Định nghĩa hàm hai biến.. Một công ty cần sử dụng n loại nguyên liệu khác nhau để chế biến một loại thực phẩm. Nếu ci là chi phí trên một đơn vị sản phẩm và xi là số đơn vị sản phẩm đượ[r]
(1)71 | P a g e CHƯƠNG
HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH
6.1 Khái niệm
6.1.1 Định nghĩa hàm hai biến
Định nghĩa: Hàm số hai biến f quy tắc cho tương ứng cặp số thực có thứ tự (x,y) tập DR2
với số thực ký hiệu f x y , Tập D miền xác định (domain) tập T f x y , x y, D miền giá trị (range) hàm f Ký hiệu hàm hai biến: z f x y , với x,y biến độc lập z biến phụ thuộc
Ví dụ 6.1 Với D2và f x y( , ) x3 x2 xy. Miền xác định hàm số không gian 2
Ứng với cặp số ( , ) (2, 1)x y D, ta có z f(2, 1) 2 3 ( 1)2 2.( 1) 5
Ứng với cặp số ( , ) (3,2)x y D,ta có z f(3,2) 3 3 22 3.2 29.
Ví dụ 6.2 Với hàm số sau, tìm f(3,2) miền xác định
a) ,
1
x y f x y
x
b)
2
, ln
(2)72 | P a g e Giải
a) Ta có: 3,
3
f
Tập xác định: D x y x y, 1 0,x1
b) Ta có: f 3, 2 3ln 2 2 3 0 Tập xác định: D x y x, y2
Ví dụ 6.3 Tìm miền xác định miền giá trị của: g x y , 9x2y2 Giải
Miền xác định hàm số g:
, 9 2 0 , 2 9 D x y x y x y x y
D đĩa trịn có tâm (0,0) bán kính
Miền giá trị g đoạn [0,3] vì: 2
0 9x y 3
Đồ thị hàm hai biến
(3)73 | P a g e Hàm số ba biến hàm nhiều biến
Hàm số ba biến f qui tắc cho tương ứng số có thứ tự x y z, , thuộc miền xác định DR3 với số thực ký hiệu f x y z , ,
Ví dụ 6.4 Tìm miền xác định của: f x y z , , 9x2 y2 lnx z
Hàm số n biến f qui tắc cho tương ứng số có thứ tự x x1, , ,2 xn thuộc miền xác định DRn với số thực ký hiệu
1, , ,2 n
z f x x x Ví dụ 6.5 Một cơng ty cần sử dụng n loại nguyên liệu khác để chế biến loại thực phẩm Nếu ci chi phí đơn vị sản phẩm xi số đơn vị sản phẩm sử dụng ngun liệu thứ i tổng chi phí C dùng cho nguyên liệu hàm n biến
1, , ,2 n 1 2 n n
C f x x x c x c x c x 6.1.2 Một số hàm nhiều biến quan trọng phân tích kinh tế a) Hàm sản xuất
Hàm sản xuất hàm Q Q K L ( , ), Klà vốn, L lao động
Hàm Cobb-Douglas hàm sản xuất Q aK L , , ,a số dương b) Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận
Hàm tổng chi phí hàm TC TC Q ( ),nếu tính theo yếu tố sản xuất
0 K L
TC W K W L C WK giá thuế đơn vị vốn, WL giá thuế đơn vị lao
động, C0 chi phí cố định
Hàm tổng doanh thu hàm TR PQ PQ K L ( , ), P giá thị trường sản phẩm
(4)74 | P a g e c) Hàm lợi ích
Người ta dùng biến lợi ích u để biểu diễn mức độ ưa thích người tiêu dùng tổ hợp hàng hóa cấu tiêu dùng Mỗi tổ hợp hàng hóa gọi giỏ hàng Giả sử cấu người tiêu dùng có mặt hàng giỏ hàng ba số thực
( , , )x y z Hàm lợi ích cho tương ứng giỏ hàng với giá trị u u x y z ( , , ) d) Hàm cung, hàm cầu
Giả sử thị trường có n loại hàng hóa với giá trị tương ứng P P1, , , 2 Pn Khi Hàm cung QSi S P Pi( , , , )1 2 Pn
Hàm cầu QDi D P Pi( , , , )1 2 Pn
6.2 Giới hạn hàm hai biến số 6.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa Cho f hàm hai biến có miền xác định D chứa điểm gần (a,b) Giới hạn f(x,y) (x,y) tiến gần (a,b) L với số 0 tồn số 0 cho với
x y, D 0 x a 2 y b 2 f x y , L Ta viết:
x y,lima b, f x y , L hay limx a , y b
f x y L
hay f x y , L x y, a b,
Tập D x y, R :2 x a 2 y b2
gọi đĩa tròn tâm (a,b) bán kính
Ví dụ 6.6 Chứng minh
2 , 0,0
3
lim
x y
x y x y
Giải
(5)75 | P a g e Nếu 0 x2y2
2
3
0
x y
x y
Ta có: 2
2
3
0 3
x y
y x y
x y , ta chọn
Khi đó: 2
0 x y 2
2
3
0 3
3
x y
y x y
x y Vậy
2 , 0,0
3
lim
x y
x y x y
Chú ý Nếu f x y , L1 x y, a b, theo đường C1 f x y , L2 x y, a b, theo đường C2 L1L2thì khơng tồn
x y,lima b, f x y , Ví dụ 6.7 Chứng minh giới hạn
2 2 ,lim0,0
x y
x y x y
không tồn
Giải
Cho x y, 0,0 dọc theo trục Ox thì: , 22 22 22 022 1, 0
x y x
f x y x
x y x
Do f x y , 1 x y, 0,0 dọc theo trục Ox
Cho x y, 0,0 dọc theo trục Oy thì: , 22 22 022 22 1, 0
x y y
f x y y
x y y
Do f x y , 1 x y, 0,0 dọc theo trục Ox Vậy giới hạn cho khơng tồn
Ví dụ 6.8 Cho f x y , 2xy2 4
x y
, giới hạn x y,lim0,0 f x y , có tồn khơng? Giải
Cho x y, 0,0 dọc theo đường thẳng x y thì:
22
, ,
1
x x x
f x y f x x
x x x
(6)76 | P a g e 2
4
.y
, y , y
2
y f x y f
y y
Do giới hạn cho khơng tồn 6.2.2 Tính chất
Tham khảo tính chất giới hạn hàm biến 6.3 Liên tục
6.3.1 Định nghĩa
Định nghĩa Hàm số hai biến f liên tục (a,b)
x y,lima b, f x y , f a b , Hàm số f liên tục D liên tục điểm (a,b) D
6.3.2 Tính chất
Hàm đa thức hai biến tổng số hạng có dạng n m k
c x y với ck số, n, m số nguyên dương x, y hai biến
Ví dụ 6.9: f x , y 3x y2 32x y5 4x y3
Hàm hữu tỉ tỉ số hàm đa thức Ví dụ: , y 3 22
2
x y x y x y g x
x xy
Chú ý:
- Các hàm đa thức liên tục
R , hàm hữu tỉ liên tục miền xác định - Nếu f x , y liên tục D, g(t) liên tục miền giá trị f h=g(f(x,y)) liên tục D
Ví dụ 6.10 Tính
,lim1,2
x y x y x y xy
Giải Vì f x y , x y x y2 22xy hàm đa thức nên liên tục R2 Do đó:
2 2
,lim1,2 1, 2 2.1.2
x y x y x y xy f Ví dụ 6.11 Hàm số f x y , x22 y22
x y
liên tục miền nào?
