Đang tải... (xem toàn văn)
a) Không có ai ném trúng rổ. d) Có không nhiều hơn 1 người ném trúng rổ. a) Tính xác suất để 2 trong 3 sinh viên đó làm được bài thi. Tính xác suất để sinh viên 1 không làm được bài thi[r]
(1)CHƯƠNG III: XÁC SUẤT
§1 TÍNH XÁC SUẤT THEO CƠNG THỨC CỔ ĐIỂN I Khái niệm xác suất:
Để đánh giá khả xuất biến cố A, người ta gán cho A, số không âm, ký hiệu P(A) gọi xác suất biến cố A
Ta có: 0P A 1
II Cơng thức xác suất cổ điển
1 Biến cố sơ cấp đồng khả năng: biến cố có khả xảy phép thử
Ví dụ: 30 đề thi 10 đề khó, chọn ngẫu nhiên đề số Số biến cố sơ cấp đồng khả số cách chọn ngẫu nhiên đề 30 đề thi, ta có C302 435là số biến cố sơ cấp đồng khả
Ví dụ: Tung xúc sắc, mặt có khả xuất nhau, ta có số biến cố sơ cấp đồng khả
2 Công thức xác suất cổ điển
n m A
P a
Trong ma số biến cố thuận lợi cho biến cố A n: số biến cố sơ cấp đồng khả
Ví dụ:
thí sinh thi thuộc 18 25 câu đề cương Đề thi cho cách 25 câu Tính xác suất:
a) Thí sinh trả lời câu b) Thí sinh trả lời câu c) Thí sinh trả lời câu GIẢI:
Số biến cố sơ cấp đồng khả phép thử là: nC253 2300 a) Gọi A biến cố” Thí sinh trả lời câu.”
0.355 35.5%
2300 816 2300
3
18
C
n m A
P a
(2) 0.164 16.4% 2300
378 2300
2
18
C C
n m B
P b
c) Gọi C biến cố” Thí sinh trả lời câu.”
0.985
2300
1
% 98 985 2300 2265 2300
3
0 18
7 18
7
18
C C
P C
P or
C C C C
C C n m C
P c
Trong C biến cố thí sinh khơng trả lời câu Ví dụ:
1 túi thi sau chấm có giỏi, khá, trung bình, rút ngẫu nhiên Tính xác suất để:
a) Cả giỏi
b) thuộc loại khác c) thuộc loại GỈAI
0.0886 8.86%
)
% 56 24 2456 )
% 88 00877
0 )
3 20
3
3 20
1 20
3
C
C C C C P c
C C C C B P b
(3)§2 XÁC SUẤT CĨ ĐIỀU KIỆN I Khái niệm:
1 Ví dụ:
1 hộp có 24 viên bi, có 14 viên có vẽ hình trịn, 16 viên có hình tam giác, bi vừa có hình trịn vừa có hình tam giác Lấy ngẫu nhiên từ bình viên bi
Gọi A biến cố “ lấy bi có hình trịn” Gọi B biến cố “ lấy bi có hình tam giác”
Gọi C biến cố “ lấy bi có hình trịn hình tam giác” a) Tính P A ,P B ,P C
b) Bây ta xét tốn: Lấy ngẫu nhiên từ bình bi, tính xác suất để bi lấy có hình trịn với điều kiện có hình tam giác
GIẢI:
24 16 ,
24 14
)P A P B
a
Biến cố “ lấy bi có hình tròn tam giác: A.B
24 P AB
b) Bây với điều kiện bi có hình tam giác, tức phạm vi xét 16 bi có hình tam giác Trong 16 bi có hình tam giác đó, ta quan tâm đến bi có hình trịn, tức số bi vừa có hình trịn hình tam giác Ta ký hiệu xác suất biến cố A với điều kiện biến cố B xảy A/B Trong toán xác suất biến cố bi có hình trịn với điều kiện bi có hình tam gíac là:
16 B A
P , mặt khác lập tỷ số
B P
B A P B A P B
P B A
P
16
24 16 24
(4)A, B biến cố liên quan với nhau, xác suất biến cố A với điều kiện B
B P
B A P B A
P
Ví dụ:
1 lớp có 60 học sinh, 40 học sinh mặc áo có màu xanh, 10 học sinh mặc áo có xanh lẫn trắng Chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất để học sinh áo có màu trắng với điều kiện áo em có màu xanh
GIẢI
Gọi A biến cố “ học sinh chọn mặc áo trắng” Gọi B biến cố “ học sinh chọn mặc áo xanh”
