[r]
(1)Chuyờn :
Phơng trình quy phơng trình bậc hai
I Ph ơng trình đại số bậc cao
Ta gọi phơng trình đai số bậc n phơng trình đa đợc dạng anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 = 0
trong n số nguyên dơng ,x ẩn , a1, a2, …,an số thực cho trớc, a Phơng trình đại số bậc cao thờng đợc giải cách qui phơng trình bậc bậc hai
Sau đay số phơng pháp thờng đợc dùng để giải phơng trình bậc cao hn hai
1) Đ a ph ơng trình tích
Ví dụ : Giải phơng trình x3 + 2x2 + 2
√2 + √2 = Gi¶i: x3 + 2x( x +
√2 ) + √23 = 0
(x + √2 )(x2 - x √2 + 2) + 2x(x + √2 ) = 0 (x + √2 ) [ x2 + (2 - 2 )x + 2] = 0
Phơng trình x + √2 = cã nghiÖm x = - 2
Phơng trình x2 + ( 2-
√2 )x + = vô nghiệm ( Δ <0) Vậy phơng trình cho có nghim x = - 2
2) Đặt ẩn phụ :
Ví dụ : Giải phơng trình √2 x3 + 3x2 – = 0 Gi¶i :
Viết phơng trình cho dới dạng √2 x3 + 3.2x2 – = Đặt y = x
2 , ph-ơng trình trở thành
y3 + 3y2 – = ( y – 1)( y + 2)2 =
y=1 ¿
y=−2 ¿ ⇔
¿
x=√2
2
¿
x=−√2 ¿ ¿ ¿ ¿ Kết luận : Vậy phơng tình có hai nghiƯm √2
2 vµ - √2
VÝ dụ : Giải phơng trình (x + 1)4 = 2(x4 + 1) Gi¶i :
Khai triển rút gọn đợc : x4 - 4x3 - 6x2 – 4x +1 = 0
Chia hai vế cho x2 ( hiển nhiên x x = không nghiệm (1)) đợc : x2 - 4x - -
x+
1
x2 = x
2 +
x2−4(x+
1
x) - =
Đặt x +
x = y
Th× x2 +
(2)Với y = ± √3 ,thay vào (3) ta đợc
x2 – 2(1 + √3 )x + = x = + √3 ± √3+2√3 Víi y = - 3 ,thay vào (3) ,phơng trình vô nghiệm
Kt luận : Phơng trình cho có nghiệm x = 1+ √3 ± √3+2√3
Chó ý :
a) phơng trình (1) nói có dạng ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = ( a 0)
gọi phơng trình đối xứng bậc bốn Để giải phơng trình loại , ta chia hai vế phơng trình cho x2 ( x 0) đặt ẩn phụ y = x +
x Khi
y2 = (x +
x )2 = x2 +
1
x2 +2 2+ = , |y|
Chú ý m nghiệm phơng trình đối xứng
m cịng lµ nghiƯm
của phơng trình
b) phơng trình đối xứng bậc lẻ ( chẳng hạn phơng trình đối xứng năm ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = ) nhận -1 nghiệm.Do ta có thể hạ bậc để đa phơng trình đối xứng bậc chẵn
c) Cách chia hai vế phơng trình cho x2 đợc sử dụng ph-ơng trình có dạng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = e
a=( d b)
2
gọi ph-ơng trình hồi quy.ẩn phụ có d¹ng y = x + d
bx
VÝ dụ : Giải phơng trình 4(x+ 5)(x + 6)(x + 10)(x+ 12) = 3x2 (1) Giải
Cách 1 : (1) 4( x2 + 17x + 60)(x2 + 16x + 60) = 3x2
4( x + 17 + 60
x )(x +16 +
60
x ) = (2)
đặt x + 16 + 60
x = y (2) trở thành
4y(y +1) =3 4y2 + 4y – = 0 y =
2 ; y = -3
Víi y =
2 ta cã 2x2 + 31x + 120 = x = -8; x =
−15
Víi y = -
2 ta cã 2x2 + 35x + 120 = x =
35265
Cách 2: Đặt : x2 + 16,5x + 60 = y, từ phơng trình y2 = x2.
