Đang tải... (xem toàn văn)
CHÖÙNG MINH CAÙC ÑAÚNG THÖÙC TOÅ HÔÏP. A.[r]
(1)I MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍNH CHẤT CỦA C ❑nk , Pn , A ❑nk
Trong phần ta ý số công thức thường sử dụng sau : Cn
k = n !
k !(n − k)! , A ❑n
k = n !
(n − k)! Pn = n! C ❑nk = C ❑n−k −11 + C ❑kn−1 C ❑nk = C ❑nn− k
BT1 : Chứng minh
a) C ❑n−m −11 = m
n C ❑n
m (1 m n) b) C
❑mm+n = C ❑mm+n −1 + C ❑m+n −1
n ( m.n )
HD
a) C ❑n−m −11 =
(n−1)!
(m−1)![(n −1)−(m−1)]! =
(n −1)! (m−1)!(n− m)! = mn m !(n − m)!n ! = mn C ❑nm
b) Sử dụng công thức : C ❑nk = C ❑k −1n−1 + C ❑n−k , ta có : C ❑m+n
m
= C ❑m+n −1 m −1
+ Cmmn1
Lại sử dụng công thức : C ❑nk = C ❑nn− k ta có : C ❑mm −1+n −1 = C ❑(mm++n −1n−1)−(m−1) = C ❑mn+n −1 C ❑mm+n = C ❑mm+n −1 + C ❑mn+n −1
BT2 : Cho a1, a2 , a3, a4 hệ số liên tiếp khai triển (1 + x)n chứng minh a1
a1+a2 + a3 a3+a4 =
2a2 a2+a3
HD
a1 = Cnk =
n !
k !(n − k)! , a2 = Cnk+1 =
n !
(k+1)!(n − k −1)! a3 = Cnk+2 =
n !
(k+2)!(n − k −2)! , a4 = Cn
k+3 = n !
(k+3)!(n− k −3)! a1
a1+a2 =
n ! k !(n − k)![ n !
k !(n− k)!+
n !
(k+1)!(n− k −1)!] =
1 1+n − k
k+1
= kn++11 Tương tự : a3
a3+a4 = k+3 n+1 ,
2a2 a2+a3 =
2(k+2) n+1
a1 a1+a2 +
a3 a3+a4 =
k+1 n+1 +
k+3 n+1 =
2k+4 n+1 =
2(k+2) n+1 =
(2)BT3 :
1) Tìm x thoả mãn : Ax
2 = 2) Tìm x thoả mãn : C1
4x -
1
C5x =
1
C6x 3) Tìm n, k thoả mãn Pn+5
Pn− k = 240A
❑n+3 k+3 4) Tìm n thoả mãn An4+4
(n+2)! <
15
(n −1)! HD
1) Điều kiện : x N, x A2x =
x !
(x −2)! =
(x −2)!(x −1)x
(x −2)! = (x - 1)x = x2 - x - = x =
2) ÑK : x 4, x N x = : C1
4 -
1
C50 = 0,
1
C60 = (loại) x = :
C1 -
1
C51 =
1 -
1 =
1
20 ;
1
C61 =
1
6
1
C41 -
1
C51
1
C61 (loại)
x = : C1
4 -
1
C5
2 = 61 - 101 = 151 ;
1
C6
2 = 151
1
C4 -
1
C5 =
1
C6 (nhaän)
x = C1
4 -
1
C5 =
1 -
1 10 =
3
20 ;
1
C6 =
1
20
1
C4 -
1
C5
1
C6 (loại)
x = : C1
4 -
1
C54 = -
1 =
4 ;
1
C64 =
1
15
1
C44 -
1
C54
1
C64 (loại ) Vậy x =
3) Điều kiện : k n Pn+5
Pn− k = 240A
❑nk++33 (n+5)!
(n − k)!=240
(n+3)! (n − k)! (n + 3)!(n + 4)(n + 5) = 240(n + 3)!
(3)
¿
n=−20(loại)
¿ ¿ ¿ ¿
Vậy n = 11, k số nguyên thoả k 11 4) Điều kiện n N* An+4
4
(n+2)! <
15
(n −1)!
(n+4)! (n+4−4)!
(n+2)!
