To avoid or reduce mesh-related difficulties, several methods, commonly known as meshless methods have been proposed, for example the Smoothed Particle Hydrodynamics[r]
(1)75
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TẤM DÀY
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ TỰ DO GALERKIN (EFGM)
Tơn Thất Hồng Lân
Khoa Xây Dựng, Trường Đại học Kiến Trúc Tp HCM
Tóm tắt Đối với tốn học môi trường liên tục, việc chia lưới vấn đề, ta gặp khó khăn đưa mắt lưới thích hợp cấu trúc hình học phức tạp, đơi q trình xử lý yêu cầu chia lại lưới thường xuyên Thời gian cần thiết để ta tạo mắt lưới chia lại lưới thường gấp nhiều lần so với thời gian cần thiết hình thành giải hệphương trình Để tránh giảm cơng việc tạo lưới khó khăn này, người ta đề xuất sốphương pháp, thường gọi chung phương pháp không lưới, chẳng hạn: phương pháp SPH (SPHM), phương pháp RKP (RKPM), phương pháp EFG (EFGM), phương pháp PUFE (PUFEM)… Phương pháp không lưới với cách tiếp cận khác áp dụng cho loạt vấn đề kỹ thuật Chẳng hạn, G.R.Liu sử dụng phương pháp EFGM để phân tích vỏ mỏng Việc áp dụng phương pháp không lưới phần tử tựdo Galerkin (EFGM) để nghiên cứu dao động dày chữ nhật đồng chất chủđề báo
Từ khố: phương pháp khơng lưới, phương pháp EFGM, dao động, bình phương tối thiểu động, dày
1 Hàm xấp xỉ bình phương tối thiểu động (MLS)
Hàm MLS phát triển Lancaster Salkauskas để xấp xỉ đường cong bề mặt Xem xét miền Ω có chứa tập hợp nút phân tán xi(1 ≤ i ≤ n), tương ứng giả định giá trị wi Xấp xỉ MLS hàm liên tục w Ω gọi wh(x) cho bởi:
x (x)α T p (x) i (x)α m
1 i i
P (x) h
w
(1)
trong p(x) tổ hợp m hàm độc lập tuyến tính,
(x)
m p (x) p (x) p (x) T
p (2)
α(x) tổ hợp thông sốchưa xác định,
α0(x) α1(x) α2(x) αm(x) (x)
T
α (3)
(2) 2 i w ) i (x h w ) i x (x n(x) i i
J(x)
(4)
2
i w -(x) ) i (x T p ) i x (x n(x) i i
J(x)
(5)
) i x (x i
hàm trọng số có giá trị khác miền ảnh hưởng nút xi. Chỉ
có nút xi mà miền ảnh hưởng chứa điểm x xuất cơng thức Kích thước miền ảnh hưởng nút cách lựa chọn hàm trọng số yếu tố định gần MLS Cực tiểu J (x) để biết thông sốα(x)
(x).B(x).w
A
α(x) (6)
) n(x xn).p(xn)
2 ).p(x x (x ) ).p(x x (x
B (7)
) i ).p(x i (x T ).p i x -(x n(x) i i A
(8)
Ta thay kết suy ra: wn
w w T
w (9)
Φ(x).w i
(x).w n
1 i φi (x)
h
w
(10)
Với:
i B A T p ji (x)B(x)) (x)(A m j j p (x) i φ
(11)
(x) φn(x)
2 φ (x) φ Φ(x) (12)
2 Lý thuyết biến dạng cắt bậc (Lý thuyết dày Mindlin-Reissner)
(3)α x ) x , (x o α u (x) α
u (13)
) x , w(x (x)
u (14)
1,2
α (15)
trong x1, x2 , x3, 1, 2 w diễn đạt hình vẽ ou α
chuyển vị mặt phẳng trung hịa theo phương 1, Tấm có chiều dày h độ cứng uốn
) ν 12(1
3 Eh D
(16)
Hình Hệ trục tọa độ thơng số dày
Phương trình vi phân chủđạo: D22wq(x,t)2hρw (17) Đối với dao động tự D22w 2hρw (18) 3 Phương pháp EFG ví dụ số xét dao động hình chữ nhật
Phương pháp EFG phương pháp kết hợp xấp xỉ bình phương tối thiểu động MLS dạng yếu Galerkin Ở dạng yếu Galerkin thể phương
trình
Ω Ω
0 dΩ w T ρδw w
δwdΓ T λ
Ω Ω w
wdΓ T δλ σdΩ T
δε (19)
T u v
λ λ
λ toán tử Lagrange
Xét dao động dày đồng chất hình chữ nhật có kích thước 4x4m, dày 0.4m Nghiệm xác tần sốdao động tự theo tài liệu [10] sẽđược so sánh với nghiệm có từphương pháp EFG ta thể sai số chúng theo bảng 1, 2,
