nhiÒu thiÕu thèn, v× vËy kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y còng nh thùc hiÖn ®Ò tµi nµy.[r]
(1)A đặt vấn đề I Lời mở đầu
Xuất phát từ yêu cầu thực tế Tốn học mơn khoa học đợc đời từ sớm Tốn học góp phần khơng nhỏ phát triển môn khoa học tự nhiên nh thúc đẩy môn khoa học xã hội phát triển, tảng để xây dựng nên môn khoa học tự nhiên khác, khoa học thực phát triển sử dụng đợc phơng pháp tốn học
Ngày nay, đứng trớc yêu cầu thách thức thời đại tốn học lại cần thiết, góp phần phát triển nhân cách nh trí tuệ lớp cơng dân mới, lớp cơng dân đủ đức, đủ tài để xây dựng phát triển đất nớc thời kỳ
Các dạng tập mơn Tốn phổ thơng đa dạng phong phú Một dạng toán Đại số khối THCS mà học sinh vớng mắc tốn có liên quan đến rút gọn phân thức chiếm phần quan trọng Đại số lớp Nh-ng thực tế giải tốn khơNh-ng phải phân thức ta gặp có dạNh-ng giốNh-ng Vì lẽ đó, chơng trình Đại số đề cập đến đa vài dạng mà học sinh có học lực cịn non yếu đơi học sinh học lực trung bình cịn th ờng mắc sai lầm thực toán phân thức
Để góp phần vào việc giải vấn đề khó khăn mạnh dạn thực su tầm tìm tịi sai lầm học sinh làm tập, làm kiểm tra lên bảng đúc kết kinh nghiệm q trình giảng dạy tơi lần lợt tìm biện pháp khắc phục giải quyết, tiếp nâng cao tốn dạng toán khác phân thức nhằm giúp cho học sinh có học lực yếu vợt qua trở thành học sinh giỏi
II Thực trạng vấn đề nghiên cứu
(2)số cách giải Với mục đích giúp học sinh hiểu sâu sắc phân thức đại số dới nhiều góc độ làm giảm nhẹ gánh nặng giải toán phân thức đại số học sinh Vì tơi đa tên đề tài “Khắc phục sai lầm học sinh thực phép tính phân thức đại số ”
B Giải vấn đề I Các biện pháp thực
1 Tiến hành điều tra:
- Qua thc tế giảng dạy mơn tốn lớp năm học 2008 – 2009 trờng THCS Nga Điền đặc biệt công tác bồi dỡng học sinh yếu kém, bồi dỡng học sinh học tự chọn mơn tốn ba lớp 8B, 8C, 8D đạt chất lợng thấp
- thĨ nh sau
Lo¹i Líp - sü sè
giái Kh¸ TB Ỹu
S L % S L % S L % S L %
8B 37 5.4 13.5 21.6 22 59.5
8C 36 0 19.4 25.0 20 55.6
8D 35 2.9 17.1 10 28.6 18 51.4
Tæng sè: 108 2.8 18 16.7 27 25.0 60 55.5
Sau khảo sát chung, phân tích điểm yếu làm học sinh chủ yếu sai lầm thực toán phân thức đại số, em cha biết vận dụng kiến thức học vào tập cụ thể tốn phân thức đại số đa dạng không theo khuôn mẫu giải định
2 Các biện pháp thực để nâng cao chất lợng học tập.
- Khắc phục sai lầm thực toán phân thức đại số mà học sinh thờng vớng mắc
- Nâng cao rèn luyện kỹ thực tốn mà có liên quan biến đổi phân thức đại số
II C¸c biƯn pháp tổ chức thực hiện.