Xét hai trờng hợp y =x;y =-x ta đợc bốn nghiệm phơng trình Chú ý
a) Phơng trình (1) nói có dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx2 Trong ad = bc Ta nhóm
[(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)] = mx2. ẩn phụ đặt y = x + ad
x (hoặc sai khác số nh cách 1) y =
(x+a)(x+d) ( nh cách 2)
b) Đối với phơng trình có dạng d(x+a)(x+b)(x+c) = mx (xem 290b) d = a+b+c
2 ; m = (d -a)(d-b)(d-c), ta đặt n ph y=x+d
Một nghiệm phơng trình y =
c) Đối với ác phơng trình có dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m a+b=c+d (xem 289a,b,c,d) ta nhóm [(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)] =m,
(3)d) Đối với phơng trình có dạng (x+a)4 + (x+b)4 = c (xem 291b,c,d) ta th-ờng đặt ẩn phụ y= x+ a+b
2
3) § a hai vÕ vỊ l thõa cïng bËc
ví dụ89: Giải phơng trình x4 = 24x + 32. Giải: Thêm 4x2 + vào hai vế đợc
x4 + 4x2 + = 4x2 + 24x + 36.
2x+6¿2⇔ ¿
x2+2=2x+6(1) ¿
x2
+2=−2x −6(2) ¿
¿ ¿
x2+2¿2=¿ ¿ ⇔¿
Phơng trình (1) có nghiệm x= 1±√5 ,phơng trình (2) vơ nghiệm Kết luận: phơng trình cho có nghiệm x= 15
Ví dụ 90 Giải phơng trình: x3 + 3x2 -3x +1 = 0. Gi¶i: x3 = -3x2 +3x -1 ⇔2x3−3x2
+3x −1
x −1¿3⇔x.√32=x −1⇔x=
1−3
√2
x√32¿3=¿ ⇔¿ 4) Dùng bất đẳng thức:
a) Dùng tính đồng biến nghịch biến hàm số khoảng Ví dụ 91 Giải phơng trình: |x −8|5+|x −9|6=1 (1)
|x −8|5+|9− x|6=1
Dễ thấy x=8,x=9 nghiệm (1) Xét giá trị lại x a) Với x<8 |9− x| >1, |9− x| 6 >1, cịn
|x −8|5>0 nªn vế trái (1) lớn 1, (1) vô nghiệm
b) Víi x>9 th× |x −8| >1, |x −8|5>1 , |9 x|6>0 nên vế trái (1) lớn 1, (1) vô nghiệm
c) Với 8<x<9 0<x −8<1⇒|x −8|
<|x −8|=x −8,
0<9− x<1|9 x|6<|9 x|=9 x Vế trái (1) nhỏ x- + - x =1 , (1) v« nghiÖm VËy (1) cã hai nghiÖm: x= 8, x=
b) Dùng điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức khơng chặt Ví dụ 92 Giải phơng trình |x2− x+1|+|x2− x −2|=3 (1)
Gi¶i: Ta cã x2 -x + = x −1
2¿
2
+3
4>0
¿
nªn (1) ⇔ x2− x
+1+|2− x2+x|=3⇔|2− x2+x|=2− x2+x
áp dụng bất đẳng thức |A|≥ A , xảy đẳng thức với A ,ta có 2− x2+x ≥0⇔(x+1)(x −2)≤0⇔−1≤ x ≤2
