11

Ch ứng minh rằng:... Ch ứng minh rằng:..[r]

BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN Câu 1: Chứng minh với a b c, , 0 thì:

4 4

 

  

a b c

a b c abc

Câu 2: Cho số a,b thỏa mãn điều kiện ab0 Chứng minh rằng:

2 3 6

(ab)(a b )(a b )4(a b ) Câu 3: Cho số x y z, , 0;2 Chứng minh rằng:

2(x yz)(xy yzzx)4 Câu 4: Cho số a b c, , 0 Chứng minh rằng:

 3

(1a)(1b)(1c) 1 abc Câu 5: Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng:

 2 2 1 3 

2

 

       

  

 

a b c a b c

a b b c c a Câu 6: Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng:

15

  

     

  

b b c b c a c a b

b c a c a b a b c

Câu 7: Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1

  

    

  

a b b c c a

a b c

a b b c c a

Câu 8: Cho a,b,c>0 a+b+c=1 Chứng minh rằng:

a b c

1 1 64

b c a

   

   

   

   

Câu 9: Cho a,b,c>0 ab+bc+ca=abc Chứng minh rằng:

2 2 2

b 2

3

  

  

a c b a c

ab bc ca

Câu 10: Chứng minh với x, y, z ta có:

 

4 2

x y z  1 2x xy xx 1

Câu 11: Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác Chứng minh bấtđẳng thức sau:

1 abbcca  a2 b2 c2  ab bcca abca b c b  c a c  a b

3 a b 2 b c2 2c a2 2a4 b4c4 0

4 a b c2b c a2c a b2 4abca3b3c3 a b a2  bb c b2  cc a c2  a0

1 4 a2bc 2a b ca b 2ca b c

2 2

2 2

a b c a b c

b c a b  c a   

Câu 13: Cho x y, hai số dương thỏa mãn điều kiện x y4 Tìm GTNN biểu thức:

2

2

3

4

 

 x  y

A

x y

Câu 14: Tìm GTNN của hàm số 11 72 ( 0)

 

      

 

y x x

x x

Câu 15: Cho x y z, , thỏa mãn 3x 3y 3z 1 Chứng minh rằng:

9 9 3

4 3  3  3 

 

  

  

x y z x y z

x y z y x z z x y

Câu 16: Cho a b c, , ba số dương thỏa mãn

a  b c Chứng minh rằng: 3a3b 3b3c 3c3a 3

Câu 17: Cho x y z, , số dương thỏa mãn xyz 1 Chứng minh rằng:

3 3 3

1 1

3

     

  

x y y z z x

xy yz zx

Câu 18: Chứng minh với x y, 0thì

2

(1 ) 1  1  256 

  

y x

x y

Câu 19: Cho hai số thực x0,y0 thỏa mãn (x y xy)  x2y2xy Tìm GTLN biểu thức :

3 1   A

x y

Câu 20: Giả sử x y hai số dương x y1 Tìm GTNN của:

x y

P

1 x y

 

 

Câu 21: Chứng minh với x :

x x x

x x x

12 15 20

3

5

     

    

     

     

Câu 22: Cho x y z, , số dương thỏa mãn 1

x y z  Chứng minh

rằng: 1 1

2xyz x2yz xy2z 

1 1

2 2

x y z 82

2 2

x y z

     

Câu 24: Giả sử x y, hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện   x y

Tìm GTNN biểu thức: S x 4y  

Câu 25: Cho x y z, , số dương Chứng minh rằng:

4 4

3 3

x y z

(x y z ) yzzx  xy   Câu 26: Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng:

1

3 3

a b c

(a b c) (ab)(bc) (bc)(ca) (ca)(ab)  

2

3 3

2 2

a b c

(a b c)

(bc) (ca) (ab)   

3

3 3

2 2

a b c

(a b c ) a2b b2cc2a 3  

5 5

3 3

a b c

a b c bc ca ab  

4 4

2 2

a b c

a b c bc  ca ab   

5 5 3

3 3

a b c a b c

b c a

b  c  a   

Câu 27: Cho số dương a, b, c thỏa a.b.c=1 Tìm GTNN biểu thức:

2 2 2

bc ca ab

P

a b a c b c b a c a c b

  

  

Câu 28: Cho x, y, z > x + y + z = Tìm GTLN của:

x y z

P

x y z

  

  

Câu 29: Tìm GTLN của biểu thức:

ab c bc a ca b F

abc

    

 với a3; b4; c2

Câu 30: Chứng minh với số thực a,b,c ta có:

2

(ab) (ac) 4abc(abc) Câu 31: Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng:

 2 2

2 2 2 3 a b c

a b b c c a

a b b c c a a b c

 

  

  

Câu 32: a b2 b c2 c a2 1 a b c ab c bc a ca b

  

    