* Khắc phục sai lầm thực toán
a Rót gän ph©n thøc:
GV làm rõ yêu cầu học sinh nắm vững tính chất phân thức đại số A
B ¿
AM
BM (với M đa thức khác kh«ng)
A B=
AN
BN (N nhân tử chung A B)
VÝ dơ Rót gän ph©n thøc a) xy+2
4y+2
b) xy+2
(3)Vì học sinh cha xác định đợc đa thức M; N để rút gọn M; N nhân tử chung tử mẫu thức nên thực sai là:
a) xy+2
4y+2 =
x
2
b) xy+2
4y+4 =
x+1
2+2=
x+1
4
Vì giáo viên điểm sai sót học sinh điều chỉnh nh sau:
Học sinh thảo luận nhón dựa vào tính chất phân thức em thảo luận để sác định đa thức N thực bớc sau:
Bớc 1: Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử Bớc 2: Chia tử mẫu thức cho nhân tử chung ý phải xác định rõ đa thức A, B, N ,M Tiến hành giải nh sau:
a) xy+2
4y+2 =
2(xy+1)
2(2y+1)=
xy+1
2y+1
b) xy+2
4y+4 =
2(xy+1)
4(y+1)=
2(xy+1)
2 2(y+1)=
xy+1
2(y+1)
VÝ dơ2: Thùc hiƯn phÐp tÝnh
(x2- 1) (
x −1−
x+1−1)
Học sinh cha thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức dẫn đến thực phép cộng trừ phân thức sai:
(x2- 1) (
x −1−
x+1−1)
=(x2-1)
(x+1− x+1−(x −1)(x+1)
x2−1 )
=(x2+1)
(xx22−−11)=¿ x
2-1
Giáo viên đa thảo luận với lớp thực đợc kết theo bớc thực nh sau:
(x2- 1) (
x −1−
(4)¿(x2−1)(x+1− x+1−(x+1)(x −1)
x2−1 ) (x2−1)(2− x
2 +1
x2−1 ) (x2−1)(3− x
2
x2−1)
3− x2
Nh học sinh cha thành thạo việc nhân đơn thức với đa thức ngồi cịn thiếu sót chỗ “khi phá ngoặc đằng trớc ngoặc có dấu “-” mà không đổi đấu hạng tử ngoặc”
vÝ dơ 3: Thùc hiƯn phÐp tÝnh (2x+1
2x −1− 2x −1
2x+1) :
4x
10x −5
HS cha thành thạo việc nhân đơn thức với đa thức dẫn đến kết làm sai từ tốn thực phép tính nhõn sau
Trờng hợp học sinh làm sai lµ (2x+1
2x −1− 2x −1
2x+1) :
4x
10x −5
¿(2x+1)(2x+1)−(2x −1)(2x −1)
(2x −1)(2x+1) :
4x
10x −5 ¿=4x
2
+1−4x2−1
4x2−1
5(2x −1)
4x =0
học sinh thực sai từ khâu nhân đa thức với đa thức học sinh cha có tính linh hoạt tính tốn học sinh vận dung đẳng thức đáng nhớ đơn giản nhiều chỗ (2x+1)(2x+1) = (2x+1)2
Giáo viên yêu cầu thảo luận nhóm học sinh thực là: (2x+1
2x −1− 2x −1
2x+1) :
4x
10x −5
2x −1¿2 ¿
¿(2x −1)(2x+1): 4x
10x −5 2x+1¿2−¿
¿ ¿ ¿ ¿
= 4x
4x2−1
5(2x −1)
4x
Thùc hiÖn phÐp tÝnh céng trừ ngoặc Thu gọn
Làm tính nhân Kết qu¶ thu gän
Quy đồng mẫu thức ngoặc
Thùc hiƯn phÐp tÝnh céng trõ ngc
Thu gọn Làm tính nhân Rút gọn
(5)= 10(2x −1)
(2x −1)(2x+1)
= 10
2x+1
VÝ dô Thùc hiÖn phÐp tÝnh x+2
x −1−
x −9
x −1−
x −9 1− x
HS cha thành thạo phân thức đối dẫn đến thực phép tính phân thức sai cha phù hợp trờng hợp sau:
“Giáo viên treo bảng phụ có nội dung sau để học sinh thảo luận” (1) x+2
x −1−
x −9
x −1−
x −9 1− x
= x+2 x −1+
− x −9 1− x +
− x −9
1− x ( Sai đổi dấu có đấu “-” trớc ngoặc )
( 2) x+2 x −1−
x −9
x −1−
x −9 1− x
= x+2 x −1+
x −9 1− x+
x −9
1− x ( Sai khơng tìm phân thức đối )
(3) x+2 x −1−
x −9
x −1−
x −9 1− x
= x+2 x −1+
9− x
1− x+
9− x
x −1 (Biến đổi lần đối phân thức )
(4) x+2 x −1−
x −9
x −1−
x −9 1− x
= x+2 x −1+
− x+9
1− x + − x+9
1− x (Học sinh cha vận dụng cha linh hoạt phân thức đối dẫn đến thực thêm bớc tiếp quy đồng)
Sau học sinh thực lại : x+2
x −1−
x −9
x −1−
x −9
1− x = x+2
x −1+
x −9
x −1+
x −9
x −1 =
3x+2
x −1
Tóm lại học sinh phải thực phải thành thạo tìm phân thức đối Phân thức đối phân thức A
B A
B A
B - A B áp dụng vào trờng hợp để vận dụng
b Phân thức nghịch đảo
Học sinh cần nắm lí thuyết Nếu A
