Bài giảng Đề thi HSG Huyện Nga Sơn

Phòng giáo dục nga sơn Đề thi học sinh giỏi môn toán - Lớp 9 Năm học 2002 - 2003 ( Thời gian làm bài 150 phút ) Đề bài Câu 1: (5.5 đ) a. Giải phơng trình : ( 1 1)( 1 1) 2x x x+ + = b. Cho phơng trình bậc 2 có ẩn số là x : 2 2 2 1 0x mx m + = - Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x 1 , x 2 với mọi m. - Đặt A = 2 2 1 2 1 2 2( ) 5x x x x+ . Chứng minh : A = 8m 2 - 18m + 9. Câu 2: (6.5 đ) a. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 1 1 1 1 x y z + + = b. Cho ba số dơng a, b, c thoả mãn : 2 2 2 7 5 a b c+ + = Chứng minh rằng 1 1 1 1 a b c abc + < . Câu 3: (2 đ) Giải hệ phơng trình : 2 2 7 12 x y xy xy x y + + = + = Câu 4: (3.5 đ) Cho hình bình hành ABCD và I là trung điểm của cạnh CD. Đờng thẳng BI cắt tia AD tại E. a. Chứng minh rằng các tam giác BIC, EID bằng nhau. b. Tia EC cắt AB tại F. Chứng minh rằng EC song song với BD. c. Xác định vị trí của điểm C đối với đoạn thẳng EF. Câu 5: (2.5 đ) Từ một điểm S ở ngoài đờng tròn (O) kẻ hai cát tuyến SAB, SCD đến đ- ờng tròn. Chứng minh rằng nếu AB = CD thì SA = SC. Phòng giáo dục nga sơn Đề thi học sinh giỏi môn toán - Lớp 9 Năm học 2003 - 2004 ( Vòng 1 ) ( Thời gian làm bài 150 phút ) Đề bài Câu 1: (4 đ) a. Tìm số tự nhiên x biết rằng : 1 1 1 2 2002 1 1 3 6 10 ( 1) 2004x x + + + + + = + b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 6 6 6 3 3 3 3 3 3 x y z Q x y y z z x = + + + + + Trong đố x, y, z là các số dơng thoả mãn điều kiện: 1xy xy yz yz zx zx+ + = . Câu 2: (3.5 đ) a. Cho x - y = 4; x 2 + y 2 = 36. Tính x 3 + y 3 b. Cho các số thực a, b, x, y thoả mãn điều kiện : a + b = 3 ; ax +by = 5 ; ax 2 + by 2 = 12 ; ax 3 + by 3 = 31. Tính giá trị của : ax 4 + by 4 Câu 3: (4 đ) a. Giải phơng trình sau : 3 3 1 1 78( )y y y y + = + với điều kiện 0y b. GiảI hệ phơng trình sau : 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 85 ( ) 65 x xy y x y x xy y x y + + + = + + = Câu 4: (4 đ) Giả sử x, y, z là các số nguyên không âm thoả mãn các điều kiện sau : 36 2 3 72 x by x z + + Trong đó b > 0 cho trớc. Chứng minh rằng : a. Nếu 3b thì x + y + z nhận giá trị lớn nhất là 36. b. Nếu b < 3 thì x + y + z nhận giá trị lớn nhất là 36 24 b + . Câu 5: (4.5 đ) Cho đờng tròn (O,R) và điểm A với OA = R 2 . Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN. a. Chứng minh rằng tứ giác AMON là hình vuông. b. Gọi H là trung điểm của MN. Chứng minh rằng 3 điểm A, H, O thẳng hàng. c. Một đờng thẳng (m) quay quanh A cắt đờng tròn (O) tại P và Q. Gọi S là trung điểm của dây PQ. Tìm quỹ tích của điểm S. d. Tìm vị trí của đờng thẳng (m) để AP + AQ lớn nhất. e. Tính theo R độ dài đoạn HI . Trong đó I là giao điểm của AO với cung nhỏ MN. Phòng giáo dục nga sơn Đề thi học sinh giỏi môn toán - Lớp 9 Năm học 2003 - 2004 ( Vòng 2 ) ( Thời gian làm bài 150 phút ) Đề bài Câu 1: (5 đ) a. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 5 2.5 5 4500 x y z + + = với x < y < z. b. Cho a, b, c là ba số tuỳ ý thuộc đoạn [ ] 0;1 Chứng minh rằng : 2 1 1 1 a b c bc ca ab + + + + + Câu 2: (5 đ) a. Cho biết mỗi phơng trình : x 2 - mx + p = 0 và x 2 - nx + q = 0 đều có hai nghiệm dơng. Chứng minh rằng các bất đẳng thức : m < n ; mn < p + q và mq < np không đồng thời xảy ra. b. Chứng minh rằng : 2 ( ) 1 n n x f x x= + + chia hết cho x 2 + x + 1 khi và chỉ khi n không chia hết cho 3. Câu 3: (4 đ) Giải hệ phơng trình sau : 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 x y x y z y z x z = + = + = + Câu 4: (6 đ) Cho đờng tròn (O) đờng kính AB và tia tiếp tuyến Ax. Từ M thuộc Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với đờng tròn. Đờng vuông góc với AB tại O cắt BC ở N. a. Có nhận xét gì về tứ giác OMNB ? b. Tìm tập hợp điểm H là trực tâm của tam giác MAC khi M di động trên Ax. Phòng giáo dục nga sơn Đề thi học sinh giỏi môn toán - Lớp 9 Năm học 2004 - 2005 ( Thời gian làm bài 150 phút ) Đề bài Câu 1: (3.5 đ) Giải các phơng trình sau: a. 2 2 3 2 4 3 2 1 4 10 4 21 1 1 1 1 y y y y y y y y y y y + + = + + + + + b. 3 3 1 1 78( )y y y y + = + Câu 2: (4.5 đ) Gọi d là đờng thẳng y = 2x + 2 cắt trục hoành tại M và trục tung tại N. a. Viết phơng trình của đờng thẳng d 1 song song với d và qua điểm P ( 1; 0 ). b. d 1 cắt trục tung tại Q, tứ giác MNPQ là hình gì ? c. Viết phơng trình đờng thẳng d 2 qua N và vuông góc với d. d. d 1 và d 2 cắt nhau tại A. Tìm toạ độ của A và tính khoảng cách AN. Câu 3: (2 đ) Giải hệ phơng trình: 2 3 4 xy x y yz y z zx z x = + = + = + Câu 4: (2 đ) Tìm giá trị của x sao cho thơng của phép chia 2004x + 1503 cho x 2 + 1 đạt giá trị bé nhất có thể đợc. Câu 5: (8 đ) Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và M là một điểm nằm trên nửa đ- ờng tròn đó. Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax, By lầ lợt tại C và D. a. Chứng minh rằng: CD = AC + BD và tam giác COD vuông. b. OC và OD cắt AM và BM theo thứ tự tại E và F . Xác định tâm P của đờng tròn đi qua bốn điểm O, E, M, F. c. Chứng minh rằng tứ giác ACDB có diện tích nhỏ nhất khi nó là hình chữ nhật và tính diện tích nhỏ nhất đó. d. Khi M chạy trên nửa đờng tròn tâm O thì điểm P chạy trên đờng nào ? Phòng giáo dục nga sơn Đề thi học sinh giỏi môn toán - Lớp 9 Năm học 2006 - 2007 ( Thời gian làm bài 150 phút ) Đề bài Câu 1: (4 đ) Trên hệ trục toạ độ xOy: a. Viết phơng trình đờng thẳng đI qua hai điểm A(-2;3) và B(1;-3). b. Đờng thẳng AB này cắt trục hoành tại C và trục tung tại D. Xác định toạ độ của C và D . Tính diện tích tam giác OCD. c. Tính khoảng cách CD. Câu 2: (4 đ) GiảI hệ phơng trình : 4 1 1 2 2 20 3 1 2 2 x y x y x y x y = + + = + Câu 3: (4 đ) Cho biểu thức: 3 1 1 (1 ) ( 1)( ) : 1 1 x x x x x B x x x x x + = + + + a. Rút gọn B. b. Với giá trị nào của x thì 1 2 B = . Câu 4: (8 đ) Trong đờng tròn tâm O bán kính R , cho hai dây AB và AC vuông góc với nhau. ( 3R AB < 2R) 1.a/ Chứng minh rằng : 2 2 2 4AB AC R+ = b/ Cho 3AB R= Hãy tính AC và các khoảng cách từ tâm O đến hai dây AB và AC. 2. Kẻ hai dây song song AD và BE hợp với AB góc 45 0 . DE cắt AB tại P. a/ Chứng minh DE vuông góc với AB. b/ Gọi OF là khoảng cách từ O đến DE. Tính khoảng cách từ O đến DF và độ dài của các đoạn thẳng PA, PB, PD, PE khi 3AB R= . 3. Nối CE. Hỏi ADEC là tứ giác gì? 4. Trong trờng hợp tổng quát cho hai dây AB và DE vuông góc với nhau tại P. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 4PA PB PD PE R+ + + = Phòng giáo dục nga sơn Đề thi học sinh giỏi môn toán - Lớp 9 Năm học 2005 - 2006 ( Thời gian làm bài 150 phút ) Đề bài Câu 1: (4 đ) Cho biểu thức : 2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x A x x x x + + = + a. Rút gọn biểu thức A. b. Tìm x để A < 1. c. Tìm giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của biểu thức A cũng là số nguyên. Câu 2: (3 đ) a. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau: (x + 5) 2 = 64(x - 2) 3 b. Số 2 100 có bao nhiêu chữ số ? Câu 3: (4 đ) Giải phơng trình và bất phơng trình sau : a. 3 1 1 1 2 2 x x+ + = b. 1 1 2 4 x x + + < 2 ( 1) 2 1 8 x x + + Câu 4: (2 đ) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng : 1 1 1 1 1 1 64 a b c + + + ữ ữ ữ Câu 5: (4 đ) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn tâm O. Qua điểm M trên cung nhỏ AB vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc trong với đờng tròn (O) cắt MA, MC lần lợt ở N và P. Chứng minh : a. NP // AC b. MA + MB = MC Câu 6: (3 đ) Cho tam giác MNP có các đỉnh M, N, P lần lợt di động trên 3 cạnh BC, AB, AC của tam giác nhọn ABC cho trớc. Xác định vị trí của M, N, P để chu vi tam giác MNP đạt giá trị nhỏ nhất. Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 - THCS Thanh Hoá Năm học 2004 - 2005 Môn thi : Toán học - Bảng A Đề chính thức ( Thời gian : 150 phút - không kể thời gian giao đề) Bài 1 : (3,5 điểm) Chứng minh rằng, nếu y x 3 + x 2 + x + 1 (1) thì ta có : x 2 + y 2 1 (2). Tìm tất cả các cặp số (x, y) thoả mãn điều kiện (1) để (2) xảy ra dấu bằng. Bài 2 : (4 điểm ) Cho A = 2 4 1 4 1 2 2 1 8 16 x x x x x x + + + a) Rút gọn A. b) Chứng minh rằng, với mọi giá trị nguyên của x, biểu thức A không thể nhận giá trị nguyên . Bài 3 : (4 điểm ) Giải hệ phơng trình : 2 2 2 2 3 3 3 0 y x x y x y x y + = + + = + Bài 4 : (6 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đờng tròn tâm O. Gọi H và M lần l- ợt là chân các đờng cao và đờng trung tuyến kẻ từ đỉnh B xuống cạnh AC. Gọi K là chân đờng vuông góc hạ từ H xuống AB. Đờng thẳng KH cắt đờng kính BD của đờng tròn (O) tại E. Chứng minh rằng : 1) CE vuông góc với BD. 2) Các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABH và MEH tiếp xúc với nhau tại H. Bài 5 : (2,5 điểm ) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : x 2 - 1 = y + y 2 + y 3 + y 4 . Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 - THCS Thanh Hoá Năm học 2004 - 2005 Môn thi : Toán học - Bảng b Đề chính thức ( Thời gian : 150 phút - không kể thời gian giao đề) Bài 1 : (4 điểm) Chứng minh rằng, nếu y x 3 + x 2 + x + 1 (1) thì ta có : x 2 + y 2 1 (2). Tìm tất cả các cặp (x, y) thoả mãn điều kiện (1) để (2) xảy ra dấu bằng. Bài 2 : (5 điểm ) Cho A = 2 2 1 2 1 2 1 1 x x x x x x + + + c) Rút gọn A. d) Tìm x để A = 5. Bài 3 : (7 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đờng tròn tâm O. Gọi H và M lần l- ợt là chân các đờng cao và đờng trung tuyến kẻ từ đỉnh B xuống cạnh AC. Gọi K là chân đờng vuông góc hạ từ H xuống AB. Đờng thẳng KH cắt đờng kính BD của đờng tròn (O) tại E. Giả sử góc BAC lớn hơn góc BCA. Chứng minh rằng : 1) CE vuông góc với BD. 2) Các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABH và MEH tiếp xúc với nhau tại H. Bài 4 : (4 điểm ) Cho biểu thức : P = 5x 2 + 5y 2 + 8xy + 2y - 2x + 2007 Với giá trị nào của x và y thì P đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 - THCS Thanh Hoá Năm học 2004 - 2005 Môn thi : Toán học - Bảng A Đề dự bị ( Thời gian : 150 phút - không kể thời gian giao đề) Bài 1 : ( 4 điểm ) Cho 3 3 3 3 a b c a b c + + = + + . Chứng minh : 2005 2005 2005 2005 a b c a b c + + = + + Bài 2 : ( 4 điểm ) Cho a > 0 ; bc = a 2 ; a + b + c = abc . Chứng minh : a 3 Bài 3 : ( 4 điểm ) Giải hệ phơng trình : 3 3 3 2 3 1 2 3 x x y xy x + = = Bài 4 : ( 6 điểm ) Gọi O ; I ; J lần lợt là tâm các đờng tròn ngoại tiếp, nội tiếp, bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC ; M là trung điểm BC ; H và K lần lợt là chân các đờng vuông góc hạ từ I và J xuống BC ; R và r lần lợt là bán kính các đờng tròn ngoại tiếp và đờng tròn bàng tiếp trong góc A . Chứng minh : a) M là trung điểm của HK . b) MI song song với AK . c) JA . JB . JC = 4Rr 2 . Bài 5 : ( 2 điểm ) Các số nguyên dơng x và y thoả mãn x 2 + y 2 + 6 chia hết cho xy . Tìm thơng của phép chia x 2 + y 2 + 6 cho xy . Họ tên : . Số báo danh : SGD- Thanh hoá PGD- TP. Thanh Hoá Đề thi học sinh giỏi toán 9. Năm học: 2005- 2006 Thời gian 150 phút ( không kể chép đề) Bài1: a) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 3x 2 + 2y 2 + z 2 + 2(2xy + yz + zx) = 26 b) Giải phơng trình ( ) ( ) 013141 2 2 2 =++ n n n xxx ( n N; n 2 ) Bài2: a) Giải hệ phơng trình =++++ =+ 0112 01 yyxyxyx x x yx b) Cho 0 0 90 0 Chứng minh: 2 1 Sin 3 + Cos 3 1 Bài3: Cho x, y, z là các số dơng ; x + y + z = 1 và A = xy + yz +zx - kxyz a) Với K = 10. Tìm GTNN của A. b) Với k = 2 4 1 . Tìm GTLN của A. Bài4 : Gọi I, G lần lợt là tâm đờng tròn nội tiếp và trọng tâm của tam giác ABC, với các cạnh AB = c; BC = a; CA = b. a) Chứng minh rằng : dt CIG = rba . 6 1 Với r là bán kính đờng tròn nội tiếp ABC b) Nếu a = c +1 ; b = c 1 Chứng minh : IG // AB. Tính IG. [...]... OQ OR Hết - Học sinh không đợc sử dụng tài liệu gỡ Cán bộ coi thi không đợc gii thích gì thêm S GIO DC V O TO THANH HO D B K THI CHN HC SINH GII TNH NM HC 2006-2007 Mụn thi: TON Ngy thi: 28/03/2007 Lp: 9 Trung hc c s Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao thi) thi ny cú: 4 cõu gm 1 trang Cõu 1: (6,0 im) Cho biểu thức : P = 2x 4 1 + 2 x-2 x-3 x - 5x + 6 a)...S GIO DC V O TO THANH HO CHNH THC K THI CHN HC SINH GII TNH NM HC 2006-2007 Mụn thi: TON Ngy thi: 28/03/2007 Lp: 9 Trung hc c s Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao thi) thi ny cú: 4 cõu gm 1 trang Cõu 1: (8,0 im) 2a b 5b a 1 Cho A = + vi a, b tho món: 6a 2 15ab + 5b 2 = 0 Chng minh 3a b 3a + b... IJ Chứng minh rằng : a) Các tam giác MBC , IBC cân và tứ giác MINJ là hình bình hành b) CI // OK c) AM = IN ; BN = IM Hết - Học sinh không đợc sử dụng tài liệu gì Cán bộ coi thi không đợc gii thích gì thêm . Phòng giáo dục nga sơn Đề thi học sinh giỏi môn toán - Lớp 9 Năm học 2002 - 2003 ( Thời gian làm bài 150 phút ) Đề bài Câu 1: (5.5 đ) a. Giải. SC. Phòng giáo dục nga sơn Đề thi học sinh giỏi môn toán - Lớp 9 Năm học 2003 - 2004 ( Vòng 1 ) ( Thời gian làm bài 150 phút ) Đề bài Câu 1: (4 đ) a.