Từ đó nêu định nghĩa véc 3 tơ
(1)Phần I: VÉC TƠ I/ Phần tự học với SGK(1 buổi) Bạn hãy tự đọc SGK và trả lời các câu hỏi sau: Câu hỏi: là gì? Véc tơ là gì?Kí hiệu Độ dài véc tơ là gì? Kí hiệu Véc tơ không là gì? Kí hiệu Véc tơ đơn vị là gì? Kí hiệu Câu hỏi: Như nào là? Hai véc tơ nào gọi là: cùng phương? Cùng hướng? Bằng nhau?Đối nhau? Vẽ véc tơ, đó có véc tơ và véc tơ không véc tơ Điền vào chỗ còn thiếu: Một véc tơ hoàn toàn xác định biết … Tổng véc tơ a) Vẽ véc tơ tổng (Bằng cách) 𝑎 𝑏 b) Vẽ véc tơ tổng véc tơ: c) Vẽ véc tơ tổng véc tơ: ( Bằng cách) 𝑎 𝑏 𝑐 Từ việc vẽ thành thạo các véc tơ tổng, hãy: - Định nghĩa: tổng véc tơ, hiệu véc tơ.Nêu các tính chất phép toán - Trong mặt phẳng cho điểm M,N,P tuỳ ý Viết biểu thức quy tắc điểm và mở rộng quy tắc này Cho véc tơ 𝑎 Hãy vẽ các véc tơ 2𝑎 ; ‒ 3𝑎 ; 𝑎 Từ đó nêu định nghĩa véc tơ 𝑘.𝑎 ,nêu các tính chất phép toán này và ĐK để véc tơ cùng phương II/ Hai định lí quan trọng véc tơ ( Điền vào chỗ trống và chứng minh) Định lí 1: ChoM là trung điểm đoạn thẳng AB, I là điểm bất kì Ta luôn có: 𝐼𝐴 + … 𝐼𝑀 = Định lí 2: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta luôn có: 𝐺𝐴 + 𝐺𝐵 + 𝐺𝐶 = … III/ Những thử thách Chứng minh các đẳng thức véc tơ Bài 1: Cho điểm A,B,C,D Gọi M,N,I là trung điểm AB,CD và MN Chứng minh: a) 𝑀𝑁 = (𝐶𝐵 + 𝐷𝐴) b) 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 + 𝑂𝐶 + 𝑂𝐷 = c) 𝐸𝐴 + 𝐸𝐵 + 𝐸𝐶 + 𝐸𝐷 = 4𝐸𝑂 Bài 2: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là điểm bất kì Chứng minh 𝐼𝐴 + 𝐼𝐵 + 𝐼𝐶 = 3𝐼𝐺 Bài 3: Cho tam giác ABC a) M là điểm trên BC cho MB = 2MC Biểu diễn 𝐴𝑀𝑡ℎ𝑒𝑜 𝐴𝐵𝑣à𝐴𝐶 b) P, Q là điểm trên AB và AC cho AP = PB, AQ = 3QC Gọi I là điểm thuộc PQ cho PQ = PI Biểu diễn 𝐴𝐼𝑡ℎ𝑒𝑜 𝐴𝐵𝑣à𝐴𝐶 Lop10.com (2) Bài : Cho tam giác ABC M là điểm đố xứng trọng tâm G qua A ch/m : a) 5𝑀𝐴 ‒ 𝑀𝐵 ‒ 𝑀𝐶 = b) Gọi N là điểm đối xứng B quaG