(7)77 | P a g e Hàm f x y , x22 y22
x y
hàm hữu tỷ liên tục miền xác định D nó, với:
, , 0,0
D x y x y
Ví dụ 6.12 Hàm số
2
2 , , 0,0
,
0 , , 0,0
x y
x y x y
g x y
x y
liên tục miền nào?
Giải
Hàm g(x,y) xác định điểm (0,0) hàm không liên tục điểm (0,0) giới hạn x y,lim0,0 g x y , không tồn
Do đó, hàm g(x,y) liên tục D với D x y, x y, 0,0
6.4 Đạo hàm riêng vi phân hàm biến 6.4.1 Đạo hàm riêng vi phân cấp 6.4.1.1 Khái niệm đạo hàm riêng
Cho hàm hai biến f(x,y), giả sử biến x thay đổi cố định biến y (y=b) Khi hàm f trở thành hàm biến Đặt g(x)=f(x,b), g có đạo hàm a, ta gọi đạo hàm riêng f x (a,b) ký hiệu f a bx ,
Do đó: f a bx , g a' với g x f x b ,
Vì:
0
, ,
' lim lim
h h
g a h g a f a h b f a b g a
h h
nên ta có:
, lim0 , ,
x h
f a h b f a b f a b
h
Tương tự ta có đạo hàm riêng hàm số theo biến y điểm (a,b): , lim0 , ,
y h
f a b h f a b f a b
h
Nếu f hàm hai biến, đạo hàm riêng hàm f fx , y xác định bởi:
, lim0 , , ; , lim0 , ,
x h y h
f x h y f x y f x y h f x y
f x y f x y
h h
(8)78 | P a g e
, ,
x x x
f z
f x y f f x y D f
x x x
y , y , y
f z
f x y f f x y D f
y y y
Quy tắc tìm đạo hàm riêng hàm số z f x y ,
1 Để tìm fx ta xem y số tìm đạo hàm z f x y , theo biến x Để tìm fy ta xem x số tìm đạo hàm z f x y , theo biến y Ví dụ 6.13 Tính đạo hàm riêng hàm số f x y( , )x y x3 siny y
Giải
Ta có f ( , ) 3x y x y2 sin ,y f ( , )x y x3 xcosy 4y3
x y
Ví dụ 6.14 Cho f x y , x3x y2 32y2 Tìm 2,1 ; 2,1
x y
f f Giải
Xem y số lấy đạo hàm theo biến x ta có: , 3 2 2,1 3.22 2.2.13 16
x x
f x y x xy f
Xem x số lấy đạo hàm theo biến y ta có: , 3 2 4 2,1 3.2 12 4.1 8
y y
f x y x y y f Ví dụ 6.15 Cho , sin
1
x f x y
y
Tìm ;
f f x y
Giải Ta có:
2
1
cos cos
1 1
cos cos
1 1
f x x x
x y x y y y
f x x x x
x y y y y y
Ví dụ 6.16 Tìm z; z
x y
z hàm ẩn cho phương trình:
3 3 6 1
x y z xyz
Giải
(9)79 | P a g e
Ta có: 2 2
2
3
3 6
3
z z z x yz x yz
x z yz xy
x x x z xy z xy
Tương tự ta có: 22 22
3
z y xz y xz
y z xy z xy
6.4.1.2 Đạo hàm riêng hàm nhiều hai biến
Cho f hàm số ba biến x, y, z đạo hàm riêng biến x xác định bởi:
0
, , , ,
lim x h
f x h y z f x y z f
h
Tương tự ta có cơng thức đạo hàm riêng y z
Tổng quát u hàm n biến, u f x x 1, , ,2 xn đạo hàm riêng hàm u biến thứ i, xi là:
0
, , , , , , , ,
lim
i
i n i n
x h i
f x x h x f x x x u
u
x h
Ví dụ 6.17 Tìm đạo hàm riêng f f fx , ,y z với , , ln xy
f x y z e z Giải
Ta có: xyln xyln xy
x y z
f ye z f xe z f e
z
6.1.3 Hàm khả vi vi phân cấp 6.1.3.1 Hàm khả vi
Nếu hàm hai biến f có đạo hàm riêng liên tục Ta có phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt z=f(x,y) điểm P x y 0, , z0 0 là:
(10)80 | P a g e Khi x thay đổi từ x0 đến x0 x y thay đổi từ y0 đến y0 y z thay đổi từ
0, 0
f x y đến f x 0 x, y0 y
Do đó: z f x 0 x, y0 y f x 0, y0
Tại điểm nằm mặt phẳng tiếp xúc, gần tiếp điểm P khoảng cách từ điểm đến mặt z f x y , nhỏ Ta có ước lượng sau, gọi xấp xỉ tuyến tính hàm z f x y , điểm x y0, 0
0, 0 0, 0
x y
z f x y x f x y y
Định nghĩa Hàm z f x y , gọi khả vi (a,b) z biểu diễn dạng: a, b a, b
x y
z f x f y x y
Trong đó: 10, 2 0 x 0, y
Định lý Nếu đạo hàm riêng fx , fy tồn gần điểm (a,b) liên tục điểm (a,b) hàm f khả vi điểm (a,b)
Ví dụ 6.18 Chứng minh hàm số sau f x y , xexy khả vi điểm (1,0) tìm
phương trình mặt phẳng tiếp xúc đồ thị f điểm Dùng phương trình vừa tìm ước lượng giá trị hàm số điểm (1,1; -0,1) hay f(1,1; -0,1)
Giải
Các đạo hàm riêng là: 1 xy 1,0 1 xy 1,0 1
x x y y
f y e f fx e f
Do hai đạo hàm riêng liên tục điểm (1,0) nên hàm f x y , xexy khả vi điểm
(1,0)
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc điểm (1,0):
0 1,0 x 1,0 y 1,0
z z z f f x f y hay z x y Xấp xỉ tuyến tính tương ứng: xexy x y
Vậy f 1,1; 0,1 1,1 0,1 1
(11)81 | P a g e Cho hàm hai biến khả vi z f x y , , ta định nghĩa vi phân dx dy biến độc lập (có thể nhận giá trị nào) Khi vi phân tồn phần (total differential) dz định nghĩa sau:
, ,
x y
z z
dz f x y dx f x y dy dx dy
x y
Ví dụ 6.19 Cho hàm hai biến z f x y , x23xy y a) Tìm dz
b) Khi x thay đổi từ đến 2,05 y thay đổi từ đến 2,96, so sánh giá trị z dz
Giải
a) dz zdx zdy 2x 3y dx 3x 2y dy
x y
b) Đặt x2, dx x 0, 05;y3, dy y 0, 04 ta có: 2 3 0,05 3 2 2 0,04 0,65 dz Ta có: z f 2,05; 2,96 f 2; 30,6449 6.4.2 Đạo hàm riêng vi phân cấp cao 6.4.2.1 Đạo hàm riêng cấp cao
