Lý thuyết điều khiển tự động

Khaâu hieäu chænh treã pha laø moät boä loïc thoâng thaáp (xem bieåu ñoà Bode bieân ñoä), söû duïng khaâu hieäu chænh treã pha seõ thu heïp baêng thoâng cuûa heä thoáng, laøm cho heä [r]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Nguyễn Thị Phương Hà (chủ biên) - Huỳnh Thái Hoàng

LÝ THUYẾT LÝ THUYẾTLÝ THUYẾT LÝ THUYẾT

ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG (Tái lần thứ nhất)

MUÏC LUÏC

Lời nói đầu

Chương

ĐẠI CƯƠNG VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN

1.1 Khái niệm điều khiển

1.2 Các nguyên tắc điều khiển 12

1.3 Phân loại điều khiển 15

1.4 Lịch sử phát triển lý thuyết điều khiển 20 1.5 Một số ví dụ phần tử hệ thống tự động 22 Chương

MƠ TẢ TỐN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN

TUÏC 36

2.1 Khái niệm 36

2.2 Hàm truyền đạt đại số sơ đồ khối 37

2.3 Sơ đồ dòng tín hiệu 60

2.4 Phương pháp không gian trạng thái 66

2.5 Tóm tắt 90

Phụ lục: Mô tả hệ thống tự động dùng MATLAB 91 Chương

ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG 96

3.1 Khái niệm đặc tính động học 96 3.2 Các khâu động học điển hình 102 3.3 Đặc tính động học hệ thống tự động 116

3.4 Tóm tắt 121

Phụ lục: Khảo sát đặc tính động học hệ thống dùng

MATLAB 122

Chương

4.1 Khái niệm ổn định 124

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số 128

4.3 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số 134

4.4 Tiêu chuẩn ổn định tần số 146

Chương

ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 156

5.1 Các tiêu chuẩn chất lượng 156

5.2 Sai số xác lập 158

5.3 Đáp ứng độ 160

5.4 Các tiêu chuẩn tối ưu hóa đáp ứng độ 165 5.5 Đánh giá chất lượng trình độ theo đặc tính

tần số hệ thống 168

Chương

THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 172

6.1 Khái niệm 172

6.2 Ảnh hưởng điều khiển đến chất lượng

hệ thống 173

6.3 Thiết kế hệ thống dùng QĐNS 187 6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode 205 6.5 Thiết kế điều khiển PID 214 6.6 Thiết kế hệ thống điều khiển hồi tiếp trạng thái 219 Phụ lục: Thiết kế hệ thống dùng MATLAB 229 Chương

MƠ TẢ TỐN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 236 7.1 Hệ thống điều khiển rời rạc 236

7.2 Phép biến đổi Z 242

Chương

PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN

RỜI RẠC 276

A Phân tích hệ thống điều khiển rời rạc 276 8.1 Điều kiện ổn định hệ rời rạc 276 8.2 Tiêu chuẩn Routh - Hurwitz mở rộng 277

8.3 Tiêu chuẩn Jury 279

8.4 Quỹ đạo nghiệm số 280

8.5 Chất lượng hệ thống rời rạc 285 B Thiết kế hệ thống điều khiển rời rạc 293

8.6 Khái niệm 293

8.7 Hàm truyền khâu hiệu chỉnh rời rạc 294 8.8 Thiết kế hệ rời rạc dùng phương pháp QĐNS 297 8.9 Thiết kế dùng điều khiển hồi tiếp trạng thái 306 8.10 Thiết kế điều khiển PID 311 Chương

HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 314

9.1 Khái niệm 314

9.2 Phương pháp mặt phẳng pha 319

9.3 Phương pháp tuyến tính hóa gần 324 9.4 Phương pháp tuyến tính hóa điều hịa 328 9.5 Phương pháp tuyến tính hóa đoạn 339

9.6 Tiêu chuẩn Lyapunov 342

9.7 Tiêu chuẩn ổn định tuyệt đối V M Popov 357

9.8 Tổng kết 365

Phụ lục

A Bảng biến đổi laplace Z 368

Lời nói đầu

Lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động q trình sản xuất, qui trình cơng nghệ, đối tượng cơng nghiệp, quốc phịng, y tế năm gần có bước nhảy vọt nhờ phát triển mạnh mẽ kỹ thuật máy tính cơng nghệ thơng tin Lý thuyết điều khiển tự động kinh điển không thay đổi giá trị mình, mà ngược lại, có ý nghĩa đặc thù riêng Nếu trước đây, đối tượng khảo sát điều khiển tự động hệ tuyến tính tiền định, điều khiển tập trung, hệ thống phân tán có đối thoại với liên kết thành mạng Thiết kế sản phẩm hỗ trợ máy tính tới mức tối đa với thư viện, chương trình thiết kế đặc chủng có thiết bị ngoại vi mạnh

Bộ sách “ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG” gồm hai quyển: Lý thuyết điều khiển tự động Bài tập điều khiển tự động

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG gồm bốn phần chín chương:

Phần mở đầu:

Chương 1: Đại cương hệ thống điều khiển tự động

Phần một: Hệ điều khiển tự động tuyến tính liên tục

Chương 2: Mơ tả tốn học Chương 3: Đặc tính động học

Chương 4: Khảo sát tính ổn định hệ thống Chương 5: Đánh giá chất lượng hệ thống điều khiển Chương 6: Hiệu chỉnh thiết kế hệ thống

Phần hai: Hệ thống điều khiển tự động rời rạc

Chương 7: Mơ tả tốn học hệ thống điều khiển rời rạc Chương 8: Phân tích thiết kế hệ thống điều khiển rời rạc

Phần cuối:

Chương 9: Hệ thống điều khiển tự động phi tuyến

Đối với mơn Cơ sở điều khiển tự động chương phần

tham khảo, không bắt buộc Cuốn sách LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG phân cơng biên soạn sau:

BÀI TẬP ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG biên soạn theo nội dung bố cục LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG nhằm nâng cao kiến thức, khả phân tích thiết kế hệ thống cho sinh viên Nội dung gồm ba phần:

Phần một: Bài tập chương sau:

Chương 1: Ví dụ hệ điều khiển tự động Chương 2: Hệ điều khiển tự động liên tục Chương 3: Hệ điều khiển tự động rời rạc Chương 4: Hệ phi tuyến

Chương 5: Thiết kế hệ thống

Phần hai: Các giải mẫu đáp áp chọn lọc Phần ba: Đề thi đáp áp

Phần mềm Matlab công cụ mạnh để khảo sát thiết

kế hệ thống giới thiệu cho sinh viên qua số Phần thí nghiệm điều khiển tự động

Quyển BAØI TẬP ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Nhà xuất Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh xuất bản, mắt bạn đọc lần vào năm 2002

Hy vọng sách ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG giúp ích cho sinh viên q trình học tập môn học Cơ sở điều khiển tự động Lý thuyết điều khiển tự động

Mặc dù cố gắng sưu tầm thêm nhiều tài liệu trường giới, song nội dung sách khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế

Tác giả chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp bạn đồng nghiệp bạn đọc xa gần để sách ngày hoàn thiện

Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo thuộc Bộ môn Điều khiển tự động Khoa Điện - Điện tử Ban Cơng tác Giáo trình, Trường Đại học Bách khoa - Đại học Quốc gia TPHCM, Nhà xuất Đại học Quốc gia TPHCM tạo điều kiện giúp đỡ nhiệt tình để hồn thành sách

Thư góp ý xin gửi về: Bộ môn Điều khiển tự động Khoa Điện - Điện tử, Trường Đại học Bách khoa - Đại học Quốc gia TPHCM - 268 Lý Thường Kiệt, Q.10 - ĐT: 8.654.357

Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ HỆ THỐNG

ĐIỀU KHIỂN 1.1 KHÁI NIỆM ĐIỀU KHIỂN

1.1.2 Điều khiển gì?

Một câu hỏi phổ biến với người làm quen với lý thuyết điều khiển “Điều khiển gì?” Để có khái niệm điều khiển xét ví dụ sau Giả sử lái xe đường, muốn xe chạy với tốc độ cố định 40km/h Để đạt điều mắt phải quan sát đồng hồ đo tốc độ để biết tốc độ xe chạy Nếu tốc độ xe 40km/h ta tăng ga, tốc độ xe 40km/h ta giảm ga Kết trình xe chạy với tốc độ “gần” tốc độ mong muốn Q trình lái xe q trình điều khiển Trong trình điều khiển cần thu thập thông tin đối tượng cần điều khiển (quan sát đồng hồ đo tốc độ để thu thập thông tin tốc độ xe), tùy theo thông tin thu thập mục đích điều khiển mà có cách xử lý thích hợp (quyết định tăng hay giảm ga), cuối ta phải tác động vào đối tượng (tác động vào tay ga) để hoạt động đối tượng theo yêu cầu mong muốn

Định nghĩa: Điều khiển q trình thu thập thơng tin, xử lý thông tin tác động lên hệ thống để đáp ứng hệ thống

“gần” với mục đích định trước Điều khiển tự động trình

điều khiển khơng cần tác động người

làm quen với lý thuyết điều khiển “Tại cần phải điều khiển?” Câu trả lời tùy thuộc vào trường hợp cụ thể, nhiên có hai lý người không thỏa mãn với đáp ứng hệ thống hay muốn hệ thống hoạt động tăng độ xác, tăng suất, tăng hiệu kinh tế Ví dụ lĩnh vực dân dụng, cần điều chỉnh nhiệt độ độ ẩm cho hộ cao ốc tạo tiện nghi sống Trong vận tải cần điều khiển xe hay máy bay từ nơi đến nơi khác cách an tồn xác Trong cơng nghiệp, q trình sản xuất bao gồm vơ số mục tiêu sản xuất thỏa mãn địi hỏi an tồn, độ xác hiệu kinh tế

Trong năm gần đây, hệ thống điều khiển (HTĐK) có vai trị quan trọng việc phát triển tiến kỹ thuật công nghệ văn minh đại Thực tế khía cạnh hoạt động ngày bị chi phối vài loại hệ thống điều khiển Dễ dàng tìm thấy hệ thống điều khiển máy công cụ, kỹ thuật không gian hệ thống vũ khí, điều khiển máy tính, hệ thống giao thông, hệ thống lượng, robot, Ngay vấn đề kiểm toán hệ thống kinh tế xã hội áp dụng từ lý thuyết điều khiển tự động

Khái niệm điều khiển thật khái niệm rộng, nội dung sách đề cập đến lý thuyết điều khiển hệ thống kỹ thuật

1.1.2 Caùc thành phần hệ thống điều khiển

Chú thích ký hiệu viết tắt:

- r(t) (reference input): tín hiệu vào, tín hiệu chuẩn - c(t) (controlled output): tín hiệu

- cht(t): tín hiệu hồi tiếp - e(t) (error): sai số - u(t) : tín hiệu điều khiển

Để thực trình điều khiển định nghĩa trên, hệ thống điều khiển bắt buộc gồm có ba thành phần thiết bị đo lường (cảm biến), điều khiển đối tượng điều khiển Thiết bị đo lường có chức thu thập thơng tin, điều khiển thực chức xử lý thông tin, định điều khiển đối tượng điều khiển chịu tác động tín hiệu điều khiển Hệ thống điều khiển thực tế đa dạng, sơ đồ khối hình 1.1 cấu hình hệ thống điều khiển thường gặp

Trở lại ví dụ lái xe trình bày ta thấy đối tượng điều khiển xe, thiết bị đo lường đồng hồ đo tốc độ đôi mắt người lái xe, điều khiển não người lái xe, cấu chấp hành tay người lái xe Tín hiệu vào r(t) tốc độ xe mong muốn (40km/h), tín hiệu c(t) tốc độ xe xe, tín hiệu hồi tiếp cht(t) vị trí kim đồng hồ đo tốc độ, sai số e(t) sai lệch tốc độ mong muốn tốc độ tại, tín hiệu điều khiển u(t) góc quay tay ga

Một ví dụ khác hệ thống điều khiển mực chất lỏng hình 1.2 dù đơn giản có đầy đủ ba thành phần kể Thiết bị đo lường phao, vị trí phao cho biết mực chất lỏng bồn Bộ điều khiển cánh tay địn mở van tùy theo vị trí phao, sai lệch lớn góc mở

van lớn Đối tượng điều khiển bồn chứa, tín hiệu c(t) mực chất lỏng bồn, tín hiệu vào r(t) mực chất lỏng mong muốn Muốn thay đổi mực chất lỏng mong muốn ta thay đổi độ dài đoạn nối từ phao đến cánh tay đòn

Mục 1.5 trình bày chi tiết số phần tử hệ thống điều khiển thường gặp, qua làm bật vai trị phần tử hệ thống điều khiển

Hình 1.2 Hệ thống điều

1.1.3 Các toán lĩnh vực điều khiển tự động Trong lĩnh vực điều khiển tự động có nhiều toán cần giải quyết, nhiên tốn điều khiển thực tế quy vào ba tốn sau:

Phân tích hệ thống: Cho hệ thống tự động biết cấu trúc thơng số Bài tốn đặt sở thơng tin biết tìm đáp ứng hệ thống đánh giá chất lượng hệ Bài tốn ln giải

Thiết kế hệ thống: Biết cấu trúc thông số đối tượng điều khiển Bài toán đặt thiết kế điều khiển để hệ thống thỏa mãn yêu cầu chất lượng Bài tốn nói chung giải

Nhận dạng hệ thống: Chưa biết cấu trúc thông số hệ thống Vấn đề đặt xác định cấu trúc thông số hệ thống Bài tốn khơng phải lúc giải

Quyển sách đề cập đến tốn phân tích hệ thống thiết kế hệ thống Bài toán nhận dạng hệ thống nghiên cứu mơn học khác

1.2 CÁC NGUYÊN TẮC ĐIỀU KHIỂN

Các ngun tắc điều khiển xem kim nam để thiết kế hệ thống điều khiển đạt chất lượng cao có hiệu kinh tế