Ch/m : 3𝐴𝑁 = 2𝐴𝐶 ‒ 𝐴𝐵 2 Bài 5: Tam giác ABC Gọi D và E là điểm cho : 𝐵𝐷 = 𝐵𝐶; 𝐶𝐸 = 𝐶𝐴 3 Chứng minh 𝐷𝐸 = (𝐴𝐵 + 𝐴𝐶) Tìm điểm thoả mãn điều kiện cho trước Cho tam giác ABC Xác định các điểm I,K,M biết; a 2𝐼𝐴 ‒ 𝐼𝐵 = ; b 2𝐾𝐴 + 𝐾𝐵 ‒ 𝐾𝐶 = 𝐴𝐵 ; c 3𝑀𝐴 ‒ 2𝑀𝐵 + 𝑀𝐶 = Giải bài toán phương pháp véc tơ Bài 1: Trên các cạnh tam giác ABC lấy các điểm M,N,P cho: 𝑀𝐴 + 3𝑀𝐵 = 6𝑁𝐵 ‒ 𝑁𝐶 = 𝑃𝐶 + 2𝑃𝐴 = a) Tính 𝐴𝑁 theo𝐴𝑀 và 𝐴𝑃 b) Chứng tỏ M,N,P thẳng hàng Bài 2: Cho tam giác ABC Lấy các điểm P,Q cho 𝑃𝐴 = 2𝑃𝐵 ; 3𝑄𝐴 + 2𝑄𝐶 = Chứng minh: PQ qua trọng tâm tam giác ABC IV/ Một vài tham khảo VD1: Tam giác ABC Lấy M,N,P cho: 𝑀𝐵 = 2𝑀𝐶 ; 𝑁𝐴 + 2𝑁𝐶 = ; 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 = a) Chứng minh: 𝑃𝑁 = 𝐴𝐶 ‒ 𝐴𝐵 b) Chứng tỏ M,N,P thẳng hàng Bài giải: Ý tưởng Hiện thực a A a Theo quy tắc điểm ta có: 𝑃𝑁 = 𝑃𝐴 + 𝑃𝑁 (*) P N Mà: 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 = 0→𝑃𝐴 = 𝐴𝐵 B C M 𝑁𝐴 + 2𝑁𝐶 = 0→ 𝐴𝑁 = 𝐴𝐶 Vẽ hình đúng Suy ra: PA=PB; CM=CB; AN=2NC Thay vào (*): 𝑃𝑁 = 𝐴𝐶 ‒ 𝐴𝐵 Có thể biểu diễn 𝐴𝑃 theo 𝐴𝐵 và 𝐴𝑁 theo 𝐴𝐶 b Chứng minh tương tự ta được: Áp dụng quy tắc điểm 𝑃𝑀 = 2𝐵𝐶 + 𝐴𝐵 P,A,N b ĐK để M,N,P thẳng hàng là:2 véc tơ Mà 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 ‒ 𝐴𝐵 Suy 𝑃𝑀 và 𝑃𝑁 cùng phương ↔𝑃𝑀 = 𝑘𝑃𝑁 𝑃𝑀 = 2𝐴𝐶 ‒ 𝐴𝐵 (**) Nhìn vào câu a thấy cần biểu diễn 𝑃𝑀 theo véc tơ 𝐴𝐵 𝑣à 𝐴𝐶 So sánh (*) và (**) ta có: 𝑃𝑀 = 3𝑃𝑁 Chứng tỏ 𝑃𝑀𝑣à𝑃𝑁 cùng phương Vậy điểm M,N,P thẳng hàng VD 2: Cho tam giác ABC Xác định điểm K biết 2𝐾𝐴 + 𝐾𝐵 ‒ 𝐾𝐶 = 𝐴𝐵 (*) Lop10.com (3) Bài giải: Đến đây nên chú ý rằng: Quy tắc điểm là công cụ quan trọng biến đổi véc tơ Ý tưởng Làm nào để xác định K? điểm A,B,C là đã cho, K phụ thuộc vào A,B,C Nhìn vào (*) ta để ý: 𝐾𝐵 ‒ 𝐾𝐶 Và nghĩ tới quy tắc điểm Từ đó biến đổi đơn giản (*) 𝐴𝐵 ‒ 𝐶𝐵 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 𝐾𝐴 =‒ 𝐴𝐾 Có thể làm gọn (*) cách nào