Nếu có thì ta đã áp dụng việc tìm điểm cố định của một họ đường cong phụ thuộc tham số để nhẩm nghiệm một phương trình bậc cao với tham số.. Thí d ụ 2 (Bài toán ba điểm cố định thẳng h[r]
(1)CHUYÊN
ĐỀ
LUY
Ệ
N THI T
Ố
T NGHI
Ệ
P THPT
VÀ LUY
Ệ
N THI
ĐẠ
I H
Ọ
C, CAO
ĐẲ
NG 2009
Mơn: TỐN
Chun
đề
: BÀI TỐN XÁC
ĐỊ
NH
Đ
I
Ể
M THO
Ả
MÃN
Đ
I
Ề
U KI
Ệ
N CHO TR
ƯỚ
C
I.
M
Ụ
C
Đ
ÍCH CHUYÊN
ĐỀ
Chuyên đề giúp bạn nắm tốn tìm điểm mp Oxy mà thoả mãn thêm điều kiện cho trước
II.
KI
Ế
N TH
Ứ
C C
Ơ
B
Ả
N
Thí dụ Cho họ đường cong:y = x3 + 2(m-1)x2 + (m2 - 4m + 1)x - 2(m2 +1)
Tìm điểm mặt phẳng tọa độ mà họ đường cong qua với m Giải: Gọi ( ,x0 y0) l
m
à điểm cần tìm Khi ta có :
y0=x03+2(m−1)x02+(m2−4m+1)x0−2(m2+ ∀1) , hay m2(x0 - 2) + 2m (x02 - 2x0) + x03 - x02+ x0 - - y0 = ∀m Từ suy hệ phương trình sau để xác định (x0, y0)
x0 - = (1)
x02 - 2x0 = (2) x3
0 - 2x20 + x0 - - y0 = (3)
Từ (1) có x0 = Thay vào (3) có y0 = Thay x0 = vào (2) thấy thoả mãn Vậy, họ đường cong cho qua điểm cố định (2.0)
Nhận xét:
1 Như lược đồ chung đê giải tốn tìm điểm mà họ đường cong qua là: Gọi (x0, y0) điểm mà họ đường cong y = f(x, m) qua với m Từ hệ thức: y0 = f(x0, m) với m dựa vào tính chất Một đa thức P (x) = a0 + a1x + a2x2 +… với x Ù tất hệ số a0, a1….am = Từ suy hệ phương trình để xác định x0, y0 Số nghiệm hệ số điểm cố định cần tìm
0
m m
a x =
2 Ta nhận thấy (2, 0) điểm cố định thí dụ Điều có nghĩa là: Phương trình x3 + 2(m - 1)x2 + (m2 - 4m + 1)x - (m2 + 1) =
với m ln có nghiệm x = Từ suy nhiều trường hợp sử dụng việc tìm điểm cố định để nhẩm nghiệm phương trình bậc cao có tham số:
(2)Như ta biết biết trước nghiệm x0 nó, ta hạ bậc phương trình, việc đơn giản Ta làm sau: Tìm điểm cố định (x0, y0) củ họ y = f(x, m) theo cách Nếu tồn điểm cố định (x0, 0), x = x0 nghiệm Dĩ nhiên điều lúc có Nếu có ta áp dụng việc tìm điểm cố định họ đường cong phụ thuộc tham số để nhẩm nghiệm phương trình bậc cao với tham số
Thí dụ (Bài toán ba điểm cố định thẳng hàng)
Chứng minh họ đường cong sau với m qua ba điểm cố định thẳng hàng
1 y = (m + 2)x3 + 2(m + 2)x2 - (m + 3)x - 2m + 2 y = (m + 1)x3 - (2m - 1)x - m +
3 y = (m - 3)x3 - (m - 3)x2 - (m + 1)x + m
