VÒ mÆt kü thuËt, nh÷ng robot c«ng nghiÖp ngµy nay, cã nguån gèc tõ hai lÜnh vùc kü thuËt ra ®êi sím h¬n ®ã lµ c¸c c¬ cÊu ®iÒu khiÓn tõ xa (Teleoperators) vµ c¸c m¸y c«ng cô ®iÒu khiÓn [r]
(1)Robot Công nghiệp
Chơng I
Giíi thiƯu chung vỊ robot c«ng nghiƯp
1.1 Sơ lợt trình phát triển robot c«ng nghiƯp (IR : Industrial Robot) :
Tht ngữ Robot xuất phát từ tiếng Sec (Czech) Robota có nghĩa công việc tạp
dịch kịch Rossums Universal Robots Karel Capek, vào năm 1921 Trong vë kÞch
nầy, Rossum trai ơng ta chế tạo máy gần giống với ng−ời để
phục vụ ng−ời Có lẽ gợi ý ban đầu cho nhà sáng chế kỹ thuật
cấu, máy móc bắt ch−ớc hoạt động bắp ngi
Đầu thập kỷ 60, công ty Mỹ AMF (American Machine and Foundry Company) qu¶ng
cáo loại máy tự động vạn gọi “Ng−ời máy công nghiệp” (Industrial Robot)
Ngày ng−ời ta đặt tên ng−ời máy công nghiệp (hay robot công nghiệp) cho loại thiết
bị có dáng dấp vài chức nh− tay ng−ời đ−ợc điều khiển tự động để thực số thao tác sản xuất
Về mặt kỹ thuật, robot công nghiệp ngày nay, có nguồn gốc từ hai lĩnh vực kỹ thuật đời sớm cấu điều khiển từ xa (Teleoperators) máy công cụ điều khiển số (NC - Numerically Controlled machine tool)
Các cấu điều khiển từ xa (hay thiết bị kiểu chủ-tớ) phát triển mạnh chiến tranh giới lần thứ hai nhằm nghiên cứu vật liệu phóng xạ Ng−ời thao tác đ−ợc tách biệt
khỏi khu vực phóng xạ t−ờng có vài cửa quan sát để nhìn thấy
đ−ợc cơng việc bên Các cấu điều khiển từ xa thay cho cánh tay ng−ời thao tác; gồm có kẹp bên (tớ) hai tay cầm bên (chủ) Cả hai, tay cầm kẹp, đ−ợc nối với cấu sáu bậc tự để tạo vị trí h−ớng tuỳ ý tay cầm kẹp Cơ cấu dùng để điều khiển kẹp theo chuyển động tay cầm
Vào khoảng năm 1949, máy công cụ điều khiển số đời, nhằm đáp ứng yêu cầu gia công chi tiết ngành chế tạo máy bay Những robot thực chất nối kết giữa khâu khí cấu điều khiển từ xa với khả lập trình máy công cụ điều khiển số
Dới điểm qua số thời điểm lịch sử phát triển ngời máy công
nghiệp Một robot công nghiệp đợc chế tạo robot Versatran công
ty AMF, Mỹ Cũng vào khoảng thời gian nầy Mỹ xuất loại robot Unimate -1900 đợc
dùng kỹ nghệ ôtô
Tiếp theo Mỹ, nớc khác bắt đầu sản xuất robot công nghiệp : Anh -1967, Thuỵ
Điển Nhật -1968 theo quyền Mỹ; CHLB Đức -1971; Pháp - 1972; ý - 1973
Tính làm việc robot ngày đợc nâng cao, khả nhận biết
x lý Nm 1967 tr−ờng Đại học tổng hợp Stanford (Mỹ) chế tạo mẫu robot hoạt động
theo mơ hình “mắt-tay”, có khả nhận biết định h−ớng bàn kẹp theo v trớ vt kp nh
các cảm biến Năm 1974 Công ty Mỹ Cincinnati đa loại robot đợc điều khiển máy vi
tớnh, gi l robot T3 (The Tomorrow Tool : Công cụ t−ơng lai) Robot nầy nâng đ−ợc vật có khối l−ợng đến 40 KG
Có thể nói, Robot tổ hợp khả hoạt động linh hoạt cấu điều khiển từ
xa với mức độ “tri thức” ngày phong phú hệ thống điều khiển theo ch−ơng trình số
cịng nh− kü thuật chế tạo cảm biến, công nghệ lập trình phát triển trí khôn
nhân tạo, hệ chuyên gia
(2)Robot C«ng nghiƯp
chung quanh, với thành tựu to lớn lĩnh vực Tin học - Điện tử tạo
thÕ hƯ robot víi nhiều tính đăc biệt, Số lợng robot ngày gia tăng, giá thành ngày
cng gim Nh vy, robot cơng nghiệp có vị trí quan trọng dây chuyền sản xuất đại
Mét vµi số liệu số lợng robot đợc sản xuất vài nớc công nghiệp phát triển nh sau :
(B¶ng I.1)
N−íc SX Năm 1990 Năm 1994 Năm 1998 (Dù tÝnh)
NhËt 60.118 29.756 67.000
Mü 4.327 7.634 11.100
§øc 5.845 5.125 8.600
ý 2.500 2.408 4.000
Ph¸p 1.488 1.197 2.000
Anh 510 1.086 1.500
Hµn quèc 1.000 1.200
Mü nớc phát minh robot, nhng nớc phát triển cao lĩnh vực nghiên cứu chế tạo sử dụng robot lại Nhật
1.2 ứng dụng robot công nghiệp sản xuất :
Từ đời robot công nghiệp đ−ợc áp dụng nhiều lĩnh vực d−ới góc độ