Nếu f hàm hai biến, đạo hàm riêng f fx , y hàm hai biến Ta xét đạo hàm riêng x x; x y; y
x
f f f y
y
f Đây gọi đạo hàm riêng cấp hàm f Nếu z f x y , ta sử dụng ký hiệu sau đây:
2 2
2
2 2
2
x x xx x y xy
y x yx y y yy
z f z z f z
f f f f
x x x x y x x y x y
z f z z f z
f f f f
x y y x y x y y y y
Ví dụ 6.20 Tìm đạo hàm riêng cấp hàm số: f x y , x3x y2 32y2 Giải
Ta có: 3 2 3 2 4
x y
(12)82 | P a g e Từ ta có:
3 2
6 6
xx xy yx xx
f x y f xy f xy f x y
Định lý Clairaut Giả sử hàm f xác định đĩa D chứa điểm (a.b) Nếu hàm số fxy fyx liên tục D thì: fxy a b, fyx a b,
Ma trận Hessian (Ma trận Hess) Giả sử hàm số n biến số f x x( , , , )1 2 xn có
2
n đạo hàm riêng cấp fx xi j( ,i j1, 2, , ). n
Khi đó, ma trận vng cấp n sau đây:
1 1
2 2
1
n n
n n n n
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x
f f f
f f f
H
f f f
gọi ma trận Hess hàm số f x x( , , , )1 2 xn Nếu hàm số f x x( , , , )1 xn có đạo hàm riêng cấp liên tục ma trận Hess ma trận đối xứng
Ví dụ 6.21
Ma trận Hess hàm biến f x y z( , , ) x y z3 5 ma trận
2 5 4 5 3 4 3 4
6 12 15
12 12 20
15 20 20
x y z x y z x y z
H x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
6.4.2.2 Vi phân cấp cao
Giả sử hàm số n biến số f x x( , , , )1 2 xn có đạo hàm riêng cấp 1, cấp liên tục tập
n
D R Vi phân toàn phần hàm số f x x( , , , )1 2 xn điểm X x x( , , , )1 2 xn D
1
1
( ) ( ) ( ) n
n
f f f
df X dx X dx X dx
x x x
Để đơn giản ta sử dụng ký hiệu i
f x
thay cho i ( ) , 1, 2, ,
f
X i n
x
Như 1 2
1
n n
f f f
df dx dx dx
x x x
(13)83 | P a g e Rõ ràng df hàm theo n biến số x x1, , ,2 xn Nếu hàm số lại có vi phân điểm X x x( , , , )1 2 xn D ta gọi vi phân d df( ) vi phân cấp hàm số
1
( , , , )n
f x x x điểm X x x( , , , )1 2 xn ký hiệu d f , nghĩa d df( ) d f2
Như vậy, vi phân cấp hàm n biến số f x x( , , , )1 xn tính theo công thức
2
1 n n
i k i k i k
f
d f dx dx
x x
Công thức tính vi phân cấp hàm n biến số f x x( , , , )1 2 xn viết theo cách sau
2
1
1
n n
d f dx dx dx f
x x x
Biểu thức vi phân toàn phần cấp d f2 dạng toàn phương n biến số
1, 2, , n
dx dx dx với hệ số dx dxi k
2
( , 1,2, , ) i k
f
i k n
x x
Ma trận dạng toàn phương d f2 ma trận Hess hàm số
1
( , , , )n
f x x x Tổng quát
Nếu hàm số f x x( , , , )1 2 xn có đạo hàm riêng cấp m m( 1) liên tục ta lấy vi phân tồn phần tới cấp m Vi phân tồn phần cấp m hàm số
1
( , , , )n
f x x x điểm X x x( , , , )1 2 xn D vi phân toàn phần vi phân toàn phần cấp (m1) điểm X x x( , , , )1 2 xn ký hiệu d fm
Như
( )
m m
d f d d f
Vi phân toàn phần cấp m hàm số f x x( , , , )1 2 xn X x x( , , , )1 xn tính theo cơng thức
1
1
m m
n n
d f dx dx dx f
x x x
(14)84 | P a g e Qui tắc dây chuyền Giả sử z f x y , hàm khả vi theo biến x, y với x g t ,
y h t hàm khả vi theo biến t z hàm khả vi theo biến t và:
z f x f y z z x z y
hay
t x t y t t x t y t
Ví dụ 6.22 Cho hàm hai biến z x y 3xy4 với xsin 2t
cos
y t Tính dz zt dt t=0
Giải
Ta có: z z x. z y. 2xy 3y42cos 2t x2 12xy3 sint t x t y t
Khi t=0 ta có x=sin0=0 y=cos0=1 Vậy
0
t
z t
Qui tắc dây chuyền Giả sử z f x y , hàm khả vi theo biến x, y với x g s t , , ,
y h s t hàm khả vi theo biến t z hàm khả vi theo biến t s thì:
;
z f x f y z z x z y
t x t y t s x s y s
Ví dụ 6.23 Cho hàm hai biến z e xsiny với
x st y s t Tính z; z s t
Giải Ta có:
2
2
2 2
2 2
sin cos sin cos
sin cos sin cos
x x st
x x st
z z x z y
e y t e y st te t s t s s t s x s y s
z z x z y
e y st e y s se t s t s s t
t x t y t
Qui tắc dây chuyền tổng quát Giả sử u hàm khả vi theo n biến x x1, , ,2 xnvới xi
các hàm khả vi theo m biến t t1, , ,2 tm Khi u hàm theo biến t t1, , ,2 tm và:
1
1
n
i i i n i
x
x x
z z z z
t x t x t x t
Ví dụ 6.24 Cho
u x y y z với 2
, , sin
t t
x rse y rs e z r s t Tính giá trị u
s
(15)85 | P a g e Giải Ta có:
3 2
t t sin
u u x u y u z
x y re x yz rse y z r t
s x s y s z s
Khi r 2,s 1,t x 2,y 2,z u 192
s
6.4.3.2 Đạo hàm hàm ẩn
Cho y f x hàm khả vi theo biến x cho phương trình dạng F x y , 0 Theo quy tắc dây chuyền, ta lấy đạo hàm hai vế phương trình theo biến x:
F
F x F y y x
F
x x y x x
y
F
y
Hay ta có: x y
F dy dx F
Cho z f x y , hàm khả vi theo biến x cho phương trình dạng F x y z , , 0 Theo quy tắc dây chuyền, ta lấy đạo hàm hai vế phương trình theo biến x:
F x F y F z
x x y x z x
Vì x 1, y
x x
nên ta có:
F
F F z z x
F
x z x x
z
nếu F
z
Tương tự ta có:
F
F F z z y
F
y z y y
z
Do đó: x, y
z z
F F
dz dz
dx F dy F
Ví dụ 6.25 Tìm y biết x3y3 6xy
Giải Phương trình cho viết lại là: F x y , x3y36xy0
Vậy 22
3
x y
F
dy x y
dx F y x
(16)86 | P a g e 6.4.4 Ứng dụng đạo hàm riêng tài
6.4.4.1 Đạo hàm riêng giá trị cận biên kinh tế học
Xét mơ hình hàm kinh tế w f x x( , , , )1 xn w x x, , , ,1 xn biến số
kinh tế Đạo hàm riêng hàm w theo biến xi điểm 0 0 1, , ,2 n
M x x x gọi giá trị w – cận biên theo xi điểm đó, nghĩa ( 0)
i
w M x
biểu diễn lượng thay đổi giá trị
biến w giá trị xi thay đổi đơn vị điều kiện giá trị biến độc lập lại không thay đổi
* Hàm sản xuất Q f K L( , )
Các đạo hàm riêng K ( , ) ; L ( , )
f f
Q K L Q K L
K L
gọi tương ứng hàm sản phẩm
cận biên tư (MPK) hàm sản phẩm cận biên lao động (MPL) điểm
( , )K L
*Ý nghĩa : K ( , )
f
Q K L
K
biễu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm vật gia tăng sử dụng
thêm đơn vị tư giữ nguyên mức sử dụng lao động Tương tự, L ( , )
f
Q K L
L
biễu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm vật gia tăng sử dụng thêm đơn vị lao động giữ nguyên mức sử dụng tư
Ví dụ 6.26 Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp Q20K L14 34 K, L, Q mức sử dụng tư bản, mức sử dụng lao động sản lượng hàng ngày Giả sử doanh nghiệp sử dụng 16 đơn vị sản phẩm 81 đơn vị lao động ngày tức
16; 81
K L Xác định sản lượng cận biên tư lao động điểm giải thích ý nghĩa
Giải
Sản lượng cận biên tư lao động
3 1
4 4
( , ) ; ( , ) 15
K L
f f
Q K L K L Q K L K L
K L
Sản lượng cận biên tư lao động K 16;L81 tương ứng 3
4 135
(16,81) (16,81) 16 81 1,69
8 K
f Q
K
(17)87 | P a g e 1
4
(16,81) (16,81) 15 16 81 10
L
f Q
L
Nghĩa doanh nghiệp tăng mức sử dụng tư K từ 16 lên 17 đơn vị giữ nguyên lao động L81 ngày sản lượng tăng thêm xấp xỉ 1,69 đơn vị sản phẩm Tương tự, doanh nghiệp tăng mức sử dụng lao động L từ 81 lên 82 đơn vị giữ nguyên tư K 16 ngày sản lượng tăng thêm xấp xỉ 10 đơn vị sản phẩm
* Hàm lợi ích U U x x ( , , , )1 xn
Đạo hàm riêng hàm lợi ích biến độc lập i ( 1, ) i
U
MU i n
x
i
MU gọi hàm lợi ích cận biên hàng hóa thứ i * Ý nghĩa : Đạo hàm riêng MUi điểm 0 0
0 1, , ,2 n
M x x x biễu diễn xấp xỉ lợi ích tăng thêm người tiêu dùng có thêm đơn vị hàng hóa thứ i điều kiện số đơn vị hàng hóa khác khơng thay đổi
Ví dụ 6.27 Giả sử hàm tiêu dùng hàng ngày người tiêu dùng loại hàng hóa
3 2
2
U x x Trong x x1, 2 mức sử dụng hàng hóa hàng hóa 2, U lợi ích người tiêu dùng hàng ngày Giả sử người tiêu dùng sử dụng 64 đơn vị hàng hóa 25 đơn vị hàng hóa ngày Xác định lợi ích cận biên hàng hóa điểm giải thích ý nghĩa
Giải
Lợi ích cận biên hàng hóa hàng hóa người tiêu dùng tương ứng :
1
2 2
1 ; 2 MU x x MU x x
Lợi ích cận biên hàng hóa hàng hóa người tiêu dùng x164 ; x2 25 tương ứng :
1(64, 25) 60 ; 2(64, 25) 102,
MU MU
Nghĩa người tiêu dùng tăng mức sử dụng hàng hóa thêm đơn vị (từ 64 lên 65) giữ nguyên mức sử dụng hàng hóa ngày lợi ích tăng thêm khoảng 60 đơn vị Tương tự, giữ nguyên mức sử dụng hàng hóa tăng mức sử dụng hàng hóa thêm đơn vị (từ 25 lên 26) ngày lợi ích tăng thêm khoảng 102,4 đơn vị
(18)88 | P a g e Cho hàm kinh tế w f x x( , , , )1 2 xn Hệ số co giãn của hàm w theo biến xi điểm
0 0
0 1, , ,2 n
M x x x số đo lượng thay đổi tính phần trăm w xi thay đổi 1%
trong điều kiện giá trị biến độc lập khác không đổi, ký hiệu xác định
sau :
0 0 0
1
0 0
, , ,
, , ,
i
n
f i
x
i n
f x x x x
x f x x x
Ví dụ 6.28 Giả sử hàm cầu hàng hóa thị trường hai hàng hóa có liên quan có
dạng 2
1
5 6300
3 d
Q p p , p p1, 2 tương ứng giá hàng hóa 1, Xác định hệ số co giãn cầu theo giá p1 giá hàng hóa ( ,p p1 2) xác định hệ số co giãn cầu theo giá p1 giá hàng hóa thứ hai p2 ( ,p p1 2) Xác định hệ số co giãn cầu theo giá p1, p2 cho biết ý nghĩa điểm ( ,p p1 2) (20,30) Giải
Hệ số co giãn cầu theo giá p1 giá hàng hóa ( ,p p1 2)
1
1
2
1
4
5 6300
3
d
Q p
p p
p p
Hệ số co giãn cầu theo giá p1 giá hàng hóa thứ hai p2 ( ,p p1 2)
1
2
2
1
10
5
3 6300 2
3
d
Q p
p p
p p
Tại điểm (20,30) ta có 1
1 0, ; 0,75
d d
Q Q
p p
Điều có nghĩa hàng hóa mức giá 20 hàng hóa mức giá 30 tăng giá hàng hóa lên 1% cịn giá hàng hóa khơng đổi cầu hàng hóa giảm 0,4% Tương tự, giá hàng hóa khơng đổi giá hàng hóa tăng thêm 1% cầu hàng hóa giảm 0,75%