Nguyên tắc 1: Nguyên tắc thông tin phản hồi

Muốn q trình điều khiển đạt chất lượng cao, hệ thống phải tồn hai dịng thơng tin: từ điều khiển đến đối tượng từ đối tượng ngược điều khiển (dịng thơng tin ngược gọi hồi tiếp) Điều khiển khơng hồi tiếp (điều khiển vịng hở) khơng thể đạt chất lượng cao, có nhiễu

Các sơ đồ điều khiển dựa nguyên tắc thông tin phản hồi là: Điều khiển bù nhiễu (H.1.3): sơ đồ điều khiển theo nguyên tắc bù nhiễu để đạt đầu c t( ) mong muốn mà không cần quan

khiển bù nhiễu cho chất lượng tốt

Hình 1.3 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển bù nhiễu

Điều khiển san sai lệch (H.1.4): Bộ điều khiển quan sát tín hiệu c t( ), so sánh với tín hiệu vào mong muốn r t( ) để tính

tốn tín hiệu điều khiển u t( ) Ngun tắc điều khiển điều

chỉnh linh hoạt, loại sai lệch, thử nghiệm sửa sai Đây nguyên tắc điều khiển

Hình 1.4 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển san sai lệch Điều khiển phối hợp: Các hệ thống điều khiển chất lượng cao thường phối hợp sơ đồ điều khiển bù nhiễu điều khiển san sai lệch hình 1.5

Hình 1.5 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển phối hợp

Nguyên tắc 2: Nguyên tắc đa dạng tương xứng

khiển điều khiển sử dụng hệ thống sau:

- Điều khiển nhiệt độ bàn ủi (chấp nhận sai số lớn) với điều khiển nhiệt độ lị sấy (khơng chấp nhận sai số lớn)

- Điều khiển mực nước bồn chứa khách sạn (chỉ cần đảm bảo ln có nước bồn) với điều khiển mực chất lỏng dây chuyền sản xuất (mực chất lỏng cần giữ không đổi)

Nguyên tắc 3: Nguyên tắc bổ sung ngồi

Một hệ thống ln tồn hoạt động môi trường cụ thể có tác động qua lại chặt chẽ với mơi trường Ngun tắc bổ sung ngồi thừa nhận có đối tượng chưa biết (hộp đen) tác động vào hệ thống ta phải điều khiển hệ thống lẫn hộp đen Ý nghĩa nguyên tắc thiết kế hệ thống tự động, muốn hệ thống có chất lượng cao khơng thể bỏ qua nhiễu môi trường tác động vào hệ thống

Nguyên tắc 4: Nguyên tắc dự trữ

Vì nguyên tắc ln coi thơng tin chưa đầy đủ phải đề phịng bất trắc xảy khơng dùng tồn lực lượng điều kiện bình thường Vốn dự trữ không sử dụng, cần để đảm bảo cho hệ thống vận hành an tồn

Nguyên tắc 5: Nguyên tắc phân cấp

Đối với hệ thống điều khiển phức tạp cần xây dựng nhiều lớp điều khiển bổ sung cho trung tâm Cấu trúc phân cấp thường sử dụng cấu trúc hình cây, ví dụ hệ thống điều khiển giao thông đô thị đại, hệ thống điều khiển dây chuyền sản xuất

Hình 1.6 Sơ đồ điều khiển phân cấp

Mỗi hệ thống cần xây dựng chế cân nội để có khả tự giải biến động xảy

1.3 PHÂN LOẠI ĐIỀU KHIỂN

Có nhiều cách phân loại hệ thống điều khiển tùy theo mục đích phân loại Ví dụ vào phương pháp phân tích thiết kế phân hệ thống điều khiển thành loại tuyến tính phi tuyến, biến đổi theo thời gian bất biến theo thời gian; vào dạng tín hiệu hệ thống ta có hệ thống liên tục hệ thống rời rạc; vào mục đích điều khiển ta có hệ thống điều khiển ổn định hóa, điều khiển theo chương, điều khiển theo dõi,

1.3.1 Phân loại theo phương pháp phân tích thiết kế

1- Hệ thống tuyến tính - Hệ thống phi tuyến

nghĩa lượng khí nạp vào ống định trước khoảng thời gian xác định, để điều khiển tư phi tuyến

Trong sách này, hệ thống tuyến tính đưa phân tích thiết kế yếu áp dụng kỹ thuật phân tích đồ họa Các hệ phi tuyến khó xử lý theo tốn học chưa có phương pháp chung để giải cho lớp hệ phi tuyến Trong thiết kế hệ thống, thực tế ban đầu thiết kế điều khiển dựa mơ hình hệ tuyến tính cách loại bỏ đặc tính phi tuyến Bộ điều khiển thiết kế áp dụng vào mơ hình hệ phi tuyến để đánh giá tái thiết kế phương pháp mô

2- Hệ thống bất biến - hệ thống biến đổi theo thời gian

Khi thông số HTĐK không đổi suốt thời gian hoạt động hệ thống, hệ thống gọi hệ thống bất biến theo thời gian Thực tế, hầu hết hệ thống vật lý có phần tử trơi hay biến đổi theo thời gian Ví dụ điện trở dây quấn động bị thay đổi bị kích hay nhiệt độ tăng Một ví dụ khác HTĐK biến đổi theo thời gian hệ điều khiển tên lửa, khối lượng tên lửa bị giảm trình bay Mặc dù hệ thống biến đổi theo thời gian khơng có đặc tính phi tuyến, coi hệ tuyến tính, việc phân tích thiết kế loại hệ thống phức tạp nhiều so với hệ tuyến tính bất biến theo thời gian

1.3.2 Phân loại theo loại tín hiệu hệ thống

1- Hệ thống liên tục

Các thành phần HTĐK DC biến trở, khuếch đại DC, động DC, tachometer DC

Hình 1.7 Sơ đồ HTĐK DC vịng kín

Hình 1.8 Sơ đồ HTĐK AC vịng kín

sóng mang từ 400 Hz trở lên, HTĐK AC loại bỏ phần lớn

các nhiễu tần số thấp Các thành phần HTĐK AC thiết bị đồng bộ, khuếch đại AC, động AC, quay hồi chuyển, máy đo gia tốc

Thực tế, hệ thống liên kết thành phần AC DC, sử dụng điều chế giải điều chế thích ứng với tín hiệu điểm khác hệ thống

2- Hệ thống rời rạc

Khác với HTĐK liên tục, HTĐK rời rạc có tín hiệu hay nhiều điểm hệ thống dạng chuỗi xung hay mã số Thông thường HTĐK rời rạc phân làm hai loại: HTĐK lấy mẫu liệu HTĐK số HTĐK lấy mẫu liệu dạng liệu xung HTĐK số liên quan đến sử dụng máy tính số hay điều khiển số tín hiệu hệ mã số hóa, mã số nhị phân chẳng hạn

Nói chung, HTĐK lấy mẫu liệu nhận liệu hay thông tin khoảng thời gian xác định Ví dụ, tín hiệu sai lệch HTĐK cung cấp dạng xung khoảng thời gian hai xung liên tiếp HTĐK khơng nhận thơng tin tín hiệu sai lệch HTĐK lấy mẫu liệu xem HTĐK AC tín hiệu hệ thống điều chế xung

Hình 1.9 minh họa hoạt động hệ thống lấy mẫu liệu Tín hiệu liên tục r(t) đưa vào hệ thống, tín hiệu sai lệch e(t) lấy mẫu thiết bị lấy mẫu, ngõ thiết bị lấy mẫu chuỗi xung Tốc độ lấy mẫu thống không Một ưu điểm quan trọng thao tác lấy mẫu thiết bị đắt tiền hệ chia sẻ thời gian để dùng chung nhiều kênh điều khiển Một lợi điểm khác nhiễu

bày thành phần phận tự lái điều khiển tên lửa

Hình 1.9 Sơ đồ khối HTĐK lấy mẫu liệu

Hình 1.10 Sơ đồ khối HTĐK tên lửa 1.3.3 Phân loại theo mục tiêu điều khiển

1- Điều khiển ổn định hóa

Mục tiêu điều khiển kết tín hiệu tín hiệu vào chuẩn r(t) với sai lệch cho phép exl (sai số chế độ xác lập)

xl

e t r t c t e

| ( )| = | ( )− ( )| ≤

Khi tín hiệu vào r(t) khơng đổi theo thời gian ta có hệ thống điều khiển ổn định hóa hay hệ thống điều chỉnh, ví dụ hệ thống ổn định nhiệt độ, điện áp, áp suất, nồng độ, tốc độ,

2- Điều khiển theo chương trình

Nếu r(t) hàm định trước theo thời gian, yêu cầu đáp ứng hệ thống chép lại giá trị tín hiệu vào r(t) ta có hệ thống điều khiển theo chương trình

Ví dụ hệ thống điều khiển máy cơng cụ CNC, điều khiển tự động nhà máy xi măng Hoàng Thạch, hệ thống thu nhập truyền số liệu hệ thống điện, quản lý vật tư nhà máy

Nếu tín hiệu tác động vào hệ thống r(t) hàm trước theo thời gian, yêu cầu điều khiển đáp ứng c(t) ln bám sát r(t), ta có hệ thống theo dõi Điều khiển theo dõi sử dụng rộng rãi HTĐK vũ khí, hệ thống lái tàu, máy bay

4- Điều khiển thích nghi

Tín hiệu v(t) chỉnh định lại tham số điều khiển cho hệ thích nghi với biến động mơi trường ngồi

Hình 1.11 Ngun tắc tự chỉnh định 5- Điều khiển tối ưu - hàm mục tiêu đạt cực trị

Ví dụ tốn qui hoạch, vận trù kinh tế, kỹ thuật phương pháp điều khiển tối ưu

1.4 LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN

1.4.1 Điều khiển kinh điển (classical control)

multi-output) hệ thống biến đổi theo thời gian

Các phương pháp phân tích thiết kế hệ thống lý thuyết điều khiển kinh điển gồm có phương pháp Nyquist, Bode, phương pháp quỹ đạo nghiệm số Để thiết kế hệ thống dùng phương pháp Nyquist Bode cần mô tả hệ thống dạng đáp ứng tần số (đáp ứng biên độ đáp ứng pha), thuận lợi đáp ứng tần số đo thực nghiệm Mơ tả hệ thống cần để thiết kế dùng phương pháp quỹ đạo nghiệm số hàm truyền, hàm truyền tính từ đáp ứng tần số Hàm truyền hệ thống phức tạp tính cách sử dụng sơ đồ khối hay sơ đồ dịng tín hiệu Mơ tả xác đặc tính động học bên hệ thống không cần thiết phương pháp thiết kế kinh điển, có quan hệ ngõ vào ngõ quan trọng

Các khâu hiệu chỉnh đơn giản hiệu chỉnh vi tích phân tỉ lệ PID (Proportional Integral Derivative), hiệu chỉnh sớm trễ pha, thường sử dụng hệ thống điều khiển kinh điển Ảnh hưởng khâu hiệu chỉnh đến biểu đồ Nyquist, biểu đồ Bode quỹ đạo nghiệm số thấy dễ dàng, nhờ dễ dàng lựa chọn khâu hiệu chỉnh thích hợp 1.4.2 Điều khiển đại (modern control)

(từ khoảng năm 1960 đến nay)

Kỹ thuật thiết kế hệ thống điều khiển đại dựa miền thời gian Mơ tả tốn học dùng để phân tích thiết kế hệ thống phương trình trạng thái Mơ hình khơng gian trạng thái có ưu điểm mơ tả đặc tính động học bên hệ thống (các biến trạng thái) dễ dàng áp dụng cho hệ MIMO hệ thống biến đổi theo thời gian Lý thuyết điều khiển đại ban đầu phát triển chủ yếu cho hệ tuyến tính, sau mở rộng cho hệ phi tuyến cách sử dụng lý thuyết Lyapunov

Với phát triển lý thuyết điều khiển số hệ thống rời rạc, lý thuyết điều khiển đại thích hợp để thiết kế điều khiển chương trình phần mềm chạy vi xử lý máy tính số Điều cho phép thực thi điều khiển có đặc tính động phức tạp hiệu so với điều khiển đơn giản PID hay sớm trễ pha lý thuyết kinh điển

1.4.3 Điều khiển thông minh (intelligent control)

Điều khiển kinh điển điều khiển đại, gọi chung điều khiển thông thường (conventional control) có khuyết điểm để thiết kế hệ thống điều khiển cần phải biết mơ hình tốn học đối tượng Trong thực tế có đối tượng điều khiển phức tạp, khó khơng thể xác định mơ hình tốn Các phương pháp điều khiển thông minh điều khiển mờ, mạng thần kinh nhân tạo, thuật tốn di truyền mơ phỏng/bắt chước hệ thống thông minh sinh học, nguyên tắc khơng cần dùng mơ hình tốn học để thiết kế hệ thống, có khả ứng dụng thực tế lớn Khuyết điểm điều khiển mờ q trình thiết kế mang tính thử sai, dựa vào kinh nghiệm chuyên gia Nhờ kết hợp logic mờ với mạng thần kinh nhân tạo hay thuật toán di truyền mà thơng số điều khiển mờ thay đổi thơng qua q trình học hay q trình tiến hóa, khắc phục khuyết điểm thử sai Hiện điều khiển thông thường kết hợp với kỹ thuật điều khiển thông minh tạo nên điều khiển lai điều khiển hệ thống phức tạp với chất lượng tốt

1.5 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ CÁC PHẦN TỬ VÀ HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG

1.5.1 Các phần tử tự động

Như đề cập mục 1.1.2, HTĐK gồm phần tử sau:

Mục đích phần trình bày cách tóm lược vài phần tử thường dùng HTĐK phân tích chúng qua ví dụ minh họa, tính tốn cụ thể đề cập chương