thay sức ngời Nhờ dây chuyền sản xuất đợc tổ chức lại, suất hiệu
sản xuất tăng lên rõ rệt
Mục tiêu ứng dụng robot công nghiệp nhằm góp phần nâng cao suất dây chuyền
cụng ngh, gim giá thành, nâng cao chất l−ợng khả cạnh tranh sản phẩm đồng
thời cải thiện điều kiện lao động Đạt đ−ợc mục tiêu nhờ vào khả to lớn
cña robot nh : làm việc mệt mỏi, dễ dàng chuyển nghề cách thành thạo,
chu c phóng xạ mơi tr−ờng làm việc độc hại, nhiệt độ cao, “cảm thấy” đ−ợc từ tr−ờng “nghe” đ−ợc siêu âm Robot đ−ợc dùng thay ng−ời tr−ờng hợp
trên thực công việc không nặng nhọc nh−ng đơn điệu, dễ gây mệt mõi, nhầm
lÉn
Trong ngành khí, robot đ−ợc sử dụng nhiều cơng nghệ đúc, cơng nghệ hàn, cắt
kim lo¹i, sơn, phun phủ kim loại, tháo lắp vận chuyển phôi, lắp ráp sản phẩm
Ngy xuất nhiều dây chuyền sản xuất tự động gồm máy CNC với Robot công nghiệp, dây chuyền đạt mức tự động hố cao, mức độ linh hot cao
đây máy robot đợc điều khiển hệ thống chơng trình
Ngoài phân xởng, nhà máy, kỹ thuật robot đợc sử dụng việc khai th¸c
thềm lục địa đại d−ơng, y học, sử dụng quốc phòng, chinh phục vũ tr,
trong công nghiệp nguyên tử, lĩnh vùc x· héi
Râ rµng lµ khả làm việc robot số điều kiện vợt khả
con ngi; ph−ơng tiện hữu hiệu để tự động hoá, nâng cao suất lao động,
giảm nhẹ cho ng−ời công việc nặng nhọc độc hại Nh−ợc điểm lớn
robot ch−a linh hoạt nh− ng−ời, dây chuyền tự động, có robot bị hỏng có
thể làm ngừng hoạt động dây chuyền, robot hoạt động d−ới giám
(3)Robot Công nghiệp 1.3 Các khái niệm định nghĩa robot công nghiệp :
1.3.1 Định nghĩa robot công nghiệp :
Hin cú nhiều định nghĩa Robot, điểm qua s nh ngha nh sau :
Định nghĩa theo tiêu chuẩn AFNOR (Pháp) :
Robot cụng nghip l cấu chuyển động tự động lập trình, lặp lại ch−ơng trình, tổng hợp ch−ơng trình đặt trục toạ độ; có khả định vị, định h−ớng, di chuyển đối t−ợng vật chất : chi tiết, dao cụ, gá lắp theo hành trình
thay đổi ch−ơng trình hố nhằm thực nhiệm vụ cơng ngh khỏc
Định nghĩa theo RIA (Robot institute of America) :
Robot tay máy vạn lặp lại ch−ơng trình đ−ợc thiết kế để di
chun vËt liƯu, chi tiÕt, dụng cụ thiết bị chuyên dùng thông qua chơng trình
chuyn ng cú th thay i hon thnh cỏc nhim v khỏc
Định nghÜa theo ΓOCT 25686-85 (Nga) :
Robot công nghiệp máy tự động, đ−ợc đặt cố định di động đ−ợc, liên kết
giữa tay máy hệ thống điều khiển theo ch−ơng trình, lập trình lại để hồn
thành chức vận động điều khiển trình sản xuất
Có thể nói Robot cơng nghiệp máy tự động linh hoạt thay phần
toàn hoạt động bắp hoạt động trí tuệ ng−ời nhiều khả nng thớch
nghi khác
Robot công nghiệp có khả chơng trình hoá linh hoạt nhiều trơc chun
động, biểu thị cho số bậc tự chúng Robot công nghiệp đ−ợc trang bị bàn tay
máy cấu chấp hành, giải nhiệm vụ xác định trình cơng nghệ : trực tiếp tham gia thực ngun cơng (sơn, hàn, phun phủ, rót kim loại vào khuôn đúc, lắp ráp máy ) phục vụ q trình cơng nghệ (tháo lắp chi tiết gia
công, dao cụ, đồ gá ) với thao tác cầm nắm, vận chuyển trao đổi đối t−ợng
với trạm công nghệ, hệ thống máy tự động linh hoạt, đ−ợc gọi “Hệ thống tự
động linh hoạt robot hố” cho phép thích ứng nhanh thao tác đơn giản nhiệm vụ sản xuất thay đổi
1.3.2 BËc tù cña robot (DOF : Degrees Of Freedom) :
Bậc tự số khả chuyển động cấu (chuyển động quay tịnh
tiến) Để dịch chuyển đ−ợc vật thể không gian, cấu chấp hành robot phải đạt
đ−ợc số bậc tự Nói chung hệ robot cấu hở, bậc tự có
thĨ tÝnh theo c«ng thøc :
w = 6n - ipi (1.1)
i=
∑
1
ở : n - Số khâu động;
pi - Sè khíp lo¹i i (i = 1,2, .,5 : Số bậc tự bị hạn chế)
Đối với cấu có khâu đợc nối với khớp quay tịnh tiến (khớp
ng loại 5) số bậc tự với số khâu động Đối với cấu hở, số bậc tự tổng số bậc tự khớp động