< 15(n −1)!
n!(n+(n+42)!)! < 15(n −1)! (n + 3)(n + 4) < 15n n2 - 8n + 12 < < n <
Vaäy n = 3, n = 4, n =
BL1 : Giải phương trình:
a) C1
4 x +
1
C5
x = 154 b) Ax
10 +Ax9
A8X =
c) A ❑x2 C ❑xx −1 = 48 d) C ❑1x + C ❑x2 + C ❑3x = 72 x
BL2 : Chứng minh
a) Cn2+k+Cn2+k+1 bình phương số nguyên b) An −1m =Anm−mAn −1m−1
e) Cn k =
Cn −1 k−1 +
Cn −2
k−1 + + Ck−1
k−1
II CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON
1) Công thức nhị thức Niutơn :
(a + b)n = C n
0 an + C n
1 an-1b + + C n
k an-kbk + + C n n bn
2) Các tính chất cơng thức nhị thức Niutơn :
Số số hạng công thức n +
Tổng số mũ a b số hạng số mũ nhị thức Số hạng thứ k + khai triển (a + b)n
Tk+1 = Cnk an-kbk k ≤ n Cn0 + Cn1 + + Cnn = (1 + 1)n = 2n
Cn0 - Cn1 + + (-1)k Cnk + + (-1)n Cnn = (1 - 1)n = 0 C ❑nk = Cnn − k ; C ❑nk = Cn −k−11 + Cn −k 1 ; k Cnk = n Cn −k−11
BT1 : a) Tìm số hạng chứa x1854 trong khai triển x+
√x¿ 2004
¿
(4)b) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển : (
√x + 1x )6 HD
a) Số hạng thứ k khai triển x+√1x¿2004
¿
laø Tk = C2004k−1 x2004-k+1(
1
√x )
k-1 (1 k 2005) Giải phương trình 2004 - k + - k −21 = 1854 ta có k = 101 Vậy số hạng chứa x1854 trong khai triển C
2004 100 x1854
b) Số hạng thứ k + khai triển : C ❑6k ( √3x )6-k(
1
x )k (0 k 6, k N) Để tìm số hạng khơng chứa x ta giải phương trình :
6− k3 - k = - k - 3k = = 4k k = 32 (loại ) Khơng có số hạng không chứa x khai triển
BT2 : Tìm số hạng tử chứa x35 trong khai triển (x2 + x + 1)20
HD
(x2 + x + 1)20 = [x(x + 1) + 1]20
Số hạng thứ k + khai triển :
C ❑20k x20-k(x + 1)20-k (0 k 20) (*) Số hạng thứ s + khai triển (*)
C ❑20k x20-kC ❑20− ks x20−k − s = C ❑20k C ❑20− ks x40−2k − s (0 s 20 - k) (**) Để có số hạng chứa x35 ta phải có
40 - 2k - s = 35 2k + s = với k, s thoả mãn (*) (**) (k = 0, s = 5), (k = 1, s = 3), (k = 2, s = 1)
Vậy số hạng tử chứa x35 trong khai triển (x2 + x + 1)20
(C ❑200 C ❑520 + C ❑120 C ❑193 + C ❑202 C ❑181 )x35 = 38304 x35
BT3 : Tìm số hạng khơng chứa x khai triển (1 + 6x + x)10
HD
Đặt x + 6x = t, ta co ù:
(1 + 6x + x)10 = (1 + t)10 = C 10
0 + C 10
1 t + C 10
2 t2 + … + C
10k tk + … + C1010 t10 (*)
Với tk = (
(5)Số hạng thứ s + khai triển (**) Cks ( x )k-sxs = 6k-s Cks
xk − s (0 k 10; s k)
Muốn có số hạng khơng chứa x khai triển (**) ta phải có:
s = k - s k = 2s, giá trị k 0, 2, 4, 6, 8, 10 giá trị s tương ứng 0, 1, 2, 3, 4,
Vậy số hạng cần tìm (1 + C10
2 C2
1 6 + C10
4 C4
2 62 + C 10
C6
3 63 + C 10
C8
4 64 + C 10 10
C10 65) = 6995053
BT4 : Tìm số hạng chứa x20 khai triển : (1 + x + x3 + x4)10
HD
Ta coù :
(1 + x + x3 + x4)10 = (1 + x)10(1 + x3)10 (1 + x)10 = a0+ a1x+… + a10x10 (1) (1 + x3)10 = b0+ b3x3 + … + b30 x30 (2)
Muốn có số hạng chứa x20 khai triển tích (1 + x)10(1 + x3)10, ta phải lấy số hạng bậc k (1) nhân với số hạng bậc 20 - k (2) Vì số hạng chứa x20 khai triển cho :
(b12a8 + b15a5 + b18a2)x20 = ( C
104 C108 + C105 C105 + C106 C102 ) x20 BL : 1) Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển (
x3 + √x
5 )n bieát C ❑nn++41 -C ❑nn+3 = 7(n+3)
HD : Từ C ❑n+4 n+1 -C
❑n+3
n =7(n+3) tính n = 12 ĐS : C
❑128 (ĐH 2003) 2) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển (2 + x + 2x )12
3) Tìm số hạng tử chứa x30 trong khai triển (x2 + x + 1)20
BT5 : Cho khai trieån : (1 + 2x)13 = a0 + a1x + ….+ a13x13 Tìm Max, Min {a
0, a1, , a13} HD
P(x) = (1 + 2x)13 = a0 + a1x + … + a13x13 = C13
i 2i với i = 0, 1, … , 13
Xét tính đơn điệu dãy a0, a1, …, a13 Ta có : ai+1 - = C ❑13
i+1 2i+1 - C 13
i 2i = 13!