1- Các loại cảm biến, thiết bị đo lường

Biến trở tuyến tính, biến trở góc quay dùng để chuyển đổi dịch chuyển thành điện áp Ngồi cịn chuyển đổi kiểu điện cảm điện dung Nguyên tắc chung để đo đại lượng không điện nhiệt độ, quang thơng, lực, ứng suất, kích thước, di chuyển, tốc độ phương pháp điện biến đổi chúng thành tín hiệu điện Cấu trúc thiết bị đo gồm ba thành phần: phận chuyển đổi hay cảm biến, cấu đo điện sơ đồ mạch trung gian hay mạch gia cơng tín hiệu ví dụ mạch khuếch đại, chỉnh lưu, ổn định Cảm biến xenxin làm phần tử đo lường hệ bám sát góc quay, truyền thị góc quay cự ly xa mà không thực khí Biến áp xoay hay cịn gọi biến áp quay dùng để biến đổi điện áp cuộn sơ cấp góc quay cuộn sơ cấp thành tín hiệu tương ứng với chúng Biến áp xoay sin, cos để đo góc quay rơto, đặt cuộn sơ cấp, thành điện áp tỉ lệ thuận với sin hay cos góc quay Biến áp xoay tuyến tính biến đổi độ lệch góc quay rơto thành điện áp tỉ lệ tuyến tính Con quay bậc tự quay bậc tự sử dụng làm cảm biến đo sai lệch góc đo tốc độ góc tuyệt đối hệ thống ổn định đường ngắm dụng cụ quan sát ngắm bắn

Cảm biến tốc độ - mã hóa quang học đĩa mã có khắc vạch mà ánh sáng qua Phía sau đĩa mã đặt phototransistor chịu tác dụng nguồn sáng Động đĩa mã gắn đồng trục, quay ánh sáng chiếu đến phototransistor lúc bị ngăn lại, lúc không bị ngăn lại làm cho tín hiệu cực colecto chuỗi xung Trên đĩa mã có khắc hai vịng vạch, ngồi A B có số vạch, lệch 90o(vạch A trước B 90o) Nếu đĩa mã quay theo chiều kim đồng hồ

chuỗi xung B nhanh chuỗi xung A 1/2 chu kỳ ngược lại

Cảm biến nhiệt độ Pt 56Ω, Pt 100Ω, Thermocouple

2- Đối tượng điều khiển

Đối tượng điều khiển thiết bị kỹ thuật, dây chuyền sản xuất, qui trình cơng nghệ mục tiêu điều khiển người lĩnh vực khác

Các phần tử chấp hành thường dùng ĐKTĐ loại động bước, động DC, servomotor, động AC, động thủy lực khí nén Động bước dùng để định vị xác có cấu trúc rơto stato đặc biệt Rơto thơng thường nam châm vĩnh cửu có cạnh xẻ rãnh cưa suốt chu vi rôto, để tập trung đường sức từ mũi Tương tự, stato chế tạo thơng dụng có bốn bối dây quấn xen kẽ theo từ cực Khi có dịng điện chạy qua cuộn dây stato, rơto quay góc đến vị trí cân từ thông giao điểm hai stato rôto Thay đổi thứ tự cuộn dây 1, 2, 3, rơto lệch góc 90o Có ba cách điều khiển động bước: điều khiển

hành trình lượng thấp, điều khiển thường, điều khiển 1/2 bước Vì cuộn dây stato có điện trở nhỏ khoảng 0,2Ω thường điều khiển nguồn dịng thơng dụng transistor, Fet

Một loại đo lường điều khiển khác thường gặp cơng nghiệp hệ thống nhiệt, ví dụ lò nung dây chuyền sản xuất gạch men, lò sấy dây chuyền chế biến thực phẩm, hệ thống làm lạnh dây chuyền chế biến thủy sản Yêu cầu điều khiển hệ thống nhiệt thường điều khiển ổn định hòa điều khiển theo chương trình

Mơ hình tốn động DC lị nhiệt trình bày mục 2.2.2

3- Kỹ thuật giao tiếp máy tính

mềm chạy vi xử lý hay máy tính Hiện máy tính khẳng định thiết bị điều khiển đa tin cậy Phần trình bày số vấn đề liên quan đến kỹ thuật giao tiếp máy tính

Bộ chuyển đổi ADC DAC

Hình 1.12 sơ đồ Card A/D D/A bit Trong ứng dụng cần độ xác cao sử dụng card A/D D/A 12 bit

Card chuyển đổi A/D D/A 12 bit PCL-711B có đặc điểm: - Chuyển đổi A/D có độ phân giải 12 bit

- Cho phép ngõ vào tương tự đơn

- Tám ngõ vào tương tự lập trình ±5V, ±2,5V,

±1,25V, ±0,625V, ±0,3125V

- Mức IRQ (ngắt) lập trình dùng cho việc truyền liệu A/D

- Một kênh D/A 12 bit với tầm điện áp 0÷5V hay 0÷10V - Ngõ số D/O 16 bit, ngõ vào số D/I 16 bit

- Khởi động phần mềm, trigơ tần số lập trình trigơ bên ngồi

- Chương trình điều khiển giao diện thân thiện với người sử dụng

Card giao tiếp với máy tính

Ví dụ Card giao tiếp sử dụng IC8255 gắn slot mở rộng Main Board máy tính (H.1.13)

Các loại giao thức truyền tin

RS232C serial Interface, chấu nối 25 chân dùng để truyền liệu nối tiếp với tốc độ nhỏ 20.000 bits/second (năm 1969)

Khoảng 1975 đến 1977 áp dụng 422, 423, 449 RS-449 chấu nối 37 chân, tốc độ truyền nhanh gấp năm lần so với RS-232C

Vào năm 1970-1975 phát triển Bus liệu song song với IEEE-488

Năm 1978 - IEEE - 583 có slots cho 25 moduls, nối trực tiếp với Bus I/O máy tính, nối song song tới CRATES

Hệ đơn kênh IEEE - 802.4 Single - Channel Systems

Mạng giải rộng IEEE - 802.4 Broadband Networks có khả cung cấp cho nhiều mạng LAN

Giao diện hệ thống mở (The Open Systems Interface) năm 1979; Ethernet năm 1980

Mạng diện rộng - Wide Area Network (WAN)

Sử dụng giao thức truyền tin Transport Control Protocol/Internet Protocol (TCP/IP)

1.5.2 Các ứng dụng hệ thống điều khiển tự động 1- Hình 1.14 minh họa hệ thống điều khiển mức chất lỏng bể

Tốc độ dòng chảy ngõ qua van V1 biến đổi, hệ thống trì mức chất lỏng h = const với sai số cho phép xác Nếu mức chất lỏng bể không đúng, điện áp sai lệch tạo qua khuếch đại đưa vào điều khiển động điều chỉnh van V2 để khôi phục lại mức chất lỏng mong muốn cách điều chỉnh tốc độ dòng chảy ngõ vào

Trong trường hợp dòng chảy vào có tốc độ số, phao có hai cặp tiếp điểm thường đóng, thường mở để điều khiển đóng mở động điện AC Để tránh động bị đóng ngắt khơng dứt khốt, tạo hai mức tương ứng vùng trễ Trigger Schmidt ∆h

Hình 1.14 Hệ thống điều khiển tự động mức chất lỏng bể

2- Hình 1.15 minh họa hệ thống định vị dùng cho bệ phóng tên lửa

khuếch đại vi sai, hoạt động phát sai lệch Nếu có sai lệch, khuếch đại đưa đến động cơ, điều chỉnh vị trí trục ngõ tương ứng với vị trí trục ngõ vào sai lệch

Hình 1.15 Một hệ thống tự động định vị trí dùng cho bệ phóng tên lửa

3- Một phiên điều khiển tự động vận tốc động chiều (điều khiển trường) minh họa hình 1.16

Hệ thống hồi tiếp có khả trì vận tốc ngõ khơng đổi cách tương đối xuất mơmen cản Tachometer thành phần hồi tiếp, biến đổi vận tốc sang điện áp tỉ lệ đưa khuếch đại vi sai Nếu vận tốc ngõ khác với vận tốc mong muốn, khuếch đại vi sai tạo tín hiệu sai lệch điều chỉnh dịng, thay đổi trường động để khôi phục lại vận tốc ngõ mong muốn

Hình 1.16 Điều khiển tự động vận tốc cho động DC điều khiển trường

bộ chỉnh lưu SCR, thay đổi vận tốc cho ω = ωđặt Mục tiêu điều khiển đạt sai số xác lập Nguyên tắc kích SCR thường sử dụng tuyến tính góc α, phương pháp cosin phương pháp xung - số Đặc tính động DC vòng điều khiển hồi tiếp cải thiện, giữ tốc độ ổn định phụ tải thay đổi Kí hiệu ωđ - vận tốc đặt mong muốn, Mc - mômen cản tác động lên động

Hình 1.17 Sơ đồ khối HTĐK vận tốc động DC SCR 5- Sơ đồ khối HTĐK định vị máy tính trình bày hình 1.18

Hình 1.18 HTĐK định vị máy tính

Card giao tiếp IC 8255, mã hóa Encoder loại cảm biến 1000 xung động quay hết vịng Tăng độ xác cách hồi tiếp vị trí thay đổi vận tốc động để dừng vị trí mong muốn

6- Robot lĩnh vực quan trọng ứng dụng HTĐK

phát triển nhanh chóng Lý thuyết điều khiển tự động, nguyên tắc điều khiển thích nghi, hàm Lyapunov… áp dụng để có Robot cử động theo ý muốn hay lực cần thiết Lĩnh vực Robotics tùy thuộc vào cách sử dụng cảm biến quan sát máy tính để lập trình cho Robot hồn thành cơng việc theo yêu cầu

Robot sáng tạo để thực nhiều công việc khác nhau, làm cầu nối lĩnh vực chế tạo, nhiệm vụ vận chuyển khơng gian chăm sóc y tế Ứng dụng chủ yếu Robot tự động hóa q trình sản xuất Robot sử dụng dây chuyền sản xuất xe hơi, thành phần tàu thoi không gian NASA, bạn giúp việc cho người … Robot trợ giúp bệnh viện, thực cơng việc y tá chăm sóc bệnh nhân Các Robot sử dụng cảm biến quan sát, siêu âm hồng ngoại … điều khiển thang máy, tránh vật cản dọc theo đường đi, mang khay thức ăn theo yêu cầu, lấy thuốc hay vật mẫu phịng thí nghiệm, ghi lại tình trạng sức khỏe người bệnh, báo cáo cơng việc quản lý …

7- SCADA (Supervisory Control and Data Acquisition) giám sát, điều khiển thu thập liệu

Hình 1.19 Motorola SCADA

8- Trong điều khiển on-off đối tượng khác thang máy, hệ điều hành phân phối điện, dây chuyền sản xuất, hệ thống phân cấp, điều khiển q trình cơng nghệ … thường sử dụng logic lập trình PLC – Programmable logic Control PLC máy tính số cơng nghiệp bao gồm xử lý, nhớ, điều khiển thiết bị vào –

9- Hình 1.20 sơ đồ hệ thống điều khiển q trình phân phối DCS có sử dụng PLC nhánh

Hình 1.20 Hệ thống điều khiển phân phối DCS

Tổng qt, hệ thống điều khiển phân phối dây chuyền sản xuất bao gồm nhiều hệ thống điều khiển máy công cụ CNC, DNC (Direct Numerical Control), Robot công nghiệp cho công đoạn, PLC lập trình mềm dẻo, moduls thu thập xử lý liệu, điều khiển trung tâm

của máy tính tới mức tối đa với thư viện, chương trình thiết kế đặc chủng có thiết bị ngoại vi mạnh

Các hệ thống CAD/CAM có độ linh hoạt cao đáp ứng nhu cầu thay đổi mẫu mã sản phẩm nhanh phù hợp với thị hiếu người tiêu dùng

Máy tính Robot làm cách mạng cơng nghiệp thứ hai giới Các dây chuyền công nghệ mạng máy tính điều khiển (CIM) đảm bảo sản phẩm có chất lượng cao giá thành rẻ

Ngành vận chuyển đường ray đường không đạt tiến vĩ đại: hệ thống xe lửa điện từ Nhật, Berlin, Mỹ với tốc độ siêu cao, buồng lái tiên tiến McDonnell Douglas với hệ thống tự lái Các hệ thống quân sự: máy bay, tàu ngầm chạy lượng hạt nhân, tàu hiệu ứng bề mặt, tàu cánh ngầm Các hệ thống điều khiển phận y khoa: phận nhân tạo thể, điều khiển tim người

Hệ thống điều khiển số máy cơng cụ theo chương trình (CNC) tạo phương pháp gia cơng có tính vệ sinh mơi trường cao phương pháp gia công lazer, điện hóa, siêu âm

10- Tự động hóa khép kín – hệ sinh thái công nghiệp loại bỏ phế thải làm ô nhiễm môi trường

Các phế thải khâu nghiên cứu để dùng dạng nguyên liệu cho khâu ngành sản xuất khác

Nhà máy tự động hóa - phân hệ sinh thái cơng nghiệp: Tự động hóa theo bề rộng bề sâu theo chu trình khép kín: thiết kế → chuẩn bị sản xuất → sản xuất xử lý phế thải → lắp ráp

→ thử nghiệm → thiết kế

Chương 2 MƠ TẢ TỐN HỌC HỆ THỐNG

ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC

2.1 KHÁI NIỆM

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VAØ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.1 Phép biến đổi Laplace

1- Định nghóa

Cho f(t) hàm xác định với t ≥ 0, biến đổi Laplace f(t) là:

{ } st

F s( ) f t( ) f t e dt( ) +∞

−

= = ∫

0 L

L L

L (2.1)

trong đó: s -là biến phức (biến Laplace) s= σ + ωj

L - toán tử biến đổi Laplace

F(s) - ảnh hàm f(t) qua phép biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace tồn tích phân biểu thức định nghĩa (2.1) hội tụ

2- Tính chất phép biến đổi Laplace

Tính tuyến tính

Nếu hàm f1(t) có biến đổi Laplace LLLL{ }f t1( ) =F s1( ) hàm

f2(t) có biến đổi Laplace làLLLL{f t2( )}=F s2( ) thì:

{a f t1 1( )+a f t2 2( )}=a F s1 1( )+a F s2 2( )

L L L

L (2.2)