6.4.4.3 Quy luật lợi ích cận biên giảm dần Xét hàm kinh tế hai biến số z f x y( , )
+ z f ( , )x y x x
hàm cận biên hàm kinh tế theo biến x
+ z f ( , )x y y y
(19)89 | P a g e Trong kinh tế học, quy luật lợi ích cận biên giảm dần nói : giá trị z – cận biên biến x giảm dần x tăng y không đổi Tương tự, giá trị z – cận biên biến y giảm dần y tăng x không đổi (chú ý : xét điều kiện giá trị biến x, y
đủ lớn)
Cơ sở toán học : + z f ( , )x y
x x
hàm số giảm
2
2 ( , )
z f
x y
x x
+ z f ( , )x y y y
hàm số giảm
2
2 ( , )
z f
x y
y y
Ví dụ 6.29 Hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng Cobb – Douglas sau :
( , , 0)
Q aK L a
Tìm điều kiện , để hàm số tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần Giải
Hàm sản phẩm cận biên tư Q a K 1L K
Hàm sản phẩm cận biên lao động Q a K L L
Biểu quy luật lợi ích cận biên giảm dần
2
2
1
( 1)
1
( 1)
Q
a K L
K Q
a K L
L
Vậy điều kiện
0
Áp dụng cho toán cụ thể với hàm sản xuất Q20K L14 34 K, L, Q mức sử dụng tư bản, mức sử dụng lao động sản lượng hàng ngày Hàm thỏa mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần
6.4.4.4 Hàm vấn đề hiệu theo quy mô sản xuất a) Khái niệm hàm
Hàm số z f x y( , ) gọi hàm cấp k (k0) với t ta có
( , ) k ( , )
f tx ty t f x y
(20)90 | P a g e
( , ) ( ) ( ) ( , )
Q tK tL a tK tL t aK L t Q K L Ví dụ 6.31 Hàm 0,5 0,5
9 9
Q K K L L hàm cấp b) Tính chất
i) Giả sử w f x x( , , , )1 2 xn có đạo hàm riêng liên tục Khi
f bậc k 1 2
1
n
n
f f f
x x x k f
x x x
ii) Nếu f hàm bậc k, g hàm bậc m f.g hàm bậc k m , fn hàm thuấn bậc kn, f
g hàm bậc k m (nếu k m ) c) Vấn đề hiệu theo quy mô
Xét hàm sản xuất Q f K L( , ) K L, yếu tố đầu vào, Q yếu tố đầu Bài toán đặt : Nếu yếu tố đầu vào K L, tăng gấp m lần đầu Q có tăng gấp m lần hay khơng ?
+ Nếu Q mK mL( , )mQ K L( , ) nói hàm sản xuất có hiệu tăng theo quy mơ
+ Nếu Q mK mL( , )mQ K L( , ) nói hàm sản xuất có hiệu giảm theo quy mô
+ Nếu Q mK mL( , )mQ K L( , ) nói hàm sản xuất có hiệu khơng đổi theo quy mơ
d) Liên hệ hiệu quy mô với bậc Giả sử hàm sản xuất Q f K L( , ) hàm cấp k
+ Nếu k1 hàm sản xuất có hiệu tăng theo quy mơ + Nếu k1 hàm sản xuất có hiệu giảm theo quy mơ + Nếu k1 hàm sản xuất có hiệu khơng đổi theo quy mơ Ví dụ 6.32 Hàm sản xuất 0,5 0,5
9 9
Q K K L L hàm cấp nên có hiệu khơng đổi theo quy mô
(21)91 | P a g e 6.5 Cực trị hàm biến số ứng dụng tài
6.5.1 Cực trị khơng có điều kiện ràng buộc 6.5.1.1 Định nghĩa
Cho hàm số f x x( , , , )1 2 xn xác định tập
n
D R
( , , , )1 : ; , ; 1, 2, ,
n
n i i i i i
D X x x x R a x b a b R i n
Ta nói hàm số f x x( , , , )1 2 xn đạt cực đại địa phương (cực tiểu địa phương) điểm X x x( , , , )1 2 xn D tồn lân cận S X r( , )D (r0 đủ nhỏ) cho
1 2 2
( , , , )n ( , , , )n ( , , , )n ( , , , )n
f x x x f x x x f x x x f x x x với
( , , , )n ( , )
X x x x S X r ,
2
1 2
( , ) ( , , , ) n
n n
S X r X x x x R X X x x x x x x r
Điểm X x x( , , , )1 2 xn mà hàm số f x x( , , , )1 2 xn đạt cực đại địa phương (cực tiểu địa phương) gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) Điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị
6.5.1.2 Điều kiện cần để có cực trị Định lý
Nếu hàm số f x x( , , , )1 2 xn xác định có đạo hàm riêng theo tất biến độc lập D đạt cực trị (cực đại cực tiểu) điểm X x x( , , , )1 2 xn D
1
( , , , ) ,n 1, 2, , i
f
x x x i n
x
Đó điều kiện cần để có cực trị Điểm X x x( , , , )1 2 xn thỏa mãn điều kiện (3.4) gọi điểm dừng hàm số f x x( , , , ).1 2 xn
Từ định lý ta thấy hàm số f x x( , , , )1 2 xn đạt cực trị điểm dừng Tuy nhiên điều kiện cần, chưa phải điều kiện đủ Điều kiện đủ giúp ta kiểm tra xem điểm dừng hàm số có cực trị hay khơng
6.5.1.3 Điều kiện đủ để có cực trị
Giả sử X x x( , , , )1 2 xn điểm dừng hàm số f x x( , , , )1 2 xn điểm hàm số có tất đạo hàm riêng cấp hai liên tục
Đặt
2
1
( , , , ) ( , 1, 2, , )
ij n
i j
f
a x x x i j n
x x
(22)92 | P a g e Khi ma trận Hess hàm số f x x( , , , )1 2 xn X x x( , , , )1 xn ma trận đối xứng,
tức aij aji ( ,i j1, 2, , ) n
11 12
21 22
1
n n
n n nn
a a a
a a a
H
a a a
Ma trận H có n định thức
11 12 11 12
21 22 21 22
11 12 11
21
1 2
, , , , ,
k n
k n
k n
k k kk n n nn
a a a a a a
a a a a a a
a a
D a D D D
a a
a a a a a a