(i+1)!(12−i)!
i+1 - 13!
i !(13−i)! 2i = 13!
i !(12−i)! 2i (
2
i+1 -
13−i )
= 13i !(!12−i)! 2i 25−3i
(6)ai+1 - < 25 - 3i < i > 253 a9 > a10 > … > a13 Vaäy Maxa0, a1, … , a13 = a9
Vì a13 a0 =
213
1 > a13 > a0
Vaäy Mina0, a1, … , a13 = a0
Chú ý :Vì dãy a0, a1,…, a13 giữ nguyên dấu dương, nên để xét tính đơn điệu ta so sánh tỉ số ai+1
ai số
BT6 : Cho khai trieån P(x) = (1 + 6x)13 = a0 + a1x + ….+ a13x13 Tính Maxa0; a1; … ; a13 ; Mina0 , a1 , … , a13
HD
Ta coù :
= C13i 6i i = 0, 1, … , 13 ai+1 - = C ❑13i+1 6i+1 - C13i 6i =
13!
(i+1)!(12−i)!
i+1 - 13!
i !(13−i)! 6i = 13!
i !(12−i)! 6i (
6
i+1 -
1
13−i )
= 13i !(!12−i)! 6i 77−7i
(i+1)(13−i) (i = 0, 1, … , 12) ai+1 - 77 - 7i i 11 a0 < a1 < a2 < … < a11 = a12 ai+1 - < 77 - 7i < i > 11 a12 > a13
Vaäy Maxa0; a1; … ; a13 = a12 = a11
Dễ thấy : a0 < a13 Mina0 , a1 , … , a13 = a0
BL : Cho khai trieån (1 + 12 x)10 = a0 + a1x + ….+ a10x10 Tìm Max, Min
{a0, a1, , a10}
ÑS : Maxa0 , a1, … , a10 = a3; Mina0, a1, , a13 = a10
III CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC TỔ HỢP
A PHƯƠNG PHÁP : Xuất phát từ đẳng thức (nhị thức Newton) :
(a + b)n = C n
0 an + C n
1 an-1b +…+ C n
k an-kbk +…+ C n n bn
ta thu đẳng thức khác cách cho a, b, n giá trị khác
BT1 : Chứng minh đẳng thức
1) C20m + C22m + … + C2m2m = C21m + C23m + … + C22mm−1 2) 4n = C
n
0 + 3 C n
1 + 32 C n
2 + … + 3k C
nk + … + 3n Cnn
(7)HD
1) Ta co ù: (a + b)2m = C2m0 a2m + C2 m
1 a2m-1b + C2 m
2 a2m-2b2 + + C2 m
2m b2m Cho a = 1, b = -1, ta coù
= C20m - C21m + C22m - … - C22mm−1 + C22mm
C20m + C22m + … + C22mm = C21m + C23m + … + C2m2m−1 2) Ta coù : (a + b)n = C
n
0 an + C n
1 an-1b + … + C
nk an-kbk + … + Cnn bn Cho a = 1, b = 3, ta coù :
4n = C n + 3
Cn
1 + 32 C n
2 + … + 3k C n
k + … + 3n C n n 3) Ta co ù: (a + b)n = C
n
0 an + C n
1 an-1b + … + C
nk an-kbk + … + Cnn bn Cho a = b = 1, n = 2p ta co ù:
(1 + 1)2p = 22p = C ❑ 2P + C
❑12p + C ❑2p2 + C ❑32p + C ❑24p + + C
❑22pp −1 + C ❑22pp (1)
Cho a = 1, b = -1, n = 2p, ta coù : (1 - 1)2p = = C
❑20P - C ❑12p + C ❑2p2 - C ❑32p + C ❑24p - - C ❑22pp −1 + C ❑22pp (2)
(1) cộng (2) vế theo vế ta có: 22p = 2(C
❑20P + C ❑2p2 + C ❑24p + + C ❑22(pp −1) + C ❑22pp ) C ❑20P + C ❑22p + C ❑42p + + C ❑22(pp −1) + C ❑2p2p = 22p-1 (1) trừ (2) vế theo vế ta có:
C ❑12p + C ❑32p + + C ❑22pp −3 + C ❑22pp −1 = 22p-1
BT2 : 1) Tính toång sau : C50 + C51 + 22 C52 + 23 C ❑53 + 24 C ❑54 + 25 C ❑55 (SBT)