VËy nghiÖm phơng trình giá trị thoà mÃn 1 x 2
II - Ph ơng trình chứa Èn ë mÉu thøc:
(4)1) Chia tử mẫu phân thức cho x: Ví dụ Giải phơng trình
2x
3x2 x+2
7x
3x2+5x+2=1 Giải: ĐK: x 1, x 2
3 Ta thấy x=0 nghiệm phơng trình.Chia
t v mu ca phân thức cho x0 đợc
2 3x −1+2
x
−
3x+5+2
x
=1
Đặt 3x+2+
x=y ,phơng trình trở thành
2
y 3
y+3=1 ĐK: y ±3 Bạn đọc tự giải tiếp
Đáp số: x=1197
6
Ta thờng sử dụng phơng pháp với dạng sau: D¹ng 1: mx
ax2+bx+d+
nx
ax2+cx+d=p D¹ng 2: ax
2
+mx+c
ax2+nx+c +
ax2+px+c
ax2+qx+c=0 D¹ng 3: ax
2
+mx+c
ax2
+nx+c +
px ax2
+qx+c=0
2) Thêm biểu thức vào hai vế để tạo thành bình ph ơng ỳng:
Ví dụ Giải phơng trình:
x+2¿2 ¿ ¿
x2+4x
¿
Giải: ĐK: x 2 Thêm 2 x 2x
x+2 vào hai vế đợc (x − 2x
x+2)
=12− 4x
x+2⇔(
x2
x+2)
+ 4x
x+2−12=0 Đặt x2
x+2=y ,ta c y
+4y −12⇔y=2 hc y=−6
Với y=2 ta đợc x2
=2x+4 ,có nghiệm x=1±√5 Với y=-6 ta c x2=6x 12 ,vụ nghim
3.Đặt ẩn phụ tìm liên hệ chúng Ví dụ Giải phơng trình:
20(x −2
x+1)
−5(x+2
x −1)
2 +48x
2
4
x21=0 (1)
Giải: ĐK: x 1 Đặt x 2
x+1=y ,
x+2
x −1=z ,ta đợc
20y2
−5z2+48 yz=0 (2)
C¸ch NÕu z=0 y=0, loại
Nu z ,chia hai vế (2) cho z2 đợc
y z ¿
2 +48 y
z−5=0
20
(5)Đặt y
z=a ta đợc a=
1 10 , a=
−5
2
Từ tìm đợc y,z,x Đáp số: x=3 ,x=
3
Cách (2) ⇔(10y − z)(2y+5z)=0 Từ tìm đợc x
III- Ph ơng trình vô tỉ:
Phng trỡnh vụ tỉđã đợc nêu Nâng cao phát triển toán tập Sau số ví dụ khỏc
Ví dụ Giải phơng trình : x
√4x −1+
√4x −1
x =2
Giải: Điều kiện: x>1
4
Ta cú bất đẳng thức a
b+ b
a≥2 với a,b>0 Xảy đẳng thức a=b
Víi x>1
4 th× (1) ⇔ x=√4x −1 ⇔x2−4x+1=0⇔x=2±√3 tho¶ m·n (2)
Chú ý: Cũng đặt x
√4x −1=y
VÝ dơ Gi¶i phơng trình x+x+1
2+x+ 4=2
Giải: ĐK: x 1
4 Đặt x+14=y 0 th× x=y2 -
Thay vào phơng trình cho ý y ≥0, ta đợc
y2−1
4+√y
2 +1
4+y=2⇔y
2−1
4+y+ 2=2
¿
y+1
2¿
2 =2 ⇔y2+y+1
4=2⇔¿
Do y nªn y+1
2=√2 Khi x=(√2− 2)
2
−1
4=2−√2 , thoả mÃn điều kiện
x 1
4 Nghiệm phơng trình x= 22
Ví dụ Giải phơng trình
1x+
2 x2=2 Giải: Điều kiện: x 0,2<x<2
Đặt 2 x2 =y>0
Thỡ 2-x2 = y2 Khi ta có: x2
+y2=2 vµ 1x+1y=2
