Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)§Ị thi häc sinh giái líp
Bài I (2đ) Rút gọn A 1+2a 1+√1+2a+
1−2a
1−√1−2a Víi a = √3
4
Bài II (6đ) a) Tìm nghiệm nguyên phơng trình 2x2 + 4x = 19-3y2
b) Giải hệ phơng trình x3 =7x +3y
y3 = 7y+3x
Bài III (3đ) Cho x,y,z số không âm x+y+z =1
Tìm giá trị lớn M = xy+yz+zx
Bài IV (6đ) Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB CD) M,N lần lợt thứ tự
là trung
điểm đờng hcéo AC BD , kẻ NH ⊥ AD, MH’ ⊥ BC Gọi I giao điểm MH’ NH Chứng minh I cách điểm C D
Bài V (3đ) Cho a,b,c >0 a+b+c = Chøng minh b+c ≥ 16abc. Híng dÉn chÊm
Bài I (2đ) Thay a =
4 vµo A ta cã:
√3+1¿2 ¿ √3−1¿2
¿ ¿ ¿
2−√¿ ¿
2+√¿ ¿ A= 2+√3
2+√4+2√3+
2−√3 2−√4−2√3=
2+√3
¿
Bài II (6đ) a) (3đ) Tìm nghiệm nguyên phơng tr×nh
2x2 + 4x = 19-3y2 (1)
<=> 2(x+1)2 = 3(7 - y2) (2)
Do 2(x+1)2 ⋮ => 3(7 - y2) ⋮ => y lẽ
(1đ)
Ta lại cã - y2≥ 0 nªn y2 =
Khi phơng trình (2) có dạng: (0.5đ)
2(x+1)2 <=> x =2 hc x = - 4 (1®)
Từ ta có nghiệm (x,y) = (2;1) ,(2;-1), (- 4;1), (- 4;-1) (0.5đ)
b) x3 =7x +3y (1)
y3 = 7y+3x (2)
Lấy (1) - (2) ta đợc: (x-y)(x2 + xy+ y2 -4) =0 (1đ)
* Víi x = y kÕt hỵp víi phơng trình (1) x3 =7x +3y
(2)* Víi x2 + xy+ y2 - =0 céng (1) vµ (2) ta cã
x2 + xy +y2 = x+y = S
đặt (S2≥ 4P)
y3 + x3= 10(y+x) xy = P
Ta cã S2- P - = ThÕ P = S2 - 4
S3 -3SP -10S =
=> S3 - 3S(S2 - 4) -10S = <=> S
1 =0 hc S2 = 1; S3 =-
(0.5®)
* S1 = => P1 = - Khi x,y nghiệm phơng trình (0.5đ)
X2 - = => x =2 hc x = -
y = -2 y =
* S2= => P2 = -3 Khi x,y nghiệm phơng trình
(0.5®)
X2 - X -3 = => x = 1+√13
2 hc x =
1−√13
y = 1−√13
2 y =
1+√13
* S3= -1 => P3 = -3 Khi x,y nghiệm phơng trình
(0.5®)
X2 + X -3 = => x = −1+√13
2 hc x =
−1−√13
y = −1−√13
2 y =
−1+√13
Vậy hệ cho cú nghim
Bài II (3đ) Ta có (x+y+z)2 = x2 +y2 +z2 +2(xy+yz+zx) = 1
=> 2M = 1- (x2 +y2 +z2)
(0.5đ)
Mặt khác: x2 +y2 +z2 = x
2
+y2 ++
z2+y2 +
x2+z2
2 ≥ xy+yz+zx
(1®)
=> 2M ≤ 1- (xy+yz+zx) =>3M ≤ (0.5®)
=>M ≤ 1/3 Vậy GTLN M = 1/3xảy chØ x =y =z = 1/3 (1®)
Bài IV (6đ)
(3)Hạ AP ⊥ BC ; BQ ⊥ AD Tõ gi¶ thiÕt ta có:
H trung điểm DQ; H trung ®iĨm cđa CP (1®)
Ta cã tø gi¸c ABPQ néi tiÕp => gãc(ABP) + gãc (DCB) = 180o
(1®)
mà góc(ABP) = góc (DCB) (đồng vị) => góc(AQP) + góc (DCB) = 180o
(1đ)
Hay tứ giác DCPQ nội tiếp (1đ)
Lại có HN, MH trung trực cđa DQ,PC (1®)
Suy I =HN ⋂ H’M tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác DCPQ (1đ)
=> I cách D C
Bài V
Từ giả thiết ta có = [ a+(b+c)]2≥ 4a(b+c) v× (a+b)2 ≥ 4ab
=> b + c ≥ 4a(b+c)2 (1) b+c >
(1đ)
Lại có (b+c)2 ≥ 4bc (2)
(0.5®)
Tõ (1) vµ (2) => b + c ≥ 4a.4bc hay b + c ≥ 16abc (®pcm) (0.5®)
DÊu = x¶y <=> a = b+c b = c
(1®)