Đang tải... (xem toàn văn)
Biết rằng trong thùng chứa 9 khối có dạng hình cầu cùng bán kính, làm bằng chất liệu rất rắn.. Chứng minh rằng nếu cạnh của thùng hình lập phương là a thì đường kính.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ KHÓA NGÀY 19.6.2006
* * * * * MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC
Số báo danh: Phòng:
Bài 1: (2,5 điểm)
a) Tìm số thực u v, biết : u3v3 7 u v 2.
b) Giải phương trình : x2 1x3 x5 9.
Bài 2: (3,5 điểm)
Cho đường trịn (O) có đường kính BD = 2R, dây AC (O) vng góc với BD H Gọi P, Q, R, S theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ H đến AB, AD, CD, CB.
a) Chứng tỏ : HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = 4R2
b) Chứng minh tứ giác PQRS tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh : PR + QS AB + AD
Bài 3: (3 điểm)
a) Đặt √2 = p ;
√2 = q Chứng tỏ :
3
1
1
2 2
p q
p q
q p
b) Chứng tỏ :
3 3 3 2
x y z xyz x y z x y z xy yz zx
với số thực x y z, , .
Suy với a b c, , số dương ta ln có : a b c 33 abc.
c) Phân chia chín số : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, thành ba nhóm tuỳ ý, mỗi
nhóm có ba số Gọi T1 là tích ba số nhóm thứ nhất, T2 là tích
của ba số nhóm thứ hai T3 là tích ba số nhóm thứ ba.
Hỏi tổng : T1 + T2 + T3 có giá trị nhỏ ? Bài 4: (1 điểm)
Một thùng sắt đậy kín hình lập phương Biết thùng chứa khối có dạng hình cầu bán kính, làm chất liệu rắn
Chứng minh cạnh thùng hình lập phương a đường kính
(2)
-Hết -SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ KHÓA NGÀY 19.6.2006
* * * * * MƠN : TỐN
THANG ĐIỂM - ĐÁP ÁN
Câu Nội dung Điểm
1a
(1đ) Ta có :
3 7
u v u v3 3 0,25
u3 và v3 nghiệm phương trình: x2 7x 0 0,25
Do : u3 1;v3 8 u3 8;v3 1 0,25
Vậy: u1;v2 u2;v1 0,25
1b
(1,5đ) Viết lại : x1 x5 x1 x3 9 0,25
x24x 5 x24x3 9 0,25
Đặt : tx24x, phương trình trở thành: t 5 t3 9 hay:
2 2 24 0
t t
0,25
Giải : t6; t4 0,25
Với t 6 x24x6, giải : x 2 10 0,25
Với t4 x24x4,giải : x2 0,25
2a (1đ)
HA2+ HB2 = AB2
HB2+ HC2 = BC2
HC2+ HD2 = CD2
HD2+ HA2 = DA2
0,25
2(HA2+ HB2+ HC2+ HD2 )= AB2+ AD2 + BC2+ CD2 0,25
= 4R2 + 4R2 0,25
Vậy : HA2+ HB2+ HC2+ HD2 = 4R2 0,25
2b
(1đ) Tứ giác HPBS nội tiếp :
HPS HBS DBC. 0,25
HPAQ hình chữ nhật : HPQ HAQ CAD CBD
Do : SPQ HPS HPQ 2DBC
0,25
Tương tự: SRQ 2BDC 0,25
Do DBC BDC 900 nên SPQ SRQ 1800 ∠ SPQ+ ∠ SRQ = 1800 0,25
A
O S
R Q
P H
C
(3)Chú ý: PQRS hình thang cân
2c
(1,5đ) Ta có : PRGọi E trung điểm AB,ta có:HPHP+HR HE = 0,25
2 AB Gọi F trung điểm
CD,
HR HF = 12 CD
0,25
Do : PR 12 AB + 12 CD 0,25
Tương tự :QS 12 BC + 12 AD 0,25
Mà : AB=BC ; AD=CD 0,25
Do : PR + QS AB +AD 0,25
3a
(1đ) Cần chứng tỏ :
1
1
p q
p q
p q q q p
0,25
Hay :
1 p q p q p q
q p q
(*)
0,25
Vế phải (*) :
2
2 p p q 1
p pq q p qp q p q
q q p
0,25
Do : p =2 ; q 3 =2 ; p2 q =
2
q = q ; p q = q
2
p nên (*)
đúng
0,25
Chú ý : Có thể trục mẫu
√2−√32 để chứng tỏ đẳng thức 3b
(1đ) Khai triển vế phải:
2 2
x y z x y z xy yz zx
vế trái 0,25
Ta có :
2 2
2 2 0
2
x y z xy yz zx x y y z z x
0,25
Đặt : x =
√a , y =
√b , z =
√c ; x + y + z >0 a, b, c dương 0,25
Từ x3y3z3 3xyz0hay : a + b + c √3abc . 0,25
3c
(1đ) Ta có :
T1 + T2 + T3 √3T1T2T3 0,25
T1 T2 T3 = 1.2.3.4.5.6.7.8.9 = 72.72.70> 713 0,25
Do : T1 + T2 + T3 > 213 mà: T1 , T2 , T3 nguyên nên :
T1 + T2 + T3 214. 0,25
Ngoài ra:214= 72 +72 +70 =1.8.9 + 3.4.6 +2.5.7,nên giá trị nhỏ
T1 + T2 + T3 214 0,25
4
(1đ) Gọi O tâm hình lập phương (L) xét Dựng hình lập phương(L1) có tâmO, có cạnh song song với cạnh (L) có độ dài cạnh
(4)là a-2r, với r bán kính hình cầu Chín tâm hình cầu nằm (L1) (hoặc mặt)
Chia (L1) thành 8 hình lập phương ba mặt phẳng qua O song
song với mặt (L1) Phải có hình lập phương (L2) chúng
chứa hai tâm hình cầu
0,25
Đường chéo hình lập phương (L2) :
2 (a-2r) √3
Khoảng cách hai tâm hình cầu lớn 2r
0,25
Vì 12 (a-2r) √3 2r hay : 2r a√3
2+√3 =( 2√3 -3)a