+ Khi xeùt luyõ thöøa vôùi soá muõ khoâng nguyeân thì cô soá a phaûi döông. + Khi n chaün, moãi soá thöïc döông a coù ñuùng hai caên baäc n laø hai soá ñoái nhau. Coâng thöùc laõi keùp..[r]
(1)›š & ›š
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 TẬP
ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC
(2)Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
1 Định nghĩa luỹ thừa
Số mũ a Cơ số a Luỹ thừa aa
* N nỴ =
a a Ỵ R aa=an =a a .a(n thừa số a)
0
=
a a¹0 aa =a0 =1
) (n N*
n Ỵ
-=
a a¹0 n n
a a
aa = - =
) ,
(m Z n N* n
m Ỵ Ỵ
=
a a>0 a an n am (n a b bn a)
m
= Û = =
=
a
) ,
(
limr r Q n N*
n
n Ỵ Ỵ
=
a a>0 aa =limarn
2 Tính chất luỹ thừa · Với a > 0, b > ta có:
a a a a
a a b
a b a b
a b a b
a b a
b a b
a b
a ab a
a a
a a a
a
a ÷ =
ứ ỗ ố ổ =
= =
= + ; - ; ( ) ; ( ) . ;
· a > : aa >ab Û >a b; < a < : aa >ab Û <a b
· Với < a < b ta có:
m m
a <b Ûm> ; am >bm Û <m
Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ số mũ nguyên âm số a phải khác + Khi xét luỹ thừa với số mũ khơng ngun số a phải dương
3 Định nghĩa tính chất thức · Căn bậc n a số b cho bn =a
· Với a, b ³ 0, m, n Ỵ N*, p, q Ỵ Z ta có:
nab=na bn ; n n ( 0)
n
a a b
b = b > ; ( ) ( 0)
p
n pa = na a> ; m na =mna
( 0)
n p m q
p q
Nếu thì a a a
n m= = > ; Đặc biệt
mn
na = am
· Nếu n số nguyên dương lẻ a < b na <nb
Nếu n số nguyên dương chẵn < a < b na<nb
Chú ý:
+ Khi n lẻ, số thực a có bậc n Kí hiệu na
+ Khi n chẵn, số thực dương a có hai bậc n hai số đối
4 Công thức lãi kép
Gọi A số tiền gửi, r lãi suất kì, N số kì Số tiền thu (cả vốn lẫn lãi) là: C A= (1 )+r N
CHƯƠNG II
HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HAØM SỐ LOGARIT I LUỸ THỪA
(3)Bài 1. Thực phép tính sau::
a) ( ) ( )
3
3 7
1
8 14
A= - ổỗ- ổữ ỗ- ửữ - ổỗ- ửữ
ố ứ è ø è ø b)
( ) ( ) ( ) ( )
2 6 4
6
2
3 15
B= -
-c)
3
2
4
C= + d) ( )
2 5 32 D -=
e) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
7 4
4
18 50 25 27
E= -
- - f)
( ) ( ) ( ) 3
125 16
25
F= -
-é - ù
ê ú
ë û
g) ( )
( ) ( )
2
3
0
3 2
2 5 0,01 10
10 :10 0,25 10 0,01
G - - -+ -= - +
h) ( )( )
1 1 1
3 3 3
4 10 25
H = - + +
i)
4
5
3
4 64
32 I
ỉ
ỗ ữ
ố ứ
= k) 25
3
81 12 18 27 K =
æ
ỗ ữ
ố ứ
Bi 2. Viết biểu thức sau dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:
a) 3x x ,(x³0) b) b a a b3 , ,( 0)
a b ¹ c)
5 32 2 d) 3 23
3 e) 8a f)
5
b b b b Bài 3. Đơn giản biểu thức sau:
a) 1,5 1,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
a b a b
b
a b
a b a b
+
-+ +
- + b)
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5
2 .
1
2
a a a
a
a a a
æ + - + -ỗ ữ ỗ + + - ữ è ø c)
1 1
2 2 2
1 1
2 2
2
x y x y x y y
x y x y
xy x y xy x y
ổ ỗ - + ữ + -ỗ ữ + -ỗ ữ + -ố ứ d)
1 1 1
2 2 2
2
1
2
3 .
2
x y x y x y
x y x y ỉ ç + - ÷ -+ ç - ÷ çỉ ữ ỗ ữ ỗố - ứ ữ ố ứ
e) ( ) ( )
1 2
3 . 3 3.
a -b a +a b +b f) ( ) ( ) ( )
1 1 1
4 . 4 . 2
a -b a +b a +b
g) ( )
( ) ( )
1
1 2 2 2
2
1
a b c b c a
a b c bc
a b c
-ỉ + + + -+ + + ỗ ữ ỗ ữ
- + ố ứ h)
1 1
2 2
1
2
2 (. 1)
1
2
a a a
a
a a a
ổ ỗ + - ữ + -ỗ ữ -ỗ ữ ỗ + + ÷ è ø
Bài 4. Đơn giản biểu thức sau: a) 36a 63b
a b
b)
4 :
ab ab b
ab a b a ab ỉ - -ỗ ữ -+ ố ứ c) 4
a x x a a x a x
a x ax
ỉ +
- + +
ỗ ữ
ỗ + ÷
è ø d)
3
3 3 3 6
6
a x ax a x
a x a ax x x
a x
+ +
- +
(4)-Truong Dinh Dung Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
e)
3
4
4
1
1
x x x
x x x x
x x é - ù ê ỳ ổ ửổ - + ỳ ỗ - ữỗ - ữ ờỗ ữỗ ữỳ - + ờố ứố øú ë û
f) 3 2 32 33
3
2 :
a a a b a b a b ab a
a b a ab é - + - ù ê + ú ê - - ú ë û
g) 3 (6 )
3 23 3
a b ab a b a b a
a ab b a b
-é - + ù
ê - ú - +
ê - + - ú
ë û
Bài 5. So sánh cặp số sau:
a) (0,01)- vaø 10( )- b)
2 4 ỉ ỉ ç ÷ ç ÷ è ø è ø
p p c) 5-2 3vaø 5-3 2
d) 5300 vaø 8200 e) (0,001)-0,3 vaø 1003 f) vaø 0,125( )- g) ( )2 -3 vaø( )2 -5 h)
4
4
5 và
-ỉ ỉ
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ i)
10 11
0,02- vaø50
k) ( ) ( )
1
4
3 1- vaø 1- l)
2
3 vaø
5
-
-ổ ổ
ỗ ữ ỗ ữ
è ø è ø m)
5 10 vaứ 2 ổ ổ ỗ ữ ỗ ÷ è ø è ø p p
Baøi 6. So sánh hai số m, n nếu:
a) 3,2m<3,2n b) ( ) ( )2 m > n c) 1
9
m n
æ >ổ
ỗ ữ ỗ ữ
ố ø è ø
d) 3
2
m n
ỉ ỉ
>
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ e) ( 1) ( 1)
m n