B phân thức khác A B
B A=1
Do A
B phân thức nghịch đảo phân thức B
(6)B
A phân thức nghịch đảo phân thức A B Ví dụ 5: Tìm phân thức nghịch đảo phân thức sau:
a) −5x2
2y b)
x2−2x −3
2x −5 c)
5x+1 d)x+7
Sau học sinh nắm cách thực vận dụng qui tắc dẫn đến thực phép tính chia nắm quy tắc chia nh sau
Qui tắc :
Muốn chia phân thức A
B víi ph©n thøc C
D Ta nh©n A
B với phân thức nghịch đảo phân thức C
D A B : C D = A B D
C víi C D≠0 VÝ dơ Lµm tÝnh chia:
4x
2
5y :
6x
5y:
2x
3y
Häc sinh cã thĨ thùc hiƯn sai trờng hợp nh sau
Hc sinh biến đổi nghịch đảo phân thức bị chia phân thức chia, cịn phân thức cuối khơng nghịch đảo dẫn đến kết toán sai trờng hợp sau
4x
2
5y :
6x
5y:
2x
3y =
5y
4x2
5y
6x
3y
2x
4x
2
5y :
6x
5y:
2x
3y =
4x2
5y
5y
6x
2x
3y Giáo viên đặt câu hỏi dẫn dắt
Câu hỏi1 Phân thức nghịch đảo phõn thc 6x
5y phân thức ? ( Là phân thức
5y
6x ) Câu hỏi2 Phân thức nghịch đảo phân thức
2x
3y phân thức nào? ( Là phân thức
3y
2x ) Câu hái3 Råi ghÐp thµnh phÐp tÝnh ?
4x
2
5y :
6x
5y:
2x
3y =
4x2
5y
5y
6x
3y
2x VÝ dơ Lµm tÝnh chia:
3x3+3
x −1 : (x
2- x + 1)
Häc sinh cã thĨ thùc hiƯn sai
3x3+3
x −1 : (x
2-x+1) = 3x
+3
x −1
x2− x+1
1
Hc x −1
3x3+3
x2− x +1
(7)Nguyên nhân học sinh cha tìm thành thạo phân thức nghịch đảo phân thức chia l biu thc nguyờn
Nên trính thực giáo viên cần hớng dẫn cụ thể học sinh tõng bíc
? Phân thức nghịch đảo phân thức (x2-x+1) phân thức nào? ( Là phân thức
1
x2− x+1 )
? Thùc hiƯn phÐp tÝnh nh thÕ nµo? 3x
3 +3
x −1 : (x
2-x+1)
= 3x3+3 x −1
1
x2− x+1
= 3(x+1)(x
2
− x+1)
x −1
x2− x+1
= 3(x+1) x −1
* Nâng cao rèn luyện kỹ thực số toán cộng, trừ , nhân, chia phân thức đại số
1. ¸p dơng giải toán bản. Dạng 1: Rút gọn ph©n thøc
VÝ dơ 1: ( 5x+y x2−5 xy+
5x − y x2+5 xy¿
x2−25y2 x2
+y2
Để thực phép tính ta cÇn thùc hiƯn bíc nh sau Thùc hiƯn phÐp tÝnh ngc
(a) Quy đồng
Phân tích Tìm nhân tử phụ Nhân NTP với PT mẫu thứctnt tơng ứng
(b) Cộng tử thức lại với
(c) Thu gọn phân thức tìm đợc ngoặc
2. Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh tiÕp theo nh nh©n chia rót gän
(8)5y¿2 ¿ ¿x2+y2
¿
(5x+y)(x+5y)+(5x − y)(x −5y)
x(x −5y)(x+5y)
(x −5y)(x+5y)
x2+y2
x2−
¿ ¿
(x5(x −x+5yy)+
5x − y x(x+5y)).¿
Ví dụ 2:Tìm điều kiện x để phân thức sau xác định chứng minh với điều kiện đó biểu thức khơng phụ thuộc vào biến :
a,
x −1
x2+2x+1
x +
2x+2
x
b , x x+1+
1
x −1 2x+2
x −1 − 4x x2−1
Học sinh phải nắm đợc qui trình phân thức P
Q xác định Phân thức P
Q xác định giá trị phân thức xác định giá trị Q xác định khác
Nh câu a, giá trị x-
x xác định x ; giá trị
x2+2x+1
x −
2x+2
x = x2−1
x Khi x 0vµ x
2-1 0 Do điều kiện x x 0
x ± với điều kiện ta có x −1
x2
+2x+1
x +
2x+2
x
= x
2
−1
x :
x2−1
x =1
b, x x+1+
1
x −1=
x2+1
(x+1)(x −1) có giá trị xác định x ±
x+1¿2−4x ¿ 2¿ 2x+2
x −1 − 4x x2−1=¿
(9)x x+1+
1
x −1 2x+2
x −1 − 4x x2−1
= x
2 +1 (x+1)(x −1):
2(x2+1) (x+1)(x −1)=
1
VÝ dơ :
Cho ph©n thøc :
M= x
5−2x4
+2x3−4x2−3x+6
x2+2x −8
a Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định b Rút gọn phân thức
c Tìm giá trị x để giá trị phân thức Giải
a Giá trị M đợc xác đinh : x2 +2x -8 0
hay (x2+2x+1)2-9 0
hay (x+1)2 -9 0
hay (x-2)(x+4)
Suy x-2 x+4 x x -4
Vậy với điều kiện x x -4 giá trị phân thcs m đợc xác định b Ta có x5 - 2x4 +2x3 - 4x2 -3x +6 = x4(x-2) + 2x2( x- 2)-3(x - 2).
