Chuyên đề về Nguyên hàm

4.SỰ TỒN TẠI NGUYÊN HÀM : ĐỊNH LÍ :Mọi hàm số fx liên tục trên đoạn [a ;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó 5.BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số[r]

CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM 1.ĐỊNH NGHĨA: Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm hàm số f(x) trên khoảng (a;b) với x  (a;b),ta có: F’(x) = f(x) *Nếu thay khoảng (a;b) là đoạn [a;b] thì ta phải thêm F’(a+)=f(a) và F’(b-)=f(b) 2.ĐỊNH LÍ: F(x) là nguyên hàm f(x) trên (a;b) thì F(x) + C là họ nguyên hàm f(x) trên (a;b) Ta viết :  f ( x)dx  F ( x)  C  f(x)= F’(x) 3.CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM : a)   f ( x)dx   f ( x) '  d)  c) [f(x)+g(x)]dx= b)  af ( x)dx  a  f ( x)dx ,(a  0)  f(t)dt= F(t) + C  f(x)dx+  g(x)dx  f(u)du= F(u) +C 4.SỰ TỒN TẠI NGUYÊN HÀM : ĐỊNH LÍ :Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] có nguyên hàm trên đoạn đó 5.BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm các hàm số sơ cấp Nguyên hàm các hàm số hợp  dx= x+C  du= u+C  x dx  x 1 +C  1   dx = ln x +C x exdx= ex+ C    axdx ax = +C , (0 < a  1) ln a cosx dx= sinx +C sinxdx = -cosx +C  du = ln u +C u eudu= eu+ C    audu   13  12 12 tgxdx= -ln cos x +C cotgxdx= ln sin x +C u 1 +C  1   dx = tgx +C cos x dx  =-cotgx+C sin x dx x  ln tg +C 10  sin x dx x   ln tg (  +C 11  cos x  u du  au = +C , (0 < a  1) ln a cosudu= sinu +C sinudu = -cosu +C du = tgu +C cos u du  =-cotgu+C sin u du u  ln tg +C 10  sin u du u   ln tg (  +C 11  cos u  13  Lop12.net tgudu= -ln cos u +C cotgudu= ln sin u +C 14 15  16  17  dx xa  ln +C a 2a x  a dx  ln x  x  a +C 2 x a x x  a dx  x  a2  2 a  ln x  x  a +C dx x  arcsin  C 2 a a x x dx x  arctg  C a x a a x a2  x2  19  a  x dx  a2 x  arcsin  C a 18  14 15  16  17  du ua  ln +C a 2a u  a du  ln u  u  a +C 2 u a u u  a du  u  a2  2 a  ln u  u  a +C du u  arcsin  C 2 a a u u du u  arctg  C a u a a u a2  u2  19  a  u du  a2 u  arcsin  C a 18  Chứng minh số công thức : dx x  ln tg +C 10  sin x dx x   ln tg (  +C 11  cos x Chứng minh : x x x x sin  cos sin cos 1 2  10 Ta có :   x x x x sin x 2sin x cos x 2sin cos cos 2sin 2 2 2 x x x x sin cos d (cos ) d (sin ) 1 dx  dx    I    x x cos x  sin x cos sin 2 2 x x x   ln cos  ln sin  C  ln tg  C 2  x  x  11.Ta có :cosx= sin(x+ )= 2sin(  ) cos(  )  kết 2 4 dx xa  ln 14  +C x a 2a x  a 1  ( x  a)  ( x  a)   1  Ta có :       x  a ( x  a )( x  a ) 2a  ( x  a )( x  a )  2a  x  a x  a  Do đó :I=  d ( x  a) d ( x  a)  xa   ln C    2a  x  a x  a  2a x  a Lop12.net dx 15  x a Ta đặt :  ln x  x  a +C  x  x2  a  t  x  x  a  dt  (1  )dx    dx  x2  