- < - f) ( 1- ) (m< 1- )n Bài 7. Có thể kết luận số a nếu:
a) (a-1)-23 <(a-1)-13 b) (2a+1)-3>(2a+1)-1 c)
0,2 a a -ỉ < ç ÷ è ø
d) (1-a)-13 > -(1 a)-12 e) ( ) ( )
3 2
4
2-a > 2-a f)
1 2 1 a a -ổ ổ > ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ
g) a <a h)
1
17
a- <a- i) a-0,25<a- Bài 8. Giải phương trình sau:
a) 4x =51024 b)
1
5
2 125
x+ ổ
= ỗ ữ
ố ứ c)
1
8
32
x
- =
d) ( )
2
2 1
3
9
x
x ổ ử
-= ỗ ữ
ố ø e)
8 27
9 27 64
x -x
ỉ ỉ
=
ỗ ữ
ỗ ữ ố ứ
è ø f)
2 5 6
3 1
2
x - +x
ỉ
= ỗ ữ
ố ứ
g) 322 0,25
0,125 8
x x- = çỉ
-÷
è ø h) 0,2 0,008
x = i) 7
49
x- x
-ỉ ổ
= ỗ ữ
ỗ ữ ố ø
è ø
k) 2x x =0,001 l) ( 12 3) ( )
x x
= m) 41 1
28
x x
- - =
Baøi 9. Giải bất phương trình sau:
a) 0,1x >100 b) 30,04
5
x
æ > ỗ ữ
ố ứ c)
100 0,3
9
(5)d) 49 343x+2 ³ e)
2
1 9
3 27
x+ ổ
< ỗ ÷
è ø f)
1
9
x <
g) ( )3 27
x
> h) 27 31
3
x -x < i) 13
64
x
ỉ
>
ỗ ữ
ố ứ
Baứi 10.Giải phương trình sau:
a) 2x +2x+2 =20 b) 3x +3x+1=12 c) 5x+5x-1=30 d) 4x-1+4x +4x+1=84 e) 42x-24.4x+128 0= f) 4x+1+22 1x+ =48
(6)Truong Dinh Dung Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
1 Định nghóa
· Với a > 0, a ¹ 1, b > ta có: logab= Ûa aa =b
Chú ý: logab có nghóa ỡ >ớ >ab 0,0 aạ1
ợ
à Logarit thập phân: lgb=logb=log10b
· Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb=logeb (với lim 1 2,718281
n
e
n
ổ
= ỗ + ÷ »
è ø )
2 Tính chất
· log 0a = ; logaa=1; logaab =b; alogab =b b( >0)
· Cho a > 0, a ¹ 1, b, c > Khi đó:
+ Nếu a > logab>logacÛ >b c + Neáu < a < logab>logacÛ <b c
3 Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a ¹ 1, b, c > 0, ta có:
· log ( ) loga bc = ab+logac · loga b logab logac c
ổ
=
-ỗ ữ
è ø · logab = logab
a a
4 Đổi số
Với a, b, c > a, b ¹ 1, ta có:
· log log
loga
b
a
c c
b
= hay log logab bc=logac
· log
log
a
b
b
a
= · logaa c= 1logac(a ¹0)
a
Bài 1. Thực phép tính sau:
a) 2 1
4
log 4.log b) log5 log 927
25 c)
3 loga a
d) 4log 32 +9log 23 e)
2
log f) 27log 29 +4log 278
g)
1/3 log log
log
a a
a
a a
a h) log 6.log 9.log i)
3 81
2 log log
9 +
k) 81log 53 +27log 369 +34log 79 l) 25log 65 +49log 87 m) 53 log 4-
n)
1
log log
9 +4 o) 31 log 4+ +42 log 3- +5log 27125 p)
3
log 3.log 36 q) lg(tan1 ) lg(tan ) lg(tan89 )0 + + +
r) log log (log 16) log log (log 64)8éë 4 2 ùû 2éë 3 4 ùû
(7)Bài 2. Cho a > 0, a ¹ Chứng minh: log (a a+ >1) log (a+1 a+2)
HD: Xeùt A = 1
1
log ( 2) log log ( 2)
log log ( 2)
log (aa 1) a a a a
a a a
a a
a
+ + +
+ +
+ + +
= + £
+ =
= log ( 2) log (1 1)2 1
2
a+ a a+ < a+ a+ =
Bài 3. So sánh cặp số sau: a) log vaø log3 41
3 b)
3
0,1 0,2
log vaø log 0,34 c) 3 5
4
2
log vaø log
5
d) 1 1
3
1
log log
80 vaø 15+ 2 e) log 15013 vaølog 29017 f)
6
1 log
log 2
2 vaø g) log 107 vaølog 1311 h) log 32 vaølog 43 i) log 109 vaølog 1110
HD: d) Chứng minh: 1 1
3
1
log log
80< < 15+ 2 e) Chứng minh: log 150 log 29013 < < 17
g) Xeùt A = 7
7 11
7
log 10.log 11 log 13 log 10 log 13
log 11
=
= 7 7 7
7
1 log 10.11.7 log 10.log 11
log 11 7.7.13 7
ổ
+
ỗ ÷
è ø >
h, i) Sử dụng
Bài 4. Tính giá trị biểu thức logarit theo biểu thức cho: a) Cho log 142 =a Tính log 32 theo a 49
b) Cho log 315 =a Tính log 15 theo a 25
c) Cho lg3 0,477= Tính lg 9000 ; lg 0,000027 ; 81
1 log 100 d) Cho log 27 =a Tính 1
2
log 28 theo a
Bài 5. Tính giá trị biểu thức logarit theo biểu thức cho: a) Cho log 725 =a ; log 52 =b Tính 35
49 log
8 theo a, b b) Cho log 330 =a; log 530 =b Tính log 1350 theo a, b 30 c) Cho log 714 =a; log 514 =b Tính log 28 theo a, b 35
d) Cho log 32 =a; log 53 =b; log 27 =c Tính log14063 theo a, b, c
Bài 6. Chứng minh đẳng thức sau (với giả thiết biểu thức cho có nghĩa): a) blogac =clogab b) log ( ) log log
1 loga a
ax
a
b x
bx
x
+ =
+ c)
log
1 log
logaba a
c
b
c = +
d) log 1(log log )
3
c a b+ = ca+ cb , với a2+b2 =7ab
e) log ( ) log 1(log log )
(8)Truong Dinh Dung Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
f) logb c+ a+logc b- a=2 logc b+ a.logc b- a, với a2+b2 =c2 g)
2
1 1 ( 1)
loga loga loga loga logak loga k k
x x x x x x
+
+ + + + + = .
h) log log log log log log log log log
log
a b c
a b b c c a
abc
N N N
N N N N N N
N
+ + = .
i)
1 lg
10 z
x= - , neáu
1
1 lg lg
10 x 10 y
y= - vaø z= -
k)
2 2009 2009!