Bài giải
1 Xét họ đường cong y = (m + 2)x3 + 2(m + 2)x2 - (m + 3)x - 2m + Gọi (x0, y0) điểm cố định cần tìm Khi ta có:
y0 = (m + 2)x03 + 2(m + 2)x20 - (m + 3)x0 - 2m + ∀m
Từ lập luận suy hệ phương trình sau để xác định x0, y0 x30 + 2x02 - x0 - = (1)
y0 - 2x30 - 4x20 + 3x0 - = (2) Dễ thấy (1) <=> (x0 + 2) (x20 - 1) =
<=> x0 = -2 , x0 = x0 = -1 Vậy có điểm cố định A (-2, 7); B (1, 4); C (-1, 6) Ta có AB (3, 3);
−−>
= − AC (1, 1)
−−>
= − Vì AB 3AC
−−> −−>
= ; nên A, B, C thẳng hàng
Nhận xét: (2) viết lại dạng:
y0 = (x03 + 2x02 - x0-2) -x0 +5 = Từ (1) suy y0 +x0 -5= (*)
Vậy (1) có nghiệm phân biệt, từ (*) suy điểm cố định thẳng hàng chúng nằm đường thẳng y – x-5
=
Dĩ nhiên với đường cong cho, cách làm trực tiếp đơn giản (vì tính tốn dễ dàng) Tuy nhiên lúc cách làm trực tiếp suôn sẻ
2 Xét họ đường cong y = (m + 1)x3 - (2m - 1)x - m +
Gọi (x0, y0) điểm cố định cần tìm Tính tốn dẫn đến hệ phương trình sau để tìm x0, y0
0
3 0
2 0(3) 0(4)
x x
y x x
⎧ − − =
⎪ ⎨
− + − =
(3)(4) <=> y0 - (x30 - 2x0 - 1) - x0 - = Do (3) suy y0 - x0 - =
Vì (3) Ù (x0 + 1) (x20 - x0 - 1) = 0, nên có nghiệm phân biệt
Vậy đường cong cho có điểm cố định nằm đường thẳng y- x - = 0, nên chúng thẳng hàng
Nhận xét: Dĩ nhiên giải trực tiếp cách tìm nghiệm (3)
(3) Ù x0 = - 1, x0 = ±
Việc tìm y0 theo x0 để phức tạp x0 có nghiệm dạng Sau lại phải dùng phép tính véc tơ để điểm cố định thẳng hàng
Rõ ràng giải trực tiếp có thể, chắn phức tạp hẳn cách ta trình bày
3 Xét họ đường cong y = (m - 3)x3−4(m−3)x2 - (m + 1)x + m
Gọi (x0, y0) điểm cố định cần tìm Ta có hệ sau để xác định x0, y0
0 0 0 0
4 12
x x x
y x x x
⎧ − − + =
⎪ ⎨
+ − + =
⎪⎩
0 Viết lại (6) dạng
y0 + (x30 - 4x20 - x0 + 1) + 4x0 - = Từ (5) suy y0 + 4x0 - =
Bây chứng minh (5) có nghiệm phân biệt Xét f(x) = x3 - 4x2 - x + 1, ta có:
f(-1) = -3 < 0, f(0) = > 0, f(1) = -3 < 0, f(5) = 21 >
Từ tính liên tục f(x) suy phương trình (5) có nghiệm phân biệt
Vậy đường cong có điểm cố định thẳng hàng (vì nằm đường thẳng y + 4x - = 0)
Nhận xét: Trong thí dụ phương pháp tìm điểm cố định cụ thể, chứng minh
chúng thẳng hàng hồn tồn khơng thể làm (vì ta biết (5) có nghiệm phân biệt, tìm nghiệm ấy.)