Để định vị định h−ớng khâu chấp hành cuối cách tuỳ ý không gian
chiều robot cần có bậc tự do, bậc tự để định vị bậc tự để định h−ớng
Một số cơng việc đơn giản nâng hạ, xếp yêu cầu số bậc tự Các robot
hàn, sơn thờng yêu cầu bậc tự Trong số trờng hợp cần khéo lÐo, linh ho¹t
hoặc cần phải tối −u hoá quỹ đạo, ng−ời ta dùng robot với số bậc tự lớn 1.3.3 Hệ toạ độ (Coordinate frames) :
Mỗi robot thờng bao gồm nhiều khâu (links) liên kết với qua khớp (joints),
(4)Robot C«ng nghiƯp
khâu gọi hệ toạ độ (hay hệ toạ độ chuẩn) Các hệ toạ độ trung gian khác gắn
với khâu động gọi hệ toạ độ suy rộng Trong thời điểm hoạt động, toạ độ suy
rộng xác định cấu hình robot chuyển dịch dài chuyển dịch góc cuả
khớp tịnh tiến khớp quay (hình 1.1) Các toạ độ suy rộng cịn đ−ợc gọi biến khớp
d2
θ1 θ3
θ4 θ5
n a o z
y O0
On
x
Hình 1.1 : Các toạ độ suy rộng robot
Các hệ toạ độ gắn khâu robot phải tuân theo qui tắc bàn tay phải : Dùng tay phải, nắm hai ngón tay út áp út vào lịng bàn tay, xoố ngún : cỏi,
trỏ theo phơng vuông góc nhau, chọn
ngón phơng chiều trục z, ngón trỏ
phơng, chiều trục x ngón biểu thị
phơng, chiều trục y (hình 1.2)
x
y
O z
Trong robot ta thờng dùng chữ O số n
để hệ toạ độ gắn khâu thứ n Nh− hệ toạ độ
cơ (Hệ toạ độ gắn với khâu cố định) đ−ợc ký
hiệu O0; hệ toạ độ gắn khâu trung gian
t−ơng ứng O1, O2, , On-1, Hệ toạ độ gắn khâu chấp hành cuối ký hiệu On
H×nh 1.2 : Qui tắc bàn tay phải
1.3.4 Trờng công tác cđa robot (Workspace or Range of motion):
Tr−êng c«ng tác (hay vùng làm việc, không gian công tác) robot lµ toµn bé thĨ tÝch
đ−ợc qt khâu chấp hành cuối robot thực tất cỏc chuyn ng cú th Trng
công tác bị ràng buộc thông số hình học robot nh ràng buộc học
cỏc khớp; ví dụ, khớp quay có chuyển động nhỏ góc 3600 Ng−ời ta th−ờng dùng
hai hình chiếu để mơ tả tr−ờng cơng tác robot (hình 1.3)
R β H
Hình chiếu đứng Hình chiếu
(5)Robot Công nghiệp 1.4 Cấu trúc robot công nghiệp :
1.4.1 Các thành phần cđa robot c«ng nghiƯp :
Mét robot c«ng nghiệp thờng bao gồm thành phần nh : c¸nh tay robot,
nguồn động lực, dụng cụ gắn lên khâu chấp hành cuối, cảm biến, điều khin , thit b
dạy học, máy tính phần mềm lập trình nên đợc coi thành phần hệ
thống robot Mối quan hệ thành phần robot nh hình 1.4
Các cảm biến
Cánh tay robot
Dụng cụ thao tác Bộ điều
khiển máy tính
Nguồn động lực Thiết bị
d¹y häc
Các chơng trình
Hình 1.4 : Các thành phần chÝnh cđa hƯ thèng robot.
Cánh tay robot (tay máy) kết cấu khí gồm khâu liên kết với khớp động để tạo nên chuyển động robot
Nguồn động lực động điện (một chiều động b−ớc), hệ thống xy
lanh khí nén, thuỷ lực để tạo động lực cho tay mỏy hot ng
Dụng cụ thao tác đợc gắn khâu cuối robot, dụng cụ robot cã thĨ cã nhiỊu
kiểu khác nh− : dạng bàn tay để nắm bắt đối t−ợng công cụ làm việc nh− mỏ
hàn, đá mài, đầu phun sơn
Thiết bị dạy-hoc (Teach-Pendant) dùng để dạy cho robot thao tác cần thiết theo
u cầu q trình làm việc, sau robot tự lặp lại động tác đ−ợc dạy lm vic
(phơng pháp lập trình kiểu dạy häc)
Các phần mềm để lập trình ch−ơng trình điều khiển robot đ−ợc cài đặt mỏy
tính, dùng điều khiển robot thông qua điều khiển (Controller) Bộ điều khiển đợc gọi
là Mođun điều khiển (hay Unit, Driver), thờng đợc kết nối với máy tính Một mođun
iu khin cịn có cổng Vào - Ra (I/O port) để làm việc với nhiều thiết bị khác nh− cảm biến giúp robot nhận biết trạng thái thân, xác định vị trí đối t−ợng làm việc dị tìm khác; điều khiển băng tải cấu cấp phôi hoạt động phối hợp với robot
1.4.2 KÕt cÊu cña tay m¸y :
Nh− nói trên, tay máy thành phần quan trọng, định khả làm việc
cđa robot C¸c kÕt cÊu cđa nhiều tay máy đợc theo cấu tạo chức tay