1 1
log N +log N + +log N = log N
l) log log log
logab logbc logac
N N N
N N N
-=
(9)
1 Khái niệm
a) Hàm số luỹ thừa y x= a (a số)
Số mũ a Hàm số y x= a Tập xác định D
a = n (n nguyên dương) y x= n D = R
a = n (n nguyên âm n = 0) y x= n D = R \ {0}
a số thực không nguyên y x= a D = (0; +¥)
Chú ý: Hàm số
n
y x= không đồng với hàm số y=nx n N( Ỵ *)
b) Hàm số mũ y a= x (a > 0, a ¹ 1) · Tập xác định: D = R · Tập giá trị: T = (0; +¥)
· Khi a > hàm số đồng biến, < a < hàm số nghịch biến · Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang
· Đồ thị:
c) Hàm số logarit y=logax (a > 0, a ¹ 1) · Tập xác định: D = (0; +¥) · Tập giá trị: T = R
· Khi a > hàm số đồng biến, < a < hàm số nghịch biến · Nhận trục tung làm tiệm cận đứng
· Đồ thị:
0<a<1
y=logax
1 x
y
O
a>1
y=logax
1
y
x
O
0<a<1
y=ax y
x
1
a>1
y=ax
y
x
1
(10)Truong Dinh Dung Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit 2 Giới hạn đặc biệt
·
1
1
lim (1 ) lim
x x
xđ x xđƠ x e
ổ
+ = ỗ + ữ =
ố ứ Ã
ln(1 ) lim x x x ® + = ·
lim x
x e x ® -= 3 Đạo hàm
· ( )xa ¢ =axa-1 (x>0); ( )ua ¢=aua-1.u¢
Chú ý: ( )
1
1
0
n
n n
với x nếu n chẵn
x với x nếu n lẻ
n x
-¢ = ỉ >
ỗ < ữ
ố ứ ( )
n
n n
u u
n u
-¢ = ¢
· ( )ax ¢ =axlna; ( )au ¢=auln a u¢
( )ex ¢ =ex; ( )eu ¢ =e uu ¢ · (log )
ln
a x ¢ = x a ; (loga u)¢ =u alnu¢
(ln x) x
¢ = (x > 0); (ln u) u u
¢ ¢ =
Bài 1. Tính giới hạn sau: a) lim
1 x x x x đ+Ơ ổ ỗ + ữ
ố ứ b)
1 lim x x x x + đ+Ơ ổ + ỗ ữ
ố ứ c)
2 1 lim x x x x -đ+Ơ ổ + ỗ - ữ ố ứ d) 3 lim x x x x + đ+Ơ ổ - ỗ + ữ
è ø e)
1 lim x x x x đ+Ơ ổ + ỗ - ữ
è ø f)
2 lim x x x x đ+Ơ ổ + ỗ - ữ è ø
g) lim ln
x e x x e ® h) lim x x e x ®
- i)
1 lim x x e e x ® k) lim sin x x x e e x -®
- l) sin2 sin
0
lim x x
x
e e
x
®
- m) lim ( )1x 1
xđ+Ơx e -Bi 2. Tớnh o hm ca cỏc hm số sau:
a) y=3 2x + +x b)
1 x y x + =
- c)
2 2 x x y x + -= +
d) y=3sin(2x+1) e) y=cot 13 +x2 f) 3 2 x y x -= +
g) 3sin
4 x
y= + h) y=119 6+ 9x i) 2 1 x x y x x + + = - + Bài 3. Tính đạo hàm hàm số sau:
a) y=(x2-2x+2)ex b) y=(x2+2x e) -x c) y e= -2x.sinx d) y e= 2x x+ e) y x e= . x-31x f)
2 x x x x e e y e e + =
g) y=2 xecosx h) 2
x
y
x x
=
- + i) cos
cotx
(11)Bài 4. Tính đạo hàm hàm số sau:
a) y=ln 2( x2+ +x 3) b) y=log cos2( x) c) y e= x.ln cos( x) d) y=(2x-1 ln 3) ( x2+x) e) 1( )
2
log cos
y= x - x f) y=log cos3( x) g) ln 2( 1)
2
x y
x
+ =
+ h)
( )
ln 1 x y
x
+ =
+ i) ( )
2
ln
y= x+ +x Bài 5. Chứng minh hàm số cho thoả mãn hệ thức ra:
a) ( )
2
2
;
x
y x e= - xy¢ = -x y b) y=(x+1)ex; y y e¢ - = x
c) y e= 4x +2e-x; y¢¢¢-13y¢ -12y=0 d) y a e= -x +b e -2x; y¢¢+ ¢ +3y 2y=0 g) y e= -x.sin ;x y¢¢+2y¢+2y=0 h) y e= -x.cos ;x y( )4 +4y=0
i) y e= sinx; y¢cosx y- sinx y- ¢¢ = k) y e= 2x.sin ;x y¢¢ - ¢ +4y 29y=0
l) ;2
2 x x
y= x e y¢¢ - ¢ + =y y e m) y e= 4x+2e-x; y¢¢¢-13y¢ -12y=0
n) ( )(2 2010 ;) 22 ( )2
1
x xy x
y x e y e x
x
= + + ¢ = + +
+
Bài 6. Chứng minh hàm số cho thoả mãn hệ thức ra:
a) ln ;
1 y
y xy e
x
ỉ
= ỗ ữ Â + =
+
ố ø b)
1 ; ln 1
1 ln
y xy y y x
x x é ù
= ¢ = ë - û
+ +
c) y=sin ln( )x +cos ln ;( )x y xy x y+ ¢ + ¢¢ =0 d)
( ) ( 2 )
1 ln ; 2 1
1 ln x
y x y x y
x x
+
= ¢ = +
-e) 2 ln 1; ln
2
x
y= + x x + + x+ x + y= xy¢ + y¢
Bài 7. Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số ra: a) f x'( ) ( ); ( )= f x f x =e xx( 2+3x+1)
b) f x'( ) f x( ) 0; f x( ) x3lnx x
+ = =
c) f x'( ) 0; ( )= f x =e2 1x- +2.e1 2- x+7x-5
d) '( )f x >g x f x'( ); ( )= +x ln(x-5); ( ) ln(g x = x-1) e) '( ) '( ); ( ) 1.52 1; ( ) ln
2
x x
(12)Truong Ding Dung Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
1 Phương trình mũ bản
Với a > 0, a ¹ 1: x 0log
a
b
a = Û í =b ì >x b
ỵ
2 Một số phương pháp giải phương trình mũ a) Đưa số
Với a > 0, a ¹ 1: af x( ) =ag x( ) Û f x( )=g x( )
Chú ý: Trong trường hợp số có chứa ẩn số thì: aM =aN Û(a-1)(M N- ) 0= b) Logarit hoá
f x( ) = g x( ) Û ( )=(log ) ( )
a
a b f x b g x
c) Đặt ẩn phụ
·Dạng 1: P a( f x( )) 0= Û ( ),
( )
f x
t a t
P t
ì = >
í =
ỵ , P(t) đa thức theo t
·Daïng 2: aa2 ( )f x +b( )ab f x( )+gb2 ( )f x =0 Chia veá cho b2 ( )f x , đặt ẩn phụ
( )
f x
a t
b
ỉ = ỗ ữố ứ
ÃDng 3: af x( )+bf x( ) =m, với ab=1 Đặt t af x( ) bf x( ) t
= Þ =
d) Sử dụng tính đơn điệu hàm số
Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) · Đoán nhận x0 nghiệm (1)
· Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến f(x) g(x) để kết luận x0 nghiệm
nhaát:
éêf xf x( ) đồng biến ( ) nghịch biến (hoặc đồng biến nghiêm ngặt) ( ) đơn điệu ( ) sốg xg x c
= ë
· Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) ( )f u = f v( )Û =u v