a x  a   x  dx  x2  a dt  t 16  x  a dx  dx x a  dt dt  I    ln t  C  ln x  x  a  C t t a2 x ln x  x  a +C x  a2  2 Ta đặt: xdx  u  x  a du   x2  a2  v  x dv  dx  x dx ( x  a  a )dx  I  x x2  a2   x x  a   x2  a2 x2  a2 dx  x x  a   x  a dx  a  x2  a2  x x  a  I  a ln x  x  a I x a2 x  a  ln x  x  a  C 2 VẤN ĐỀ :TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH DẠNG :  I=  x  ax  b  dx;(a  0) K  x dx  ax  b   , (a  0) Lop12.net 1 *Sử dụng đồng thức :x= ax   (ax  b)  b  a a Hoặc : 1 * x  a x   (ax  b)  b   (ax  b)  2b(ax  b)  b  a a a 2002 VD1 :Tính I=  x 1  x  dx Cách :Sử dụng cách đồng thức :x=1-(1-x)  x(1  x) 2002 (1  x) 2002  1  (1  x)  (1  x) 2002  (1  x) 2002  (1  x) 2003  I   1  x  2002 dx   1  x  2003 dx    1  x  2002 d (1  x)   1  x  2003 dx 1 2003 2004 1  x   1  x   C 2003 2004 Cách :Đổi biến số : Đặt t=1-x  x   t  dx  dt   I    (1  t )t 2002 dt    t 2002 dt   t 2003 dt 2003 2004 1 2003 2004 t  t C   1  x   1  x   C 2003 2004 2003 2004 2005 VD2 :Tính J=  x 1  x  dx  Tương tự : VD3 : Tính K= x dx  4x  HD : 1  ( x  1)  ( x  3)   1         x  x  ( x  1)( x  3)  ( x  1)( x  3)   x  x   Ta có : d ( x  3) d ( x  1) 1 x 3 K     ln x   ln x   ln C x 3 x 1 2 x 1 Cách : Ta có : dx dx x 3 K    ln C x  4x   x  2 1 x 1 VD4 : Tính J =  xdx 1  3x  HD : Lop12.net Sử dụng đồng thức : x= x  1  x  1     1  3x  1  3 1  3x   1  3x    1 1   2  (1  x) (1  x)  d (1  x) d (1  x) 1     (1  x) 2 d (1  x)   (1  x) 3 d (1  x)  (1  x) (1  x) 9 1   (1  x) 1  (1  x) 2  C 18 dx VD :Tính K=  x x2 HD : Sử dụng đồng thức : 1  ( x  1)  ( x  2)   1         x  x  ( x  1)( x  2)  ( x  1)( x  2)   x  x   I 1 1 x2 dx   dx  ln C  x2 x 1 x 1 dx VD : Tính H =  x  4x2  HD : Sử dụng đồng thức : 1  ( x  3)  ( x  1)   1       2 2 ( x  1)( x  3)  ( x  1)( x  3)   ( x  1) ( x  3)  K dx dx   2  x 1 x  ( đã dạng công thức ; tích phân xác định thì ta đặt x= tgt với x thoả đk ) x3 dx VD : Tính A=  ( x  1)10 HD : Cách :Sử dụng đồng thức :x3= ((x-1)+1)3=(x-1)3-3(x-1)2+3(x-1)-1 x3 3      10 ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)10 dx dx dx dx  A  3  3  ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)10 1 3 1     C ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)9 Cách : Dặt t= x-1 ta có : x= t+1 nên dx= dt t  1 dt  (t  3t  3t  1)dt A    t 7 dt 3 t 8 dt 3 t 9 dt   t 10 dt  t10 t10 1 3 1     C ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)9 H  Lop12.net VD8 : Tính B= x dx  1  x  39 HD : Cách :Sử dụng đông thức : x2= [(1-x)-1]2=(1-x)2-2(1-x)+1  x   2(1  x)   x2      39 39 37 38 39 1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  B  1  x  dx   37 1  x  38 dx   1  x  