ngời; nhiên ngày nay, tay máy đợc thiết kế đa dạng, nhiều cánh tay robot có hình
dáng khác xa cánh tay ngời Trong thiết kế sử dụng tay máy, cần quan tâm
n cỏc thụng s hỡnh - động học, thông số liên quan đến khả làm việc
robot nh− : tÇm với (hay trờng công tác), số bậc tự (thể hiƯn sù khÐo lÐo linh ho¹t cđa
(6)Robot C«ng nghiƯp
Các khâu robot th−ờng thực hai chuyển động :
• Chuyển động tịnh tiến theo h−ớng x,y,z khơng gian Descarde, thơng th−ờng
tạo nên hình khối, chuyển động nầy th−ờng ký hiệu T (Translation)
P (Prismatic)
• Chuyển động quay quanh trục x,y,z ký hiệu R (Roatation)
Tuỳ thuộc vào số khâu tổ hợp chuyển động (R T) mà tay máy có kết
cấu khác với vùng làm việc khác Các kết cấu thờng gặp Robot robot
kiểu toạ độ Đề các, toạ độ trụ, toạ độ cầu, robot kiểu SCARA, hệ toạ độ góc (phỏng sinh)
Robot kiểu toạ độ Đề các : tay máy có chuyển động tịnh tiến
theo ph−ơng trục hệ toạ độ gc
(cấu hình T.T.T) Trờng công tác có dạng
khối chữ nhật Do kết cấu đơn giản, loại tay máy nầy có độ cứng vững cao, độ xác khí dễ đảm bảo thuờng dùng để vận chuyển phôi liệu, lắp ráp, hàn mặt phẳng
T.T.T
Hình 1.5 : Robot kiểu toạ độ Đề
R.T.T
Hình 1.6 : Robot kiểu toạ độ trụ
Robot kiểu toạ độ trụ : Vùng làm việc robot có dạng hình trụ rỗng
Th−ờng khớp thứ chuyển động quay
VÝ dô robot bËc tù do, cÊu h×nh R.T.T
nh− h×nh vÏ 1.6 Cã nhiỊu robot kiĨu to¹
độ trụ nh− : robot Versatran hãng
AMF (Hoa Kú)
Robot kiểu toạ độ cầu : Vùng làm việc robot có dạng hình cầu th−ờng độ cứng vững loại robot nầy thấp so với hai loại Ví dụ robot bậc tự do, cấu hình R.R.R R.R.T làm việc theo kiểu toạ độ cầu (hình 1.7)
R.R.R R.R.T
Hình 1.7 : Robot kiểu toạ độ cầu
Robot kiểu toạ độ góc (Hệ toạ độ sinh) : Đây kiểu robot đ−ợc dùng nhiều Ba chuyển động chuyển động quay, trục quay thứ vng góc với
hai trục Các chuyển động định h−ớng khác chuyển động quay Vùng làm việc
(7)Robot C«ng nghiƯp
động theo hệ toạ độ góc gọn nhẹ, tức có vùng làm việc t−ơng đối lớn so với kích cở
bản thân robot, độ linh hoạt cao
Các robot hoạt động theo hệ toạ độ góc nh− : Robot PUMA hãng Unimation -
Nokia (Hoa Kỳ - Phần Lan), IRb-6, IRb-60 (Thuỵ Điển), Toshiba, Mitsubishi, Mazak (NhËt B¶n) V.V
Ví dụ robot hoạt động theo hệ toạ độ góc (Hệ toạ độ sinh), có cấu hình RRR.RRR :
Hình 1.8 : Robot hoạt động theo hệ toạ độ góc
Robot kiÓu SCARA : Robot SCARA
đời vào năm 1979 tr−ờng đại học
Yamanashi (Nhật Bản) kiểu robot nhằm đáp ứng đa dạng trình sản xuất Tên gọi SCARA viết tắt "Selective Compliant Articulated Robot Arm" : Tay máy
mỊm dÏo t ý Lo¹i robot nÇy th−êng dïng
trong cơng việc lắp ráp nên SCARA đơi đ−ợc giải thích từ viết tắt "Selective Compliance Assembly Robot Arm" Ba khớp kiểu Robot nầy có cấu hình R.R.T,
các trục khớp theo ph−ơng thẳng đứng Sơ
đồ robot SCARA nh− hình 1.9
H×nh 1.9 : Robot kiểu SCARA
1.5 Phân loại Robot công nghiệp :
Robot công nghiệp phong phú đa dạng, đợc phân loại theo cách sau :
1.4.1 Phân loại theo kết cấu :
Theo kết cấu tay máy ng−ời ta phân thành robot kiểu toạ độ Đề các, Kiểu toạ độ
trụ, kiểu toạ độ cầu, kiểu toạ độ góc, robot kiểu SCARA nh− trình bày
1.4.2 Phân loại theo hệ thống truyền động :
Có dạng truyền động phổ biến :
Hệ truyền động điện : Th−ờng dùng động điện chiều (DC : Direct Current)
hoặc động b−ớc (step motor) Loại truyền động nầy dễ điều khiển, kết cấu gọn
Hệ truyền động thuỷ lực : đạt đ−ợc cơng suất cao, đáp ứng điều kiện làm
việc nặng Tuy nhiên hệ thống thuỷ lực th−ờng có kết cấu cồng kềnh, tồn độ phi tuyến lớn
khã xö lý ®iỊu khiĨn
Hệ truyền động khí nén : có kết cấu gọn nhẹ khơng cần dn ngc nhng li
phải gắn liền với trung tâm taọ khí nén Hệ nầy làm việc với công suất trung bình nhỏ,