2) Tìm số nguyên dương n cho Cn + 2
Cn + 4
Cn
2 +…+ 2n C n
n = 243
HD
1) Ta co ù: (a + b)n = C n
0 an + C n
1 an-1b + … + C
nk an-kbk + … + Cnn bn Cho a = 1, b = 2, n = ta coù :
(1 + 2)5 = C +
C5 2 +
C5
2 22 + C
❑5
3 23 + C
❑5
4 24 + C
❑5 25 C5
0 + 2 C5
1 + 22 C
2 + 23 C ❑5
3 + 24 C ❑5
4 + 25 C ❑5
5 = 35 = 243 2) Ta coù : (a + b)n = C
n
0 an + C n
1 an-1b + … + C
nk an-kbk + … + Cnn bn Cho a = 1, b = ta co ù:
(1 + 2)n = 3n = C n +
Cn 2 +
Cn
2 22 + … + C n n 2n Cn
0 + 2 Cn
1 + 4 Cn
2 + … + 2n C n n = 3n 3n = 243 n =
B PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT
BT3 : a) Chứng minh : C2nn = Cn0 Cnn + Cn1 Cnn −1 + … + Cnn Cn0 = (
Cn0 )2 + ( C1n )2 + + ( Cnn )2
b) Chứng minh : C ❑100 C ❑1520 + C ❑110 C ❑1420 + C ❑102 C ❑1320 + + C
(8)HD
a) Ta coù : (1 + x)n = Cn0 +
Cn1 x + ….+ Cnn xn (*) (1 + x)m = C
m +
Cm1 x + … + Cmm xm (**)
Muốn có hạng tử chứa xk khai triển tích (1 + x)n(1 + x)m , ta phải lấy hạng tử bậc k - s (*) nhân với hạng tử bậc s (**) với s = 0, 1, , k Vậy hệ số xk khai triển tích (1 + x)n(1 + x)m là
ck = Cn0 Cmk + Cn1 Cmk−1 +….+ Cnk Cm0 (k m, k n) Theo nhị thức Newton, khai triển (1 + x)n+m øhệ số của xk C
nk+m Vì : (1 + x)n(1 + x)m = (1 + x)n+m
Cn+m k =
Cn
Cm k +
Cn
Cm
k−1 +….+ Cn
k Cm
0 Cho k = m = n, ta coù :
C2nn = Cn0 Cnn + Cn1 Cnn −1 + … + Cnn Cn0 = ( Cn0 )2 + ( Cn1 )2 + + ( Cnn )2
b) Ta coù : (1 + x)10 = C
❑10 + C
❑10
1 x + C ❑10
2 x2 + + C ❑10
10 x10 (1 + x)20 = C
❑200 + C201 x + C202 x2 + + C ❑2020 x20
Tương tự câu a, hệ số x15 trong khai triển tích (1 + x)10(1 + x)20 C ❑100 C ❑1520 + C ❑101 C ❑1420 + C ❑102 C ❑1320 + + C ❑1010 C
❑20
Theo nhị thức Niutơn, khai triển (1 + x)30 hệ số x15 C
❑3015 Mặt khác ta có : (1 + x)10(1 + x)20 = (1 + x)30
C ❑100 C ❑1520 + C ❑101 C ❑1420 + C ❑102 C ❑1320 + + C ❑1010 C ❑520 = C ❑3015
BL : 1) Chứng minh : Cm
0 Cn
k +Cm
1 Cn
k −1 +Cm
2 Cn
k −2
+ +Cm m
Cn k −m
=Cm+n
k (Với m k n) 2) Chứng minh : C2n
0
+ C2n
+ C2n
+ + C2n 2n
= C2n
+ C2n
+ + C
❑2n2n −1
HD : Khai trieån (1 - x)2n vaø cho x =
3) Tìm số hạng chứa x20 khai triển(1 + x2 + x3 + x5)10 4) Tìm số hạng chứa x10 khai triển (1 + x + x3 + x4)4 ĐS : ( C14C43+C44C42 )x10
5) Hãy tính hệ số a12 khai triển (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + … + a15x15 6) Đa thức P(x)=(1 + x + x2)10 viết lại dạng a0 + a1x +…+ a20x20.Tìm a4 (ĐH 2002)