39 dx 1 1   C 36 37 36 1  x  37 1  x  38 1  x 38 Cách : Đặt : t= 1-x  x   t  dx  dt  B   1  t  t dt 39   1 dt   38 dt   37 dt 39 t t t 1 1   C 38 37 38 t 37 t 36 t 36 dx VD :Tính C =  x  x3 HD : Cách :Sử dụng dồng thức :1= x2+1-x2 x2   x2 1 x2   x2 1 x    3  3  3  2 x ( x  1) x x( x  1) x x( x  1) x x x 1 x x 1    1 x 1 dx   dx   dx    ln x  ln x   C x x x 1 2x dx VD 10 : Tính D=  x  x5 HD : Sử dụng dồng thức :1= x2+1-x2 x2   x2 1 x2   x2 1    5  5  5 3 x ( x  1) x x ( x  1) x x ( x  1) x x x( x  1) x x 1 C   1 x2   x2 1 x  3  5 3  x x x( x  1) x x x ( x  1) 1 x 1 1  D   dx   dx   dx   dx     ln x  ln x   C x x x x 1 4x 2x 2001 x VD 11 : Tính E =  dx 1002 x 1    HD : Ta phân tích : Lop12.net x 2001 x  1 Đặt : t=  dt  1002  x 2000 x x2 x2  2x x  1  x 1 1000 x 1000  1  x2     x 1  x x  1 dx 1000  x2   E     x 1  1001  x2   x2  d     x   2002  x   C VẤN ĐỀ :NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC DẠNG : dx sin( x  a ) sin( x  b) Cách giải : Bước :Đồng thức : sin(a  b) sin  ( x  a )  ( x  b)  1   sin(a  x) cos(b  x)  cos(a  x) sin(b  x) sin(a  b) sin(a  b) sin(a  b) Bước :Biến đổi đưa kết °Lưu ý :Dạng I  dx cos( x  a ) cos( x  b) I  Lop12.net Ta sử dụng : sin(a  b) sin  ( x  a )  ( x  b)  1   sin(a  x) cos(b  x)  cos(a  x) sin(b  x) sin(a  b) sin(a  b) sin(a  b) K  dx sin( x  a ) cos( x  b) Ta sử dụng : cos(a  b) cos  ( x  a )  ( x  b)  1   cos(a  x) cos(b  x)  sin(a  x) sin(b  x) cos(a  b) cos(a  b) cos(a  b) dx VD : Tính I    sin x cos( x  ) HD : Cách : Ta có  cos  x     x   cos           1   cos  x    x   2[cos( x  ) cos x  sin( x  ) sin x]  4  4  cos     cos x sin( x  )    2     sin x  sin x cos( x  ) cos( x  ) 4      d  cos( x  )  d (sin x)  sin x   I  2  2   ln sin x  ln cos( x  )  ln C   sin x cos( x  ) cos( x  ) 4 Cách : Dựa vào đặt thù hàm số đã cho ta có : dx dx d (cot gx  1) I  2  2  2   ln cot gx   C sin x(cos x  sin x) sin x(cot gx  1) cot gx  DẠNG : dx I  sin x  sin  x  x  cos Cách giải :-Sử dụng công thức :sinx +sin  = 2sin 2 -Đưa dạng để giải °Lưu ý :Dạng dx I1   ;( m  1) sin x  m dx dx I2   ; I3   ;( m  1) cos x  cos  cos x  m Làm tương tự dx VD : Tính A   2sin x  HD : Lop12.net 1 1    2sin x  2(sin x  ) 2(sin x  sin  ) 4sin x   cos x   ) 12 12 Sử dụng đồng thức : Ta có : 1 cos   cos  x    12   cos   6x      12    x     cos    12    6x    cos    12   6x     sin    12   6x    sin    12  6x     6x    cos  sin     12  dx   12  dx  A  sin  x     cos  x         12   12    6x       6x     d  sin  d  cos     6x     6x     12     12       ln sin   ln cos    C   12  12   6x     6x    3 3   sin  cos     12   12  dx VD : Tính K=  cos x  HD : Ta