kộm chớnh xỏc, th−ờng thích hợp với robot hoạt động theo ch−ơng trình định sẳn với
(8)Robot Công nghiệp
1.4.3 Phân loại theo ứng dụng :
Dùa vµo øng dơng cđa robot sản xuất có Robot sơn, robot hàn, robot lắp ráp, robot chun ph«i v.v
1.4.4 Phân loại theo cách thức đặc tr−ng ph−ơng pháp điều khiển :
Có robot điều khiển hở (mạch điều khiển khơng có quan hệ phản hồi), Robot điều khiển kín (hay điều khiển servo) : sử dụng cảm biến, mạch phản hồi để tăng độ xác mức độ linh hoạt điều khiển
Ngoài cịn có cách phân loại khác tuỳ theo quan điểm mục đích nghiên cứu
(9)Robot công nghiệp
Chơng II
Các phép biến đổi
(Homogeneous Transformation)
Khi xem xét, nghiên cứu mối quan hệ robot vật thể ta cần quan tâm đến vị trí (Position) tuyệt đối điểm, đ−ờng, mặt vật thể so với điểm tác động cuối (End effector) robot mà cần quan tâm đến vấn đề định h−ớng (Orientation) khâu chấp hành cuối vận động định vị taị vị trí
Để mơ tả quan hệ vị trí h−ớng robot vật thể ta phải dùng đến phép biến đổi
Ch−ơng nầy cung cấp hiểu biết cần thiết tr−ớc vào giải vấn đề liên quan tới động học động lực học robot
2.1 Hệ tọa độ nhất :
Để biểu diễn điểm không gian ba chiều, ng−ời ta dùng Vectơ điểm (Point vector) Vectơ điểm th−ờng đ−ợc ký hiệu chữ viết th−ờng nh− u, v, x1 để mơ tả vị trí điểm U, V, X1 ,
Tïy thuéc vào hệ qui chiếu đợc chọn, không gian chiều, điểm V đợc biểu diễn nhiều vectơ điểm khác :
vE
V
F vF
E
H×nh 2.2 : BiĨu diễn điểm không gian
vE v vF hai vectơ khác hai vectơ mô tả điểm V Nếu i, j, k vec tơ đơn vị hệ toạ độ đó, chẳng hạn E, ta có :
r r r r
v = a i + bj + ck với a, b, c toạ độ vị trí điểm V hệ
Nếu quan tâm đồng thời vấn đề định vị định h−ớng, ta phải biểu diễn vectơ v không gian bốn chiều với suất vectơ ma trận cột :
x x/w = a
v = y Trong y/w = b
z z/w = c
w với w số thực
w cịn đ−ợc gọi hệ số tỉ lệ, biểu thị cho chiều thứ t− ngầm định, Nếu w = dễ thấy : x
w x
x a
= = =
1 ;
y w
y
y b
= = =
1 ;
z w
z
z a
= = =
(10)Robot c«ng nghiƯp 10
Trong tr−ờng hợp nầy toạ độ biểu diễn với toạ độ vật lý điểm không gian chiều, hệ toạ độ sử dụng w=1 đ−ợc gọi hệ toạ độ nhất
Víi w = ta cã : x w
y w
z w
= = = ∞
Giới hạn ∞ thể h−ớng trục toạ độ
Nếu w số ≠ việc biểu diễn điểm không gian t−ơng ứng với hệ số tỉ lệ w :
VÝ dô : vr =3ir+4rj+5kr
với w = (trờng hợp nhất) :
v = [3 1]T víi w=-10 biĨu diƠn tơng ứng :
v = [-30 -40 -50 -10]T
Ký hiệu [ ]T (Chữ T viết cao lên để phép chuyển đổi vectơ hàng thành vectơ cột)
Theo cách biểu diễn đây, ta qui −ớc : [0 0 0]T vectơ không xác định
[0 0 n]T với n ≠ vectơ không, trùng với gốc toạ độ [x y z 0]T vectơ h−ớng
[x y z 1]T vectơ điểm hệ toạ độ 2.2 Nhắc lại phép tính vectơ v ma trn :
2.2.1 Phép nhân véctơ :
Cho hai vect¬ : ar=a ixr+a jyr+a kz r
r r r r
b =b ix +b jy +b kz
Ta cã tÝch v« h−íng a.b = axbx + ayby + azbz Vµ tÝch vect¬ :
ar x br =
z y x
z y x
b b b
a a a
k j
i r r
r
= (aybz-azby)ir+ (azbx-axbz) rj+ (axby-aybx)kr
2.2.2 C¸c phÐp tÝnh vỊ ma trËn : a/ PhÐp céng, trõ ma trËn :
Céng (trừ ) ma trận A B bậc có ma trận C bậc, với phần tử cij tổng (hiệu) phần tử aij vµ bij (víi mäi i, j)
A + B = C Víi cij = aij + bij A - B = C Víi cij = aij - bij
PhÐp céng, trõ ma trËn cã c¸c tÝnh chÊt gièng phÐp céng sè thùc
b/ TÝch cña hai ma trËn : TÝch cđa ma trËn A (kÝch th−íc m x n) víi ma trËn B (kÝch th−íc n x p) lµ ma trËn C cã kÝch th−íc m x p
VÝ dô : cho hai ma trËn :
A = vµ B =
(11)
Robot c«ng nghiƯp 11
1.1+2.3+3.5 1.2+2.4+3.6 22 28
C = A.B = 4.1+5.3+6.5 4.2+5.4+6.6 = 49 64
7.1+8.3+9.5 7.2+8.4+9.6 76 100
Phép nhân hai ma trận tính giao hoán, nghÜa lµ : A B ≠ B A
Ma trận đơn vị I (Indentity Matrix) giao hoán đ−ợc với ma trận : I.A = A.I Phép nhân ma trận tuân theo qui tắc sau :
1 (k.A).B = k.(A.B) = A.(k.B) A.(B.C) = (A.B).C