e) Đưa phương trình phương trình đặc biệt
·Phương trình tích A.B = Û
0 A B
é = ê =
ë ·Phương trình
2 0
0 A A +B = Û í =ì =B
ỵ f) Phương pháp đối lập
Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) Nếu ta chứng minh được: ìíg xf x( )( ) ³ MM
£
ỵ (1)
( ) ( )
f x M
g x M
ì =
Û í =
ỵ
Bài 1. Giải phương trình sau (đưa số logarit hoá):
a)93 1x- =38 2x- b)
10
10 15
16 0,125.8
x x
x x
+ +
- =
c) 4x2- +3 2x +4x2- -6 5x =42x2+ +3 7x +1 d) 52x-7x -5 35 35 02x + x =
e) 2x2-1+2x2+2=3x2 +3x2-1
f) 5x- x2+4 =25
(13)g)
2 2
4
1 2
2
x
x
-ổ =
ỗ ÷
è ø h)
7
1 . 2
2
x+ - x
ổ ổ =
ỗ ữ ç ÷
è ø è ø
i) (3 2- )2x = +3 2 k) ( ) ( )
1
1
5
x x
x
-+
+ =
l) 2x x+1=72 m) 5x+1+ – 5x x-1=52
Bài 2. Giải phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):
a)4x+2x+1- =8 b) 4x+1-6.2x+1+ =8 0 c) 34 8x+ -4.32 5x+ +27 0=
d) 16x-17.4x +16 0= e) 49x +7x+1- =8 0 f) 2x x2- -22+ -x x2 =3 g) (7 3+ ) (x+ +2 3)x =6 h)4cos2x+4cos2x =3 i) 32 5x+ -36.3x+1+ =9 k) 32x2+ +2 1x -28.3x x2+ + =9 l) 4x2+2-9.2x2+2+ =8 m) 3.52 1x- -2.5x-1=0,2 Bài 3. Giải phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):
a) 25x -2(3-x).5x+2x- =7 b) 3.25x-2+(3x-10).5x-2+ - =3 x c) 3.4x+(3x-10).2x+ - =3 x 0 d) 9x+2(x-2).3x+2x- =5 0
e) 3.25x-2 +(3x-10).5x-2+ - =3 x 0 f) 4x2+3 x +31+ x =2.3 x x2+2x+6
g) + – +12 – 2x (x ) x x=0 h) (x+4 9) x-(x+5 3) x+ =1 i) 4x2 +(x2-7).2x2 +12 4- x2 =0 k) 9-x- +(x 2).3-x -2(x+4) 0=
Bài 4. Giải phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2): a) 64.9x -84.12x+27.16x =0 b)
1 1
4-x +6-x =9-x c) 3.16x +2.81x =5.36x
d) 25x+10x =22 1x+ e) 27x +12x =2.8x f) 6.9 13.6 6.4 0
1
1
= +
- x x
x
g) 6.32x-13.6x+6.22x =0 h) 3.16x+2.81x =5.36x i) 2.41x +6x1 =9x1
k) (7 2)+ x+( 5)(3 2)- + x+3(1+ 2)x + -1 = Bài 5. Giải phương trình sau (đặt ẩn phụdạng 3):
a) (2- 3)x + +(2 3)x =14 b) ỗổ 2+ 3ửữx+ỗổ 2- 3÷ưx =4
è ø è ø
c) (2+ 3)x+ +(7 3)(2- 3)x = 4(2+ 3) d) (5- 21)x +7(5+ 21)x =2x+3 e) (5+ 24) (x + -5 24)x =10 f) 7
2
x x
ỉ + ỉ -
+ =
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
è ø è ø
g) ( 6- 35) (x+ 6+ 35)x =12 h) (2 3)( 1)2 (2 3)2
-
-+ + - =
-x x x
i) (3+ 5)x+16 3( - 5)x =2x+3 k) (3+ 5) (x+ -3 5)x-7.2x =0 l) (7 3)+ x-3(2- 3)x+ =2 m) ổỗ33+ 8ữửx +ỗổ33- 8ửữx =6
è ø è ø
Bài 6. Giải phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
(14)Truong Dinh Dung Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
e)
5
ổ + = ỗ ữ ố ứ x
x f) ( 2+ 3) (x+ 2- 3)x =2x
g) 2x+3x +5x =10x h) 2x+3x =5x i) 2x-1-2x x2- =(x-1)2 k) 3x = -5 2x l) 2x = -3 x m) 2x+1-4x = -x n) 2 32 1
x
x = + o) 4x +7x =9x+2 p) 52x+1-53x-x+1=0
q) 3x +8x =4x+7x r) 6x +2x =5x+3x s) 9x +15x =10x +14x Bài 7. Giải phương trình sau (đưa phương trình tích):
a) 8.3x +3.2x =24 6+ x b)12.3x +3.15x -5x+1=20 c) 8-x.2x+ 23-x- =x d) 2x +3x =1+6x
e) 4 42
+ =
+ + + + +
+
- x x x x x
x f) 4 21 2( 1)2 1
+ =
+ - +
+x x x
x
g) x2.3x +3 (12 )x - x = -x2+8x2-19x+12 h) x2.3x-1+x(3x-2 ) 2(2x = x-3 )x-1 i) 4sinx -21 sin+ xcos( ) 2xy + y =0 k) 22(x x2+ )+21-x2 -22(x x2+ ) 1.2-x2 - =1 Bài 8. Giải phương trình sau (phương pháp đối lập):
a) 2x = cos ,x4 với x ³ b) 3x2- +6 10x = -x2+6x-6 c) 3sin x = cosx
d) 2.cos2 3
2 x x
x x
-ỉ -
= +
ỗ ữ
ố ứ e) x
x
cos
sin
=
p f)
x x
x
x
2
2
2 - = +
g) 3x2 =cos2x h) 5x2 =cos3x
Bài 9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
a) 9x +3x+ =m b) 9x +m3x - =1 c) 4x -2x+ 1=m
d) 32x +2.3x-(m+3).2x =0 e) 2x+(m+1).2-x + =m 0 f) 25x -2.5x- - =m 2 0
g) 16x -(m-1).22x+ - =m h) 25x +m.5x+ -1 2m=0 i) 81sin2x +81cos2x =m k) 34 2- x2 -2.32-x2+2m- =3 l) 4 x + + -x -14.2 x + + -x + =8 m
m) 9x+ -1 x2 -8.3x+ -1 x2 + =4 m n) 1 1 1 1
9+ -t -(m+2).3+ -t +2m+ =1 Bài 10.Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất:
a) 2m x +2-x- =5 0 b) 16m x +2.81x =5.36x
c) ( 1+ )x+m( 1- )x =2x d) 7
2
x x
m
æ + ổ -
+ =
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
e) 4x -2x+ 3+ =3 m f) 9x+m3x + =1 Bài 11.Tìm m để phương trình sau có nghiệm trái dấu:
a) (m+1).4x+(3m-2).2x+1-3m+ =1 0 b) 49x+(m-1).7x+ -m 2m2 =0
c) 9x+3(m-1).3x-5m+ =2 0 d) (m+3).16x+(2m-1).4x+ + =m 1 0
e) 4x -2(m+1 +3) x m- =8 f) 4x -2x + =m Bài 12.Tìm m để phương trình sau:
a) m.16x+2.81x =5.36x có nghiệm dương phân biệt
b) 16x-m.8x+(2m-1).4x =m.2x có nghiệm phân biệt
c) 4x2-2x2+2+ =6 m có nghiệm phân biệt
(15)1 Phương trình logarit bản
Với a > 0, a ¹ 1: logax b= Û =x ab
2 Một số phương pháp giải phương trình logarit a) Đưa số
Với a > 0, a ¹ 1: loga f x( ) log ( )= ag x Û íìf xf x( ) (( )=g x( )hoặc g x( ) 0)