Định lý
i) Nếu D10,D2 0, , Dn 0 X x x( , , , )1 xn điểm cực tiểu hàm số
1
( , , , ).n
f x x x
ii) Nếu 1 0, 2 0, ,( 1)n n
D D D X x x( , , , )1 2 xn điểm cực đại hàm số
1
( , , , ).n
f x x x
iii) Nếu D10,D20, , Dn 0 tồn i1,2, , n cho Di 0
1 0, 0, ,( 1)
n n
D D D tồn i1,2, , n cho Di 0 chưa thể kết luận cực trị địa phương hàm số f x x( , , , )1 2 xn X x x( , , , )1 xn Hàm số
1
( , , , )n
f x x x đạt cực trị không đạt cực trị điểm X x x( , , , )1 2 xn Muốn có kết luận ta phải sử dụng phương pháp khác
iv) Trong trường hợp khác X x x( , , , )1 2 xn điểm cực trị Hệ
Giả sử hàm số f x y( , ) có đạo hàm riêng cấp liên tục M x y0( , )0 0 điểm
0( , )0
M x y điểm dừng hàm số f x y( , ) Ta đặt
2 2
2
0 0 0
2 ( , ), ( , ), ( , ),
A B
f f f
A x y B x y C x y AC B
B C
x x y y
(23)93 | P a g e
i) Nếu
0
A
M x y0( , )0 điểm cực tiểu hàm số f x y( , ) ii) Nếu
0
A
M x y0( , )0 điểm cực đại hàm số f x y( , ) iii) Nếu 0 M x y0( , )0 0 không điểm cực trị hàm số f x y( , ) iv) Nếu 0 chưa có kết luận
Ví dụ 6.34 Tìm cực trị hàm số f x y( , ) x3 y3 3xy Giải
Ta tính đạo hàm riêng cấp 1, cấp f x y( , )
2
2 2
2
3 , 3
6 , 3,
f f
x y y x
x y
f f f
x y
x x y y
Điểm dừng hàm số f x y( , ) nghiệm hệ phương trình
2
0
3 0
0
3
0
f
x y x x
x
f y x y y
y
Ta hai điểm dừng M0(0,0),M1(1,1) + Tại M0(0,0), ta có
2
0, 3,
A B C AC B Vậy hàm số f x y( , ) không đạt cực trị
0(0,0)
M
+ Tại M1(1,1), ta có
2
6, 3, 27
A B C AC B Vậy hàm số f x y( , ) đạt cực tiểu
1(1,1)
M fCT f (1,1) 1
Ví dụ 6.35 Tìm cực trị hàm số f x y z( , , ) x3 xy y 2xz2z2 3y1. Giải
(24)94 | P a g e
3
2
2
f
x y z
x f
x y
y f
x z
z
Giải hệ phương trình ta có hai điểm dừng 1(1, 2, ),1 2( 5, , 1)
2 4
M M Các đạo hàm riêng cấp hàm số f x y z( , , )
2 2
2
2 2
2
6 , 1,
2, 0,
f f f
x
x x y x z
f f f
y y z z
+ Tại 1(1, 2, )1
M
Ma trận Hess hàm số f x y z( , , )
6
1
2
H
1
6
6
6 0, 11 0, 36
1
2
D D D
Suy f x y z( , , ) đạt cực tiểu 1(1, 2, )1
2
M 1, 2,1
2
CT
f f
+ Tại 2( 5, , 1)
2 4
M
Ma trận Hess hàm số f x y z( , , )
3
1
2
H
1
3
3
3 0, 0, 36
1
2
D D D
(25)95 | P a g e Suy f x y z( , , ) không đạt cực trị 2( 5, , 1)
2 4
M
6.5.1.4 Cực trị không điều kiện hàm kinh tế nhiều biến số
Ví dụ 6.36 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm Biết hàm cầu loại sản phẩm xí nghiệp đơn vị thời gian 2
1
1230 1350
,
14 14
P P P P
Q Q
và hàm tổng chi phí xét đơn vị thời gian 2 1 2
( , )
C Q Q Q Q Q Q Tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa
Giải
Giả sử Q Q1, 2là sản lượng sản phẩm thứ thứ hai xí nghiệp Để bán hết số sản phẩn xí nghiệp phải bán với giá P P1, 2 cho:
1 1
1 2 2
5 1230 14 360
3 14 1350 570
P P Q P Q Q
P P Q P Q Q
Doanh thu:
1 2 1 2
2
1 2
(360 3 ) (570 5 )
3 5 2 360 570
R PQ P Q Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q
Lợi nhuận:
2 2
1 2 1 2
2
1 2
( 360 570 ) ( )
4 360 570
R C Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q
Điểm dừng nghiệm hệ phương trình
1
1 2
2
0
8 3 360 0 30
3 12 570 0 40
0
Q Q Q Q
Q Q Q
Q
điểm dừng M(30,40)
Ta có:
2 2
2
1 2
8 ; 3 ; 12 A 8;B 3;C 12
Q Q Q Q
2 ( 8).( 12) ( 3)2 87 0
8 0
AC B A
(26)96 | P a g e Ví dụ 6.37 Cho hàm lợi nhuận công ty sản phẩm
R C PQ wL rK
trong lợi nhuận, R doanh thu, C chi phí, L lượng lao động, w tiền lương cho lao động, K tiền vốn, r lãi suất tiền vốn, P đơn giá bán sản phẩm Giả sử Q hàm sản xuất Cobb – Douglas dạng Q L1 / / 3K Ta tìm L, K để lợi nhuận đạt tối
đa cho trường hợp w = 1, r = 0,02, P = Khi ta có hàm hai biến với đạo hàm riêng
1/3 1/3
2/3 1/3 1/3 2/3
2 2
5/3 1/3 2/3 2/3 1/3 5/3
2
3 0,02
1 , 0,02
2
, ,
3 3
L K L K
L K L K
L K
L K L K L K L K
L K
Tìm điểm dừng cách giải hệ 'L 0,'K 0 ta L = 50, K = 2500 Xét đạo hàm riêng cấp hai điểm dừng (L K0, 0) (50,2500) ta có
1 0 , , , 0
75 7500 187500 18750000
A B
A B C
B C
Vậy lợi nhuận đạt tối đa L = 50, K = 2500 với max 50 6.5.2 Cực trị có điều kiện ràng buộc hàm biến
6.5.2.1 Cực trị có điều kiện ràng buộc với hai biến chọn phương trình ràng buộc
Trong phần trước ta xét tốn tìm cực trị hàm z f x y( , ) biến số
,
x y khơng có điều kiện ràng buộc Ta gọi cực trị tự hay cực trị không điều kiện Ở mục ta xét tốn tìm cực trị hàm biến z f x y( , ) x y, bị ràng buộc với với điều kiện
Định nghĩa Cho hàm số z f x y( , ), ( , ) x y xác định tập
( , ) 2: , ; , , , 2.