3 (A + B).C = A.C + B.C C.(A + B) = C.A + C.B c/ Ma trận nghịch đảo ma trận nht :
Một ma trận ma trËn x cã d¹ng : nx Ox ax px T = ny Oy ay py nz Oz az pz
0
Ma trận nghịch đảo T ký hiệu T-1 :
nx ny nz -p.n T-1 = O
x Oy Oz -p.O (2-1)
ax ay az -p.a
0
Trong p.n tích vơ h−ớng vectơ p n nghĩa : p.n = pxnx + pyny + pznz
t−¬ng tù : p.O = pxOx + pyOy + pzOz vµ p.a = pxax + pyay + pzaz
Ví dụ : tìm ma trận nghịch đảo ma trận biến đổi :
0 1
H =
-1 0
0
Giải : áp dụng công thức (2-1), ta cã : 0 -1 H-1 = 0 1 0 -2
0 -1
0
Chúng ta kiểm chứng ma trận nghịch đảo nhân ma trận H với H-1 :
0 1 0 -1 0
0 -2 = 0
-1 0 0 -1 0
(12)Robot c«ng nghiƯp 12
Ph−ơng pháp tính ma trận nghịch đảo nầy nhanh nhiều so với ph−ơng pháp chung; nhiên không áp dụng đ−ợc cho ma trận 4x4 mà kết với ma trận
d/ VÕt cña ma trËn :
VÕt ma trận vuông bậc n tổng phần tử đờng chéo : Trace(A) hay Tr(A) =
= n i ii a Mét sè tÝnh chÊt quan träng cña vÕt ma trËn :
1/ Tr(A) = Tr(AT)
2/ Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B) 3/ Tr(A.B) = Tr(B.A) 4/ Tr(ABCT) = Tr(CBTAT)
e/ Đạo hàm tích phân ma trận :
Nếu phần tử ma trận A hàm nhiều biến, phần tử ma trận đạo hàm đạo hàm riêng phần tử ma trận A theo biến t−ơng ứng
VÝ dô : cho
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a A
th× : dt
t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a dA 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =
Tơng tự, phép tích phân ma trận A mét ma trËn, cã : }
) ( { )
(t dt a t dt
A ∫ ij
∫ =
2.3 Các phép biến đổi
Cho u vectơ điểm biểu diễn điểm cần biến đổi, h vectơ dẫn đ−ợc biểu diễn ma trận H gọi ma trận chuyển đổi Ta có :
v = H.u
v vectơ biểu diễn điểm sau biến đổi 2.3.1 Phép biến đổi tịnh tiến (Translation) :
Giả sử cần tịnh tiến điểm vật thể theo vectơ dẫn hr =air+bjr+ckr Tr−ớc hết ta có định nghĩa ma trận chuyển đổi H :
0 a
H = Trans(a,b,c) = b (2.2)
0 c
(13)Robot c«ng nghiƯp 13
Gọi u vectơ biểu diễn điểm cần tịnh tiến : u = [x y z w]T Thì v vectơ biểu diễn điểm biến đổi tịnh tiến đ−ợc xác định :
1 0 a x x+aw x/w+a
v = H.u = b y = y+bw = y/w+b
0 c z z+cw z/w+c
0 w w
Nh− chất phép biến đổi tịnh tiến phép cộng vectơ vectơ biểu diễn điểm cần chuyển đổi vectơ dẫn
VÝ dô :
r r r r
r r r
u = i + 3j + 2k h = i - 3j + 7kr Th×
1 0 2+4
v = Hu = -3 = 3-3 =
0 2+7
0 1 1
vµ viÕt lµ : v = Trans(a,b,c) u
Hình 4: Phép biến đổi tịnh tiến không gian 2.3.2 Phép quay (Rotation) quanh trục toạ độ :
Giả sử ta cần quay điểm vật thể xung quanh trục toạ độ với góc quay θo, ta lần l−ợt có ma trận chuyển đổi nh− sau :
1 0
Rot(x, θo) = 0 cosθ -sinθ 0 (2.3)
sinθ cosθ
0 0
cosθ sinθ
Rot(y, θo) = 0 0 (2.4)
-sinθ cosθ
0 0
z
y
x h
u v
4
2
3 -3
2
(14)Robot c«ng nghiƯp 14
cosθ -sinθ 0
Rot(z, θo) = sinθ cosθ 0 (2.5)
0
0 0
VÝ dơ : Cho ®iĨm U biĨu diƠn bëi u = 7i + 3j + 2kr r r r quay xung quanh z mét gãc θ = 90o (h×nh 2.5) Ta cã
-1 0 -3
v= Rot(z, 90o)u = 1 0 0 0 3 = 7
0 2
0 1
Nếu cho điểm biến đổi tiếp tục quay xung quanh y góc 90o ta có :
0 -3
w = Rot(y, 90o)v = 0 1 0 0 7 = 7
-1 0
0 1
Vµ cã thĨ biĨu diƠn :
w = Rot(y, 90o) Rot(z, 90o) u =
Chú ý : Nếu đổi thứ tự quay ta đ−ợc w’≠ w (hình 2.6), cụ thể : cho U quay quanh y tr−ớc góc 900, ta có :
0
v’ = 0 = = Rot(y, 90o).u
-1 0 -7
0 1
Sau cho điểm vừa biến đổi quay quanh z góc 900, ta đ−ợc :
-1 0 -3
w’ = 0 = = Rot(z, 90o).Rot(y,900)u
0 -7 -7
0 1
Râ rµng : Rot(y, 90o).Rot(z,900)u ≠ Rot(z,900).Rot(y, 90o)u
y w z
u x
v
x
y
u
v’ w’ z
H×nh 2.5 H×nh 2.6
(15)Robot công nghiệp 15
2.3.3 Phép quay tổng quát :
Trong mục trên, ta vừa nghiên cứu phép quay xung quanh trục toạ độ x,y,z hệ toạ độ chuẩn O(x,y,z) Trong phần nầy, ta nghiên cứu phép quay quanh vectơ k góc θ Ràng buộc vectơ k phải trùng với gốc hệ toạ độ xác định tr−ớc