có : 1 1    cos x  2(cos x  ) 2(cos x  cos  ) 4(cos x   cos x   ) 6 Do : 1 sin   sin   sin  x    x     sin x   cos x    cos x   sin x       6 6  3  sin 1  3x     3x     cot g  tg   cos x     1  3x     3x    K  dx  cot g  tg dx  dx   cos x  3     3x   sin 3x   3x   K ln sin  ln cos C  ln C x 6 3 cos   DẠNG :  Lop12.net    I   tgxtg ( x   )dx K   tg ( x   )cotg ( x   )dx H   cotg ( x   )cotg ( x   )dx Cách giải : Ta biến đổi : tgxtg ( x   )  sin x sin( x   ) cos x cos( x   )  sin x sin( x   )  1 cos x cos( x   ) cos x cos( x   ) Đưa dạng để giải  VD : Tính I   tgxtg ( x  ) HD : Cách : Ta có :     sin x sin( x  ) cos x cos( x  )  sin x sin( x  ) cos( )   4 1  tgxtg ( x  )  1    cos x cos( x  ) cos x cos( x  ) cos x cos( x  ) 4  1 cos x cos( x   ) Khi đó xét : dx K   cos x cos( x  ) Sử dụng đồng thức : sin   sin ( x   )  x   sin( x   ) cos x  cos( x   ) sin x       4     sin    2tg ( x  )  2tg ( x)  cos x cos( x  ) 1   K   tg ( x  )dx   tgxdx   ln cos( x  )  ln cos x  C 4  I  ln cos x   xC cos( x  ) Cách : Lop12.net dx K    2 dx dx  2 cos x(cos x  sin x) cos x(1  tgx) cos x cos( x  ) d (1  tgx)   2   ln  tgx  C  tgx  I   ln  tgx  x  C DẠNG : dx I=  a sin x  b cos x Cách giải : Sử dụng công thức : asinx +bcosx= a  b sin( x   )  a  b sin( I a b 2  dx tg ( x  x  ) cos ( ) 2 Cách : Ta có dx I   a  b sin( x   ) a  b   a  b2  x  )) x   ln tg ( ) C 2 x  2 a b tg ( ) d (tg ( sin( x   )dx  sin ( x   ) a  b2 cos( x   )  C cos( x   )  a b Cách : Có thể sử dụng phương pháp đại số hoá đặt :t= tgx/2 2dx VD : Tính I   sin x  cos x HD :      x   x   Ta có : sin x  cos x  2sin( x  )  4sin   cos              x  d (tg  )     x  dx    ln tg I       2      x  2 x   x   tg  tg   cos    2             a sin x  b1 cos x DẠNG : I   dx  a2 sin x  b2 cos x   2 x  x  ) cos( ) 2 d (cos( x   ))  cos ( x   )  ln    C   Cách giải : Sử dụng đồng thức :a1sinx+b1cosx= A(a2sinx+b2cosx)+B(a2cosx+b2sinx) Lop12.net Để ý :a2sinx+b2cosx= a22  b22 sin( x   ) Kết hợp dạng 3-4 để giải 8cos x dx VD 1: Tính I    sin x  cos x HD: Biến đổi: 8cos x 8cos x 8cos x   2  sin x  cos x  sin x  (1  cos x) 3sin x  sin x cos x  cos x 8cos x  sin x  cos x   Phân tích : 8cos x  A( sin x  cos x)  B( cos x  sin x)  ( A  B) sin x  ( A  B 3) cos x Đồng đẳng thức :  A  B   A     A  B   B  8cos x 2 3( cos x  sin x)    2 sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x     2dx d ( sin x  cos x) x    3  ln tg     C 2 sin x  cos x ( sin x  cos x) sin x  cos x  12  sin x dx VD 2: Tính K    sin x HD: sin x sin x Ta có:   sin x  sin x  cos x 2 I  Đồng thức :sinx= A(sinx+cosx)+B(cosx-sinx)= (A-B)sinx+(A+B)cosx   A  A  B 1    A  B  