D M x y R a x b c y d a b c d R R
Ta nói hàm số z f x y( , ) đạt cực đại địa phương (cực tiểu địa phương) điểm
0( , )0
M x y với điều kiện ( , ) 0x y tồn lân cận S M r( 0, ) D (r 0 đủ nhỏ) cho f x y( , ) f x y( , )0 0 f x y( , ) f x y( , )0 0 với điểm M x y( , )S M r( 0, )
( )M ( , ) 0.x y
(27)97 | P a g e Điều kiện cần để có cực trị
Định lý
Giả sử M x y0( , )0 0 điểm cực trị hàm số z f x y( , ) với điều kiện ( , ) 0x y f x y( , ), ( , ) x y hàm số có đạo hàm riêng liên tục lân cận điểm
0( , )0
M x y ( , ) 0.x y0 0
y
Khi tồn cho
0 0
0 0
0
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , )
f
x y x y
x x
f
x y x y
y y
x y
Số gọi nhân tử Lagrange Hàm số L x y( , ) f x y( , )( , )x y gọi hàm số Lagrange
Như vậy, hệ phương trình viết lại dạng 0
0
0
( , ) ( , ) ( , )
L x y x L
x y y L
x y
Điều kiện đủ để có cực trị
Giả sử ( , , )x y0 0 điểm dừng hàm số Lagrange L x y( , ), tức nghiệm hệ phương trình (3.6) với giả thiết hàm số f x y( , ), ( , ) x y có đạo hàm riêng cấp liên
tục điểm M x y0( , )0 0 Khi đó, hàm số L x y( , ) có đạo hàm riêng cấp liên tục điểm M x y0( , )0 0 Ta xét định thức
1
1 11 12 21 22
0
D L L
L L
(28)98 | P a g e
1 0 0
2 2
11 0 12 0 0 21
2
22 0
( , ) , ( , )
( , , ) , ( , , ) ( , , )
( , , )
x y x y
x y
L L L
L x y L x y x y L
x x y y x
L
L x y
y
Định lý 3.9
Nếu D 0 điểm M x y0( , )0 0 điểm cực đại có điều kiện hàm số f x y( , ) Nếu D 0 điểm M x y0( , )0 0 điểm cực tiểu có điều kiện hàm số f x y( , ) Nếu D 0 chưa có kết luận điểm M x y0( , )0 0 xét
Ví dụ 6.38 Tìm cực trị hàm số f x y( , ) 4 x3y với điều kiện x2 y2 1. Giải
Hàm Lagrange L x y( , ) 4 x3y(x2 y2 1). Giải hệ 2 2 4
2
5
3
2
5
5
1 2 2
L
x x x
x L
y y y
y L x y
Ta tính đạo hàm riêng cấp hàm số ( , )x y x2 y2 1 đạo hàm riêng cấp L x y( , )
2 2
11 12 21 22
1
2 2
2 , , ,
2 ,
0 2
2 8 ( )
2
L L L L
L L L L
x x y y x y
x y
x y
x y
D x y x x y
y
+ Tại 1( , )4 5
M 1
2
D 200 nên 1( , )4 5
M điểm cực tiểu
4
,
5 CT
f f
(29)99 | P a g e + Tại 2( 4, 3)
5
M 2
2
D 200 nên 2( 4, 3)
5
M điểm cực đại
4
, 11
5
CD
f f
6.5.2.2 Cực trị có điều kiện ràng buộc với n biến chọn phương trình ràng buộc
Định nghĩa
Cho hàm số f x x( , , , ), ( , , , )1 2 xn x x1 2 xn xác định tập
( , , , )1 : ; , ; 1, 2, ,
n
n i i i i i
D X x x x R a x b a b i n
Ta nói hàm số f x x( , , , )1 2 xn đạt cực đại địa phương (cực tiểu địa phương) điểm
( , , , )n
X x x x D với điều kiện ( , , , ) 0x x1 2 xn tồn lân cận S X r( , )D (r0 đủ nhỏ) cho f x x( , , , )1 2 xn f x x( , , , )1 2 xn
f x x( , , , )1 xn f x x( , , , )1 xn với điểm X x x( , , , )1 xn S X r( , )
1
( )X ( , , , ) 0x x xn Điều kiện cần để có cực trị Định lý
Giả sử X x x( , , , )1 2 xn điểm cực trị hàm số f x x( , , , )1 2 xn với điều kiện
( , , , ) 0x x xn
f x x( , , , ), ( , , , )1 2 xn x x1 2 xn hàm số có đạo hàm riêng liên tục lân cận điểm X x x( , , , )1 2 xn X có đạo hàm riêng ( , , , )x x1 2 xn khác Khi tồn cho
1 2
1
( , , , ) ( , , , )
( 1, 2, , ) ( , , , )
n n
i i
n
f
x x x x x x
x x
i n
x x x
Số gọi nhân tử Lagrange Hàm số
1 2
( , , , , )n ( , , , )n ( , , , )n
L x x x f x x x x x x gọi hàm số Lagrange Như
(30)100 | P a g e
1
( , , , ) ; 1, 2, , ( , , , )
n i
n
L
x x x i n
x L
x x x
Điều kiện đủ để có cực trị
Giả sử ( , , , , )x x1 xn điểm dừng hàm số L x x( , , , , )1 xn , tức nghiệm hệ với giả thiết hàm số f x x( , , , ), ( , , , )1 xn x x1 xn có đạo hàm riêng cấp liên
tục điểm X x x( , , , )1 2 xn Khi hàm số L x x( , , , , )1 2 xn
có đạo hàm riêng cấp liên tục điểm X x x( , , , )1 2 xn Ta lập ma trận
1
1 11 12
2 21 22
1
0 n
n n
n n n nn
L L L
H L L L
L L L
Trong 2
( , , , ) ; 1, 2, , ( , , , , ) ; , 1, 2, ,
k n
k
ij n
i j
x x x k n
x L
L x x x i j n
x x
Ta xét định thức
1
1 11 12
2 21 22
1
0
( 2,3, , )
k k
k k
k k k kk
L L L
D L L L k n
L L L
Định lý
Nếu 2 0, 3 0, ,( 1)n n
D D D X x x( , , , )1 2 xn điểm cực đại có điều kiện hàm số f x x( , , , )1 2 xn
Nếu D2 0,D30, , Dn0 X x x( , , , )1 xn điểm cực tiểu có điều kiện hàm số
1
( , , , )n
f x x x
(31)101 | P a g e Cho D tập đóng, bị chặn Rncó biên Dcho phương trình
1
( , x , , x ) 0x n
Giả sử f x( , x , , x )1 2 n hàm số liên tục D Sau quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ f x( , x , , x )1 2 n D
- Tìm điểm nghi ngờ có cực trị f x( , x , , x )1 2 n với điều kiện ( , x , , x ) 0x1 2 n
- Tìm điểm dừng f x( , x , , x )1 2 n thuộc D
Giá trị lớn (nhỏ nhất) f x( , x , , x )1 2 n D giá trị lớn (nhỏ nhất) giá trị hàm điểm tìm
Ví dụ 6.39 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm 2
( , ) x
