Viết phương trình mặt phẳng P đi qua gốc toạ độ và tạo với các đường thẳng OA, OB các góc bằng 30◦... Chứng minh rằng khi các điểm A và B lần lượt thay đổi trên các ∆1 và ∆2 thì trung đ[r]
(1)1 Vài ý hỏi số phức Rút gọn biểu thức A = z + iz − (1 + 2i)z + 3z + + 3i với z = + 3i; Đáp số A = −92 − 156i √ Rút gọn biểu thức B = (z − z + 2z )(2 − z + z ) với z = ( 3i − 1) Đáp số B = Viết dạng đại số các số phức sau: (a) (b) (c) ; i 1+i 2i + 3+i (d) ; (1 + i)(1 − 2i) ; − 17i + i − ; 3+i (e) (2 + i)6 ; 3π 3π (f) √ cos + i sin ; 4 √ (g) (−1 + i 3)60 ; (h) i+1 1−i 100 (i) (2 − 2i)7 π π + i sin ; 4 √ !40 1+i ; 1−i cos (j) √ ( − i)17 Viết dạng lượng giác các số phức sau: π π (e) −3 cos + i sin ; 6 (a) 2i; π ; π (g) sin α + i(1 − cos α)với < α < ; π (h) cot α + i, π < α < (b) i4 + i3 + i2 + i + 1; (f) − sin α + i cos α với < α < (c) (1 − i)(2 + i); (d) 2+i ; 1−i Tìm mô đun và argument các số phức sau: π ; + cos α + i sin α π (f) với < α < ; + cos α − i sin α i−1 (g) π π 2(cos + sin ) 4 π π + i cos ; 8 π π (b) cos − sin ; 4 √ (c) −2 + 3i; (e) − sin α + i cos α với < α < (a) − sin (d) − 3i; Chứng minh rằng: √ !6 √ !6 −1 + i −1 − i + = 2; (a) 2 √ !5 √ !5 −1 + i −1 − i (b) + = −1; 2 !6 √ √ !6 3+i i− (c) + = −2 2 Giải các phương trình sau tập hợp số phức: Lop12.net (2) 2+i √ + = 2; z−i 1+i (b) iz + − i = 0; (c) = + i; z+i z+1 (d) = 2i; z−1 (e) (3 + 5i)z = − z; (a) (f) iz = − i; (g) (7 − i)z + = 0; (h) (iz + 1)(z + 3i)(z − + 4i) = Giải các phương trình sau tập hợp số phức: (a) z + 2z = 0; (h) z + 4z − 77 = 0; (b) z − 2(2 + 3i)z + 4i − = 0; (i) (z + z + 1)(z + z + 2) = 12; (c) z − (5 − i)z + − i = 0; √ (d) z + (i − 1)( − 3)z − 12i = 0; (j) z − = 0; (k) z − 4z − 4z − = 0; (e) z − 4(1 − i)z + 2(4 − i) = 0; (l) (z + z)4 = 1; (f) 6z + 4z + = 0; (m) z + (z − 4)4 = 32; (g) z + 6z + 25 = 0; Giải các phương trình sau biết chúng có nghiệm ảo: (a) z + (2 − 2i)z + (5 − 4i)z − 10i = 0; Đáp số S = {2i; −1 − 2i; −1 + 2i} ( √ √ ) −1 − −1 + Đáp số S = −i; ; 2 (b) z + (1 + i)z + (i − 1)z − i = (c) z + (4 − 5i)z + (8 − 20i)z − 40i = Đáp số S = {5i; −2 − 5i; −2 + 5i} 10 Cho đa thức P (z) = z + (3i − 6)z + (10 − 18i)z + 30i (a) Tính P (−3i); Đáp số P (−3i) = (b) Giải phương trình P (z) = Đáp số S = {−3i; − i; + i.} 2 z+1 , biết z = + 4i là nghiệm phương trình 11 Giải phương trình z = − z−7 Đáp số S = {3 + 4i; − 4i; 9.