> >
ỵ b) Mũ hoá
Với a > 0, a ¹ 1: log ( ) log ( )af x b
a f x = Ûb a =a
c) Đặt ẩn phụ
d) Sử dụng tính đơn điệu hàm số e) Đưa phương trình đặc biệt
f) Phương pháp đối lập Chú ý:
· Khi giải phương trình logarit cần ý điều kiện để biểu thức có nghĩa · Với a, b, c > a, b, c ¹ 1: alogbc =clogba
Bài 1. Giải phương trình sau (đưa số mũ hố): a) log2éëx x( -1)ùû=1 b) log2x+log (2 x- =1) c) log (2 x- -2) 6.log1/8 3x- =5 d) log (2 x- +3) log (2 x- =1)
e) log (4 x+ -3) log (4 x- = -1) log 84 f) lg(x- +2) lg(x- = -3) lg g) log (8 2) log (8 3)
3
x- - x- = h) lg 5x- +4 lg x+ = +1 lg 0,18
i) log (3 x2- =6) log (3 x- +2) k) log (2 x+ +3) log (2 x- =1) 1/ log 25 l) log4x+log (104 -x) 2= m) log (5 x- -1) log (1/5 x+2) 0=
n) log (2 x- +1) log (2 x+ =3) log 10 12 - o) log (9 x+ -8) log (3 x+26) 0+ = Bài 2. Giải phương trình sau (đưa số mũ hoá):
a) log3x+log 3x+log1/3x=6 b) lg(+ x2-2x+ -1) lg(x2+ =1) lg(1-x) c) log4x+log1/16x+log8x=5 d) lg(4+ x2-4x+ -1) lg(x2+19) lg(1 )= - x e) log2x+log4x+log8x=11 f) log (1/2 x- +1) log (1/2 x+ = +1) log1/ 2(7-x) g) log log2 2x=log log3 3x h) log log2 3x=log log3 2x
i) log log2 3x+log log3 2x=log log3 3x k) log log log2 3 4x=log log log4 3 2x Bài 3. Giải phương trình sau (đưa số mũ hoá):
a) log (9 ) 32 - x = -x b) log (33 x - = -8) x c) log (6 ) 17 + -x = +x d) log (4.33 x-1- =1) 2x-1
e) log (3 )5
2
log (9 ) 5- x = -x f) log (3.22 x - -1) 2x- =1
(16)Truong Dinh Dung Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
g) log (12 ) 52 - x = -x h) log (26 ) 25 - x = i) log (52 x+ 1-25 ) 2x = k) log (3.24 x+ 1- =5) x
l) 1
6
log (5x+ -25 )x = -2 m) 1
log (6x+ -36 )x = -2 Bài 4. Giải phương trình sau (đưa số mũ hoá):
a) log5 -x(x2-2x+65) 2= b) logx 1- (x2-4x+ =5)
c) log (5x x2-8x+ =3) d) log (2x+1 x3+2x2-3x+ =1) e) logx 3- (x- =1) f) log (x x+2) 2=
g) log (2x x2-5x+6) 2= h) logx+3(x2-x) 1=
i) log (2x x2-7x+12) 2= k) log (2x x2-3x-4) 2= l) log (2x x2-5x+6) 2= m) log (x x2- =2)
n) log3 5x + (9x2+8x+2) 2= o) log2 4x + (x2+ =1) p) log 15
1
x - x = - q) log (3 ) 1x2 - x =
r) logx2+ 3x(x+ =3) s) log (2x x2-5x+4) 2=
Bài 5. Giải phương trình sau (đặt ẩn phụ):
a) log32x+ log23x+ - =1 b) log22 x+3log2x+log1/2x=2 c) log log4
6
x - x+ = d)
2
1
2
log log
8 x
x+ =
e) log22 x+3log2x+log1/2x=0 f) log 16 log 64 3x2 + 2x =
g) log5 log
x
x- = h) log7 log
7
x
x- =
i) log5 log
x
x - = k) log2x-log 42 x=0 l) log3x-log 33 x- =1 m) 3
2
log x+ log x =4 /
n) 3
2
log x- log x = -2 / o) log22x log4 x
+ =
p) log (222 - -x) 8log (21/4 -x) 5= q) log25x+4 log 525 x- =5 r) log log log2
4
x + x x= + x s) log logx2 + 9x=1
t)
4 lg- x+2 lg+ x = u)
1 1
5 lg- x+3 lg+ x = v) log2x x2-14 log16xx3+40 log4x x =0
Bài 6. Giải phương trình sau (đặt aån phuï):
a)
3
log x+ -(x 12) log x+ - =11 x b) 6.9log2x+6.x2=13.xlog 62
c)
2
.log 2( 1).log
x x- x+ x+ = d) log2 x (x 1)log2 x 2x
(17)e)
3
(x+2) log (x+ +1) 4(x+1) log (x+ -1) 16 0= f) log (2x2 + +x) log 2-x x=2
g) log (32 x+ + -1) (x 5)log (3 x+ -1) 2x+ =6 h) log3x- -1 log3 x =4 i) log (2 x2+3x+ +2) log (2 x2+7x+12) log 3= + 2
Baøi 7. Giải phương trình sau (đặt ẩn phụ):
a) log7x=log (3 x+2) b) log (2 x- +3) log (3 x- =2) c) log3(x+ +1 log 2) 5( x+ =1) d) ( log6 )
2
log x+3 x =log x
e) 4log7( )x+3 =x f) ( )
2
log 1+ x =log x g) xlog 92 =x2.3log2x-xlog 32
h) log3 7x+ (9 12+ x+4 ) logx2 + 2 3x+ (6x2+23x+21) 4=
i) log2(x- x2-1 log) 3(x+ x2- =1) log6(x- x2-1) Bài 8. Giải phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
a)x x+ log 32 =xlog 52 (x>0) b) x2+3log2x =5log2x
c) log (5 x+ = -3) x d) log (32 -x)=x e) log (2 x2- - + =x 6) x log (2 x+ +2) f) x+2.3log2x =3
g) 4(x-2) log (éë 2 x- +3) log (3 x-2)ùû=15(x+1)
Bài 9. Giải phương trình sau (đưa phương trình tích):
a) log2x+2.log7x= +2 log log2x 7x b) log log2x 3x+ =3 3.log3x+log2x c) log( 9x)2=log log3x 3( 2x+ -1 1)
Bài 10.Giải phương trình sau (phương pháp đối lập):
a) ln(sin ) sin2x - + 3x=0 b) log2(x2+ - =x 1) 1-x2
c) 2
3
2
log (4 4)
x x
x x
+ + - =
- +
Bài 11.Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất:
a) log2+ 3ëéx2-2(m+1)xûù+log2 3- (2x m+ - =2) b) log 2(x-2)=log2( )mx
c) log 5 2+ (x2+mx m+ + +1 log) 5 2- x=0 d) ( )
( )
lg
2
lg
mx x+ =
e) log (3 x2+4 ) log (2mx = 3 x-2m-1)
f) log2 2+ 7(x m- + +1) log2 2- 7(mx x- 2) 0= Bài 12.Tìm m để phương trình sau:
a) log 42( x-m)= +x có nghiệm phân biệt
b)
3
log x-(m+2).log x+3m- =1 có nghiệm x1, x2 thoả x1.x2 = 27
c) 2 2
4
2log (2x - +x 2m-4m ) log (= x +mx-2m ) có nghiệm x1, x2 thoả x12+x22 >1.