A.B biến cố “ học sinh chọn mặc áo trắng lẫn xanh”
Xác suất để học sinh áo có màu trắng với điều kiện áo em có màu xanh:
0.25 25%
60 40 60 10
B P
B A P B A
(5)§3 CƠNG THỨC CỘNG VÀ NHÂN XÁC SUẤT I Biến cố độc lập:
1 A, B gọi biến cố độc lập nếu: P B A
B P A P B A
P , Nói cách khác việc xảy
ra biến cố A không ảnh hưởng đến việc xảy hay không xảy biến cố B
2 Tính chất: Nếu A, B biến cố độc lập A,B,A,B , A,B biến cố độc lập
3 Ví dụ:
Gọi A,B,C biến cố ném trúng rổ người chơi bóng rổ tương ứng Ta có A,B,C biến cố độc lập khả chơi bóng người độc lập Tung đồng xu n lần Kết lần tung biến cố độc lập
II Công thức nhân:
1
1
1
2
2
1
)
)
)
n n
n P A P A A P A A A P A A A A A
A A P
AB C P A B P A P C B A P
B A P B P A B P A P B A P
Hệ quả:
1) Nếu A1,A2,,An biến cố độc lập PA1.A2An P A1 P A2PAn 2) Nếu A, B biến cố xung khắc A.BPA.BP 0
Ví dụ:
1 lơ hàng có 20 sản phẩm, có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên lần, lần sản phẩm khơng hồn lại Tính xác suất để phế phẩm
GIẢI:
Gọi A, B biến cố lấy phế phẩm lần thứ thứ Để kết phép thử phế phẩm biến cố A,B phải đồng thời xảy Tức A.B biến cố “ lấy phế phẩm”
0.0158 1.58%
19 20
3
A B P A P B A P Ví dụ:
Có hộp bi, hộp có 10 bi ( có bi đỏ), hộp có 15 bi ( có bi đỏ) Lấy ngẫu nhiên hộp bi Tính xác suất để bi đỏ
(6)Gọi A, B biến cố “Lấy bi đỏ hộp hộp 2” Vì hộp 1, riêng lẻ nên biến cố A, B độc lập
Ta có A.B biến cố “ lấy bi đỏ”
0.08 8%
15 10
3
.B P A P B
A P
III Công thức cộng
A B C P A P B P C PAB PAC PBC PABC
P
B A P B P A P B A P
)
)
1
Hệ quả:
1)Nếu A, B biến cố độc lập : A B P A P B P A P B
P
2) Nếu A, B biến cố xung khắc :
.BP AB P
A nên P A B P A P B P A B( )P A( )P B( )
Ví dụ:
1 dây chuyền sản xuất gồm công đoạn độc lập Xác suất để công đoạn ngừng hoạt động thời gian t 0.01 0.02 Biết dây chuyền ngưng hoạt động có công đoạn ngưng hoạt động Tính xác suất để dây chuyền ngưng hoạt động thời gian t
GIẢI:
Gọi A, B biến cố “Công đoạn ngưng hoạt động thời gian t ” Ta có A, B biến cố độc lập
Khi A+B biến cố “ công đoạn ngưng hoạt động” hay biến cố “ Dây chuyền ngưng hoạt động thời gian t”
ABP A P B P A.P B 0.010.020.010.020.02982.98%
P Ví dụ:
Có hộp bi, hộp có 10 bi ( có bi đỏ), hộp có 15 bi ( có bi đỏ) Lấy ngẫu nhiên hộp bi Tính xác suất để bi đỏ
GIẢI:
Gọi A, B biến cố “Lấy bi đỏ hộp hộp 2” Vì hộp 1, riêng lẻ nên biến cố A, B độc lập
Ta có A+B biến cố “ lấy bi đỏ” biến cố “ Lấy bi đỏ”
0.487 48.7% 15
4 10
3 15
4 10
3
B P A P B P A P B A
P
(7)Ba người chơi bóng rổ, xác suất ném trúng rổ người lấn lượt là: 0.5; 0.6; 0.7 Tính xác suất để:
a) Khơng có ném trúng rổ b) Có người ném trúng rổ c) Có người ném trúng rổ
d) Có khơng nhiều người ném trúng rổ GIẢI:
Gọi A,B,C biến cố “người thứ 1, thứ 2, thứ ném trúng rổ” Ta có A,B,C biến cố độc lập
a) Biến cố “Khơng có ném trúng rổ”:
0.50.40.30.066% P ABC P A P B P C
C B A
b)Biến cố “Có người ném trúng rổ”: A+B+C
{khơng có ném trúng (ABC ), người ném trúng, người ném trúng, người ném trúng}