} 12 Giải các phương trình sau: (a) z + 2z − z + 2z + = 0; ( Đáp số S = (b) z − 2z − z − 2z + = 0; ( Đáp số S = (c) z − (1 + √ √ √ √ ) − i + i −3 + −3 − ; ; ; 2 2 √ √ √ √ ) −1 − i −1 + i 3 + − ; ; ; 2 2 √ √ √ 2)z + (2 + 2)z − (1 + 2)z + = 0; (√ √ √ √ √ √ ) 2−i 2+i 1−i 1+i Đáp số S = ; ; ; 2 2 Lop12.net (3) (d) z − 4z + 6z − 4z − 15 = 0; Đáp số S = {−1; 3; − 2i; + 2i} (e) z + z − 13z − 14z − 13z + z + = ( Đáp số S = −1 ± 13 Giải các phương trình sau: 3 2 z−i z−i z−i (a) + + + = z+i z+i z+i 3 z+i = 8; (b) z−i (c) (z − z + 1)4 − 6z (z − z + 1)2 + 5z = 0; ( Đáp số S = 1; i; −i; √ 3i √ √ ; −2 ± 3; ± ) Đáp số S = {−1; 0; 1} 1+ (d) (z + 3z + 6)2 + 2z(z + 3z + 6) − 3z = 0; Đáp số S = {−3 + √ 5± ) p √ p √ 2+2 1±i 2+1 ; 2 √ √ √ √ 3; −3 − 3; −1 + 5i; −1 − 5i.} z − 12 = , z − 8i 14 Giải hệ phương trình z − = z−8 Đáp số z = + 17i và z = + 8i |z − 2i| = 4, 15 Giải hệ phương trình z+1+i = z−1−i Đáp số z = − i và z = −1 + i 16 Chứng minh rằng, |z| 1, thì 2z − i + iz 17 Cho các số phức z1 , z2 Chứng minh (a) |z1 | = |z2 | = c, thì |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 4c2 (b) |z1 z2 + 1|2 + |z1 − z2 |2 = (|z1 |2 + 1)(|z2 |2 + 1) với z1 , z2 tuỳ ý (c) |z1 z2 − 1|2 + |z1 − z2 |2 = (|z1 |2 − 1)(|z2 |2 − 1) với z1 , z2 tuỳ ý (d) |z1 − z2 | |z1 | + |z2 |; (e) ||z1 | − |z2 || |z1 | + |z2 |; (f) ||z1 | − |z2 || |z1 − z2 | Lop12.net (4) Vài ý hỏi hình học Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2) và B(−1; 2; 4) và đường thẳng x−1 y+2 z d: = = −1 (a) Tìm toạ độ điểm M thuộc d cho # » # » i) M A + M B nhỏ nhất; Đáp số.M (−1; 0; 4) ii) M A2 + M B nhỏ nhất; Đáp số M (−1; 0; 4) iii) M A + M B nhỏ nhất; iv) Diện tích tam giác AM B nhỏ Đáp số 12 38 − ; ; 7 (b) Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P ) là lớn Đáp số 5x + 13y − 4z + 21 = (c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (xOy) góc nhỏ Đáp số x + y − z + = (d) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa d và tạo trục (Oy) góc lớn Đáp số x + 5y − 2z + = Cho mặt phẳng (α) : x − y + 2z = và các điểm A(1; 2; −1), B(3; 1; −2), C(1; −2; 1) Tìm điểm M thuộc (α) cho 13 ; 1; − (a) M A + M B nhỏ nhất; Đáp số M 5 11 (b) |M A − M B| lớn nhất; Đáp số M ; ;1 2 (c) M A2 − M B − M C lớn nhất; Đáp số M (2; −2; −2) Đáp số M ; − 3 # » # » # » (d) |M A + M B + M C| nhỏ Trong số các đường thẳng ∆ qua A và cắt d, viết phương trình các đường thẳng cho khoảng cách từ B đến nó là lớn nhất; nhỏ x−1 y−4 z−2 x−1 y−4 z−2 Đáp số ∆1 : = = và ∆2 : = = −4 −3 15 18 −19 Cho mặt phẳng (P ) có phương trình x − y − 2z = và điểm M (2; −3; 1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M , vuông góc với (P ) và tạo với mặt phẳng (yOz) góc 45◦ Đáp số x + y + = 5x − 3y + 4z − 23 = Cho hai điểm A(1; 0; 1) và B(0; 1; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua gốc toạ độ và tạo với các đường thẳng OA, OB các góc 30◦ √ √ √ √ Đáp số (1 ± 5)x + y ∓ 5z = 0; (−1 ± 5)x + y ∓ 5z = Lop12.net (5) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm M (1; 2; 3) và tạo với trục toạ độ Ox, Oy các góc tương ứng 45◦ và 30◦ √ √ Đáp số 2(x − 1) + (y − 2) ± (z − 3) = 0; − 2(x − 1) + (y − 2) ± (z − 3) = √ Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M (1; 0; 3) cắt trục Ox và tạo với trục Ox góc 45◦ x = t − 2, x = t, Đáp số y = 0, √ z = 3t y = 0, √ z = 3t0 x = t, Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M (1; 1; 1) cắt đường thẳng (d) : y = t, z = −t và tạo với mặt phẳng z = góc α và sin α = √ Đáp số x y z = = 1 x+2 y−1 z+1 Viết phương trình đường thẳng d cắt đường thẳng = = A, cắt trục −2 √ Oz B cho AB = và d tạo và tạo với mặt phẳng z = góc α và sin α = √ Đáp số A(1; −1; −2) và B(0; 0; −1); A(1; −1; −2) và B(0; 0; 3); A(−1; −1; 4) và B(0; 0; 3); A(−1; −1; −4) và B(0; 0; −5) x + 2y − z + = 0, 2x + y − z + = 0, 10 Cho hai đường thẳng ∆1 : và ∆2 : x − y + z + = x − y + 2z − = Chứng minh các điểm A và B thay đổi trên các ∆1 và ∆2 thì trung điểm I đoạn AB luôn thuộc mặt phẳng cố định Viết phương trình mặt phẳng đó Đáp số 6x + 2z + = Hướng dẫn x = −1 + t, • Phương trình tham số ∆1 là y = −2t, z = −3t x = u, • Phương trình tham số ∆2 là y = −1 − 5u, z = −3u • Với A ∈ ∆1 và B ∈ ∆2 , toạ độ trung điểm I đoạn AB là t + u − −2t − 5u − −3t − u I ; ; 2 Lop12.net (6) Để chứng minh I thuộc mặt phẳng cố định, ta cần tìm các số m, n, n, p, q cho t+u−1 −2t − 5u − −3t − u m +n +p + q = 0, ∀t, u 2 hay (m − 2n − 3p)t + (m − 5n − 3p)u − (m + n − 2q) = 0, ∀t, u Điều trên xảy và m − 2n − 3p = 0, m − 5n − 3p = 0, m + n − 2q = Chọn q = 1, từ hệ trên ta có m = 2, n = 0, p = Cũng có thể giải sau: • ∆1 qua điểm M (−1; 0; 0) • ∆2 qua điểm N (0; −1; 0) • Mặt phẳng cần tìm chính là mặt phẳng qua trung điểm đoạn M N và song song với ∆1 và ∆2 11 Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm A(1; −1; 2), song song với đường thẳng d : x+1 y−1 z+1 = = và tạo với mặt phẳng (yOz) góc 45◦ −1 √ √ √ √ √ √ 1+ −1 + 1+ 1− 1+ 1+ Đáp số x + y+ z+ = 0; x + y− z+ = 0; 2 2 2 12 Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M 1; ; , vuông góc với mặt phẳng (β) : 2 3y − 2z = và tiếp xúc với mặt cầu (S ) : x + y + z = Đáp số 6x + 2y + 3z − = = 13 Cho mặt phẳng (α) : x − y + z − = và các điểm A(1; 2; −1), B(1; 0; −1), C(2; 1; −2) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (α) cho M A2 + M B − M C nhỏ 2 Đáp