(18)Truong Dinh Dung Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Khi giải hệ phương trình mũ logarit, ta dùng phương pháp giải hệ phương trình học như:
· Phương pháp
· Phương pháp cộng đại số
· Phương pháp đặt ẩn phụ
· ……
Bài 1. Giải hệ phương trình sau:
a)
2 y y x x ìï + = í - =
ïỵ b)
4
4 32
x x yy ìï = í
= ïỵ
c) 2
3 19 y y x x ìï - = í + =
ïỵ d)
1 84
y y x x -ìï = í = ïỵ e) ỵ í ì = + = + 2 y x y x
f) 36
3 36
x y x y ìï = í = ïỵ
f) 20
5 50
x y x y
ìï =
í
=
ïỵ g)
12 18
x y x y ìï = í = ïỵ h) ( )
2 7 10
1 x
y y
x x y
- +
ìï =
í + = >
ïỵ i) ( )
2 16
1 x
x y
x x y
-ìï =
í - = >
ïỵ Bài 2. Giải hệ phương trình sau:
a)
4 144
x y
x y ìï - = í
=
ïỵ b)
3 17
3.2 2.3
x y x y ìï + = í - = ïỵ
c) 2.3 156
3.2 87
x x y
x x y
+ + +
ìï + =
í
+ =
ïỵ d)
2 2
1
3 17
2.3 3.2
x y x y + + + ìï + = í + = ïỵ
e)
1
3
3
x y x y + + + ìï - = -í - = -ïỵ f) 2
2( 1)
2
4 4.4 2
2 3.4
x x y y
y x y
- -ìï - + = í - = ïỵ
g) cot2
cos y y x x ìï = í =
ïỵ h)
2
2
( )2
9( )
y x x y x y x y -ìï + = í + = ïỵ
i) 32 77
3
x y
x y
ìï - =
í
- =
ïỵ k) 2
2 ( )( 2)
2
x y y x xy
x y
ìï - = - +
í
+ =
ïỵ Bài 3. Giải hệ phương trình sau:
a)
3
x y yx ìï = + í
= +
ïỵ b)
2 11
3 11
x
y x yy x ìï + = + í
+ = +
ïỵ
c) 22 2
x y y x
x xy y
ìï = -í + + = ïỵ d) 1
7
7
-ì = -ï í = -ïỵ x y y x
(19)Bài 4. Giải hệ phương trình sau: a)
2
6
logx yx log y
ì + =
í + =
ỵ b)
log log
6 y
x y x
x y
ì + =
í + = ỵ
c)
2
log
2 log
x y
x y
ì + =
í - =
ỵ d) ( ) ( )
2
3
3
logx yx y log x y
ìï - =
í + - - =
ïỵ
e) log 32 4 y xy
x
ì =
í =
ỵ f)
2
3 log
log
9 y y x x ìï + = í = ïỵ g) ỵ í ì = = + ) log (log xy y x x y h)
1
3log (9 ) log
x y x y ì - + - = ï í - = ïỵ i) 3 2
1 log log
2
2
x y
x y y
ì - = ï í ï + - = ỵ
k)
12 log y y x x ì - = í = ỵ Bài 5. Giải hệ phương trình sau:
a) log 3log 2x(( 23 )) 22 y x y x y ì + = ï í + =
ïỵ b)
log (6 ) log (6xy )
x y y x ì + = ï í + = ïỵ
c) 2
3
2
log log
log log
x y y x y ì ổ - = -ù ỗ ữ ù ố ứ í + = ï ïỵ
d) 2
4
log log
logy log
x y x y ì - = ï í - = ïỵ
e) 2( 2 )
3
log
log log
x y x y ì + + = ï í + = ïỵ f) 2 2
log log 16
log log
y x x y x y ìï + = í - = ïỵ g) ỵ í ì = -= + log log 27 3 log
log3
x y
y
x y x
h) 22
4
log log
3 10
log log
y x x y x y ìï + = í + = ïỵ
i) ( )
( )
log 2
log 2xy 2 x y
y x
ì + - =
ï
í + - =
ïỵ k)
( ) 2 log log xy x y ì = ï ỉ í = ỗ ữ ù ố ứ ợ
l) lg22 lg2 lg ( )2
lg ( ) lg lg
x y xy
x y x y
ìï = +
í
- + =
ïỵ m) 2
6
5
log log
2
log ( )
y x yx
x y ì + = ï í ï + = ỵ
n) loglg 2(lg ) 15 log2( ) lg lg3
x y x y
x y ì - = - + ï -í = -ï -ỵ
o) ( )
( ) ( )
2
lg lg8
lg lg lg3
x y
x y x y
ì + = +
ï í
+ - - =
ïỵ
p) ( )
1
log
logxx 23 y y + ì = ï í + =
ïỵ q) ( )
2
log log
log
xy yx yx
y x ì - = ï í ï - = ỵ Bài 6. Giải hệ phương trình sau:
a) lglg lg 1000 y x y x ì + = í =
ỵ b) ( )
2
6 36
4 log
x y
x
x y x
-ìï =
í - + =
(20)Truong Dinh Dung Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit c) 5 ( )3 27 3log ( )
y x
x y
x y x y
-ì ï + = í ï + = -ỵ
d) 3lg lg44lg lg3
(4 ) (3 )
x y x y ìï = í = ïỵ
e)
2
2 log log
32 x y x y xy ỡ ổ - ử+ = ù ỗ ÷ í è ø ï = ỵ Bài 7. Giải hệ phương trình sau:
a) 23 94 94
4 16 16
log log log
log log log
log log log
x y z
y z x
z x y
ì + + =
ï + + =
í
ï + + =
ỵ
b) 2
3 3
3
log log log
2
log 12 log log
3 x
x y y
y
x x y
ì + = + ï í ï + = + î
c) 2
1
log (1 ) log (1 )
log (1 ) log (1 ) 2xx y y
y y x x
x x + -+ -ì - + + + + = ï í + + + =
ïỵ d)
2
2
log 3sin log (3cos ) log 3cos log (3sin )
x y y x ì + = ï í + = ïỵ
e) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
log log
log log
x y y x ì + - = - + ï í ï + - = - + ỵ
f) 2
3
2 log (6 ) log ( 9)
log x(5x ) log y( 2) y
y xy x x x
y x - -ì - + - + - + = ï í - - + = ïỵ
Bài 8. Giải hệ phương trình sau: a) log
2
2
log log
x y x y ìï = í - =
ïỵ b)
( ) ( ) ( ) 2 3
log log
x y
x y
x y x y
-ì ỉ ư ï = ç ÷ í è ø ï + + - = î
c) log8 log8
4
4
log log
y x
x y
x y
ìï + =
í - =
ïỵ d) 13( )
3 18
log x y x y ì = ï í + = -ïỵ
e) ( )
ù ợ ù ỡ = -+ + ữ ứ ỗ ố ổ = -4 ) ( log ) ( log 3 2 y x y x y x y x f) ( ) ( ) 3 32
log log
x y y x
x y x y
+ ì ï = í ï - = - + ỵ
g) ( )
3 972
log x y x y ì = ï í - =
ïỵ h) 5( )
3 1152
log x y x y -ì = ï í + = ïỵ
i) ( ) ( )
2
log log
x y
x y x y
x y
ìï + =
-í
- =
ïỵ k)
3
log log
2
4 ( )
3 12
xy xy
x y x y
ìï = +
í
+ - - =
ïỵ
l) log3 log3
3
2 27
log log
y x
x y
y x
ìï + =
í - =
ïỵ m)
(21)· Khi giải bất phương trình mũ ta cần ý tính đơn điệu hàm số mũ
( ) ( )
1 ( ) ( )
0
( ) ( )
f x g x
a
f x g x
a a
a f x g x
éì > í êỵ > > Û ê
ì < < êí êỵ < ë
· Ta thường sử dụng phương pháp giải tương tự phương trình mũ: – Đưa số
– Đặt ẩn phụ – …
Chú ý: Trong trường hợp số a có chứa ẩn số thì: aM >aN Û(a-1)(M N- ) 0> Bài 1. Giải bất phương trình sau (đưa số):
a)
1
2
3
3
x x
x - x ỗ ữổ -
-è ø b)
6 2 1 1
1
2
x - x + -x
ỉ ỉ
<
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
c) 2x+2-2x+3-2x +4 >5x+1-5x+2 d) x +3 x -1-3 x -2<11 e) 9x2- +3 2x -6x2- +3 2x <0 f) 62x+3 <2x+7.33x-1
g) 4x2+x.2x2+1+3.2x2 >x2.2x2 +8x+12 h) 6.x2 +3 x.x+31+ x <2.3 x.x2 +3x+9
i) 9x+9x+1+9x+2<4x +4x+1+4x+2 k) 7.3x+1+5x+3£3x+4+5x+2 l) 2x+2+5x+1<2x +5x+2 m) 2x-1.3x+ > 36
n) ( ) ( )
3
1
10 10
x x
x x
- +
- +
+ < - o) ( 2 1) ( 2 1)
x x
x
+
-+ ³ -
p) 2
2
1 2
2
x
x x
£ q)
1
2
2 x- ³2 x+ Bài 2. Giải bất phương trình sau (đặt ẩn phuï):
a) 2.14x+3.49x -4x ³0 b)
1 1 2