- Bây ta chuyển sang xét toán: Cho họ đường cong phụ thuộc tham số y = f(x,m) Tìm điểm mặt phẳng toạ độ cho đường họ không qua điểm với giá trị tham số m
Lược đồ chung để giải chúng sau: Gọi (x0, y0) điểm phải tìm, phương trình sau (ẩn m)
y0 = f (x0, m) (1) vô nghiệm
(4)Lưu ý với bạn để làm sáng tỏ kết tìm được, trường hợp , bạn biểu diễn hình học kết tìm mặt phẳng toạ độ Để làm điều này, bạn cần nắm cách biểu diễn miền mặt phẳng toạ độ từ hệ thức cho trước
Ta xét thí dụ sau đây:
Thí dụ Cho họ đường cong y = mx3 + (1 - m)x phụ thuộc tham số m Tìm điểm mặt phẳng toạ độ cho khơng có đường họ qua
Giải : Gọi: (x0, y0) điểm phải tìm Khi phương trình sau (ẩn m) y0 = mx30 + (1 - m)x0 (1) vô nghiệm
Dễ thấy: (1)Ù y0 - x0 = m(x03 - x0) (2)
(1) Ta có phương trình (2) (ẩn m) vơ nghiệm hệ sau thoả mãn x30 - x0 x0 = x0 = 1, x0 = -1
y0 - x0 ≠ y0 ≠x
Vậy điểm cần tìm gồm đường thẳng x = 0, x = 1, x = -1 bỏ điểm A(0, 0) ; B (1; 1) ; C (-1, -1)
Ù
Thí dụ Cho họ đường cong y = x3 - m x3 2+ 2mx + m2 -
Tìm điểm mặt phẳng toạ độ mà họ đường cong không qua với m
Bài giải
Gọi (x0, y0) điểm phải tìm phương trình sau (ẩn m) y0 = x30 - m3x20 + 2mx0 + y0 + m2 - (1) vô nghiệm Viết lại (1) dạng:
m3x20 - m2 - 2mx0 + y0 + - x03 = (2)
Nếu x0 0, (2) phương trình bậc ba Ta biết phương trình bậc ba có nghiệm Vì để (2) (ẩn m) vơ nghiệm, trước hết cần có
≠ x0 =
Khi (2) có dạng : - m2 + y0 + = <=> m2 = y0 + (3)
Vì (3) vô nghiệm Ù y0 + < Ù y0 < -
Vậy điểm (x0, y0) phải tìm thoả mãn hệ sau: x0 =
y0 < -
Đó phần trục tung với tung độ < -1 Thí dụ Cho họ đường cong
y = x3 + 2(m - 1)x2 + (m2 - 4m + 1)x - 2(m2 + 1)
Giải: Tìm điểm mặt phẳng toạ độ cho đường họ không qua điểm
Gọi (x0, y0) điểm cần tìm Phương trình sau (ẩn m):
(5)Viết lại (1) dạng sau:
(x0 - 2)m2 + 2x0 (x0 - 2)m + x30 - 2x20 + x0 - - y0 = (2) Xét khả sau:
1 Nếu x0 = Khi (2) Ù y0 =
Vậy trường hợp phương trình (1) vơ nghiệm
0 x y = ⎧ ⎨ ≠ ⎩
2 Nếu x0 Khi (2) vơ nghiệm ≠
Δ’ = x2
0 (x0 - 2)2 - (x30 - 2x20 + x0 - - y0) (x0 - 2) < Ù (x0 - 2) [x20(x0 - 2) - x30 + 2x20 - x0 + + y0 ] < Ù (x0 - 2) (-x0 + + y0) <
Ù x0 > x0 < y0 < x0 - y0 < x0 -
Tóm lại điểm mặt phẳng toạ độ mà đường họ không qua biểu diễn hai góc đối đỉnh, kể cạnh x = 2, không kể đỉnh A (2, 0) ,và cạnh y = x - Nó biểu diễn đồ thị (các bạn tự vẽ nhé)
III.
BÀI T
Ậ
P V
Ề
NHÀ
Bài Tìm điểm M đồ thị hàm số: x y x + =
− cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang
Bài Tìm đồ thị hàm số: x x y x + + =
+ điểm có toạ độ ngun Bài Tìm đồ thị 3 11
3
x
y= − +x + x− hai điểm phân biệt M, N đối xứng qua trục
tung
Bài Tìm đồ thị 2 x x y x + + =
− hai điểm M, N đối xứng qua điểm 0;
2 I⎛⎜ ⎞⎟
⎝ ⎠
Bài Tìm đồ thị x x y x + + =
+ hàm số điểm có tổng khoảng cách từ đến đường thẳng (d):y + 3x + = nhỏ
Bài Tìm tọa độ điểm M thuộc
x y
x
=
+ (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt hai trục Ox, Oy A, B tam giác OAB có diện tích
4
Tổ Toán Trung tâm BDVH Hocmai.vn
Nguồn: Hocmai.vn
Hocmai.vn