[r]
(1)Chuẩn bị thi vào đại học
Giải Phơng Trình chứa nh nào?
Khi bạn giải phơng trình (PT) dạng √ax+b=cx+d , biết
bình phơng vế để khử bậc hai, với PT √ax+b=cx2+dx+e có giải đợc
bằng phơng pháp đợc không? Xin trả lời trừ số trờng hợp đặc biệt Vậy có phơng pháp giải chung khơng ? Đây câu hỏi mà nhiều bạn đọc cha trả lời đợc, Ví dụ giải PT sau:
√9x −5=3x2+2x+3 ,ta đặt √9x −5=3y+1, y ≥−13 , giải PT:
x2− x −2004√1+16032x=2004 , ta đặt √1+16032x=2t −1, t ≥12
Vậy bạn tự hỏi xem lại có đợc phép đặt nh vậy( Đã có chun đề đợc đăng Tốn học tuổi trẻ nói phơng pháp giải) Đặc biệt với bạn học đạo hàm phơng pháp sau giải bớc chọn đặt nhanh nhiều Sau nội dung phơng pháp cụ thể:
D¹ng 1: √ax+b=1
a x
2
+cx+d ,(a ≠0) vµ tháa m·n b+ad=a 2c
2
(
1+c
2
)
(*) XÐt hµm sè y=1ax
2
+cx+d => f '(x)=2
ax+c=0 <=>x=−
ac
2 , phép đặt
√ax+b=y+ac
2 , ta đa PT dạng hệ đối xứng quen thuộc
Chú ý: Khi toán cho điều kiện thỏa mãn Do ta khơng phải kiểm tra điều kiện đó.
VÝ dơ: Gi¶i PT sau: 3x2+x −29
6 =
√
12x+61
36
Làm nháp: f(x)=3x2+x 29
6 => f '(x)=6x+1=0<=>x= Giải: Đặt
√
12x+6136 =y+
6 , y ≥ −
1
6 <=>
12x+61
36 =y
2 +1
3 y+ 36 <=> 12x+61 = 36y2 +12y +1 <=> 3y2 + y = x +5 (1)
Mà theo cách đặt ta có: 3x2+x −29
6 =y+
6 <=> 3x2 + x = y +5 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ:
¿
3y2
+y=x+5
3x2+x=y+5
¿{
¿
=> 3(y2 – x2) + ( y – x) = x – y
<=> (x-y)(3y + 3x +2) = <=> y = x hc y=−3x+2
3 * Víi y = x => 3y2 = =>y = x =
√
53 ,( y ≥ −
1 ) * Víi y=−3x+2
3 => 3x2 + x =
3x+2
(2)=> x1,2=−3±√126
9 Từ ta tìm đợc y kết luận đợc nghiệm PT cho Dạng 2: √ax+b=cx2+dx+e ,(a ≠0, c ≠0, a ≠1
c)
XÐt f(x) = cx2 + dx + e => f’(x) = 2cx + d = => x=− d
2c , phép
đặt √ax+b=2 cy+d
VÝ dơ1: Gi¶i PT sau: 9x 5=3x2+2x+3
Làm nháp: f(x) = 3x2 + 2x + =>f’(x) = 6x + = =>x = - 1/3.