4x - -2x - - £3 0 c) 4x -22(x-1)+832( 2)x- >52 d) 8.3 x+4x +91+4x >9 x
e) 25.2x-10x+5x >25 f) 52x+1+6x+1>30 30+ x x
g) 6x -2.3x -3.2x+ ³6 h) 27x+12x >2.8x i)
1 1
49x -35x £25x k) 3 22 122 0
x x+ - x+ - <
l) 252x x- +2 1+92x x- +2 1³34.252x x- m) 32x-8.3x+ x+4 -9.9 x+4 >0
o) 4x 1+ x - -5.2x 1+ x - + +16 0³ p) ( 3+ 2) (x + 3- 2)x £2 r)
2 1 1
1 3 12
3
x x+
ổ ổ
+ >
ỗ ữ ç ÷
è ø è ø s)
3
1 128 0
4
x x
-ỉ ỉ
- -
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ø
t)
1 1 2 1
2x + +2 - x <9 u) (22 1x + -9.2x+4 ) x2+2x- ³3
(22)Truong Dinh Dung Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Bài 3. Giải bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
a) 2 32 1
x
x < + b) 0
1
1 21
£
-+
-x x x
c)
2
2
2
£
+
x x
x x
d) x+4 +2 4x+ >13
e) 32
4
x x
x
- +
-³
- f)
3 4 0
6 x x
x x
+ - >
g) -3x2-5x+ +2 2x 2x> x -3x2-5x+ +2 ( )2x 32 x Bài 4. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
a) 4x-m.2x+ + £m b) 9x -m.3x+ + £m
c) 2x + +7 2x- £2 m d) ( ) ( )
2 1
2 1+ x + 1- x - + =m Bài 5. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với:
a) (3m+1).12x + -(2 m).6x+3x <0, "x > b) (m-1)4x+2x+1+ + >m 0, "x c) m.9x -(2m+1 6) x+m.4x £0, "x Ỵ [0; 1] d) m.9x +(m-1).3x+2+ - >m 0, "x e) 4cosx +2 2( m+1 2) cosx +4m2- <3 0, "x f) 4x -3.2x+1- ³m 0, "x
g) 4x -2x - ³m 0, "x Ỵ (0; 1) h) 3x + +3 3- x £m, "x i) 2.25x-(2m+1).10x+(m+2).4x ³0, "x ³ k) 4x-1-m.(2x + >1) 0, "x Bài 6. Tìm m để nghiệm (1) nghiệm bất phương trình (2): a)
( ) ( )
2 1 1
2
1 3 12 (1)
3
2 (2)
x x
m x m x m
+ ì
ỉ ổ
ùùỗ ữ + ỗ ữ >
íè ø è ø
ï
- - - <
ïỵ
b)
2 1 1
2
2 (1)
4 ( 1) (2)
x x
x mx m
+ ì
ï - >
í
ï - - - <
ỵ
c) 22 12 9.2 (1)
( 1) ( 3) (2)
x x
m x m x
+
ìï - + £
í
+ + + + >
ïỵ d) ( )
2 1 2
2
1 9. 12 (1)
3
2 2 (2)
x x
x m x m
+ ì
ỉ ổ
ùùỗ ữ + ỗ ữ >
íè ø è ø
ï
+ + + - <
(23)· Khi giaûi bất phương trình logarit ta cần ý tính đơn điệu hàm số logarit
1
( ) ( )
log ( ) log ( )
0
0 ( ) ( )
a a
a
f x g x
f x g x
a
f x g x
éì > í
êỵ > >
> Û ê
ì < < êí
êỵ < < ë
· Ta thường sử dụng phương pháp giải tương tự phương trình logarit:
– Đưa số – Đặt ẩn phuï
– …
Chú ý: Trong trường hợp số a có chứa ẩn số thì:
logaB> Û0 (a-1)(B- >1) 0; log ( 1)( 1) logaa
A
A B
B > Û - - >
Bài 1. Giải bất phương trình sau (đưa số):
a) log5(1-2x)<1+log 5(x+1) b) log log2( - 9x)<1
c) 1 1( )
3
log 5- <x log 3-x d) 2 1 5
3
log log log x>0
e) )
1 (log log 2
3
1 + >
+
x
x f) ( 2 )
1
4 log
x - x>
g) 1 4( )
3
log logéë x -5 ùû>0 h) 6log62x +xlog6x £12
i) log2(x+ ³ +3 log) 2(x-1) k) 2(log2x)2 +xlog2x
l) 3 1
2 log logổ xử
ỗ ữ
ố ø
m) 8 1
8
2 log ( 2) log ( 3)
3
x- + x- >
n) 1 5( ) 3 1( )
3
log logéë x + +1 x ûù>log logéê x + -1 x ùú
ê ú
ë û
Baøi 2. Giải bất phương trình sau: a) lg(( 1))
lg x
x
-<
- b)
( )2 ( )3
2
2
log log
0
3
x x
x x
+ - +
>
-
c) lg( 2) lg lg
x x
x
- + >
+ d) 2
5log log
log x x x 18 0
x +x - - <
e)
1 log 2 >
+
-x x
x f)
2
3
log log log log
4 x x x< x +
g) log (log (2x 4 x-4)) 1£ h) log3x x- 2(3-x) 1>
i) ( )
5
logx x -8x+16 ³0 k) log2x(x2-5x+6)<1
(24)Truong Dinh Dung Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
l) 6 2
3
1
log log
2
x+ ổỗ xx+- ửữ>
ố ứ m) logx-1(x+ >1) logx2-1(x+1)
n) (4x2-16x+7).log (3 x- >3) o) (4x-12.2x+32).log (22 x- £1) Bài 3. Giải bất phương trình sau (đặt ẩn phụ):
a) log2x+2 log 0x - £ b) log 25( - x)< +1 log 5(x+1) c) log5x-log 125 1x < d) log 64 log 16 32x + x2 ³
e) log 2.log 2.log 4x 2x 2 x>1 f) 21 1
2
log x+log x <0
g)
2
2 2
log log
1 log log log
x x
x+ x > x
- + - h) log
2 log
4
2
£
-+
+ x x
i) log2 6log2
2
1 x- x+ £ k)
2
3 3
log x-4 log x+ ³9 log x-3
l) log (3 2) log (3 2)
3
9 x + x+ + > x + x+ m)
5
1 1
5 log- x+1 log+ x <
n) 21 1
8
1 log- x > -1 log x o) log 100 1log100
x - x>
p) 23
3 log
1 log
x x
+
>
+ q) 2
16
1 log 2.log
log
x x > x
-Bài 4. Giải bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
a) ( x 1)log+ 0,52 x+(2x+5) log0,5x+ ³6 b) log2(2x +1)+log3(4x +2)£2
c)
( ) ( )
2
3
log x +1 >log x+1 d)
5 lg
5 0
2x x x x
+ - <
- +
Bài 5. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
a) log1/2(x2-2x m+ )> -3 b) log 100 1log 100
x - m >
c)
5 log- m x+1 log+ m x< d)
2 log
1 logmm
x x
+
> +
e) log2x m+ >log2x f) logx m- (x2- >1) logx m- (x2+ -x 2) Bài 6. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với:
a) log 72( x2+7)³log2(mx2+4x m+ ), "x
b) log ( ) log ( 2 )
2
2 x - x+m + x - x+m £ , "x Ỵ[0; 2]
c) log (+ 5 x2+ ³1) log (5 mx2+4x m+ ), "x
d) 1 1 1
2 2
2 log log log
1 1
m x m x m
m m m
ỉ ỉ ỉ
- - + - + >
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ỗ + ữ ỗ + ữ ỗ + ữ
è ø è ø è ø
, "x Bài 7. Giải bất phương trình, biết x = a nghiệm bất phương trình: a) logm(x2- -x 2)>logm(-x2+2x+3 ;) a=9 /
(25)Bài 8. Tìm m để nghiệm (1) nghiệm bất phương trình (2): a)
2
1
2
2
log log (1)
6 (2)
x x
x mx m m
ì + <
ï í
ï + + + <
ỵ
b) log (52 43) (1)
2 (2)
x x x
x x m
ì - + >
ï í
- + - > ïỵ
Bài 9. Giải hệ bất phương trình sau: a)
2
4 0
16 64
lg lg( 5) lg
x
x x
x x
ì +
> ï
í - +
ï + >
-ỵ
b) ( ) ( ) ( )
( )
1
1 lg lg lg 7.2 12
log 2
x x
x
x x
+
ì - + + < +
ï í
+ > ïỵ
c) (( ))
log
log xy 2 y x
-ì - >
ï
í - >
ïỵ d)
1
log ( 5)
logxy (4 ) y
x
-+
ì + <
ï
í - <
(26)Truong Dinh Dung Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Baøi 1. Giải phương trình sau: a) 22 1.41 64
8
x x
x
- +
- = b)
3
9 x- =3 x
c) 0,2 0,5 (0,04) 25
x+ x
= d)
2
1 11
5 .