số M ; ; 3 14 Cho mặt phẳng (α) : x − 3y + 3z − 11 = và các điểm A(3; −4; 5), B(3; 3; −3) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (α) cho |M A − M B| lớn 31 31 Đáp số M − ; − ; 7 x = + t, 15 Cho đường thẳng (d) : y = 0, z = −t Lop12.net (7) và các điểm A(2; 1; −1), B(−1; 2; 0) Trong các đường thẳng ∆ qua B và cắt (d), viết phương trình đường thẳng cho khoảng cách từ A tới ∆ là lớn nhất; nhỏ x = −1, x+1 y−2 z Đáp số = = và y = − 2t, −2 −2 z = 2t 16 Trong các mặt phẳng qua các điểm A(1; 2; −1) và B(−1; 1; 2) Viết phương trình mặt phẳng (α) tạo với mặt (xOy) góc nhỏ Đáp số 6x + 3y + 5z − = x+1 y−2 z+1 = = , 1 −1 viết phương trình mặt phẳng (α) tạo với mặt (xOy) góc nhỏ 17 Trong các mặt phẳng qua điểm A(2; −1; 2) và cắt đường thẳng Đáp số x + y + 2z − = 18 Cho đường thẳng ∆ x = + 2t, y = + t, z = + 3t và hai điểm A(2; 1; 1) và B(−1; 2; 0) Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho M A2 + M B nhỏ Đáp số M ; ; 7 19 Trong số các mặt cầu qua điểm A(1; 2; −1) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) : x+y+2z −13 = Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ x = + t, 20 Cho hai đường thẳng (d) : y = −2 + t, z = −t Đáp số (S ) : (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z − 1)2 = x = t , và (d0 ) : y = − t0 , z = 2t0 Tìm điểm A trên (d), điểm B trên (d0 ) và C trên trục Oz cho tam giácABC nằm mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxy và diện tích tam giácABC nhỏ 1 Đáp số A ;− ; ;B ; ; 4 8 21 Cho mặt phẳng (P ) có phương trình x + y + z − = và đường thẳng (d) có phương trình x = + t, y = −2 + t, z = −t Tìm điểm A trên (d) và điểm B (P ) cho gốc toạ độ O là trung điểm đoạn thẳng AB Lop12.net (8) Hướng dẫn Phép đối xứng qua tâm O biến A thành B, nên biến (d) thành (d0 ) qua B Do đó, B là giao điểm (d0 ) và (P ) 22 Cho tam giác ABC với A(1; −2; 3), B(2; 1; 4), C(0; −2; 1) và (d) có phương trình x = + t, y = −2 + t, z = −t Tìm điểm M trên (d) cho M A2 + 2M B + 3M C nhỏ x = + t, 23 Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm A(1; 2; 3), cắt đường thẳng ∆ : y = −2 + t, z = −t và tạo với mặt phẳng (Oxy) góc 60◦ Lop12.net (9) Tài liệu [1] Zadaqi po Matematike Algebra, Moskva “Nauka”, 1987 [2] Math, Terminale S [3] Hoàng Đức Nguyên, Một số dạng toán cực trị hình học, Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, 2(2009) [4] Đỗ Thanh Sơn, Phương pháp giải toán Hình học 12 theo chủ đề, Nhà xuất Giáo dục, 2008 [5] Trần Văn Tấn, Bài tập nâng cao và số chuyên đề Hình học 12, Nhà xuất Giáo dục, 2008 Lop12.net (10)