B    1  sin x  (sin x  cos x)  (cos x  sin x) 2 sin x 1 cos x  sin x    2  sin x  cos x  2(sin x  cos x)  sin x  cos x  K  sin x  sin x  cos x  dx  1 d (sin x  cos x) dx    (sin x  cos x)  sin x  cos x 2 Lop12.net   dx  1 1 4 x   K   ln tg     C  2 sin  x    sin x  cos x 2   sin x  cos x   4  DẠNG : dx I=  a sin x  b cos x HD : TH1 : c  a  b Ta biến đổi : 1   a sin x  b cos x c 1  cos  x     2c  x   cos      x   d  dx    tg  x   I   2c  c   x   c   x   cos  cos        TH2 : c   a  b Ta biến đổi : 1   a sin x  b cos x c 1  cos  x     2c  C   x   sin      x   d  dx    cotg  x     C I    2c   x    c   x    c   sin  sin        TH3 : c  a  b x Ta thực phép đặt : t  tg dt 2t 1 t2  dx  ;sin x  ;cos x  1 t2 1 t2 1 t2 Sau đó thực tính nguyên hàm các biểu thức đại số 2dx VD : Tính I   2sin x  cos x  HD : Ta thấy : c  a  b (vì : 12  22  12 ) x Đặt : t  tg dt 2t 1 t2  dx  ;sin x  ;cos x  1 t2 1 t2 1 t2 Lop12.net x tg dt d (t  1) t C  I  2  2  ln  C  ln x t  2t t   t  1  tg  2 dx VD : Tính K   sin x  cos x  HD : Ta thấy : c  a  b (vì :  12  12 ) Ta biến đổi : 1 1      2  x   sin x  cos x   sin    1  cos  x     2 8   x  d   dx     cotg  x     C I      2 sin  x    sin  x    2 8     2 8 2 8 dx VD3 : Tính K   sin x  cos x  HD :Tương tự VD2 DẠNG : a sin x  b1 cos x  c1 dx I=  a2 sin x  b2 cos x  c2 Cách giải : Biến đổi :a1sinx+b1cosx+c1= A(a2sinx+b2cosx+c2)+B(a2cosx-b2sinx)+c Sau đó đưa dạng quen thuộc để giải 5sin x dx VD 1: Tính I   2sin x  cos x  HD: Ta phân tích :5sinx= A(2sinx-cosx+1)+B(2cosx+sinx)+C =(2A+B)sinx+(2B-A)cosx+A+C 2 A  B   A     2b  A    B  A  C  C  2   5sin x cos x  sin x  2  2sin x  cos x  2sin x  cos x  2sin x  cos x  d (2sin x  cos x  1) dx  I   dx    2 2sin x  cos x  2sin x  cos x   x  ln 2sin x  cos x   K dx Tính : K   2sin x  cos x   Lop12.net x dt 2t 1 t2  dx  ;sin x  ;cos x  1 t2 1 t2 1 t2 Đặt : t  tg x tg dt d (t  1) t C  K  2  2  ln  C  ln x t  2t t   t  1  tg  2 Vậy : x tg C I  x  ln 2sin x  cos x   ln x tg  2 DẠNG : a1 sin x  b1 sin x cos x  c1 cos x I=  dx a2 sin x  b2 cos x HD : Biến đổi :a1sin2x+b1cosxsinx+c1cos2x= (Asinx+Bcosx)(a2sinx+b2cosx)+c(sin2x+cos2x) Đưa dạng quen thuộc để giải 4sin x  dx VD 1:Tính I   sin x  cos x HD: Ta phân tích :4sin2x+1= 5sin2x+cos2x=  ( A sin x  B cos x)( sin x  cos x)  C (sin x  cos x)   ( A  C ) sin x  ( A  B 3) sin x cos x  ( B  C ) cos x A  C  A      A  B    B  1 B  C  C    Lop12.net 4sin x  sin x  cos x  sin x  cos x sin x  cos x  I   cos x  sin x  K *K   dx   sin x  cos x  2 dx    x tg        2 x  cos           dx      x   x  sin   cos                 x   d  tg         x       ln tg      x   tg          C      x  