Ta có PA BC1 PA.B.C10.060.9494%
c)
% 44 44
ABC A BC P A P B P C P A P B P C P A P B P C C
B A P
d) Gọi biến cố “Có khơng nhiều người ném trúng rổ” D
Có trường hợp xảy ra: có ném trúng rổ
Có người ném trúng rổ
% 35 35 44
P ABC ABC A BC P A P B P C D
P
Ví dụ:
Ba sinh viên tham gia kỳ thi khả làm thi người là: 70%; 80%; 90%
a) Tính xác suất để sinh viên làm thi
b) Giả sử có sinh viên làm thi Tính xác suất để sinh viên không làm thi
GIẢI:
a) Gọi A1;A2;A3 biến cố sinh viên 1,2,3 làm thi Gọi A biến cố “chỉ có sinh viên làm thi”
% 39 3
P A A A A A A A A A
(8)b) Biến cố “Sinh viên không làm thi với điều kiện có sinh viên làm thi”:
0.398 0.543 54.3%
3
1
1
A P A A A P A P A A P A A P A A Ví dụ:
Một cửa hàng có 10 bóng đèn, có bóng hỏng Đầu tiên khách hàng mua bóng, sau khách hàng mua bóng Tính xác suất để
a) Trong bóng có bóng hỏng b) bóng hỏng
GIẢI:
a) Có trường hợp xảy ra: KH1: tốt, KH2: hỏng
KH1: hỏng, KH2: 1tốt, 1hỏng Gọi A biến cố “có bóng hỏng”
:
1
A biến cố “khách hàng mua bóng hỏng” :
i
B biến cố “2 bóng khách hàng mua có i bóng hỏng”i0;1;2
% 67 . 6 10 2 10 8 . . 1 2 1 1 1 C C C C C A B P A P A B P A P B A P B A P A P
b) Gọi B biến cố “ có bóng hỏng ”
B
: biến cố “ khơng có bóng hỏng”=” Cả bóng tốt ”
0.4667 53.33%
4667 10 1 B P B P C C A B P A P B A P B P Ví dụ:
Ba sinh viên người có sách giống nhau, để thành chồng chung Nếu sinh viên lấy ngẫu nhiên sách từ chồng sách xác suất để có sinh viên lấy sách
GIẢI:
(9)Ai biến cố không xung khắc khơng độc lập
A biến cố “có sinh viên lấy sách mình” ta có
66.67%
(10)§4 CƠNG THỨC XÁC SUẤT TỒN PHẦN I Cơng thức:
1 Giả sử ta có hệ biến cố đầy đủ xung khắc đôi Ai;i1,n
Ta biết được: P A P B A i n
i
i , 1,
B biến cố đột ngột xảy phép thử có liên quan đến hệ Ai;i1,n
Ta có
n
i i
i P BA A
P B
P
1
( cơng thức xác suất tồn phần)
2 Công thức Bayes
Giả sử biến cố B xảy ra, ta cần tính xác suất Ainào với điều kiện B xảy ra:
B i n
P
A B P A P B A
P i
i
i 1,
3 Mô tả hình học:
B A2 A4
A3 A1
Ta có hệ biến cố đầy đủ xung khắc A1,A2,A3,A4, B biến cố đột ngột xảy ra, có liên quan đến hệ biến cố
1 2 3 4
1
) B B B B
a P B P A P P A P P A P P A P
A A A A
b)
1,4
i
B P
A B P A P B A
P i
(11)Ví dụ:
Một nhà máy sản xuất bóng đèn gồm phân xưởng, phân xưởng sản xuất 50% tổng số bóng đèn, phân xưởng sản xuất 20% tổng số bóng đèn, phân xưởng sản xuất 30% tổng số bóng đèn Tỷ lệ phế phẩm tương ứng phân xưởng 2%, 3%, 4%.Tính tỷ lệ phế phẩm chung toàn nhà máy
GIẢI:
Để xác định tỷ lệ phế phẩm chung toàn nhà máy, ta lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng nhà máy Tính xác suất để sản phẩm phế phẩm
Gọi A1,A2,A3 biến cố “ Chọn sản phẩm phân xưởng 1,2,3” Ta có A1,A2,A3 hệ biến cố xung khắc đầy đủ
A1 0.5,PA20.2,P A3 0.3 P
Gọi B biến cố “ Lấy phế phẩm” Ta có
% 04 03 02 3 2 1 A B P A P A B P A P A B P A P B P
Vậy tỷ lệ phế phẩm nhà máy 2.8% Ví dụ:
Có hộp bi: Hộp 1: Có xanh, đỏ, vàng Hộp 2: Có xanh, đỏ, vàng Hộp 3: Có xanh, đỏ, vàng
a) Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất để bi lấy bi xanh Nếu bi lấy khơng bi xanh, tính xác suất để bi lấy từ hộp
b) Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất để bi lấy có màu khác Trong trường hợp tính xác suất để bi lấy từ hộp thứ GIẢI:
a) Gọi A1,A2,A3 biến cố “ Chọn hộp thứ 1,2,3” ta có hệ A1,A2,A3 hệ biến cố xung khắc đầy đủ
3
1 P A P A A
P
Gọi B biến cố “ Lấy bi xanh ” Ta có
% 48 26 18 15 12 3 3 2 1 A B P A P A B P A P A B P A P B P
(12)
0.2648 33.25% 15
11
2
2
B P
A B P A P B A P
b) Gọi C biến cố” bi lấy có ba màu khác nhau”
% 46 26 6 5 3
3 18
15
12
3
2
1
C C
C
A C P A P A
C P A P A
C P A P C P
0.2646 32.42% 210
3
3 18
3
3
C
C P
(13)BÀI TẬP CHƯƠNG XÁC SUẤT:
CT: Xác suất cổ điển- Xác suất có điều kiện
1) 30 đề thi có 10 đề khó Chọn đề để làm đề thi thức đề thi lại Tính xác suất để
a) Cả đề thi khó b) Có đề thi khó c) Có nhiều đề thi khó
2) Lớp học sinh viên S có 50 sinh viên ( có sv giỏi S1,S2,S3 ) Trong đợt thực tập tới lớp chia làm 10 nhóm, nhóm sinh viên Tính xác suất để:
a) SV S nhóm với sv S1
b) SV S nhóm với sv S1,S2,S3 c) SV S sv S1,S2,S3 nhóm
3) Trong hộp có 12 bóng đèn có bóng hỏng Lấy ngẫu nhiên có thứ tự hồn lại bóng để dùng Tìm xác suất để:
a) Cả bóng hỏng b) Cả bóng hỏng c)Có bóng hỏng d) Chỉ có bóng thứ hỏng
Cơng thức cộng, nhân, xác suất tồn phần:
1) Mơt thiết bị có loại linh kiện
Loại 1: Chiếm 35% tổng số linh kiện Loại 2: Chiếm 25% tổng số linh kiện Loại 3: Chiếm 40% tổng số linh kiện
Cho biết xác suất hỏng ( thời điểm xét) linh kiện loại 1,2,3 là: 15%, 25%, 5% Máy bị hỏng Tính xem loại linh kiện có xác suất hỏng lớn 2) Trong xưởng có máy làm việc Trong 1ca xác suất cần sửa chữa máy 1,máy 2, máy 0.15; 0.1; 0.12 Tính xác suất cho ca làm việc
(14)Loại có hộp hộp có sản phẩm tốt, phế phẩm Loại có hộp hộp có sản phẩm tốt, phế phẩm Loại có hộp hộp có sản phẩm tốt, phế phẩm
a)Lấy ngẫu nhiên hộp, từ hộp lấy sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm tốt b) Gỉa sử lấy sản phẩm tốt Tính xác suất để sản phẩm lấy từ hộp loại 4) Có hộp phấn Hộp có 15 viên tốt viên xấu
Hộp có 10 viên tốt viên xấu Hộp có 20 viên tốt 10 viên xấu
Lấy ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy viên Tính xác suất anhđể a)Viên phấn lấy viên phấn tốt
b)Gỉa sử viên lấy phấn tốt.Tính xác suất để viên lấy từ hộp thứ
5) Các sản phẩm phân xưởng nhà máy đóng thành hộp Mỗi hộp có 10 sản phẩm Tỷ lệ sản phẩm loại B phân xưởng 1,2,3 là: 20%; 50%; 30% Một nhân viên lấy mẫu mang hộp phân xưởng 1, hộp phân xưởng 2, hộp phân xưởng Một nhân viên khác chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy ngẫu nhiên sản phẩm
a) Tìm xác suất để sản phẩm lấy loại B
b) Nếu sản phẩm lấy loại B Tính xác suất để sản phẩm phân xưởng sản xuất
6)Có hộp bi: Hộp có: xanh, đỏ Hộp có: xanh, đỏ Hộp có: xanh, đỏ
a)Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi Tính xác suất để bi lấy có: a1) Đúng bi đỏ
a2) Có bi đỏ