3 25
x+ x + -x
ỉ ỉ ỉ
=
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ è ø è ø
e) 1.7 14.7 2.7 48
x+ - x+ - x- + x = f) ( 7,2 3,9 )
3x - x+ -9 lg(7-x) 0=
g)
2
1 1
3
2(2 )
x
x+ x
-ổ
ỗ ữ =
ố ø h) 8x x x-1 =500
i)
2
1 lg
3
3 100
x
x - = k) xlgx =1000x2
l) lg
5 lg
3 10
x
x
x
+
+
= m) ( )log3
3
x
x - =
Baøi 2. Giải phương trình sau:
a) 4x2+2-9.2x2+2+ =8 0 b) 5 1 5
4x- x - -12.2x- - x - + =8 c) 64.9x -84.12x+27.16x =0 d)
1 3
64x -2 +x +12 0=
e) 9x2-1-36.3x2-3+ =3 f) 34 8x+ -4.32 5x+ +28 log= 2 g) 32 1x+ =3x+2+ 6.3- x+32( 1)x+ h) ( 5+ 24) (x + 5- 24)x =10 i) 91 log+ 3x -31 log+ 3x-210 0= k) 4lg 1x+ -6lgx-2.3lgx2+2=0
l) 2sin2x +4.2cos2x =6 m) 3lg(tan )x -2.3lg(cot ) 1x + =1 Bài 3. Giải bất phương trình sau:
a)
6 5
2 25
5
x x
-+ ổ
< ỗ ữ
è ø b)
1
2 1 2
2
x x
-+
- < +
c) x2.5x -52+x <0 d) xlg2x-3lg 1x+ >1000
e) 4
1
x x
x
+ - £
- f)
2
3
8
3
3
x x
x x
- ỉ ư
> + ỗ ữố ứ
g) 2x+2-2x+3-2x+4 >5x+1-5x+2 h)
2
log ( 1)
1 1
2
x
-ổ >
ỗ ÷ è ø
i)
2
1 9
3
x x
+ -æ
> ỗ ữ
ố ứ k)
1 2
1
3 27
x x
+ -ổ
> ỗ ÷
è ø
l)
2 3
1
1
5
x x
+
-ỉ ổ
>
ỗ ữ ỗ ữ
è ø è ø m)
72 1
3
3
x x
(27)Bài 4. Giải bất phương trình sau:
a) 4x -2.52x-10x >0 b) 25-x-5- +x 1³50 c)
1 1
9.4-x +5.6-x <4.9-x d) 3lg 2x+ <3lgx2+5-2
e) 4x+1-16x <2 log 84 f)
2
2 1
2 21
2
x
x+ - ổ ửỗ ữ + + è ø
g)
2( 2)
2( 1) 3
4 52
x
x - x- + - > h) 34 35. 6 0
3
x
x
- ổ ửỗ ữ +
è ø
i) 9x-3x+2 >3x-9 k) 9x+3x- ³ -2 3x Bài 5. Giải phương trình sau:
a) log (33 x - = -8) x b) log5-x(x2-2x+65) 2=
c) log (27 x- +1) log (27 x- =7) d) log (1 log (23 + 3 x-7)) 1=
e) 3log lg3 x -lgx+lg2x- =3 f) 9log (1 )3 - x =5x2-5
g) x1 lg+ x =10x h) ( )log5
5
x
x - =
i)
2
lg lg
lg lg
2
x x
x + - x
ỉ
=
ỗ ữ
ố ứ k)
lg
lg
4 10
x
x
x
+
+ =
l) log log3 9
2 x
x x
ỉ
+ + =
ỗ ữ
ố ứ m) 3
3
2 log log
7
x x
x x
- + =
-Bài 6. Giải phương trình sau:
a) log( x 5)2-3logx 0+ = b) log1/3x-3 log1/3x+ =2 c) log22x+2 log2 x- =2 d) log+ x+13 log (= 3 x+1) e) log 9x( )x2 log32x=4 f) log log3( 1/22 x-3log1/2x+5)=2 g) lg (100 ) lg (10 ) lg2 x - x + 2x=6 h) log (2 ).log (16 )2 2 9log22
2
x x = x
i) log (93 x + = +9) x log (28 2.3 )3 - x k) log (42 x +4) log 2= 2 x+log (22 x+1-3) l) log (252 x+3- = +1) log (52 x+3+1) m) lg(6.5x+25.20 )x = +x lg25
Baøi 7. Giải bất phương trình sau:
a) log (0,5 x2-5x+6)> -1 b) log72
2
x x
- >
c) log3x -log3x- <3 d) log1/32 3x x
- ³
e) log (21/4 ) log1/4 x
x
- >
+ f)
2
1/3
log éëlog (x -5)ùû>0
g) 2
1/2
4 0
log ( 1)
x x
- <
- h)
2 log ( 1)
0 x x
+ >
i) log log (3xéë 9 x -9)ùû<1 k) log2 3x+ x2 <1 l) 2log2-x(x2+ +8 15)x <1 m) 1/3
5 log
3
(0,5)
x x
(28)Truong Dinh Dung Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Bài 8. Giải hệ phương trình sau:
a)
2
( )
4 125 x y x y - -+ ìï = í =
ïỵ b) 3
4 128 x y x y + -ìï = í =
ïỵ c)
2 12 x y x y ì + = í + = ỵ
d) 3.2 2.3 2,75
2 0,75
x x
x y
ìï + =
í
- =
-ïỵ e)
16
4 49
x
x yy
ìï - =
í
- =
ïỵ f)
3 972
log ( )
x y x y ìï = í - = ïỵ g)
4 3.4 16
2 12
x y x
y y x y -ì ï - = í ï - = -ỵ
h) 32 2/2 77
3
x y x y ìï - = í - = ïỵ i) ( ) ( ) 2 2 y x x y x y x y -ì + = ï í + = ïỵ Bài 9. Giải hệ phương trình sau:
a)
2
log log
5
x y
x y
ì - =
í
- + =
ỵ b)
3
log ( )
7 log log x x y x y ì - = ï í - = ïỵ c) lg 2 20 y x xy ì = í = ỵ
d) 2
2
log log
16 x y x y ì + = í + =
ỵ e)
3 3
1
15
logx yx log y log
ì - = ï í ï + = + ỵ
f)
7
log log
log log
3 x y y x y x ìï = í = ïỵ
g) lg( 2) lg13
lg(x y) lg(x yx y) 3lg
ì + - =
í + - - =
ỵ h)
2
2
9
log log
x y y x x y ì + = ï í ï + = ỵ
i) 2 log( log ) 85
y x xy x y ì = ï í + = ïỵ
k)
1
2
2 log 15
3 log log
y
y y
x
x x +
ì - =
ï í
= +
ïỵ l) log (3 ) log (32 3 )
x y y x
x y x y
+ ì ï = í ï - = - + ỵ m)
3 576
log ( )