  

Câu 33: a b b c c a c a b

c a b a b b c a c

 

  

      

  

 

Câu 34: Cho a,b,c>0 a.b.c=1 Chứng minh rằng:

        

3 3

a b c

1 b c   a c   a b   Câu 35: Cho a,b,c>0 a+b+c=16 Chứng minh rằng:

3 3

1 1 729

1 1

512

a b c

   

   

   

   

Câu 36: Cho x,y,z>0 x+y+z=1 Chứng minh rằng:

2 2

3

14 xyyzzx x y z  Câu 37: Cho a,b,c>0 a+b+c≤1 Chứng minh rằng:

2 2

1 1

9 a 2bc b 2ca  c 2ab  Câu 38: Cho a,b,c>0 a.b.c=1 Chứng minh rằng:

 2  2  2

a b c

a b c ab a bc b ca c

  

 

     

Câu 39: Cho biết: a  b1. Chứng minh rằng:

 2

ab a b

64  

Câu 40: Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng:

3 a b c a b c b c a abc

    

Câu 41: Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng:

ab bc ca a b c

a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b  

  

     

Câu 42: Cho a,b,c>0 a.b.c=1 Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1

2 a 2b 3b 2c 3c 2a 3 Câu 43: Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng:

     

 

2 2

a b b c c a

4 a b c

c a b

  

    

Câu 44: Cho x,y>0 x+y=1 Chứng minh rằng: 3 3 xy

4 2

4 2

 

     

 

x y x y x y

F

y x y x y x

Câu 46: Với x, y, z số thực thỏa mãn x2  y2 z2 2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Px2  y2 z2 3xyz

Câu 47: Cho

, , 0

3 2

z y x x y z

 



    



Tìm giá trị nhỏ nhất:

1 1 1

4 

       

 

F x y z

x y z

Câu 48: Với x, y, z số dương x y z . 1 Tìm giá trị nhỏ nhất:

  

  

x y z

F

x yz y zx z xy

Câu 49: Cho  , , 0 1

x y z x y z



   Tìm giá trị lớn nhất:

2 2

1 1 1

  

  

x y z

P

x y z

Câu 50: Cho  

   

, , 0;1

. 1 1 1 (1)

x y z

x y z x y z

 

    



Tìm giá trị nhỏ nhất:

2 2

  

F x y z

Câu 51: Cho x, y số dương Chứng minh :

 2 23 2 2

8 8 8

x y   x y  xy

Câu 52: Cho x, y, z số dương không lớn Chứng minh :

   

   

1 1 1

1 1

1.

3 3

1 1

2. 1 1 1

3

  

 

 

    

 

x y z

x y z

x y z

x y z

Câu 53: Cho  2

, , 0

3

x y z

x y z



   Tìm giá trị lớn :

27

   

F x y z xyz

Câu 54: Cho  , , 0

. 2

x y z

x y z x y z



    Tìm giá trị nhỏ nhất:

  

F x y z

F xy yzzx(xyz) Câu 56: Cho  , , 0

. 1

x y z x y z



 Tìm giá trị nhỏ nhất:

2 2

3

   

 

x y z

F

y z x x y z

Câu 57: Cho

, , 0 1 2

x y z x y z

 



    



Chứng minh rằng:

2 2

1 1 1 108

5

x x  y  y  z z 

Câu 58: Cho x,y thuộc R Tìm giá trị lớn nhỏ nhất: 4

1

 

 

x y F

x y

Câu 59: Cho

 

3

, , 0;

x y z x y z

   

 



.Chứng minh rằng:

    2

27 1 1 1

4 4 4

2 2 2 x y z

x  y  z       

Câu 60: Cho  , , 0 1

x y z x y z



   Chứng minh rằng:

 4  4  4 1

12

x yz  y zx z xy 

Câu 61: Cho 

2 2

4 , , 0

x y z xyz x y z

   

 Chứng minh rằng: x y z 3

Câu 62: Cho x y z, , 0;1

xy yz zx x y z



     Chứng minh rằng:

2 2

2 2 3

( ) ( ) ( )

x y z

y z x  z x y  x yz 

Câu 63: Cho  3

, , 0

x y z x y z

  

 Chứng minh rằng: 5xyz2xy yzzx

Câu 64: Cho  3

, , 0

x y z x y z

  

 Chứng minh rằng:

2 2

4

x y z xyz

Câu 65: Cho  3

, , 0

x y z x y z

  

 Chứng minh rằng:

3 3

Câu 66: Cho  1

, , 0

x y z x y z

  

 Chứng minh rằng:

527xyz18(xy yzzx) Câu 67: Cho 

, , 0

xyz xy yz zx x y z

  

 Chứng minh rằng:

2 2 2

5x y z 27xyz18(x y z )

Câu 68: Cho  3

, , 0

x y z x y z

  