Ảnh đạo hàm

Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace LLLL{ }f t( ) =F s( ) thì:

df t sF s f

dt

( )

( ) ( +)

 

= −

 

 

L L L

L (2.3)

trong f(0+) điều kiện đầu Nếu điều kiện đầu thì:

df t sF s dt

( )

( )

 

=

 

 

L L L

L (2.4)

Ảnh tích phân

t F s

f d

s

( ) ( )

 

 

τ τ =

 

 

∫0 

L L L

L (2.5)

Định lý chậm trễ

Hình 2.1 Làm trễ hàm f(t) thời gian T

Nếu f(t) làm trễ khoảng thời gian T, ta có hàm f(t−T). Khi đó:

{f t T} e Ts. { }f t e Ts.F s

( − ) = − ( ) = − ( )

L L

L L

L L

L L (2.6)

Định lý giá trị cuối

Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace LLLL{ }f t( ) =F s( ) thì:

t f t s sF s

lim ( ) lim ( )

→∞ = →0 (2.7)

3- Biến đổi Laplace số hàm

Khi khảo sát hệ thống tự động người ta thường đặt tín hiệu vào tín hiệu Ví dụ để khảo sát hệ thống điều khiển ổn định hóa tín hiệu vào chọn hàm nấc, để khảo sát hệ thống điều khiển theo dõi tín hiệu vào chọn hàm hàm dốc, nhiễu tác động vào hệ thống mơ tả hàm dirac Tín hiệu hệ thống tự động có dạng tổ hợp tín hiệu hàm nấc, hàm mũ, hàm sin, … Do mục xét biến đổi Laplace hàm để sử dụng việc phân tích thiết kế hệ thống chương sau

Haøm xung đơn vị (hàm dirac) (H.2.2a)

Hình 2.2 Các hàm

a) Hàm xung đơn vị; b) Hàm nấc đơn vị; c) Hàm dốc đơn vị

d) Hàm parabol; e) Hàm mũ; f) Hàm sin

t t

neáu t

( )  ≠

δ =

∞ =



0

thoûa ( )t dt +∞ −∞

δ =

∫ (2.8)

Theo định nghóa:

{ }( )t ( ).t e dtst ( ).t e dtst ( ).t e dt

+ +

+∞

− − −

δ = ∫ δ = δ∫ = δ∫ =

0

0

0 0

1 L

L L

L (2.9)

⇒ LLLL{ }δ( )t =1

Hàm nấc đơn vị (H.2.2b)

Trong hệ thống điều khiển ổn định hóa, tín hiệu vào có dạng hàm nấc đơn vị

t u t

neáu t

( )= ≥

< 

1

0 (2.10)

Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace ta có:

{ }u t u t e dtst e dtst e st e e

s s s

( ) ( )

+∞

+∞ +∞ − −∞ −

− −  

= = = − = − − 

 

∫ ∫

0 0

L L L

L

⇒ { }u t s

( ) =1

L L L

Hàm dốc đơn vị (hàm RAMP) (H.2.2c)

Hàm dốc đơn vị thường sử dụng làm tín hiệu vào để khảo sát hệ thống điều khiển theo dõi

t neáu t r t t u t

neáu t

( )= ( )= ≥

<

0 (2.12)

Theo định nghóa

{ }f t f t e dtst t e dtst t e st e st

s s ( ) ( ) +∞ +∞ +∞ − − − −   = = = − −     

∫ ∫

0 0

L L L L

⇒ {t u t} s

( ) = 12

L LL

L (2.13)

Cũng dùng tính chất ảnh tích phân để tìm biến đổi Laplace hàm dốc đơn vị sau:

Để ý rằng: r t( )=t u t ( )=∫tu d( )τ τ

0 Mặt khác: { }u t

s

( ) =1

L LL

L (biến đổi Laplace hàm nấc đơn vị)

Nên theo tính chất ảnh tích phân ta coù: { }r t tu d { }u t

s s ( ) ( ) ( )     =  τ τ = =  

∫0 

1 L L L L L L L L L L L L

Dùng tính chất ảnh tích phân dễ dàng chứng minh được:

{ n }

n n t u t

s

! ( ) = +1

L L L

L (2.14)

Trường hợp n = ta có hàm parabol (H.2.2d) t u t

s ( )     =       L L L L Hàm mũ at

at e neáu t f t e u t

neáu t

( ) ( )

−

−  ≥

= =

<

Theo định nghóa ta có:ù

{e atu t} e at e dtst e s a tdt e s a t

s a ( ) ( ) ( ) +∞ +∞ +∞ − + − = − − = − + = −  +     ∫ ∫

0 0

L L L L

⇒ {e atu t}

s a ( ) − = + L L L

L (2.16)

Haøm sin: f t t u t t neáu t neáu t

sin

( )=(sinω ) ( )= ω ≥

<

0 (2.17)

Để ý công thức Euler: t ej t e j t j

sin

ω − − ω

ω =

2 Theo định nghóa ta có:

{ t u t} ej t e j t e dtst

j j s j s j

(sin ) ( )

+∞ ω − ω −   − ω = =  − ω− + ω   ∫

1 1

2

L L L L

⇒ { t u t}

s

(sinω ) ( ) = ω + ω

2 L

L L

L (2.18)

Phần vừa trình bày biến đổi Laplace hàm Biến đổi Laplace hàm khác tra bảng biến đổi Laplace phụ lục A

2.2.2 Hàm truyền đạt

1- Định nghóa

Hình 2.3 Tín hiệu vào tín hiệu hệ thống tự động Quan hệ tín hiệu vào tín hiệu hệ thống tuyến tính bất biến liên tục mơ tả phương trình vi phân hệ số hằng:

n n

o d c tn d nc t n dc t n

a a a a c t

dt dt dt ( ) ( ) ( ) ( ) − − −

+ 1 1 + +L + =

= bo d r tmm b dmmr t bm dr t b r tm dt dt dt ( ) ( ) ( ) ( ) − − −

trong hệ số ai(i=0,n) b jj( =0,m) thông số hệ

thống (ao ≠0 ,ø bo ≠0 ); n bậc hệ thống Hệ thống gọi hợp thức (proper) n ≥ m, hệ thống gọi khơng hợp thức n < m Chỉ có hệ thống hợp thức tồn thực tế

Khảo sát hệ thống dựa vào phương trình vi phân (2.19) khó khăn Một ví dụ đơn giản giả sử ta biết tất thông số hệ thống biết tín hiệu vào, muốn tìm đáp ứng hệ thống ta phải giải phương trình vi phân cấp n, công việc không dễ dàng chút Do ta cần biểu diễn tốn học khác giúp cho việc nghiên cứu hệ thống tự động dễ dàng Nhờ phép biến đổi Laplace, ta thực điều

Giả sử điều kiện đầu 0, biến đổi Laplace hai vế phương trình (2.19) ta được:

( n n ) ( m m )

o n n o m m

a s +a s1 −1+L+a −1s a C s+ ( )= b s +b s1 −1+L+b −1s b+ R s( )

⇒ o mn mn m m

o n n

b s b s b s b

C s

R s a s a s a s a

( ) ( ) − − − − + + + + = + + + + 1 1 1 L L

Đặt: o m m m m

n n

o n n

b s b s b s b

C s G s

R s a s a s a s a

( ) ( ) ( ) − − − − + + + + = = + + + + 1 1 1 L L (2.20)

G(s) gọi hàm truyền hệ thống

Định nghĩa: Hàm truyền hệ thống tỉ số biến đổi Laplace tín hiệu biến đổi Laplace tín hiệu vào điều kiện đầu

truyền phân thức đại số khơng có phép tính tích phân vi phân

Sau xét hàm truyền số khâu hiệu chỉnh đối tượng điều khiển thường gặp

2- Hàm truyền đạt khâu hiệu chỉnh

Trong hệ thống tự động khâu hiệu chỉnh điều khiển đơn giản sử dụng để biến đổi hàm truyền đạt hệ thống nhằm mục đích tăng tính ổn định, cải thiện đáp ứng giảm thiểu ảnh hưởng nhiễu lên chất lượng hệ thống Thường khâu hiệu chỉnh mạch điện Có hai dạng mạch hiệu chỉnh mạch hiệu chỉnh thụ động mạch hiệu chỉnh tích cực Mạch hiệu chỉnh thụ động khơng có khuếch đại, độ lợi mạch thường nhỏ hay Ngược lại mạch hiệu chỉnh tích cực có khâu khuếch đại, độ lợi mạch thường lớn Phần trình bày hàm truyền số khâu hiệu chỉnh thường sử dụng thiết kế hệ thống Đặc tính khâu hiệu chỉnh phân tích chương sau

Khâu hiệu chỉnh thụ động

Khâu tích phân bậc (H.2.4a)

Quan hệ dòng điện điện áp tụ C cho ta: i t Cdv tC Cdv to

dt dt

( ) ( )

( )= =

Theo định luật Kirchoff ta có: v tR( )+v tC( )=v ti( )

⇒ R i t ( )+v tC( )=v ti( ) ⇒ RCdv to v to v ti

dt

( )

( ) ( )

+ = (2.21)

Biểu thức (2.21) phương trình vi phân mơ tả khâu tích phân bậc Giả sử điều kiện đầu 0, biến đổi Laplace hai vế biểu thức (2.21), ta được:

o o i

RCsV s( )+V s( )=V s( ) ⇒ o

i V s G s

V s RCs

( ) ( ) ( ) = = + 1

Đặt T =RC, hàm truyền khâu tích phân bậc viết lại: G s

Ts

( )= +

1

1 (2.22)

Bằng cách tương tự ta dễ dàng rút hàm truyền khâu hiệu chỉnh sau:

Khaâu vi phaân bậc (H.2.4b) Ts

G s Ts

( )=

+1 (T =RC) (2.23) Khâu sớm pha (H.2.4c)

C Ts

G s K

Ts

( )= α +

+

1

1 (2.24)

trong đó: KC R

R R

= +

2

1

; T R R C

R R

= +

2

1

α =T R C1 ; α = R1R+R2

(α >1 )

Khâu trễ pha (H.2.4d) C Ts

G s K

Ts

( )= α +

+

1

1 (2.25)

trong đó: KC =1 ; T=(R1+R C2)

α =T R C2 ; α = R R+2R

1

Để ý dạng hàm truyền khâu sớm pha khâu trễ pha giống nhau, khác khâu sớm pha α>1, khâu trễ pha α<1 Ở chương ta thấy điều kiện ràng buộc hệ số α khác nên đặc tính khâu sớm pha khâu trễ pha hồn tồn trái ngược

Khâu hiệu chỉnh tích cực

Hình 2.5 Các khâu hiệu chỉnh tích cực

a) Khâu tỉ lệ; b) Khâu tích phân tỉ lệ PI

c) Khâu vi phân tỉ lệ; d) Khâu vi tích phân tỉ lệ PID Khâu tỉ lệ P (Proportional) (H.2.5.a)

P

G s( )=K (2.26)

trong đó: KP R R

= −

1

Khâu tỉ lệ có đặc điểm tín hiệu tỉ lệ với tín hiệu vào Khâu tích phân tỉ lệ PI (Proportional Integral) (H.2.5b) Hàm truyền khâu PI

I P K

G s K

s

( )= + (2.27)

trong đó: KP R R

= −

1 ; KI

R C

= −

Quan hệ miền thời gian tín hiệu tín hiệu vào khâu PI là:

t o P i I i v t( )=K v t( )+K v∫ ( )τ τd

0

(2.28)

Biểu thức (2.28) cho thấy khâu tích phân tỉ lệ PI có đặc điểm tín hiệu tỉ lệ với tín hiệu vào tích phân tín hiệu vào

Khâu vi phân tỉ lệ PD (Proportional Derivative) (H.2.5c) Hàm truyền khâu PD:

P D

G s( )=K +K s (2.29)

trong đó: KP R R

= −

1

; KD = −R C2

Quan hệ tín hiệu tín hiệu vào khâu PD

miền thời gian là: i

o P i D dv t

v t K v t K

dt

( )

( )= ( )+ (2.30)

Khâu vi phân tỉ lệ PD có đặc điểm tín hiệu tỉ lệ với tín hiệu vào vi phân tín hiệu vào

Khâu vi tích phân tỉ lệ PID (Proportional Integral Derivative) (H.2.5d)

Hàm truyền khâu PID: I P K D

G s K K s

s

( )= + + (2.31)

trong đó: KP R C R C R C

+

= − 1 2

1 ; KI = −R C1

1 ; KD = −R C2 Quan hệ miền thời gian tín hiệu tín hiệu vào khâu PID là:

t

i o P i I i D dv t

v t K v t K v d K

dt

( )

( )= ( )+ ∫ ( )τ τ +

0

(2.32) Biểu thức (2.32) cho thấy khâu vi tích phân tỉ lệ PID có đặc điểm tín hiệu tỉ lệ với tín hiệu vào, tích phân tín hiệu vào vi phân tín hiệu vào

3- Hàm truyền đạt số đối tượng điều khiển

tượng điều khiển dựa vào định luật vật lý chi phối hoạt động đối tượng định luật Kirchoff, định luật Newton, … để xây dựng phương trình vi phân mơ tả quan hệ tín hiệu vào tín hiệu đối tượng, sau suy hàm truyền cách áp dụng phép biến đổi Laplace Đối với hệ thống phức tạp, phương pháp hiệu để tìm hàm truyền nói riêng mơ hình tốn học nói chung phương pháp nhận dạng hệ thống Để minh họa mục dẫn hàm truyền hai đối tượng điều khiển thơng dụng động chiều lị nhiệt Có thể nói hai đối tượng có mặt hầu hết dây chuyền sản xuất

Động chiều kích từ độc lập

Động chiều sử dụng phổ biến hệ điều khiển nhờ đặc tính tuyến tính, tầm điều chỉnh vận tốc rộng, khả mang tải lớn vùng vận tốc nhỏ Sơ đồ nguyên lý động chiều trình bày hình 2.2