Đặt S=x+y, P=xy, điều kiện trở thành S2 - 2P = S = 2P, x= 1, y=1 thỗ mãn (1) (2)
Với P =1,S=2 x,y nghiệm X2 - 2X + 1=0.Ta đợc X=1, x=1, y=1 thỗ mãn (1) (2)
(6)Víi P= −1
2 , S=−1 x,y nghiệm X2 -2X +1=0 Ta đợc X=
−1±√3
2 Do
y>0 nªn x=−1−√3
2 , y=
−1+√3
2
Kết luận: Nghiệm phơng trình x=1, x 13
2
Ví dụ Giải biện luận phơng trình
a a+x=x (a lµ tham sè)
Giải: Đặt √a+x=y , phơng tình trở thành √a − y=x Phơng trình cho tơng đ-ơng với hệ:
¿
x ≥0, y ≥0,(1)
x2
=a − y ,(2)
y2=a+x.(3) ¿{ {
¿
Khử a từ (2) (3) đợc x2-y2 = -(x+y)(x-y+1)=0 ⇔ y=-x y=x+1. a) TH1: y=-x Do x ≥0, y ≥0 nên x=y=0 Khi a=0
b) TH2: y=x+1 Thay vào (3) đợc
(x+1)2 = a+x ⇔ x2+x+1-a=0 (4) (4) cã nghiƯm x=−1±√4a −3
2 víi a
3
Do (1) ta lo¹i x= −1−√4a −3
2
Giải điều kiện 1+4a 3
2 0 c a 1
Kết luận: Nếu a=0, phơng trình có nghiệm x=0 Nếu a , phơng trình có nghiệm x= −1+√4a −3
2
NÕu a<1 phơng trình vô nghiệm IV- Một số dạng khác:
Ví dụ 100 Tìm giá trị m để tồn số x,y thoả mãn hai phơng trình: 4x-3y=7 (1)
2x2 + 5y2 =m (2) Giải: Rút x (1), thay vào (2) rút gọn đợc 49y2 +42y+(49-8m)=0 (3)
Từ (1) ta thấy tồn y tồn x Do cần tìm điều kiện để (3) có nghiệm Ta phải có
Δ'≥0⇔212−49(49−8m)≥0⇔9−(49−8m)≥0⇔m≥5
VËy víi m tồn số x,y thoà mÃn hai phơng trinh.(1) (2) Ví dụ 101 Tìm cặp số (x,y) thoả mÃn hai phơng trình
x2
+y2=11 (1)
Vµ x + xy +y =3 + √2 (2)
Giải: Nhân hai vế (2) với cộng với (1) đợc (x+y)2 + 2(x+y) =17+8
√2
4+√2¿2
(7)
⇔
x+y=3+√2(3) ¿
x+y=−5−√2(4) ¿
¿ ¿ ¿ ¿
Từ (2) (3) ta có xy=3 √2 Từ x+y =3+ √2 ta tìm đợc hai cặp số (3; √2 ), (
√2;3¿
Từ (2) (4) ta có xy = 8+ 5√2 Khi x − y¿2=x2+y2−2 xy=11−(16+10√2)<0,
¿ v« lí
Có hai cặp số (x,y) thoả mÃn toán (3; 2 , ( 2;3
Nhn xét: Mỗi phơng trình (1) (2) nói không đổi ta đổi chỗ x y cho Trong trờng hợp này, ta thờng tìm tích xy, tổng x+y đa giải ph-ơng trình bậc hai
Ví dụ Tìm cặp số (x;y) thoả mÃn hai phơng trình x2+y+1
4=0 (1)
x+y2+1
4=0 (2)
Giải: Trừ vế (1) (2) đợc
x2 - y2 - x+ y=0 ⇔(x − y)(x+y −1)=0 Nếu x=y, thay vào (1) đợc x+12¿2=0
¿
Ta cã x=y= −1
2
Nếu x+y=1, thay vào (1) Đợc x2 - x+ 1