 Chứng minh rằng: xyyzzx2xyz1

Câu 69: Cho  , , 0; 2 3

x y z x y z



   Chứng minh rằng:

3 3 9

x y z 

Câu 70: Cho  3

, , 0

x y z x y z

  

 Chứng minh rằng:

 2 2 2

2 x  y z x y z 7

Câu 71: Cho

. 1 1

, , ; 4

2

x y z x y z

 



 



  

  



Chứng minh rằng: xy yz zx 17 4

  

Câu 72: Cho 

, ,

x y z x y z

  

 Chứng minh rằng:

1. 16

2. 9

3.9 1 4( )

 

  

   

y z xyz

xy yz zx xyz

xyz xy yz zx

Câu 73: Cho  , , 0

3

x y z

xy yz zx



   Chứng minh rằng:

3(xyz)xyz10 Câu 74: Cho , 0; 2

2

x y  

 

Chứng minh rằng: 2 2 2 2

1 1 3

x y

y  x 

 

Câu 75: Cho 1

, , 0

x y z x y z

  

 Chứng minh rằng:

2 2

2 2

1 1 1 7

1 +

1 1 1 2

1 1 1 7

2 +

1 1 1 2

  

 

  

  

 

  

n n n

n n n

x y z

y z x

x y z

y z x

Câu 76: Cho x, y, z nằm đoạn  1; 2 Chứng minh rằng:

3 3

5

x  y  z  xyz

Câu 78: Cho  . 1

, , 0

x y z x y z



 Chứng minh :

x yyzzx4x y z 1

Câu 79: Cho  6 9

, , 0

x y y z z x x y z x y z

   

 Chứng minh :

3 6

xy z xyz

Câu 80: Cho 

2 2

3

, ,

x y z

x y z

  

 Chứng minh :

1 x y  y z  zx  9xy z

 

2.9xyz 1 4 xyyzzx

Câu 81: Cho , 0; 2 2

x y  

 

Chứng minh :

2

2 2

1 1 3

x y

y  x 

 

Câu 82: Cho , 1;3 3

x y  

  Ch

ứng minh : 7

5

x y z

x y  y  z  z  x 

Câu 83: Cho x, y, z số dương chứng minh :

xyz2(x2  y2 z2) 8 5(x yz)

Câu 84: Cho  3

, , 0

x y y z z x x y z

  

 Chứng minh :

3(x yz)xyz10 Câu 85: Cho 

2 2

3

, , 0

x y z

x y z

  

 Chứng minh :

2 2 2

x y z x y  y z z x

Câu 86: Cho 

2 2

3

, , 0

x y z

x y z

  

 Chứng minh :

7(xyyzzx) 12 9  xyz

Câu 87: Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng:

7 7 4

3 3 3 3 3

a b c a b c

5 a b 3c b c 3a c a 3b

 

  

     

Câu 88: Cho x,y,z>0 Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

( )

4

x 2y z  y 2z x z 2x y  x  y z Câu 89: Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: xyz   x y z Chứng minh rằng:

2

x y z xyz

Câu 90: Cho x, y, z >0 thoả x  y z Chứng minh rằng: 36

Câu 91: Cho số thực dương x, y, z thoả mãn: x2y2z2 3 Chứng minh rằng: xy yz zx

z  x  y 

Câu 92: Cho x, y, z số thực dương thoả mãn 2

2

x y z  xyz

Chứng minh rằng:

1

2

xy z

2 1 4(x y z)

x y z  

Câu 93: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a b c  1 Chứng minh rằng: 1 22

abc ab bc  ca   

Câu 94: Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng:

ab 2 bc24abc a bc

Câu 95: Chứng minh với số thực dương a, b, c ta có:  2 2

2 2 2 3 a b c

a b b c c a

a b b c c a a b c

 

  

  

    

Câu 96: Cho số thực dương a, b, c thoả mãn: a+b+c=1 Chứng minh rằng: ab 16abc

Câu 97: Cho số thực dương a, b, c thoả mãn: a+b+c=4 Chứng minh rằng: ababc

Câu 98: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

2 2

a b b c c a 1

a b c ab c bc a ca b

  

    

  

Câu 99: Cho số thực a, b, c thoả: a2 b 2c 22

a b c

   

 

   



Chứng minh rằng:

4 a, b, c

3

 

Câu 100: Chứng minh với số thực a, b, c[0;1] ta có:

 2  2 2

1 a  b c 4 a b c

Câu 101: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

a b b c c a c a b

2

c a b a b b c a c

 

  

      

  

 

Câu 102: Cho số thực dương a, b, c thoả a.b.c=1 Tìm GTNN của:

        

3 3

a b c

P

1 b c a c a b

  

     

3 3

1 1

P 1

a b c

   

      

   