I   cos x  sin x  ln tg   C     cos x dx VD2 : Tính I=  sin x  cos x HD : Ta phân tích :cos2x= (Asinx+Bcosx)(sinx+ cosx)+C(sin2x+cos2x)= = ( B+C)cos2x+(B+ A)sinxcosx+(A+C)sin2x  A    3B  C      B  3A   B  A  C     C    cos x   sin x  cos x  4 sin x  cos x 4(sin x  cos x) dx cos x  sin x   4 sin x  cos x dx Tính : K   sin x  cos x I Lop12.net dx x   ln tg     C  sin( x   ) 2 6 3 x   I  cos x  sin x  ln tg     C 4 2 6 DẠNG : dx I=  a sin x  b sin x cos x  c cos x K Cách giải : Biến đổi : dx x(atg x  btgx  c) dx Đặt : t=tgx  dt  cos x dt I  at  bt  c Dạng quen thuộc giải I=  cos VD1 : Tính I=  3sin dx x  2sin x cos x  cos x HD : Ta có : 3sin2x-2sinxcosx-cos2x = cos2x(3tg2x-2tgx-1) dx I  cos x(3tg x  2tgx  1) dx Đặt :t=tgx  dt  cos x 1 I  dt   dt 3t  2t  3(t  1)(t  )   (t  )  (t  1)   1  1 1   Ta phân tích : 1 (t  1) (t  ) 3(t  1)(t  ) (t  1)(t  ) 3 dt dt 1 1 t 1    ln t   ln t   C  ln C  t 1 t  4 t1 3 3tgx  Vậy : I  ln C 3tgx  DẠNG 10 : sin x cos x I  dx  2 2 a sin x  b cos x I   Lop12.net Cách giải : Để ý : sin x cos xdx  d (a sin x  b cos x) 2(a  b ) TH :   1 d (a sin x  b cos x) I  ln a sin x  b cos x  C 2  2 2 2 2(a  b ) a sin x  b cos x 2(a  b ) TH2 :   1 d (a sin x  b cos x) I  a sin x  b cos x  2  2 2(a  b ) a sin x  b cos x 2(a  b )(1   )  VD :Tính I     sin x cos x dx 2sin x  cos x HD : Ta phân tích : sin x cos xdx   d 2sin x  cos x    2 d 2sin x  cos x I   ln 2sin x  cos x  C 2 2sin x  cos x sin x cos x dx VD :Tính I   2sin x  3cos x HD : Ta phân tích : sin x cos xdx   d 2sin x  3cos x 2 d 2sin x  3cos x 1 I    C 2 2 2sin x  3cos x 2sin x  3cos x       DẠNG 11 : SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC NHAU RỒI MỚI ĐỔI BIẾN SỐ sin x sin x dx VD :Tính I   tgx  cot g x Lop12.net  1 C HD : Ta biến đổi : sin x cos x sin x sin x  cos x cos x cos x     cos x sin x sin x cos x sin x cos x sin x sin x sin x   sin x sin x sin x   cos x  cos x  sin x tgx  cot g x 1  sin x cos x  sin x cos x   sin x  sin x  sin x  sin x  2 1 1  I    sin x  sin x  sin x  sin x dx   cos x  cos x  cos x  cos x  C 12 36 20 cos x  sin x cos x dx VD2 : Tính K    sin x HD : cos x  sin x cos x cos x(1  sin x) dx =  dx Ta biến đổi : K    sin x  sin x Đặt : t=sinx  dt= cosxdx 1 t t  1 dt K  dt   dt   dt    t  ln t   C  sin x  ln sin x   C 2t t2 t2 dx VD3 :Tính A   sin x cos3 x HD : dx dx Ta biến đổi : A   = tgx cos x sin x cos x dx Đặt : t= tgx  dt  cos x t2 1 dt 1  A dt   tdt    t  ln t  C  tgx  ln tgx  C t t 2 dx VD3 :Tính B   tg x cos8 x HD : dx dx Ta biến đổi : B    tg x cos8 x cos x tg x dx Đặt : t= tgx  dt  cos x  dt  B     t dt  4 t  C  4 tgx  C t4 tgx  cot g x  Lop12.net