Giải: Đặt 9x −5=3y+1, y ≥−1
3
=> 9x – = 9y2 +6y + <=> 9y2 + 6y = 9x – <=> 3y2 + 2y = 3x – (1)
Mặt khác ta có: 3x2 + 2x + = 3y +1 <=> 3x2 + 2x = 3y – (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ
¿
3y2
+2y=3x −2
3x2+2x=3y −2
¿{
¿
đến xin dành cho bạn đọc tự giải nh ví dụ
VÝ dơ 2: Gi¶i PT sau: x2
− x −2004√1+16032x=2004
(Thi chän HSG Bắc Giang năm học 2003 2004) Làm nháp: XÐt hµm sè f(x) = x2 – x – 2004 => f’(x) = 2x – = <=> x =
1
Do a ≠1
c , nên ta sử dụng phơng pháp đặt:
Gi¶i: §Ỉt √1+16032x=2t −1, t ≥1
2 => t2 t = 4008x, (1)
Mặt khác từ PT ta cã: x2 – x – 2004 = 2004( 2t – 1) => x2 – x = 4008t,(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ PT sau:
¿
t2− t=4008x
x2− x=4008t
¿{
¿
=> (t2 – x2) – (t – x) = 4008(x – t)
<=> (t – x)[ t + x – + 4008] = <=> t = x hc t = - x – 4007
* Víi t = x ta cã: x2 – 4009x = <=> x = vµ x = 4009 Ta cã x = kh«ng tháa
m·n
* Víi t = - x – 4007=> x2 – x = 4008(- x- 4007) <=> x2 +4007x – 4007.4008
= => PT v« nghiƯm
KL: PT cho có nghiệm x = 4009. Dạng 3: √3ax+b=cx3+dx2+ex+m,(a ≠0, c ≠0, a=1
c)
XÐt hµm sè f(x) = cx3
+dx2+ex+m => f’(x) = 3cx2 + 2dx + e
=> f’’(x) = 6cx + 2d = => x=− d
(3)3
√ax+b=y+ d
3c
VÝ dơ: Gi¶i PT sau:
√
33x −638 =
x3
3 − x
2 +9
4 x Làm nháp: Xét hµm sè f(x) = x3
3 − 2x
2 +9
4 x => f’(x) = x
2 - 3x +9/4 =>
f’’(x) = 2x – = <=> x=3
2 Giải: Đặt
3 3x 638 =y
2 => 3x −
63 =y
3
−9
2 y
2 +27
4 y − 27
8 <=> 3x −9
2=y
3
−9
2 y
2 +27
4 y <=> 12x – 18 = 4y3 – 18y2 + 27y, (1) Từ PT cho theo cách đặt ta có: y −3
2=
x3
3 − 2x
2 +9
4x
<=>12y – 18 = 4x3 – 18x2 + 27x, (2).
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ:
¿
12x −18=4y3−18y2+27y
12y −18=4x3−18x2+27x
¿{
¿
( việc giải hệ xin dành cho độc giả)
D¹ng 4: √3ax+b=cx3+dx2+ex+m,(a ≠0, c ≠0, a≠1
c)
XÐt hµm sè f(x) = cx3
+dx2+ex+m => f’(x) = 3cx2 + 2dx + e
=> f’’(x) = 6cx + 2d = => x=− d
3c , Khi phép đặt:
3
√ax+b=3 cy+d
Ví dụ: ( Toán học Tuổi trẻ Tháng năm 2001) Giải PT sau: 381x 8=x32x2+4
3x 2 Làm nháp: Xét hàm số f(x) = x3−2x2
+4
3x −2 => f’(x) = 3x2 – 4x + 4/3 => f’’(x) = 6x – = <=> x=2
3 a ≠
c
Giải: Đặt
81x −8=3y −2 => 3x = y3 – 2y2 + 43 y ,( Biến đổi tơng tự ta có
hƯ)
¿
3y=x3−2x2+4
3 x 3x=y3−2y2+4
3 y
¿{
¿
=> (x – y)( x2 + xy +y2 - 2x – 2y + 13
(4)Do x2 + xy +y2 - 2x – 2y + 13
3 =
y −2¿2+1
3>0
x −2¿2+1
2¿
x+y¿2+1
2¿ 2¿
, nªn tõ (*) ta cã x = y => 3x
= x3 – 2x2 +
3 x => x1= ; x2,3 = 3±2√6
3
Trên số ví dụ điển hình.Để thành thạo bạn luyện tập qua một số ví dụ dới Hy vọng phơng pháp đem lại cho bạn thành cơng khi giải phơng trình chứa Chúc bạn đạt kết cao học !
Bài tập tự luyện:
Giải phơng trình sau: 1) x2
=2 x+2
2) x2−4x −3=√x+5
3) x3
+2=3√33x −2
4) √3x+1=−4x2+13x −5
5) √x+1=x2+4x+5
6)
√
4x+928 =7x