Câu 104: Cho số thực x,y,z>0 thoả: 1

x  yz  Tìm GTLN của:

1 1

P

2x y z x 2y z x y 2z

  

     

Câu 105: Cho số thực dương x,y,z thoả: x+y+z=1 Tìm GTNN của;

2 2

3

P

xy yz zx x y z

 

   

Câu 106: Cho số thực dương x,y,z thoả: x+y+z=1 Chứng minh rằng:

   

x2y z 1-x y z 

Câu 107: Cho số a,b,c>0 thoả: a+b+c≤1 Tìm GTNN của:

2 2

1 1

P

a 2bc b 2ca c 2ab

  

  

Câu 108: Cho a,b>0 thoả: a+b=1 Tìm GTNN của: P 2 2 ab a b  

 Câu 109: Cho a,b>0 thoả: a.b=1 Tìm GTNN của: Q 1

a b a b   

 Câu 110: Cho số a,b,c>0 thoả: a.b.c=1 Chứng minh rằng:

 2  2  2

a b c

a b c ab a bc b ca c

  

 

     

Câu 111: Cho a,b>0 thoả: a  b 1 Tìm GTLN của: Pab a b2 Câu 112: Cho a,b>0 thoả: a3b3  a b Chứng minh: a2b2ab 1. Câu 113: Cho số a,b,c>0 Chứng minh rằng:

3

a b c a b c b c a abc

    

Câu 114: Cho a,b,c>0 thoả: a+b+c=3 Tìm GTLN của:

ab bc ca

P

a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b

  

     

Câu 115: Cho a,b,c>0 a.b.c=1 Tìm GTLN của:

2 2 2

1 1

P

a 2b b 2c c 2a

  

     

Câu 116: Cho a,b,c>0 a+b+c=3 Tìm GTNN của:

a b2 b c2 c a2

P

c a b

  

  

Câu 117: Cho x,y>0 thoả: x+y=1 Tìm GTNN của: P 31 3 xy x y

 

Câu 118: Cho x

  Tìm GTLN của:

 

f x  2x 5x22 x 3 2x

Câu 119: Cho x,y,z>0 thoả mãn: xyz(x+y+z)=1 Tìm GTNN của: P=(x+y)(x+z)

Câu 120: Cho hai số thực x,y Tìm GTNN biểu thức:

   

10 10 2

16 16 2

2

1 x y

Q x y x y

2 y x

 

      

 

Câu 121: Cho số a,b,c>0 thoả: c2b2a2 Tìm GTNN của:  2

2 2

1 1

P b c a

a b c

 

     

 

Câu 122: Cho phương trình hai ẩn x,y: x22x2xy6y2y2 4 Tìm cặp nghiệm x,y phương trình thoả mãn tổng S=x+y đạt GTNN, GTNN Tính giá trị

Câu 123: Cho phương trình hai ẩn x,y:

2 2

2x 2y x y 6xy4x4y 10 0 Tìm cặp nghiệm x,y phương trình thoả mãn tích P=x.y đạt GTNN

Câu 124: Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x4 – x5 + x – x + > Câu 125: Cho ba số a ,b ,c  [0;1],chứng minh :

a + b + c – ab – bc – ca  Câu 126: Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh :

1 + a3 +

1 + b3 +

1 + c3 ≥

3 + abc

Câu 127: Cho a ,b ,c độ dài cạnh tam giác ,chứng minh : a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 > a3 + b3 + c3

2 a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < (a + b + c)2 9bc với a  b  c a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2ab Câu 128: Cho số a ,b ,c > tùy ý Chứng minh rằng:

a + b + c ≤ ( a

2

b + b2c + c2a + a +

1 b +

1 c ) Câu 129: Chứng minh x (0; /2) ta có:

cosx + sinx + tgx + cotgx + sinx +

1 cosx > Câu 130: Cho số dương a ,b ,c Chứng minh :

(abc + 1)( a +

1 b +

1 c )(

a c +

c b +

b

Tìm GTNN B = x + y + z

Câu 132: Cho x,y,z số dương thỏa x+y+z =1 Tìm GTNN A=4x2+y2+z2

Câu 133: Cho x,y,z số thực dương hay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức :

1 1

2 2

x y z

P x y z

yz zx xy

     

         

 

   

Câu 134: Cho x,y.z biến số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3 3

3

3 3

2 2

4( ) 4( )

4( )

p x y y z

x y z

z x

y z x

    

 

     

 

Câu 135: Cho a>0, b>0, c>0 a2b2c21

Tìm GTNN f a b c

abc

   

Câu 136: Cho x>0, y>0 Tìm GTNN của

2

3 x x y

f

x y x

      

  

Câu 137: Cho 0≤a≤b≤c≤1 Chứng minh: 1 (1 )(1 )(1 ) a b c