằm bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh Trong thực tiễn dạy học toán , tập sử dụng với nhiều dụng ý cấp độ khác Đứng trước tốn cụ thể người giáo viên khơng trình bày lời giải cách đơn mà cần phải hướng dẫn học sinh cặn kẽ các khía cạnh tốn Làm phát huy tối đa lực tư sáng tạo , tích cực nhận thức học sinh trình chiếm lĩnh tri thức Và hội tốt giáo viên trang bị cho học sinh tri thức phương pháp , phương pháp giải toán Nhằm rèn luyện phát triển học sinh lực tư tốn học
Theo tơi hoạt động khai thác mở rộng toán có chương trình phải việc làm thường xun có kiến thức người dạy ngày vững vàng Người dạy cần tạo cho người học thói quen khơng dừng lại kết vừa tìm mà cần tiếp tục khai thác kết theo nhiều hướng khác Có phát huy lực giải toán người học , giúp người học phát triển tư lực sáng tạo./
K I
F E
D C
B