Lư - điện cảm phần ứng ω - tốc độ động

Rư - điện trở phần ứng Mt - mômen tải

Uư - điện áp phần ứng B - hệ số ma sát

Eư - sức phản điện động J - mơmen qn tính

Hình 2.6 Sơ đồ nguyên lý động chiều kích từ độc lập Theo định luật Kirchoff ta có phương trình cân điện áp mạch điện phần ứng:

di t

U t i t R L E t

dt

( )

( )= ( ) + ö + ( )

ư ư ư (2.33)

trong đó: E tư( )= ΦωK ( )t - sức phản điện phần ứng (2.34) K - hệ số; Φ - từ thơng kích từ

phương trình cân mơmen trục động cơ:

( )

( ) ( ) ( )

ñ t d t

M t M t B t J

dt

ω

= + ω + (2.35)

trong đó: Mđ(t) - mơmen động cơ: M tđ( )= ΦK i tu( ) (2.36) Biến đổi Laplace (2.33), (2.34), (2.35) (2.36) ta được:

U sö( )=I s Rö( ) ö +L sI sö ö( )+E sö( ) (2.37)

u

E s( )= ΦωK ( )s (2.38)

( ) ( ) ( ) ( )

ñ t

M s =M s + ωB s + ωJs s (2.39)

( ) ( )

ñ

M s = ΦK i sư (2.40)

Đặt: T L R

= ö

ö ö

số thời gian điện từ động Tc = JB số thời gian điện động Ta viết lại (2.37) (2.39) sau:

(2.37) ⇒ U sö( )−E sö( )=Rö(1+T s I sö ) ö( )

⇒ I s U s E s

R T s

( ) ( )

( )

( )

− =

+

1

ö ö

ö

ö ö

(2.41)

(2.??) ⇒ M sñ( )−M st( )=B(1+T sc ) ( )ω s

⇒

1

( ) ( )

( )

( )

ñ t

c

M s M s

s

B T s

−

ω =

+ (2.42)

Từ biểu thức (2.38), (2.40), (2.41) (2.42) ta có sơ đồ cấu trúc động chiều trình bày hình 2.7 Mục 2.2.3 trình bày cách tính hàm truyền tương đương hệ thống từ sơ đồ khối

Lò nhiệt

Hàm truyền lò nhiệt xác định phương pháp thực nghiệm Cấp nhiệt tối đa cho lị (cơng suất vào P = 100%), nhiệt độ lò tăng dần Sau thời gian nhiệt độ lò đạt đến giá trị bão hịa Đặc tính nhiệt độ theo thời gian biểu diễn hình 2.9a Do đặc tính xác lò nhiệt phức tạp nên ta xấp xỉ đáp ứng gần hình 2.9b

Hình 2.8 Thí nghiệm xác định hàm truyền lò nhiệt

Hình 2.9 Đặc tính lị nhiệt a) Đặc tính xác; b) Đặc tính gần

Ta xác định hàm truyền gần lò nhiệt dùng định nghĩa: C s

G s

R s

( ) ( )

( ) =

Do tín hiệu vào hàm nấc đơn vị (P = 100%) neân: R s s

( )=1

Tín hiệu gần (H.2.9b) hàm: c t( )= f t T( − 1) đó: f t( )=K(1−e−t T/ 2)

Tra bảng biến đổi Laplace ta được: F s K

s T s

( )

( )

=

+

1

Do vậy, áp dụng định lý chậm trễ ta được: C s Ke T s

s T s

( )

( )

−

= +

1

2 Suy hàm truyền lò nhiệt là: G s Ke T s

T s

( )

−

= +

1

2

2.2.3 Đại số sơ đồ khối

1- Sơ đồ khối

Ở mục 2.2.2 dẫn hàm truyền phần tử hệ thống điều khiển Trong thực tế hệ thống thường gồm nhiều phần tử kết nối với Một cách đơn giản hiệu việc biểu diễn hệ thống phức tạp dùng sơ đồ khối

Sơ đồ khối hệ thống hình vẽ mơ tả chức phần tử tác động qua lại phần tử hệ thống Sơ đồ khối gồm có ba thành phần khối chức năng, tổng điểm rẽ nhánh

Khối chức năng: Tín hiệu khối chức tích tín hiệu vào hàm truyền

Điểm rẽ nhánh: Tại điểm rẽ nhánh tín hiệu

Bộ tổng: Tín hiệu tổng tổng đại số tín hiệu vào

Hình 2.10 Các thành phần sơ đồ khối a) Khối chức năng; b) Điểm rẽ nhánh; c) Bộ tổng

2- Hàm truyền đạt hệ thống biểu diễn sơ đồ khối

Hệ thống nối tiếp

Hình 2.11 Hệ thống nối tiếp Hàm truyền tương đương hệ thống nối tiếp:

G s C s C sn C s C sn G s C sn G s C s C sn

R s R s R s C s R s R s C s

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= = = = =

1 1 2

n

n C s

G s G s G s G s G s

R s

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

= = =

3

⇒ n i

i

G s( ) G s( ) =

=∏

1

(2.44)

Hệ thống song song

Hình 2.12 Hệ thống song song

Hàm truyền tương đương hệ thống song song:

n n

n

C s C s C s C s C s C s

C s G s

R s R s R s R s R s

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+ +

= = = + + +

1

L

L

⇒ ∑

= = n

i i s

G s

G

1 ) ( )

( (2.45)

Chú ý công thức tổng tổng đại số Hệ hồi tiếp vòng

Hồi tiếp âm (H.2.13a)

Hình 2.13 Hệ thống hồi tiếp a) Hồi tiếp âm; b) Hồi tiếp dương Hàm truyền hệ thống hồi tiếp âm: G sk C s R s

( ) ( )

( ) =

Ta coù: C s( )=E s G s( ) ( )

ht

R s( )=E s( )+C s( ) (do E s( )=R s( )−C sht( ))

) ( ) ( )

(s C s H s

E +

Lập tỉ số C(s) R(s) ta được:

k G s

G s

G s H s

( ) ( )

( ) ( ) =

+

1 (2.46)

Trường hợp đặc biệt H(s) = ta có hệ thống hồi tiếp âm đơn vị Trong trường hợp công thức (2.46) trở thành:

k G s

G s

G s

( ) ( )

( ) =

+

1 (2.47)

Hồi tiếp dương (H.2.13b)

Tương tự trường hợp hồi tiếp âm, dễ dàng chứng minh được:

k G s

G s

G s H s

( ) ( )

( ) ( ) =

−

1 (2.48)

Hệ hồi tiếp nhiều vòng

Đối với hệ thống phức tạp gồm nhiều vòng hồi tiếp, ta thực phép biến đổi tương đương với sơ đồ khối để làm xuất dạng kết nối đơn giản (nối tiếp, song song, hồi tiếp vịng) tính hàm truyền tương đương theo thứ tự từ

Hai sơ đồ khối gọi tương đương hai sơ đồ khối có quan hệ tín hiệu vào tín hiệu Các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối thường dùng là:

Chuyển điểm rẽ nhánh từ phía trước phía sau khối

Chuyển tổng từ phía trước phía sau khối

Chuyển tổng từ phía sau phía trước khối

Chuyển vị trí hai tổng

Tách tổng thành hai tổng

Chuyển vị trí điểm rẽ nhánh tổng

Chuyển vị trí hai tổng hai tổng có điểm rẽ nhánh

3- Một số ví dụ tính hàm truyền tương đương hệ thống

Ví dụ 2.1 Tính hàm truyền tương đương hệ thống có sơ đồ khối sau:

Giải: Biến đổi tương đương sơ đồ khối sau:

• GB(s) = [G1(s) // hàm truyền đơn vị], GC(s) = vòng hồi tiếp [G2(s), GA(s)]:

Ta coù: G sA( )=G s3( )−G s4( )

B

G s( )= +1 G s1( )

C

A

G s G s

G s

G s G s G s G s G s

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ).[ ( ) ( )]

= =

+ 22 + 23 −

1

Haøm truyền tương đương hệ thống:

B C

G stñ( )=G s G s( ) ( )

⇒ G s G s G s

G s G s G s

[ ( )] ( )

( )

( ).[ ( ) ( )]

+ =

+ −2

1

tđ g

Ví dụ 2.2 Tính hàm truyền tương đương hệ thống có sơ đồ khối:

Giải: Biến đổi tương đương sơ đồ khối sau: Chuyển vị trí hai tổng

GB(s) = vòng hồi tiếp [G2(s), H2(s)] GC(s) = [GA(s)// hàm truyền đơn vị]

GD(s) = [GB(s) nối tiếp GC(s) nối tiếp G3(s)]

GE(s) = vòng hồi tiếp [GD(s), H3(s)]

A H G G = B G G G H =

+ 22 2

1

C A H G H

G G

G G

+

= + = + =

2

1

D B C G G H G G G H

G G G G G

G H G G H

   +  +

= =    =

+ +

   

2 3

2

3

2 2 2

1

D E

D

G G G H

G G G H

G G H

G G G G H

G H H G H G G H G H H

G H + + + = = + = + + + + + +

2 3

2 3 2

2 3

3 3 2 3 3

2

1 1

1

Vậy hàm truyền tương đương hệ thống là:

E

E

G G G H

G

G H G G H G H H

G G

G G G G H

G G G

G H G G H G H H

+ + + + = = + + + + + +

2 3 1

2 2 3 3

2 3 1

1

2 2 3 3

1 1

1

⇒ G G G G G G H

G H G G H G H H G G G G G H

+ =

+ + + + +

1 3

2 2 3 3 3

1 g

Ví dụ 2.3 Tính hàm truyền tương đương hệ thống biểu diễn sơ đồ khối:

Gợi ý: Biến đổi tương đương sơ đồ khối sau:

Sau thực phép biến đổi ta sơ đồ khối tương đương đơn giản Độc giả tiếp tục biến đổi để đến kết

quaû cuối g

Nhận xét: Phương pháp biến đổi sơ đồ khối phương

pháp đơn giản trực quan dùng để tìm hàm truyền tương đương hệ thống Khuyết điểm phương pháp biến đổi sơ đồ khối khơng mang tính hệ thống, sơ đồ cụ thể có nhiều cách biến đổi khác nhau, tùy theo trực giác người giải tốn Ngồi ra, tính hàm truyền tương đương ta phải thực nhiều phép tính phân thức đại số, hệ thống phức tạp phép tính hay bị nhầm lẫn Do đó, phương pháp biến đổi tương đương sơ đồ khối thích hợp để tìm hàm truyền tương đương hệ thống đơn giản Đối với hệ thống phức tạp ta có phương pháp hiệu hơn, phương pháp sơ đồ dịng tín hiệu đề cập đến mục

2.3 SƠ ĐỒ DỊNG TÍN HIỆU

2.3.1 Sơ đồ dịng tín hiệu cơng thức Mason

1- Định nghóa

Hình 2.14 Biểu diễn hệ thống sơ đồ dịng tín hiệu a) Sơ đồ khối; b) Sơ đồ dịng tín hiệu

Định nghóa

Sơ đồ dịng tín hiệu mạng gồm nút nhánh - Nút: điểm biểu diễn biến hay tín hiệu hệ thống

- Nhánh: đường nối trực tiếp hai nút, nhánh có mũi tên chiều truyền tín hiệu có ghi hàm truyền cho biết mối quan hệ tín hiệu hai nút

- Nút nguồn: nút có nhánh hướng - Nút đích: nút có nhánh hướng vào

- Nút hỗn hợp: nút có nhánh nhánh vào Tại nút hỗn hợp, tất tín hiệu tổng đại số tín hiệu vào

- Đường tiến: đường gồm nhánh liên tiếp có hướng tín hiệu từ nút nguồn đến nút đích qua nút lần - Độ lợi đường tiến: tích hàm truyền nhánh đường tiến

- Vịng kín: đường khép kín gồm nhánh liên tiếp có hướng tín hiệu qua nút lần

- Độ lợi vịng kín: tích hàm truyền nhánh vịng kín

2- Cơng thức Mason

Hàm truyền tương đương hệ thống tự động biểu diễn sơ đồ dịng tín hiệu tính theo cơng thức:

k k k

G= ∆ P

∆∑

trong đó: • Pk - độ lợi đường tiến thứ k

• ∆ - định thức sơ đồ dịng tín hiệu:

i i j i j m i i j i j m

L L L L L L

, , ,

∆ = −1 ∑ +∑ − ∑ +L (2.50)

• ∑

i i

L - tổng độ lợi vịng vịng kín có sơ đồ dịng tín hiệu

• ∑

j i

j iL

L ,

- tổng tích độ lợi vịng hai vịng khơng dính

• ∑

m j i

m j iL L

L , ,

- tổng tích độ lợi vịng ba vịng khơng

dính

• ∆k - định thức sơ đồ dòng tín hiệu ∆k suy

từ ∆ cách bỏ vịng kín có dính tới đường tiến Pk

Chú ý: ∗ “không dính” = nút chung

∗ “dính” = có nút chung

2.3.2 Một số ví dụ tính hàm truyền tương đương dùng cơng thức Mason

Ví dụ 2.4 Tính hàm truyền tương đương hệ thống mơ tả sơ đồ dịng tín hiệu sau:

Giải:

- Độ lợi đường tiến:

- Định thức sơ đồ dịng tín hiệu:

2

1 )

(

1− L +L +L +L +LL

= ∆

- Các định thức con:

∆ =1 ; ∆ =2 ; ∆ = −3 L1 Hàm truyền tương đương hệ thống là:

G= (P∆ + ∆ + ∆P P )

∆ 1 2 3

1

G G G G G G G G G G G G G H

G

G H G G H G G G H G G G G H G H G G H

( )

+ + +

=

+ 1+1 52 2+ 21 5+ 51 2+4 14

1 g

Trong trường hợp hệ thống cho dạng sơ đồ khối, muốn áp dụng công thức Mason, trước tiên ta phải chuyển sơ đồ khối sang dạng sơ đồ dòng tín hiệu Khi chuyển từ sơ đồ khối sang sơ đồ dịng tín hiệu cần ý:

- Có thể gộp hai tổng liền thành nút

- Có thể gộp tổng điểm rẽ nhánh liền sau thành nút

- Không thể gộp điểm rẽ nhánh tổng liền sau thành nút

Ví dụ 2.5 Tìm hàm truyền tương đương hệ thống có sơ đồ khối sau:

- Độ lợi đường tiến:

P1=G G G1 3; P2 =G H G1 - Độ lợi vịng kín:

L1= −G H2 2; L2 = −G G H2 3; L3= −G G G1 3; L4 = −G H H3 3; L5= −G G H1

- Định thức sơ đồ dịng tín hiệu:

L L L L L

( )

∆ = −1 1+ 2+ 3+ +

- Các định thức con:

∆ =1 ; ∆ =2

Hàm truyền tương đương hệ thống là:

G= (P∆ + ∆P )

∆ 1 2

1

G G G G G H G

G H G G H G G G G H H G G H

+ =

+ + + + +

1 3

2 2 3 3 3

1 g

Giải Sơ đồ dòng tín hiệu tương đương:

- Độ lợi đường tiến: P1=G G G1 3; P2 =G4 - Độ lợi vịng kín:

L1= −G H1 2; L2 = −G G H1 1; L3 = −G G G1 3; L4 = −G G H2 3; L5 = −G4 - Định thức sơ đồ dịng tín hiệu:

L L L L L L L L L L L L L L L L

( ) ( )

∆ = −1 1+ 2+ 3+ + + + 5+ 5+ −

- Các định thức con:

∆ =1 ; ∆ = −2 (L1+L2+L4)+(L L1 4)

Hàm truyền tương đương hệ là:

TS

G P P

MS

( )

= ∆ + ∆ =

∆ 1 2

1

với: TS = G G G1 3+G4(1+G H1 2 +G G H1 1+G G H2 3+G H G G H1 2 3)

MS = 1+G H1 2+G G H1 1+G G G1 3+G G H2 3+G4+G G G H H1 3 + G G H1 2+G G G H1 1+G G G H2 3+G G G G H H1 g 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.1 Khái niệm

vi phân bậc n khó khăn, cần mơ tả tốn học khác giúp cho việc nghiên cứu hệ thống dễ dàng Phương pháp hàm truyền chuyển quan hệ phương trình vi phân cấp n thành phân thức đại số nhờ phép biến đổi Laplace Nghiên cứu hệ thống mô tả hàm truyền thuận lợi phương trình vi phân, nhiên hàm truyền có số khuyết điểm sau:

- Chỉ áp dụng điều kiện đầu

- Chỉ áp dụng cho hệ thống tuyến tính bất biến, khơng thể áp dụng để mơ tả hệ phi tuyến hay hệ biến đổi theo thời gian

- Nghiên cứu hệ thống miền tần số

Một phương pháp khác sử dụng để khảo sát hệ thống tự động phương pháp không trạng thái Phương pháp không gian trạng thái chuyển phương trình vi phân bậc n thành n phương trình vi phân bậc cách đặt n biến trạng thái Phương pháp không gian trạng thái khắc phục khuyết điểm phương pháp hàm truyền

2.4.2 Traïng thái hệ thống, hệ phương trình biến trạng thái

Trạng thái

Trạng thái hệ thống tập hợp nhỏ biến (gọi biến trạng thái) mà biết giá trị biến thời điểm to biết tín hiệu vào thời điểm t ≥ to, ta hoàn toàn xác định đáp ứng hệ thống thời điểm t≥ to

Hệ thống bậc n có n biến trạng thái Các biến trạng thái chọn biến vật lý khơng phải biến vật lý Ví dụ động DC hệ bậc hai, có hai biến trạng thái chọn tốc độ động dòng điện phần ứng (biến vật lý) Tuy nhiên ta chọn hai biến trạng thái khác

Phương pháp mô tả hệ thống cách sử dụng biến trạng thái gọi phương pháp không gian trạng thái

Véctơ trạng thái

[ ]T n

x x x

= K

x (2.51)

Bằng cách sử dụng biến trạng thái, ta chuyển phương trình vi phân bậc n mơ tả hệ thống thành hệ n phương trình vi phân bậc viết dạng ma trận sau:

t t r t

c t t r t

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= +

 

= +

 &

x Ax B

Cx D (2.52)

trong đó:

n n

n n nn

a a a

a a a

a a a

 

 

 

= 

 

 

 

11 12

21 22

1

K K

M M M

K

A

n b b b

 

 

 

= 

 

 

 

1

M

B C=[c1 c2 K cn] D=d1

Phương trình (2.52) gọi phương trình trạng thái hệ thống Nếu A ma trận thường, ta gọi (2.52) hệ phương trình trạng thái dạng thường; A ma trận chéo, ta gọi (2.52) hệ phương trình trạng thái dạng tắc

Đối với hệ thống hợp thức chặt (bậc tử số hàm truyền nhỏ bậc mẫu số) D =

Hệ thống mơ tả hệ phương trình trạng thái (2.52) biểu diễn dạng sơ đồ trạng thái sau:

Hình 2.15: Sơ đồ trạng thái hệ thống

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

1- Vế phải phương trình vi phân mơ tả hệ thống khơng có chứa đạo hàm tín hiệu vào

Cho hệ thống mơ tả phương trình vi phân:

n n

n n o

n n

d c t a d c t a dc t a c t b r t

dt

dt dt

( ) ( ) ( )

( ) ( )

−

− −

+ 1 1 + +L + = (2.53)

Để ý biểu thức (2.53) hệ số ao =1 Nếu ao ≠1 ta chia hai vế phương trình vi phân cho ao để dạng (2.53)

Qui tắc đặt biến trạng thái

- Biến tín hiệu ra: x t1( )=c t( )

- Biến trạng thái thứ i (i=2 ) đặt theo qui tắc: biến sau ,n đạo hàm biến trước:

i i

x t( )=x& −1( )t

Phương pháp đặt biến trạng thái (biến sau đạo hàm biến trước) gọi phương pháp tọa độ pha

Áp dụng cách đặt biến trạng thái mô tả trên, ta có: x t1( )=c t( )

x t2( )=x t&1( ) ⇒ x t2( )=c t&( )

x t3( )=x t&2( ) ⇒ x t3( )=&&c t( )

M

n n

x t( )=x& −1( )t ⇒

n

n d nc t

x t dt

( ) ( )

− −

= 1 ⇒

n n d c tn x t

dt

( ) ( )= &

Thay biến trạng thái vào phương trình (2.53) ta được:

n n n n o

x t& ( )+a x t1 ( )+ +L a −1 2x t( )+a x t1( )=b r t( )

n n

n n n n n o

x t x t x t x t

x t x t

x t a x t a x t a x t a x t b r t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − =   =    =   = − − − − − +  2

1 2 1

& &

&

& L

(2.54)

Viết lại (2.54) dạng ma trận:

n n

n n n o

n n

x t x t

x t x t

r t

x t x t

a a a a b

x t x t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − −                       =  +                  − − − −          1 2 1

1

0 0

0 0

0 0

& K

& K

M M M M M

M M

& K

& K

Đáp ứng hệ thống:

[ ]

n n x t x t c t x t

x t x t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −         = =         1

1 K 0 M

Vaäy hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:

t x t r t

c t x t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = +   =  &

x A B

C (2.55) với: n n x t x t t x t x t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −         =         M x

n n n

a a − a − a

        =     − − − − 

 1

0 0

0

0 0

K K

M M M M

K K A b         =      

 0

0 0 M B [ ]

= K 0

C

Ví dụ 2.7 Cho hệ thống điều khiển có quan hệ tín hiệu vào - tín hiệu mô tả phương trình vi phân sau:

c t( )+ c t( )+ c t( )+ c t( )=r t( )

Giải Chia hai vế phương trình vi phân cho 2, ta được: c t( )+2 c t( )+3c t( )+5c t( )=0 r t( )

&&& && &

Đặt biến trạng thái sau:

x t1( )=c t( ); x t2( )=x t&1( ); x t3( )=x t&2( )

Áp dụng cơng thức (2.55), ta có hệ phương trình trạng thái mơ tả hệ thống sau:

t x t r t

c t x t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = +   =  &

x A B

C

với:

x t

t x t

x t ( ) ( ) ( ) ( )     =      x

a a a

   

   

= = 

− − −  − − − 

 1  

0 0

0 0

5

A b         = =     

 0  

0

0

0

B

C=[1 0 0] g

2- Vế phải phương trình vi phân mơ tả hệ thống có chứa đạo hàm tín hiệu vào

Xét tốn xây dựng hệ phương trình trạng thái cho hệ thống:

n n

n n

n n

d c t a d c t a dc t a c t

dt dt dt ( ) ( ) ( ) ( ) − − −

+ 1 1 + +K 1 + =

= bo d r tmm b dmmr t bm dr t b r tm dt dt dt ( ) ( ) ( ) ( ) − − −

+ 1 1 +K + (2.56)

Qui tắc đặt biến trạng thái

Biến tín hiệu ra: x t1( )=c t( )

Biến trạng thái thứ i (i=2 ) đặt theo qui tắc: ,n

i i i

x t( )=x& −1( )t − β−1r t( )

Với cách đặt biến trạng thái trên, hệ phương trình biến trạng thái mơ tả hệ thống là:

t x t r t

c t x t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = +   =  &

x A B

C

trong đó:

n n n

a a − a − a

        =     − − − − 

 1

0 0

0

0 0

K K

M M M M

K K A n n − β    β      =   β    β    M

B C=[1 K 0]

với:

o

n n n n

b

b a

b a a

b − a − a −

β =  β = − β  β = − β − β    β = − β − β 

2 1

3 2

1 1 K 1

Sau ta chứng minh kết cho hệ bậc ba, trường hợp tổng quát hệ bậc n suy tương tự

Xét hệ bậc ba có quan hệ tín hiệu vào tín hiệu qua phương trình vi phân:

o

d c t a d c t a dc t a c t b d r t b dr t b r t

dt dt

dt dt dt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

+ + + = + +

3 2

1

3 2 (2.57)

Đặt biến trạng thái sau:

x t1( )=c t( ) (2.58)

x t2( )= x t&1( )− β1r t( )=c t&( )− β1r t( ) (2.59)

x t3( )=x t&2( )− β2r t( )=&&c t( )− β1r t&( )− β2r t( ) (2.60)

(2.59) ⇔ c t&( )=x t2( )+ β1r t( ) (2.61)

(2.60) ⇔ &&c t( )=x t3( )+ β1r t&( )+ β2r t( ) (2.62)

⇔ &&&c t( )=x t&3( )+ β1r t&&( )+ β2r t&( ) (2.63)

Thay (2.58), (2.61), (2.62) (2.63) vào phương trình (2.57) ta được: x t( )+ β r t( )+ β r t( ) +a x t( )+ β r t( )+ β r t( ) +

   

&3 1&& 2&  1 1& 

o

a x t( ) r t( ) a x t( ) b r t( ) b r t( ) b r t( ) + 2 2 + β1 + 3 1 = && + 1& + 2 ⇔ x t&3( )= −β1r t&&( )− β2r t&( )−a x t1 3( )− βa1 1r t&( )− βa1 2r t( )

o

a x t( ) a r t( ) a x t( ) b r t( ) b r t( ) b r t( ) − 2 − β2 − + && + 1& +

⇔ x t&3( )= −a x t3 1( )−a x t2 1( )−a x t1 3( )+(b0− β1) ( )r t&&

b a r t b a a r t

( ) ( ) ( ) ( )

+ 1− β − β2 1 & + 2− β − β1 2 (2.64)

Chọn β1, β2 cho đạo hàm tín hiệu vào biểu thức (2.64) bị triệt tiêu:

o b b a − β =   − β − β = 

1 1

0

0 12 10 1 1 b b a β =  ⇒  β = − β 

Đặt: β =3 b2− β − βa1 2 a2 Thay vào (2.64) ta được:

x t&3( )= −a x t3 1( )−a x t2 1( )−a x t1 3( )+ β3r t( ) (2.65)

Kết hợp (2.59), (2.60) (2.65) ta hệ phương trình:

x t x t r t

x t x t r t

x t a x t a x t a x t r t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + β   = + β   = − − − + β 

1

2

3 1 3

& & &

Viết lại dạng ma trận:

x t x t

x t x t r t

x t a a a x t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β         =  + β           − − −   β     

1 1

2 2

3 3

0

0

& & & đó: o b b a

b a a

β =   β = − β  β = − β − β 

2 1

Đáp ứng hệ thống: [ ] x t

c t x t x t

x t ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     = =       1 0

Trên vừa chứng minh cách dẫn hệ phương trình trạng thái cho hệ bậc ba trường hợp vế phải phương trình vi phân có chứa đạo hàm tín hiệu vào Sau ví dụ áp dụng

Ví dụ 2.8 Thành lập hệ phương trình trạng thái mơ tả hệ thống có quan hệ tín hiệu vào tín hiệu qua phương trình vi phân:

c t( )+5c t( )+6c t( )+10c t( )=10r t( )+20r t( ) &&& && & &

Giải Đặt biến trạng thái sau: x t1( )=c t( )

x t2( )=x t&1( )− β1r t( )

x t3( )=x t&2( )− β2r t( )

Hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:

x t x t

x t x t r t

x t a a a x t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β         =  + β           − − −   β     

1 1

2 2

3 3

0

0

& & & o b b a

b a a

β = =   β = − β = − × =  β = − β − β = − × − × = − 

2 1

3 2

0

10 10

20 10 30

Thay thơng số hệ vào phương trình trạng thái, ta được:

x t x t

x t x t r t

x t x t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )         =  +           − − −   −      1 2 3

0 0

0 10

10 30

& & &

Đáp ứng hệ thống:

[ ] x t

c t x t x t

x t ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     = =       1

2.4.4 Thành lập phương trình trạng thái từ hàm truyền sơ đồ khối

1- Biến đổi hàm truyền thành phương trình vi phân

Nếu hệ thống cho dạng hàm truyền, ta dùng phép biến đổi Laplace ngược để chuyển quan hệ hàm truyền thành phương trình vi phân, sau áp dụng phương pháp thành lập hệ phương trình biến trạng thái trình bày mục 2.4.3 Sau ví dụ:

