Phòng Giáo dục Huyện Long Điền Trường THCS Phước Hưng ĐỀ DỰ TUYỂN THI HỌCSINHGIỎITOÁN9 NĂM HỌC : 2005 – 2006 Bài 1 (4 điểm) a) Chứng minh rằng đa thức P(x) = x 95 + x 94 + x 93 + … + x 2 + x + 1, chia hết cho đa thức Q(x) = x 31 + x 30 + x 29 + … + x 2 + x +1. b) Chứng minh biểu thức : A = 75(4 2005 + 4 2004 + 4 2003 +… + 4 2 + 5) + 25, chia hết cho 4 2006 . Giải a) (2 điểm). P(x) = x 95 + x 94 + x 93 + … + x 2 + x +1 = (x 31 + x 30 + x 29 + … + x 2 + x + 1)(x 64 + x 32 + 1) Vậy, đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x). b) A = 75(4 2005 + 4 2004 + 4 2003 +… + 4 2 + 5) + 25 = 25.3(4 2005 + 4 2004 + 4 2003 +… + 4 2 + 4 +1) + 25 = 25.(4 – 1)(4 2005 + 4 2004 + 4 2003 +… + 4 2 + 4 + 1) + 25 (1 điểm) = 25(4 2006 – 1) + 25 (1 điểm) = 25.4 2006 4 2006 Bài 2 (4 điểm) Giải các phương trình sau : 99 98 99 148 )2)( 99.97 1 . 7.5 1 5.3 1 3.1 1 )( 10 21 273 19 300 17 323 15 342 ) −=+−++++ = − + − + − + − x xxb xxxx a Giải a) Viết phương trình như sau : 0)4 21 273 ()3 19 300 ()2 17 323 ()1 15 342 ( =− − +− − +− − +− − xxxx (1 điểm) Từ đó tìm được x = 357 (1 điểm) b) (1 điểm).Ta có : . 99 49 ) 99 1 1( 2 1 )] 99 1 97 1 ( .) 7 1 5 1 () 5 1 3 1 () 3 1 1[( 2 1 99.97 1 . 7.5 1 5.3 1 3.1 1 =−= −++−+−+−=++++ Phương trình có vô số nghiệm (1 điểm). Bài 3 (4 điểm) Chứng minh : ])()())[(( 2 1 3 222333 xzzyyxzyxxyzzyx −+−+−++=−++ Từ đó, chứng tỏ : a) Với ba số x, y, z không âm thì : ; 3 333 xyz zyx ≥ ++ b) Với ba số a, b, c không âm thì : 3 3 abc cba ≥ ++ Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số a, b, c bằng nhau. Giải (1 điểm). Khai triển vế phải và rút gọn, ta được kết quả vế phải bằng vế trái. a) Nếu x, y, z không âm thì x + y + z không âm. Suy ra : x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz ≥ 0. Từ đó, ta có : xyz zyx ≥ ++ 3 333 (1 điểm) b) (2 điểm). Đặt 333 ,, czbyax === Ta thấy a, b, c không âm, nên x, y, z không âm. Dựa vào kết quả câu a) ta có : ⇒≥ ++ 333 3 3 3 3 3 3 3 )()()( cba cba 3 3 abc cba ≥ ++ Bài 4 (4 điểm) Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’). Vẽ các đường kính AOB, AO’C. Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC. a) Chứng minh rằng tứ giác BDCE là hình thoi. b) Gọi I là giao điểm của EC và đường tròn (O’). chứng minh rằng ba điểm D, A, I thẳng hàng. c) Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’). Giải (0,5 điểm). Hình vẽ đúng a) (0,5 điểm). Chứng minh đúng tứ giác BDCE là hình thoi b) (1 điểm). Chứng minh AD ⊥ BD, AI ⊥ IC ( tức là AI ⊥ EC ) Mặt khác, ta có BD // EC ( vì là các cạnh đối của hình thoi). Các đường thẳng AD, AI cùng đi qua A và vuông góc với hai đường thẳng song song (BD, EC ) nên A, D và I thẳng hàng. c) (2 điểm). ∆ DIE vuông tại I có IK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền DE nên IK = KD = KE ⇒ )1( ˆˆ ADKAIK = ∆ O’IA cân tại O’ nên )2( ˆˆ ' ˆ ' KADIAOAIO == Từ (1) và (2) , suy ra: 0 0 90 ˆ ' ˆ ' ˆ 90 ˆ ˆˆ ' ˆ =+=⇒ =+=+ AIOAIKOIK KADADKAIOAIK Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’) Bài5 (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M(C và D là các tiếp điểm khác H). a) Chứng minh rằng ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O). (Bất đẳng thức Cô - si cho ba số không âm). B O D K O’ C I E A b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD không đổi. c) Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi. Giải (0,5 điểm). Hình vẽ đúng. a) (1,5 điểm). Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có : 00 18090.2 ˆ 2) ˆˆ (2 ˆˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ===+=+⇒ = = BMAAMHBMHCMHDMH AMHCMH BMHDMH ⇒ C, M, D thẳng hàng. Hình thang ABDC có O là trung điểm của AB, M là trung điểm của CD nên OM là đường trung bình, suy ra OM // AC, mà AC ⊥ CD nên OM ⊥ CD. Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) (1 điểm). AC + BD = AH + BH = AB không đổi. c) (1 điểm). OM là đường trung bình của hình thang ACDB nên OM // BD, suy ra OM ⊥ CD MOI ∆ vuông tại M, MH ⊥ OI ⇒ OH.OI = OM 2 không đổi (vì OM bằng bán kính của đường tròn tâm O). A C M D O H B I . − + − + − + − xxxx (1 điểm) Từ đó tìm được x = 357 (1 điểm) b) (1 điểm).Ta có : . 99 49 ) 99 1 1( 2 1 )] 99 1 97 1 ( .) 7 1 5 1 () 5 1 3 1 () 3 1 1[(. 2005 + 4 2004 + 4 2003 + + 4 2 + 5) + 25 = 25.3(4 2005 + 4 2004 + 4 2003 + + 4 2 + 4 +1 ) + 25 = 25.(4 – 1) (4 2005 + 4 2004 + 4 2003 + + 4 2 + 4 + 1) +