Ta khảo sát hệ toạ độ C, gắn lên điểm tác động cuối (bàn tay) robot, hệ C đ−ợc biểu diễn :
Cx Cy Cz Co
nx Ox az C = ny Oy ay nz Oz az 0 0
Khi gắn hệ toạ độ nầy lên bàn tay robot (hình 2.7), vectơ đơn vị đ−ợc biểu thị nh−
sau :
a : vectơ có h−ớng tiếp cận với đối t−ợng (approach);
O: vectơ có h−ớng mà theo ngón tay nắm vào cầm nắm đối tng (Occupation);
n : Vectơ pháp tuyến với (O,a) (Normal)
Bây ta coi vectơ k (mà ta cần thực phép quay quanh góc θ) vectơ đơn vị ca h C
Chẳng hạn : k = a i + a j + a kr xr yr zr
Lúc đó, phép quay Rot(k,θ) trở thành phép quay Rot(Cz,θ)
Nếu ta có T mơ tả hệ gốc k vectơ bất kỳ, ta có X mơ tả hệ C với k vectơ đơn vị Từ điều kiện biến đổi nhất, T X có liên hệ :
T = C.X hay X = C -1.T
Lúc phép quay d−ới đồng : Rot(k,θ) = Rot(Cz,θ)
hay lµ Rot(k,θ).T = C.Rot(z,θ).X = C.Rot(z,θ).C -1.T
VËy Rot(k,θ) = C.Rot(z,θ).C -1 (2.6)
Trong Rot(z,θ) phép quay quanh trục z góc θ, sử dụng cơng thức (2.5) nh− trình bày
C-1 ma trận nghịch đảo ma trận C Ta có : nx ny nz C-1= O
x Oy Oz ax ay az
0
a (Cx)
O(Cy)
Co
n (Cz)
(16)Robot công nghiệp 16
Thay ma trận vào vế phải phơng trình (2.6) :
nx Ox ax cosθ -sinθ 0 nx ny nz Rot(k,θ) = ny Oy ay sinθ cosθ 0 Ox Oy Oz nz Oz az 0 ax ay az
0 0 0
Nhân ma trận nầy với ta đợc :
nxnxcosθ - nxOxsinθ + nxOxsinθ + OxOxcosθ + axax Rot(k,θ) = nxnycosθ - nyOxsinθ + nxOysinθ + OxOycosθ + ayax nxnzcosθ - nzOxsinθ + nxOzsinθ + OxOzcosθ + azax
nxnycosθ - nxOysinθ + nyOxsinθ + OxOycosθ + axay nynycosθ - nyOysinθ + nyOysinθ + OyOycosθ + ayay nznycosθ - nzOysinθ + nyOzsinθ + OzOycosθ + azay
0
nxnzcosθ - nxOzsinθ + nzOxsinθ + OxOzcosθ + axaz nynzcosθ - nyOzsinθ + nzOysinθ + OyOzcosθ + ayaz nznzcosθ - nzOzsinθ + nzOzsinθ + OzOzcosθ + azaz
0 (2.7)
Để đơn giản cách biểu thị ma trận, ta xét mối quan hệ sau :
- Tích vơ h−ớng hàng hay cột C với hàng hay cột khác vectơ trực giao
- Tích vơ h−ớng hàng hay cột C với vectơ đơn vị
- Vectơ đơn vị z tích vectơ x y, : = n x Or r Trong : ax = nyOz - nzOy
ay = nxOz - nzOx ax = nxOy - nyOx
Khi cho k trùng với số vectơ đơn vị C ta chọn : kz = ax ; ky = ay ; kz = az
Ta ký hiÖu Versθ = - cosθ (Versin θ) BiÓu thøc (2.6) đợc rút gọn thành :
kxkxvers+cos kykxvers-kzsin kzkxvers+kysin
Rot(k,θ) = kxkyversθ+kzsinθ kykyversθ+cosθ kzkyversθ-kxsinθ (2.8)
kxkzversθ+kysinθ kykzversθ+kzsinθ kzkzversθ+cosθ
0 0
(17)Robot công nghiệp 17
2.3.4 Bài toán ngợc : tìm góc quay trục quay tơng ®−¬ng :
Trên ta nghiên cứu toán thuận, nghĩa định trục quay góc quay tr−ớc- xem xét kết biến đổi theo phép quay định
Ng−ợc lại với toán trên, giả sử ta biết kết phép biến đổi đó, ta phải tìm trục quay k góc quay θt−ơng ứng Giả sử kết phép biến đổi R=Rot(k,θ), xác định :
nx Ox ax R = ny Oy ay nz Oz az
0
Ta cần xác định trục quay k góc quay θ Ta biết Rot(k, θ) đ−ợc định nghĩa ma trận (2.6) , nên :
nx Ox ax kxkxversθ+cosθ kykxversθ-kzsinθ kzkxversθ+kysinθ
ny Oy ay = kxkyversθ+kzsinθ kykyversθ+cosθ kzkyversθ-kxsinθ
nz Oz az kxkzversθ+kysinθ kykzversθ+kzsinθ kzkzversθ+cosθ
0 0 0
(2.9)
B−ớc : Xác định góc quay θ
* Céng ®−êng chÐo cđa hai ma trËn ë hai vÕ ta cã :
nx + Oy + az + = kxversθ + cosθ + versθ + cosθ + versθ + cosθ +
ky
2
kz
2 = (1 - cossθ)(kx+ + ) + 3cosθ +
2
ky
2
kz
2 = - cosθ + 3cosθ +1 = 2(1+ cosθ)
⇒ cosθ = (nx + Oy + az - 1)/2
* Tính hiệu phần tử tơng đơng hai ma trận, chẳng hạn : Oz- ay = 2kxsinθ
ax - nz = 2kysinθ (2.10)
ny - Ox = 2kzsin
Bình phơng hai vế phơng trình cọng lại ta cã : (Oz- ay)
2 + (a x - nz)
2 + (n y - Ox)
2 = sin2θ
⇒ sinθ = ±1
2 (O - a ) + (a - n ) + (n - O ) z y
x z
y x
2
Víi 0≤ θ ≤ 1800 :
tgθ =
(O - a ) + (a - n ) + (n - O ) (n + O + a - 1)
z y
x z
y x