khác không ? Với điểm O bất kì, sử dụng quy tắc điểm ta có thể « gom K chỗ » Thử vẽ điểm K : B K A C Hiện thực C1/ Ta có 𝐾𝐵 ‒ 𝐾𝐶 = 𝐶𝐵 ( qt điểm) ( ∗ )↔2𝐾𝐴 + 𝐶𝐵 = 𝐴𝐵 ↔2𝐾𝐴 = 𝐴𝐵 ‒ 𝐶𝐵 ↔𝐴𝐾 =‒ 𝐴𝐶 (**) Vậy K là điểm thoả (**) C2/ Với điểm O bất kì ta luôn có: ( ∗ ) ↔2(𝐾𝑂 + 𝑂𝐴) + (𝐾𝑂 + 𝑂𝐵) ‒ (𝐾𝑂 + 𝑂𝐶) = 𝐴𝑂 + 𝑂𝐵 ↔2𝐾𝑂 =‒ 3𝑂𝐴 + 𝑂𝐶 ↔𝑂𝐾 =‒ (𝑂𝐶 ‒ 3𝑂𝐴) (***) Nếu ta chọn O là A :(***) ↔𝐴𝐾 =‒ 𝐴𝐶 Nếu ta chọn O là C :(***) ↔𝐶𝐾 = 𝐶𝐴 V/ Tích vô hướng véc tơ Bạn đọc sách và cho biết : - Tích vô hướng véc tơ là gì ? Kí hiệu - Tích vô hướng có tính chất gì ? - ĐK để véc tơ vuông góc với Những thử thách Bài : Tam giác ABC cạnh 2a,H là trung điểm BC.Tính 𝐴𝐵.𝐴𝐶 ; 𝐴𝐵.𝐻𝐴 Bài : Tam giác ABC vuông A, AB = a, AC = 2a Tính 𝐵𝐴.𝐵𝐶 Bài 3: Cho tứ giác ABCD Ch/m 𝐴𝐵.𝐶𝐷 + 𝐴𝐶.𝐵𝐷 + 𝐴𝐷.𝐵𝐶 = 0, từ đó suy tam giác đường cao đồng quy Bài 4: Tam giác ABC Gọi H là trực tâm, M là trung điểm BC 𝐵𝐶2 Ch/m 𝑀𝐴.𝑀𝐻 = Bài 5: Gọi a,b,c là độ dài cạnh tam giác ABC CMR: điều kiện cần và đủ để đường trung tuyến BM và CN vuông góc là b2 + c2 = 5a2 Một tham khảo: Tam giác ABC vuông A, đường cao AH Ch/m AB2 = BH.BC (1) Để ý : AB ┴ AC suy AB.AC = ; AH ┴ BC suy AH.BC = 0(2) (Bằng cách nào sử dụng các kết trên để ch/m (1) ?) Do AB2 = AB2; BH và BC cùng hướng nên BH.BC = BH.BC (1) Có thể viết lại AB2 = BH.BC Bài giải: C1/ Sử dụng tam giác đồng dạng Lop10.com (4) C2/ Ta có 𝐵𝐻 = 𝐴𝐻 ‒ 𝐴𝐵; 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 ‒ 𝐴𝐵 (quy tắc điểm) Do đó VP = (𝐴𝐻 ‒ 𝐴𝐵) (𝐴𝐶 ‒ 𝐴𝐵) Sử dụng tính chất phân phối ta VP = 𝐴𝐵2 ‒ 𝐴𝐵.𝐴𝐶 + 𝐴𝐻.𝐵𝐶 Sử dụng kết (2) suy VP = 𝐴𝐵2 = VT Tài liệu này là nội dung nhỏ mà chúng tôi soạn cho học sinh tự học, tự làm việc với SGK có gì sai sót quý thầy cô bổ sung ý kiến giúp Và phần sau còn quý vị nào quan tâm thì truy cập vào trang website trường chúng tôi Trường THPT Nguyễn Khắc Viện – Hương Sơn – Hà Tĩnh Lop10.com (5)