[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000-2001.
- ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN BẢNG A VÒNG
SBD: (180 phút, không kể thời gian giao đề)
-Bài 1: (2 điểm)
a/ Chứng minh phương trình sau có nghiệm thực cosx = x (1) ; sin(cosx) = x (2) ; cos(sinx) = x (3)
b/ Gọi nghiệm (1), gọi nghiệm (2), gọi nghiệm (3) Chứng minh rằng: ..ln < ..ln<..ln
Bài 2: (2 điểm) Định m để giá trị nhỏ biểu thức:
f(x,y,z) = (x – y + mz + 1)2 + [x + (m + 1)y - 2z + 2]2 + [2x + 2y + (m - 4)z + 1]2 lớn
Bài 3: (2 điểm) Cho hình vng cố định Tìm tập hợp điểm M hình vng thỏa mãn điều kiện: Tích hai khoảng cách từ điểm M đến hai cạnh hình vng xuất phát từ đỉnh bình phương khoảng cách từ điểm M đến đường chéo hình vng khơng qua đỉnh
Bài 4: (4 điểm)
a/ Tìm tham số a để hệ sau có nghiệm:
2
a(x a) (x 2) x a
b/ Tìm m, n N* để phương trình:
m
n n
c otgx
tgx sin x cos x
4
(2)SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000-2001.
-HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MƠN TỐN BẢNG A – VÒNG 1
Bài 1: (2.0 điểm) Câu a ( 1đ)
cosx = x x – cosx = Xét f(x) = x – cosx Do -1 cosx nên cần xét
x ;
2
. f’(x) = + sinx >
x ;
2
nên f đồng biến 2;
. f(0) < 0; f(1) >
Vậy phương trình f(x) = có nghiệm có nghiệm Các phương trình cịn lại chứng minh tương tự
Câu b ( 1đ)
Nhận xét , , (0;1) Viết lại
ln ln ln
. Xét
ln x g(x)
x
với x (0;1)
1 ln x
g '(x) x (0;1)
x
, g đồng biến (0;1) Chứng minh: :
Giả sử lúc = sin(cos) < cos cos = vô lý Giả sử lúc = sin(cos) > cos cos = vơ lý Vậy ta có:
Bài 2: (2.0 điểm)
f(x,y,z) = (x – y + mz + 1)2 + [x + (m + 1)y - 2z + 2]2 + [2x + 2y + (m - 4)z + 1]2 0,
x, y, z R
f(x,y,z) =
x y mz (1) x (m 1)y 2z (2) 2x 2y (m 4)z (3)
có nghiệm (x;y;z).
Lấy (2) trừ (1) ta có: (m + 2)y - (m + 2)z + = (4) Nhân (1) với (2) ta có: 2x - 2y + 2mz + = (5) Lấy (3) trừ (5) suy ra: 4y - (m + 4)z – = (6) Từ (4) (6) suy ra: m(m + 2) có nghiệm y z Rồi vào (1) có nghiệm x Hệ (1), (2), (3) có nghiệm Do đó: m m mìn(x,y,z) =
Nếu m = -2, đó: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpki ta có: f(x,y,z) = (x – y - 2z + 1)2 + [x - y - 2z + 2]2 + [2x + 2y - 6z + 1]2 =
1
2[12 + (-1)2 + 02][(x – y - 2z + 1)2 + [x - y - 2z + 2]2 + [2x + 2y - 6z + 1]2]
1
2(-1)2 =
1 2.
Dấu xảy
x y 2z x y 2z
2x 5z
1
2y z 2x 2y 6z
Chọn (x = -1; y =
1
2; z = 0) Vây tồn f(-1; 2;0) =
1
(3) Nếu m = 0, đó: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpki ta có: f(x,y,z) = (x – y + 1)2 + [x + y - 2z + 2]2 + [2x + 2y - 4z + 1]2 =
1
2[02 + 12 + (
1
2)2][(x + y + 1)2 + [x + y - 2z + 2]2 + [2x + 2y - 4z + 1]2]
2 2 = 5.
Dấu xảy
x y 2z 2x 2y 4z 10x 10z 9
1 1/
10y 10z x y
Chọn (x =
9
; y =
1
10; z = 0).Vậy tồn f(
;
1 10;0) =
9
5 hay m = ta có
minf(x;y;z) =
9 5.
Kết luận: m = giá trị nhỏ f(x,y,z) lớn Bài 3: (2.0 điểm)
Khơng giảm tính tổng qt, xét hình vng có cạnh Đặt hình vng ABCD lên mặt phẳng có hệ trục tọa độ Oxy cho A(0;1), B(-1;0), C(0;-1), D(1;0)
Gọi M(x;y) điểm hình vng ABCD, hạ MN, MP, MQ vng góc với BD, DA, AB N, P, Q
Do đó: MP.MQ = MN2 (1) ( xét cạnh hình vng phát xuất từ đỉnh A) AB: x – y + = 0, AD: x + y – =
(1)
2 2
| x y 1| | x y 1|
| y | | x (y 1) | 2y
2
M(x;y) hình vng nên x – y + > 0, x + y – <
Do đó: x2 –(y – 1)2 = (x – y + 1)(x + y – 1) < nên (1) x2 – (y– 1)2 =- 2y2 x2 + (y+1)2 = Vậy tập hợp điểm M cung BD, cung ¼ đường trịn C, bán kính R =
Từ kết ta kết luận: Tập hợp điểm M cung ¼ đường trịn tâm đỉnh hình vng có bán kính cạnh hình vng
Bài 4: (4.0 điểm) Câu a ( đ)
2 2
a(x a) (x 2) (x a) ax - 2a(x a)
x a x a
2
1 1
x 2 (x a) (x a) a 2 (1)
(x a) a 2 (x a) a
x a x a (2)
Do (2) nên x – a a hai số dương, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta được:
4
1 1
(x a) (x a) a =2 (3)
2 2 (x a) a
Do (1) dấu đẳng thức xảy (3) tức là:
2
3 x
1(x a) a
2 (x a) a 2
(4) Vậy hệ có nghiệm a =
2
2 nghiệm hệ là: x =
2 .
Câu b ( đ)
n > 2: |sinnx + cosnx| dấu đẳng thức x =
k
, k Z
|tgx +
1
4 cotgx|m với x
k
nên phương trình vơ nghiệm
n = 2: Phương trình trở thành: (tgx +
1
4cotgx)m = có nghiệm x0; tgx0 =
1
2,mN*. n = 1: Đặt f(x) = (tgx +
1
4cotgx)m – ( sinx + cosx) , x (0;2
) f liên tục (0;2
) x
lim f (x)
Gọi x0 (0;2
), tgx0 =
1
2, ta tính được:
f(x0) = – ( sinx0 + cosx0) = – (
1
2cosx0 + cosx0) = -
2cosx0 = -
0
5 .
Vậy phương trình có nghiệm