2
x y z
Và trục k đ−ợc định nghĩa : k = O a
2sin z y
x
−
θ ; k =
a n 2sin x z
y
−
θ ; k =
n O 2sin
y z
x
−
θ (2.11) §Ĩ ý với công thức (2.8) :
- Nếu = 00 kx, ky, kz có dạng
(18)Robot c«ng nghiƯp 18
- NÕu θ = 1800 th× k
x, ky, kz cã d¹ng
a ≠0
0 Lúc nầy k không xác định đ−ợc, ta phải dùng cách tính khác cho tr−ờng hợp nầy :
XÐt phần tử tơng đơng hai ma trận (2.9) : nx = kxversθ+cosθ
2 Oy = ky2
vers+cos az = kz2vers+cos Từ ta suy :
k n
vers
n - cos x
x x
= ± −cosθ = ± −cos
θ θ θ k O vers O - cos y
y y
= ± −cosθ = ± −cos
θ θ θ k a vers a - cos z
z z
= ± −cosθ = ± −cos
θ
θ θ Trong khoảng 900 1800 sin luôn dơng
Da vào hệ ph−ơng trình (2.10) ta thấy kx, ky, kz ln có dấu với vế trái Ta dùng hàm Sgn(x) để biểu diễn quan hệ “cùng dấu với x”, nh− :
k Sgn(O n
1 - cos
x z
x
= −ay) −cosθ θ k Sgn(a - n ) O
1 - cos
y x z
y
= −cosθ
θ (2.12)
k Sgn(n O a - cos
z y x
z
= − ) −cosθ
θ
Hệ ph−ơng trình (2.12) dùng để xác định xem kx, ky, kz thành phần có giá trị lớn Các thành phần cịn lại nên tính theo thành phần có giá trị lớn để xác định k đ−ợc thuận tiện Lúc dùng ph−ơng pháp cộng cặp cịn lại phần tử đối xứng qua đ−ờng chéo ma trận chuyển đổi (2.9) :
ny + Ox = 2kxkyversθ = 2kxky(1 - cosθ)
Oz + ay = 2kykzversθ = 2kykz(1 - cosθ) (2.13) ax + nz = 2kzkxversθ = 2kzkx(1 - cosθ)
Giả sử theo hệ (2.12) ta có kx lớn nhất, lúc ky, kz tính theo kx hệ (2.13); cụ
thĨ lµ : k n O
k y y x = + − x
2 (1 cos )θ
k a n
k z x x = + − z
2 (1 cos )θ
Ví dụ : Cho R = Rot[y,900]Rot[z,900] Hãy xác định k θ để R = Rot[k,θ] Ta biết :
0
R = Rot(y,900).Rot(z,900) = 1 0 0 0
0
0
(19)Robot c«ng nghiƯp 19
sinθ =
2 (O - a ) + (a - n ) + (n - O ) z y
x z
y x
2
=
2 (1 - 0) + (1 - 0) + (1 - 0) =
2 2
⇒ tgθ = − vµ θ = 1200 Theo (2.12), ta cã :
kx = ky = kz = +
+
+ =
0 1
1 /
/
VËy : R = Rot(y,900).Rot(z,900) = Rot(k, 1200); víi :
r r r r
k 3i
1 j
1 3k
= + +
Hình 2.8 : Tìm góc quay trục quay tơng đơng 1/
1/ 1/
k
O
1200
y z
x
2.3.5 PhÐp quay Euler :
Trên thực tế, việc định h−ớng th−ờng kết phép quay xung quanh trục x, y, z Phép quay Euler mô tả khả định h−ớng cách :
Quay mét gãc Φ xung quanh trơc z,
Quay tiếp góc θ xung quanh trục y mới, y’,
cuối quay góc ψ quanh trục z mới, z’’ (Hình 2.9)
H×nh 2.9 : PhÐp quay Euler x
y z z’
z’’z’’’
y’y’’ y’’’
x’ x’’ x’’’
θ
Ψ
Ψ Ψ
θ θ
Φ
Φ Φ
Ta biểu diễn phép quay Euler cách nhân ba ma trËn quay víi :
(20)Robot c«ng nghiƯp 20
Nói chung, kết phép quay phụ thuộc chặt chẻ vào thứ tự quay, nhiên , phép quay Euler, thực theo thứ tự ng−ợc lại, nghĩa quay góc ψ quanh z tiếp đến quay góc θ quanh y cuối quay góc Φ quanh z đ−a đến kết t−ơng tự (Xét hệ qui chiếu)
cosΦ -sinΦ 0 Cosθcosψ -Cosθ sinψ sinθ
= sinΦ cosΦ 0 sinψ cosψ 0
0 -sinθ cosψ sinθ sinψ Cosθ
0 0
cosΦCosθcosψ - sinΦsinψ -cosΦCosθsinψ - sinΦcosψ cosΦsinθ = sinΦCosθcosψ + cosΦsinψ -sinΦCosθsinψ + cosΦcosψ sinΦsinθ -sinθ cosψ sinθ sinψ cosθ
0
(2.15) Cosθ sinθ cosψ -sinψ 0
Euler (Φ,θ,ψ) = Rot(z, Φ) 0 sinψ cosψ 0
-sinθ Cosθ 0
0 0 0
2.3.6 PhÐp quay Roll-Pitch-Yaw :
Một phép quay định h−ớng khác th−ờng đ−ợc sử dụng phép quay Roll-Pitch Yaw
Ta t−ởng t−ợng, gắn hệ toạ độ xyz lên thân tàu Dọc theo thân tàu trục z, Roll chuyển động lắc thân tàu, t−ơng đ−ơng với việc quay thân tàu góc Φ quanh trục z Pitch bồng bềnh, t−ơng đ−ơng với quay góc θ xung quanh trục y Yaw lệch h−ớng, t−ơng đ−ơng với phép quay góc ψ xung quanh trục x (Hình 2.10)
z
y x
Thân tàu Yaw
Roll
Pitch Các phép quay áp dụng cho khâu chÊp
hành cuối robot nh− hình 2.11 Ta xác định thứ tự quay biểu diễn phép quay nh−
sau : H×nh 2.10: PhÐp quay Roll-Pitch-Yaw
RPY(Φ,θ,ψ)=Rot(z,Φ)Rot(y,θ)Rot(x, ψ) (2.16)
Yaw, ψ
y z
Pitch, θ Roll, Φ
x
H×nh 2.11 : Các góc quay Roll-Pitch Yaw bàn tay Robot