(4)Hình Thể mode dao động
Ngơn ngữMatlab sử dụng để lập trình tính tốn dao động dày dựa theo phương pháp khơnglưới phần tử tự Galerkin (EFGM)
Bảng 1.Sai số nghiệm gần nghiệm xác mode
Mode 55 1010 1515 2020
100 chínhxác
chínhxác
EFG
82% 61% 1.1% 0.2%
Bảng Sai số nghiệm gần nghiệm xác mode
Mode 55 1010 1515 2020
100 chínhxác
chínhxác
EFG
(5)Bảng Sai số nghiệm gần nghiệm xác mode
Mode 55 1010 1515 2020
100 chínhxác
chínhxác
EFG
8.7% 7.9% 0.33% 0.04%
4 Kết luận
Bài báo áp dụng phương pháp không lưới phần tử tựdo Galerkin để phân tích dao động dày Các kết quảthu cho thấy tính xác, hội tụ phương pháp
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1].T Belytschko, Y Krongauz, D Organ, M Fleming, and P Krysl, Meshless methods: An overview and recent developments, Comput Methods Appl Mech Engrg., 139, (1996), 3–47
[2].T Belytschko, Y Lu, and L Gu., Element-Free Galerkin Methods, Int J Numer Meth Engng , 37, (1994), 229–256
[3].P Lancaster and K Salkauskas, Surfaces genarated by the moving least squares methods, Math.Comput , 37, (1981), 141–158
[4].GR Liu, Mesh Free Methods: Moving beyond the Finite Element Method, CRC Press, 2003
[5].L Liu, GR Liu, and VBC Tan, Element free method for static and free vibration analysis of spatial thin shell structures, Comput Methods Appl Mech Engrg ,191, (2002), 5923-5942
[6].K Washizu, Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Press, second edition, 1975
[7].Nguyen Vinh Phu, Meshless method and their computer implementation aspects August 10, 2006
[8].S Timoshenko and S Woinowsky-Krieger, Theory of plates and shells, 2d ed McGraw-Hill, New York, 1959
[9].P Hein, Diffuse element method applied to Kirchhoff plates, Technical report, Dept Civil Engrg, Northwestern University, Evanston, Il., 1993
(6)VIBRATION ANALYSIS OF THICK PLATE BY ELEMENT FREE GALERKIN METHOD (EFGM)
Ton That Hoang Lan
Department of Civil Engineering, HCM city University of Architecture
Abstract For several types of continuum mechanics problems, the mesh is an issue in itself: it may be difficult to devise an appropriate mesh due to geometry complexity and/or because the solution process may require frequent remeshing The time taken in creating the mesh (or remeshing) is often several times more than the time needed to form and solve the systems of equations To avoid or reduce mesh-related difficulties, several methods, commonly known as meshless methods have been proposed, for example the Smoothed Particle Hydrodynamics Method (SPHM), the Reproducing Kernel Particle Method (RKPM), the Element Free Galerkin Method (EFGM) and the Partition of Unity Finite Element Method (PUFEM), among others These meshless methods with different approaches have been applied to a variety of technical issues For example, G.R.Liu used EFG method to analyze thin shells and plates This paper studies how the Element-Free Galerkin Method (EFGM) is used for vibration analysis of homogeneous rectangular thick plates based on First order Shear Deformation Theory (FSDT)