f x y y x miền 2
: x
D y
Giải
Ta có f 2x ; f 4y
x y
Do f x y( , ) có điểm dừng
1
x y
điểm thuộc D
Đặt L x y( , ) x 22y2 x (x2y21)
Giải hệ
2
2
4
x
x y z
L x x
L y y
L y
Ta có điểm nghi ngờ 1,0 , 1,0 , 1, , 1,
2 2
Tính giá trị f x y( , ) điểm ta có
1 1
min ,0 ; max ,
2 2
D f f D f f
6.5.4 Ứng dụng cực trị có điều kiện hàm kinh tế 6.5.4.1 Tối đa hóa hàm lợi ích
Ví dụ 6.40 Cho hàm lợi ích tiêu dùng loại hàng hóa 0,4 0,6
( , )
U x y x y (x số
đơn vị hàng hóa 1, y số đơn vị hàng hóa ; x0,y0) Giả sử giá mặt hàng tương ứng 2USD, 3USD thu nhập dành cho người tiêu dùng 130USD Hãy xác định lượng cầu mặt hàng để người tiêu dùng thu lợi ích tối đa
(32)102 | P a g e + Bước : Tìm cực đại hàm số U với điều kiện 2x 3y 130
+ Bước : Lập hàm số Lagrange L x y( , , ) x y0,4 0,6(2x 3y 130)
+ Bước : Giải hệ phương trình
0,6 0,6 0,4 0,4
0
5 26
0 26
2 130
0
L
x x y x
L
x y y
y
x y L
; điểm dừng 26, 26,
M
+ Bước : Kiểm tra điều kiện đủ
1
2
1,6 0,6
11
2
0,4 1,4
22
2
0,6 0,4
21 12
2 ;
0, 24 0, 24.26
0, 24 0, 24.26
0, 24 0, 24.26
x y
L
x y L
x L
x y L
y
L L
x y L L
x y y x
Vì định thức 11 12 21 22
0
2
3
D L L
L L
nên M điểm cực đại hàm số
+ Bước : Kết luận
Người tiêu dùng cần mua mặt hàng với số lượng tương ứng 40 60 để thu lợi ích tối đa U(26, 26) 26
Ví dụ 6.41 Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào thời lượng quảng cáo đài phát (x phút) đài truyền hình (y phút) Hàm doanh thu
2
320 540 2000
R x x xy y y
Chi phí cho phút quảng cáo đài phát triệu đồng, đài truyền hình triệu đồng Ngân sách chi cho quảng cáo B180triệu đồng
a) Tìm x, y để cực đại doanh thu
b) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng triệu đồng doanh thu cực đại tăng lên ?
Giải
(33)103 | P a g e
2
( , ) 320 540 2000
R x y x x xy y y với x 4y 180
+ Bước : xét hàm Lagrange
2
( , , ) 320 540 2000 ( 180)
L x y x x xy y y x y
Tính đạo hàm riêng cấp 1, cấp hàm L
2 2
2
320 ; 540 10 ; 180
4 ; 10 ;
L L L
x y x y x y
x y
L L L L
x y x y y x
+ Bước : Giải hệ phương trình
0
4 320 52
0 10 540 32
4 180 16
0
L
x x y x
L
x y y
y
x y L
; điểm dừng M52,32, 16
+ Bước : Kiểm tra điều kiện đủ
1
11 22 12 21
1 ;
4 ; 10 ;
x y
L L L L
Vì định thức
0
1
1 10
D
nên M điểm cực đại hàm số
Vậy doanh thu cực đại (52,32)
b) Gọi Rmax doanh thu đạt giá trị cực đại Khi Rmax 16
B
Vậy tăng ngân sách chi cho quảng cáo lên triệu đồng doanh thu cực đại tăng lên 16 triệu đồng
6.5.4.2 Bài tốn tối đa hóa lợi ích
Giả sử P P1, 2 giá mặt hàng x y, mà người tiêu dùng cần mua với tổng số tiền m Giả sử u x y( , ) lợi ích sử dụng hai mặt hàng Bài tốn tối đa hóa lợi ích có nội dung sau:
(34)104 | P a g e Ta xem xét toán tối đa hóa lợi ích với giả thiết hàm lợi ích có đạo hàm riêng cấp cấp liên tục miền ( , ) :x y x0,y0 Để cho gọn, ta ký hiệu đạo hàm riêng sau:
1
2 2
11 12 21 22
,
, ,
u u
u u
x y
u u u u
u u u u
x x y y x y
Lập hàm Lagrange L x y( , , ) u x y( , )P x P y m1 2 Điều kiện cần để ( , )x y cho lợi ích tối đa là:
1 1
1 2 2 0 x y z
L u P u u
P P
L u P
Px P y m L Px P y m
(3.9)
Gọi ( , )x y0 0 nghiệm hệ phương trình (3.9), giá trị tương ứng nhân tử Lagrange xác định theo công thức
1 0 0
1
( , ) ( , )
u x y u x y
P P
Để xét điều kiện đủ (đối với điểm dừng hàm số Lagrange) ta tính đạo hàm riêng hàm số
1
( , )x y Px P y
đạo hàm riêng cấp hàm số L x y( , , ) Ta có
1 0 0
2
11 0 0 11
2
12 0 0 12
2
21 0 0 21
2
22 0 0 22
( , ) , ( , )
( , , ) ( , )
( , , ) ( , )
( , , ) ( , )
( , , ) ( , )
x y P x y P
x y
L u
L x y x y u
x x
L u
L x y x y u
x y x y
L u
L x y x y u
y x y x
L u
L x y x y u
(35)105 | P a g e Ta lập ma trận
1 2
1 11 12 11 12
2 21 22 21 22
0 P P
H L L P u u
L L P u u
Điều kiện đủ để hàm lợi ích đạt cực đại
2
1 12 22 11
det
D H PP u P u P u
6.5.4.3 Bài tốn tối thiểu hóa chi phí
Khi định mua sắm hàng hóa dịch vụ, khơng phải người tiêu dùng sử dụng toàn thu nhập để hưởng lợi ích tối đa Một xu hướng lựa chọn khác người ta đặt mức lợi ích u0 định thực lợi ích với chi phí nhỏ Bài tốn lựa chọn người tiêu dùng trường hợp đặt sau:
Chọn ( , )x y để chi phí tiêu dùng P x P y C1 2 đạt giá trị cực tiểu với điều kiện
0
( , )
u x y u Bài toán gọi tốn tối thiểu hóa chi phí người tiêu dùng
Lập hàm Lagrange L x y( , , ) P x P y1 2 u x y( , )u0
Điều kiện trường hợp
1
1
1
2
0
0
1
0 (3.10)
( , )
( , )
L
P u
x u u
L
P P
P u
y
u x y u
L
u x y u
Gọi ( , )x y0 0 nghiệm hệ phương trình (3.10), giá trị tương ứng nhân tử Lagrange tính theo cơng thức
1
1( , )0 2( , )0
P P
u x y u x y
(36)106 | P a g e
1
2
1 11 12 12 21 11 22
2 21 22
0
( )
u u
D u u u u u u u u u u u u u
u u u