Ví dụ 2.9 Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mơ tả hệ thống có sơ đồ khối sau

Giải: Hàm truyền hệ thống kín:

k G s s s s

G s

G s H s s s s

s s s

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

+ +

= = =

+ + + + +

+ +

10

10

3

10

1 1 10

3

⇒ C s s s

R s s s s s s s

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

+ +

= =

+ + + 3+ 2+ +

10 10

3 10 10

⇒ (s3+5s2+6s+10) ( )C s =10(s+2) ( )R s

⇒ &&&c t( )+5&&c t( )+6c t&( )+10c t( )=10r t&( )+20r t( )

Xem tiếp lời giải trình bày ví dụ 2.8 g 2- Phương pháp tọa độ pha

Một phương pháp khác thường áp dụng để xây dựng hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền phương pháp tọa độ pha Xét hệ thống bậc n có hàm truyền là:

m m

o m m

n n

n n

b s b s b s b

C s

R s s a s a s a

( ) ( )

−

− −

−

+ + + +

=

+ + + +

1

1

1

1

L

Để thuận lợi cho việc xây dựng hệ phương trình biến trạng thái, biểu thức (2.66) hệ số ao =1 (nếu ao ≠1 , ta chia tử số mẫu số cho ao) m=n−1 (các hệ số bo, b1, 0)

Đặt biến phụ Y(s) cho:

m m

o m m

C s( )=(b s +b s1 −1+ +L b −1s b Y s+ ) ( ) (2.67)

R s( )=(sn +a s1 n−1+ +L an−1s a Y s+ n) ( ) (2.68)

Dễ thấy rằng, cách đặt Y(s) trên, biểu thức (2.66) thỏa mãn Biến đổi Laplace ngược hai vế (2.67) (2.68) ta được:

m m

o d y tm d my t m dy t m

c t b b b b y t

dt dt dt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − −

= + 1 1 + +L + (2.69)

n n

n n

n n

d y t d y t dy t

r t a a a y t

dt dt dt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − −

= + 1 1 + +L + (2.70)

Xét phương trình vi phân (2.70), ta đặt biến trạng thái sau:

n

n n n

x t y t

x t x t y t x t x t y t

d y t

x t x t

dt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − =   = =   = =      = =  1 1 & & & && M & (2.71)

Áp dụng kết trình bày mục 2.4.2.1, từ phương trình vi phân (2.70) ta suy hệ phương trình trạng thái:

t x t r t

( )= ( )+ ( ) &

x A B (2.72)

trong đó: n n x t x t t x t x t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −         =         M x

n n n

a a − a − a

        =     − − − − 

 1

0 0

0

0 0

K K

M M M M

K K A         =         0 M

B (2.73)

o n n m m c t( )=b x t( )+b x1 −1( )t + +L b −1 2x t( )+b x t1( )

Viết dạng véctơ:

c t( )=Cx( )t (2.74)

với: C=[bm bm−1 K b1 bo] (2.75) Tóm lại, cách đặt biến trạng thái theo phương pháp tọa độ pha, hệ phương trình biến trạng mơ tả hệ thống là:

t t r t

c t x t

( ) ( ) ( )

( ) ( )

= +

 

= 

&

x Ax B

C

với ma trận trạng thái xác định biểu thức (2.73) (2.75) Ví dụ 2.10 Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mơ tả hệ thống có sơ đồ khối phương pháp tọa độ pha

Giải: Hàm truyền hệ thống (xem lại ví dụ 2.9):

C s s

R s s s s

( ) ( )

+ =

+ + +

3

10 20

5 10

Đặt biến phụ Y(s) thỏa: C s( )=(10s+20) ( )Y s

R s( )=(s3+5s2+6s+10) ( )Y s Suy ra: c t( )=0y t&&( )+10y t&( )+20y t( )

r t( )=&&&y t( )+5&&y t( )+6y t&( )+10y t( )

Đặt biến trạng thái: x t1( )= y t( )

x t2( )=x t&1( )= y t&( )

Áp dụng công thức từ (2.72) đến (2.75), ta rút hệ phương trình trạng thái mơ tả hệ thống là:

t t r t

c t x t

( ) ( ) ( )

( ) ( )

= +

 

= 

&

x Ax B

C

trong đó:

a a a

   

   

= = 

− − −  − − − 

 1  

0 0

0 0

10

A

   

= 

   

0

B

C=[b2 b1 bo] [= 20 10 0] g Nhận xét: Mặc dù hệ thống cho sơ đồ khối ví dụ 2.9

2.10 hệ phương trình trạng thái thành lập hai ví dụ lại khác Điều khơng có vơ lý chất biến trạng thái biến phụ đặt nhằm chuyển phương trình vi phân bậc n thành hệ gồm n phương trình vi phân bậc nhất, cách đặt biến trạng thái hai ví dụ khác nên kết hệ phương trình biến trạng thái bắt buộc phải khác

3- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp sơ đồ khối

Nếu hệ thống cho dạng sơ đồ khối ta đặt biến trạng thái trực tiếp sơ đồ khối Sau số ví dụ Ví dụ 2.11 Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mơ tả hệ thống có sơ đồ khối sau:

Với cách đặt biến trạng thái hình vẽ, ta có quan hệ sau:

X s X s

s

( )= ( )

+

1 103

⇒ sX s1( )+3X s1( )=10X s2( )

⇒ x t&1( )= −3x t1( )+10x t2( ) (2.76)

X s X s

s

( )= ( )

+

2 11

⇒ sX s2( )+X s2( )=X s3( )

⇒ x t&2( )= −x t2( )+x t3( ) (2.77)

( )

X s R s C s

s

( )= ( )− ( )

3

⇒ sX s3( )=R s( )−X s1( )

⇒ x t&3( )= −x t1( )+r t( ) (2.78)

Kết hợp (2.76), (2.77) (2.78) ta hệ phương trình trạng thái:

x t x t

x t x t r t

x t x t

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

−

      

      

= − +

      

  −     

   

1

2

3

3 10 0

0 1

1 0

& & &

(2.79)

Đáp ứng hệ thống:

[ ] x t

c t x t x t

x t

( )

( ) ( ) ( )

( )

 

 

= =  

 

 

1

1

3

1 0 g

Nhận xét: Dễ thấy tùy theo cách đặt biến trạng thái

trên sơ đồ khối mà ta dẫn hệ phương trình trạng thái hoàn toàn khác Điều lần khẳng định hệ thống mơ tả nhiều hệ phương trình trạng thái

Giải: Với biến trạng thái sơ đồ khối, ta có quan hệ sau:

s

X s X s

s

( )= + ( )

+

1 25

⇒ sX s1( )= −5X s1( )+2X s2( )+sX s2( ) (2.80)

X s E s R s X s

s s

( )= ( )=  ( )− ( )

+ +

2 34 34

⇒ sX s2( )= −4X s2( )−3X s3( )+3R s( ) (2.81)

s

X s X s

s

( )= + ( )

+

3 16

⇒ sX s3( )=X s1( )−6X s3( )+sX s1( ) (2.82)

Thay sX s2( ) biểu thức (2.81) vào biểu thức (2.80) ta được:

sX s1( )= −5X s1( )+2X s2( )−4X s2( )−3X s3( )+3R s( ) ⇒ sX s1( )= −5X s1( )−2X s2( )−3X s3( )+3R s( ) (2.83)

Thay sX s1( ) biểu thức (2.83) vào biểu thức (2.82) ta được:

sX s3( )=X s1( )−6X s3( )−5X s1( )−2X s2( )−3X s3( )+3R s( )

⇒ sX s3( )= −4X s1( )−2X s2( )−9X s3( )+3R s( ) (2.84)

Từ biểu thức (2.82), (2.81) (2.84) ta suy hệ phương trình:

x t x t x t x t r t

x t x t x t r t

x t x t x t x t r t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − +   = − − +   = − − − + 

1

2

3

5 3

4 3

4

& & &

Viết lại dạng ma trận: x&( )t =Ax( )t +Br t( )

trong đó:

x t

t x t

x t ( ) ( ) ( ) ( )     =      x − − −     = − −  − − −   

5

0

4

A     =      3 B

Đáp ứng hệ: c t( )=x t1( )=Cx( )t

2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái dạng tắc

Để thành lập hệ phương trình biến trạng thái dạng tắc, ta thực theo bước sau đây:

1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái dạng thường:

t t r t

c t t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = +   =  &

x Ax B

Cx (2.85)

2- Thực phép đổi biến trạng thái:

t t

( )= ( )

x My

Thay vào phương trình (2.85) ta được:

t t r t

c t t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = +   =  &

My AMy B

CMy

⇔ t - t - r t

c t t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )  = +   =  1 &

y M AMy M B

CMy

⇔ t t r t

c t t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )  = +  =  &

y Ay B

Cy (2.86)

trong đó: A=M AM-1 B= M B-1 C=CM

Hệ phương trình trạng thái (2.86) tương đương với hệ phương trình (2.85) Để (2.86) có dạng tắc, phải chọn M cho ma trận M-1AM có đường chéo khác Theo lý thuyết đại số tuyến tính, ma trận chuyển đổi M chọn sau:

n n

n n n n

n − − − −     λ λ λ λ     = λ λ λ λ      λ λ λ λ    

1

2 2

1

1 1

1

1 1 K

K K

M M M M

K

M (2.87)

Ví dụ 2.13 Cho hệ thống có hàm truyền:

C s s

G s

R s s s

( ) ( ) ( ) + = = + + 3

Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái dạng tắc mô tả hệ thống

Giải Áp dụng phương pháp tọa độ pha dễ dàng suy hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:

t t r t

c t t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = +   =  &

x Ax B

Cx

trong đó: = 

− −

 

0

2

A =  

 

0

B C=[1 3]

Trị riêng ma trận A nghiệm phương trình:

det (λ −I A)=0

⇔ detλ − =

− −

   

 

1 0

0

0

⇔ detλ − = λ +    

⇔ λ + λ + =2

⇔ λ = − λ = −  2

Thực phép đổi biến: x( )t =My( )t với ma trận M là: =λ λ = 

− −

 

 2

1 1

1 M ⇒ -( ) ( ) − −     = × − − − ×  =− −     

1 2

1 1

1 1

M

Với cách đổi biến trên, ta hệ phương trình biến trạng thái có dạng:

t t r t

c t t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )  = +  =  &

y Ay B

trong đó: = -1 =     =− 

       

− − − − − − −

       

2 1 1

1 2

A M AM

= -1 =     = 

− − −

     

2 1

1 1

B M B

= =[ ] = −[ − ]

− −

 

2

1

1

C CM

Vậy hệ phương trình biến trạng thái tắc mô tả hệ thống là:

y t y t r t

y t y t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −        = +        − −         1 2

1

0

& &

c t [ ] y t y t ( ) ( ) ( )   = − −    

1 g

2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái Cho hệ thống mơ tả hệ phương trình biến trạng thái:

t t r t

c t t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = +   =  &

x Ax B

Cx

Biến đổi Laplace hai vế phương trình (giả sử điều kiện đầu 0), ta được:

s sX( )= AX( )s +BR s( ) (2.88)

C s( )=CX( )s (2.89) (2.88) ⇒ (sI−A X) ( )s =BR s( )

⇒ X( )s =(sI−A)-1BR s( )

⇒ CX( )s =C(sI−A)-1BR s( )

Kết hợp với biểu thức (2.89) ta được:

C s( )=C(sI− A)-1BR s( )

⇒ G s C s (s ) -R s

( ) ( )

( )

Công thức (2.90) cho phép ta tính hàm truyền biết hệ phương trình trạng thái mơ tả hệ thống

Ví dụ 2.14 Cho hệ thống có hệ phương trình biến trạng thái là:

x t x t

r t

x t x t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )        = +   − −             1 2

0

2

& &

c t [ ] x t x t ( ) ( ) ( )   =    

Tính hàm truyền hệ thống Giải Hàm truyền hệ thống là:

G s( )=C(sI−A)-1B

Ta coù: (s ) s s

s −       − =  − =  − − +      

1 0 1

0 3

I A

(s ) s s

s s s s

− −  −   +  − =  =   + + + −     1

1

2 3 2

I A

(s ) s

s s

s s s s

−  +      − =     =   − + +     + +   2

3 1

1

2

3

I A B

(s ) [ ] s

s

s s s s

−   + − =  = + +   + + 2

1 1 3

3

C I A B

Vaäy: G s s

s s

( )= +

+ +

2

3

3 g

2.4.7 Nghiệm hệ phương trình trạng thái Cho hệ thống có phương trình trạng thái sau:

t t r t

( )= ( )+ ( ) &

x Ax B (2.91)

c t( )=Cx( )t (2.92)

Muốn tính đáp ứng hệ thống biết tín hiệu vào r(t), trước tiên ta phải tính nghiệm x(t) phương trình (2.91)

sX( )s −x(0+)= AX( )s +BR s( ) ⇒ (sI−A X) ( )s =x(0+)+BR s( )

⇒ X( )s =(sI−A)-1x(0+)+(sI−A)-1BR s( ) (2.93)

Đặt: Φ( )s =(sI−A)-1, thay vào biểu thức (2.93) ta được:

X( )s = Φ( ) (s x 0+)+ Φ( )s R sB ( ) (2.94)

Biến đổi Laplace ngược hai vế biểu thức (2.94) ta được:

t

t t t R d

( )= Φ( ) ( +)+ Φ − τ∫ ( ) ( )τ τ

0

x x B (2.95)

trong đó: Φ( )t =L−1[ ( )]Φ s =L−1[(sI−A)−1] (2.96)

Ma trận Φ(t) gọi ma trận độ hệ thống Tính

Φ(t) theo cơng thức (2.96) tương đối khó khăn, hệ thống từ bậc ba trở lên, trước tiên phải tính ma trận nghịch đảo, sau thực phép biến đổi Laplace ngược Công thức dẫn giúp cho việc tính Φ(t) dễ dàng