= (x - 2)(x4 + 2x2 -3)
= (x - 2) x
2
+1¿2−4 ¿ ¿
= (x-2)(x2 + 3)(x2 - 1)
=(x - )(x2 +3)(x - 1)(x + 1)
VËy M= ¿(x - )(x
2
+3)(x - 1)(x + 1) (x-2)(x+4) =
(x2+3)(x −1)(x+1)
x −4
c Giá trị phân thức M tử mẫu khác
Ta có x2 +3 >0 với x , đó(x2 +3)(x - 1)(x + 1)=0 Khi x=1 , x= -1 Hai giá trị
này x thỏa điều kiện để mẫu thức khác Vậy với x=1 , x=-1 M=
D¹ng 2: Chøng minh: VÝ dô ;
a Cho a, b, c x, y, z số khác thỏa mÃn điều kiện a+b+c=0 ; x+y+z=0 x
a+ y b+
z c=0 Chøng minh r»ng a2x+b2y+c2z=0
(10)x=by +cz ; y=ax+cz; z=ax+by; x+y+z=0 th×
1+a+
1 1+b+
1
1+c=2
Híng dÉn thĨ :
a, Ta cã a+b+c=0 ⇒ ( a+b+c)(ax + by + cz)=0
⇔ a2x + b2y + c2z + ab(x+y) + ac(z+x) + bc(y+z)
Thay x+y=-z; x+z=-y; y+z=-x vào đẳng thức ttrên ta đợc a2x + b2y + c2z –abz – acy – bcx
⇔ a2x + b2y + c2z-abc (ax+
y b+
z c)=0 mµ (x
a+ y b+
z
c)=0 a2x + b2y + c2z=0 b, Từ đề suy
x+y=2cx + ax + by=2cz + z
hay 2cz = x + y – z ; c = x+y − z
2z ⇒ 1+c=
x+y+z
2z
nên
1+c=
2z x+y+z
Tơng tù
1+a=
2x x+y+z ;
1 1+b=
2y x+y+z
vËy
1+a+
1 1+b+
1 1+c=¿
2(x+y+z)
x+y+z =2
C kÕt luËn
I KÕt nghiên cứu:
Sau hng dn hc sinh thực theo phơng pháp tơi thu đợc kết học tập em cuối năm học nh sau:
Lo¹i Líp - sü sè
giái Kh¸ TB Ỹu
S L % S L % S L % S L %
8B 37 13.5 21.6 15 40.5 24.4
8C 36 11.1 12 33.3 15 41.6 14.0
8D 35 17.1 10 28.6 14 40.0 14.3
Tæng: 108 15 13.9 30 27.7 44 40.7 19 17.7
II TÝnh hiệu so với cách dạy trớc.
- Số häc sinh cã häc lùc giái häc xong ch¬ng tăng 12 học sinh/ Tổng số: 108HS
- Sè häc sinh cã häc lùc kh¸ häc xong chơng tăng 12 học sinh/ Tổng số: 108HS
- Số học sinh học lực trung bình tăng lên : 17 Häc sinh/ Tæng sè 108 HS - Sè häc sinh cã häc lùc yÕu, kÐm gi¶m 41 häc sinh/ Tæng sè: 108HS
(11)nhiều thiếu thốn, khơng thể tránh khỏi thiếu sót trình giảng dạy nh thực đề tài Vì tơi mong đợc đóng góp bổ sung ý kiến để đề tài đợc ứng dụng cách có hiệu cơng tỏc ging dy
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Nga Điền, ngày 12 tháng 04 năm 2009
Ngêi viÕt s¸ng kiÕn