Dựa vào biểu thức (2.95) ta thấy r(t) = thì:

t t

( )= Φ( ) (0+)

x x (2.97)

Mặt khác r(t) = phương trình (2.91) trở thành:

t t

( )= ( ) &

x Ax (2.98)

Nghiệm (2.98) là: x( )t =eAtx(0+) (2.99) So sánh (2.97) (2.99) suy ra:

t t e

( )

Φ = A (2.100)

Theo định lý Caley - Hamilton, ta coù:

[ ] [ ] [ ]n

At

o n

t e C C C C

( ) − −

Φ = = I+ A + A2+ +K A (2.101) Thay A= λ, với λ trị riêng ma trận A (tức

nghiệm phương trình det (λ −I A)=0) vào biểu thức (2.101), ta

sẽ tính hệ số Ci, (i=0,n−1 )

Tóm lại

1- Tính ma trận độ Φ(t) theo công thức (2.96) (2.101)

2- Tính nghiệm phương trình biến trạng thái theo cơng thức (2.95) Nếu điều kiện đầu thì:

t

t t R d

( )= Φ − τ∫ ( ) ( )τ τ

0

x B

Nếu muốn tìm đáp ứng hệ thống phương pháp biến trạng thái, trước tiên tìm nghiệm hệ phương trình biến trạng thái, sau tính: c t( )=Cx( )t

Ví dụ 2.15 Cho hệ thống có hàm truyền là: s

G s

s s

( )=

+ +

2 3 2

1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống

2- Tính ma trận q độ

3- Tìm đáp ứng hệ thống tín hiệu vào hàm nấc đơn vị (giả sử điều kiện đầu 0)

Giải: 1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái: Theo đề ta có: C s s

R s s s

( )

( )= 2+3 +2 ⇒ (s2+3s+2) ( )C s =sR s( )

⇒ &&c t( )+3c t&( )+2c t( )=r t&( )

Đặt biến trạng thái sau: x t1( )=c t( )

x t2( )=x t&1( )− β1r t( )

Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống là:

t t r t

c t t

( ) ( ) ( )

( ) ( )

= +

 

= 

&

x Ax B

Dx

trong đó:

a a

   

=− − =− − 

 

 1

0 1

2

A =β = 

β − 

 

1

1

do β =1 bo=1

β =2 b1− β = − × = −a1 3 C=[1 0]

2- Tính ma trận q độ:

Cách 1: Φ( )t =L−1[ ( )]Φ s =L−1[(sI−A)−1]

Ta coù: s s s

s

[ − ]=  −− − = −+ 

     

1 0 1

0 3

I A

s s

s s

s s s s

s s ( ) [ ] ( )( ) −  +   +  Φ = − =  − = + +  −  + +    

3

1

2 2

3

I A

{ }

s

s s s s

t s

s

s s s s

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) − −  +     + + + +    Φ = Φ =   −        + + + +    1

1 2

2

1 2

L L

s

s s s s

s

s s s s

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) − − − −   +         + + + +        =  −          + + + +        1 1

1 2

2

1 2

L L

L L

s s s s

s s s s

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − −      − −      + + + +        =  − −     + +      + + + +        1 1

2 1

1 2

2 2

1 2

L L

L L

⇒ t e tt e tt e tt e t t

e e e e

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − − − − −  − −  Φ =   − + − +    2 2

2 2

Cách 2: Đối với hệ bậc hai, công thức (2.101) trở thành: Φ( )t =eAt =CoI+C1[ ]A (2.102)

Các trị riêng A nghiệm phương trình: det (λ −I A)=0 ⇔ detλ −− − =

   

 

1 0

0

0

⇔ λ = − λ = − 

1

Thay A= λi vào công thức (2.102), ta được:

t o t

o

e C C

e C C

λ λ  = + λ   = + λ  1

⇒ tt o

o

e C C

e C C

− −  = −   = −  2

⇒ Co et t ett

C e e

− − − −  = −   = −  2

Thay Co, C1 vào công thức (2.102), ta được:

t t t t

t e e e e

( ) ( − − )  ( − − ) 

Φ = −  + − − − 

   

2

2

0

⇒ t e tt e tt e tt e t t

e e e e

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − − − − −  − −  Φ =   − + − +    2 2

2 2

Ta thấy ma trận độ tính theo hai cách cho kết

3- Đáp ứng hệ thống:

Trước tiên ta tìm nghiệm hệ phương trình biến trạng thái Với điều kiện đầu 0, nghiệm phương trình trạng thái là:

( )t = Φ − τ∫t (t ) R d( )τ τ

0

x B

t t t t t

t t t t

e e e e

d

e e e e

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − −τ − −τ − −τ − −τ − −τ − −τ − −τ − −τ  − −   =     τ −  − + − +     

∫ 22 22

0

2

3

2 2

t t t

t t

e e d

e e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − −τ − −τ − −τ − −τ  − +  =   τ  −   

∫ 22

0 t t t t t t

e e d

e e d

⇒ t x t e t t e t t

x t e e

( ) ( )

( )

− −

− −

 − 

 

= = 

− − + 

   

2

2

2

x

Đáp ứng hệ thống là:

c t [ ] x t x e t e t x t

( )

( ) ( )

( )

− −

 

=  = = −

 

1

1

1 g

2.5 TOÙM TẮT

Chương trình bày hai phương pháp mơ tả tốn học hệ thống tự động phương pháp hàm truyền đạt phương pháp không gian trạng thái (H.2.15) Tùy theo hệ thống toán điều khiển cần giải mà chọn phương pháp mơ tả tốn học phù hợp Nếu tốn tốn phân tích, hệ thống có ngõ vào, ngõ quan hệ ngõ vào ngõ biểu diễn phương trình vi phân hệ số chọn phương pháp hàm truyền đạt hay phương pháp không gian trạng thái Nếu hệ thống khảo sát hệ biến đổi theo thời gian hay hệ phi tuyến, hệ đa biến phương pháp khơng gian trạng thái nên sử dụng Nếu toán toán thiết kế hệ thống điều khiển tối ưu hệ thống thuộc loại ta phải chọn phương pháp khơng gian trạng thái Vì sách tài liệu giảng dạy nên hai phương pháp mơ tả tốn học hệ thống sử dụng song song

Phụ lục: MÔ TẢ HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG DÙNG MATLAB

Control Toolbox Matlab công cụ cho phép phân tích, thiết kế mơ hệ thống tự động Trong phụ lục xét mơ tả tốn học hệ thống tự động dùng Control Toolbox chạy Matlab 5.3 Chúng giới thiệu lệnh cách sơ lượt đủ để minh họa cho phần lý thuyết điều khiển tự động trình bày sách Để khai thác tất điểm mạnh Control Toolbox việc phân tích thiết kế hệ thống tự động, độc giả cần tham khảo thêm tài liệu hướng dẫn Matlab

Sau kích hoạt phần mềm Matlab, cửa sổ Command Window lên cho phép nhập lệnh vào Cần ý số điểm sau:

* Matlab phân biệt ký tự thường ký tự hoa (case sensitive)

* Matlab hiển thị kết thực phép tính cuối câu lệnh khơng có dấu chấm phẩy “;” không hiển thị kết cuối câu lệnh có dấu “;”

* Dấu “%” sử dụng để thích, tất ký tự nằm sau dấu “%” không xử lý

* Nếu muốn biết chức cú pháp lệnh, nhập vào dịng lệnh có dạng: >> help lenh_can_biet

Ví dụ: >> help feedback >> help bode

1- Các lệnh

• Biểu diễn ma trận, véctơ, đa thức:

>> x=[1 -2 8] %x la véctơ hang, cac cot cach boi khoang trang x =

-2

>> y=[1; 4; 6; -2] %y la véctơ cot, cac hang cach boi dau “;” y =

-2

>> A=[1 3; -1 4; 6] % A la ma tran vuong cap A =

• Đa thức biểu diễn véctơ hàng với phần tử hệ số theo thứ tự số mũ giảm dần

>> A=[1 5] %A la da thuc s^2 +3s + A =

>> B=[2 -7 3] %B la da thuc 2s^3 + 4s^2 -7s + B =

-7

• Nhân đa thức: dùng lệnh conv (convolution – tích chập) >> C=conv(A,B) % da thuc C=A.B=2s^5 + 10s^4 +15s^3 +2s^2 –26s +15

C =

10 15 -26 15

>> D=conv(conv([2 0],[1 3]),[1 4]) %D=2s(s+3)(s+4)=2s^3 + 14s^2 +24s D =

14 24

2- Một số lệnh mơ tả tốn học hệ thống tự động

• Tạo hệ thống mô tả hàm truyền: lệnh tf (transfer function)

Cú pháp: G=tf(TS,MS) tạo hệ thống mô tả hàm truyền G có tử số đa thức TS mẫu số đa thức MS

Ví dụ:

>> TS=1; MS=[1 1];

>> G1=tf(TS,MS) %G1=TS/MS Transfer function:

- s +

>> G2=tf([1 4],conv([1 2],[1 3])) %G2=(s+4)/(s+2)(s+3) Transfer function:

S + - s^2 + s +

• Đơn giản hàm truyền: lệnh minreal

Cú pháp: G=minreal(G) triệt tiêu thành phần giống tử số mẫu số để dạng hàm truyền tối giản

Ví dụ:

>> TS=[1 2]; MS=conv([1 2],[1 3]);

>> G=tf(TS,MS) % ham truyen co tu so la (s+2) va mau so la (s+2)(s+3) Transfer function:

s + - s^2 + s +

>> G=minreal(G) % triet tieu phan (s+2) o tu so va mau so Transfer function:

s +

• Tính hàm truyền hệ thống nối tiếp: lệnh series Cú pháp: G=series(G1,G2) hàm truyền G = G1*G2 Ví dụ:

>> G=series(G1,G2) Transfer function: s + - s^3 + s^2 + 11 s +

Có thể dùng toán tử “*” thay cho lệnh series Chú ý lệnh series tính hàm truyền hai hệ thống nối tiếp sử dụng toán tử “*” ta tính hàm truyền tương đương hệ thống ghép nối tiếp tùy ý

Ví dụ: >> G=G1*G2 Transfer function: s + - s^3 + s^2 + 11 s +

>> G3=tf(2,[1 0]) %G3=2/s Transfer function:

2 - s

>> G=G1*G2*G3 Transfer function: s + - s^4 + s^3 + 11 s^2 + s

• Tính hàm truyền hệ thống song song: lệnh parallel Cú pháp: G=parallel (G1,G2) hàm truyền G = G1+G2 Ví dụ:

>> G=parallel(G1,G2) Transfer function: s^2 + 10 s + 10 - s^3 + s^2 + 11 s +

Có thể dùng tốn tử “+” thay cho lệnh parallel Chú ý lệnh parallel tính hàm truyền hai hệ thống song song sử dụng tốn tử “+” ta tính hàm truyền tương đương nhiều hệ thống ghép song song

4 s^3 + 22 s^2 + 32 s + 12 - s^4 + s^3 + 11 s^2 + s

Tính hàm truyền hệ thống hồi tiếp: lệnh feedback

Cú pháp:

Gk= feedback (G,H) tính hàm truyền hệ thống hồi tiếp âm Gk = G/(1+G*H)

Gk= feedback (G,H,+1) tính hàm truyền hệ thống hồi tiếp dương Gk = G/(1−G*H)

Ví dụ:

>> G=tf([1 1],[1 2]) Transfer function: s +

- s^2 + s + >> H=tf(1,[1 5]) Transfer function:

- s +

>> Gk=feedback(G,H) % ham truyen kin he hoi tiep am Transfer function:

s^2 + s + - s^3 + s^2 + 18 s + 11

>> feedback(G,H,+1) % ham truyen kin he hoi tiep duong Transfer function:

s^2 + s + - s^3 + s^2 + 16 s +

>> feedback(G,1) % ham truyen kin he hoi tiep am don vi Transfer function:

s + - s^2 + s +

>> feedback(G,1,+1) % ham truyen kin he hoi tiep duong don vi Transfer function:

s + - s^2 + s +

Taïo hệ thống mô tả phương trình trạng thái: lệnh ss (state space)

Cú pháp: PTTT=ss(A,B,C,D) tạo hệ thống mơ tả phương trình trạng thái PTTT có ma trận trạng thái A, B, C, D Ví dụ:

>> PTTT=ss(A,B,C,D) a =

x1 x2 x1 x2 -3 -2 b =

u1 x1 x2 c =

x1 x2 y1 d =

u1 y1 Continuous-time model

Biến đổi mô tả tốn học từ dạng phương trình trạng thái dạng hàm truyền: lệnh tf (transfer function)

Cú pháp: G=tf(PTTT) biến đổi phương trình trạng thái PTTT dạng hàm truyền G

Ví dụ: >> G=tf(PTTT) Transfer function:

- s^2 + s +

Biến đổi mơ tả tốn học từ dạng hàm truyền dạng phương trình trạng thái: lệnh ss

Cú pháp: PTTT=ss(G) biến hàm truyền G đổi dạng phương trình trạng thái PTTT

Ví duï: >> PTTT=ss(G) a =

x1 x2 x1 -2 -1.5 x2 b =

u1 x1 0.5 x2 c =

x1 x2 y1 d =

Chương 3 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG 3.1 KHÁI NIỆM VỀ ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC

Đặc tính động hệ thống mơ tả thay đổi tín hiệu đầu hệ thống theo thời gian có tác động đầu vào Trong thực tế hệ thống điều khiển đa dạng, nhiên hệ thống mô tả mơ hình tốn học có dạng có đặc tính động học Để khảo sát đặc tính động hệ thống tín hiệu vào thường chọn tín hiệu hàm xung đơn vị, hàm nấc đơn vị hay hàm điều hịa Tùy theo dạng tín hiệu vào thử mà đặc tính động thu đặc tính thời gian hay đặc tính tần số

3.1.1 Đặc tính thời gian

Đặc tính thời gian hệ thống mơ tả thay đổi tín hiệu đầu hệ thống tín hiệu vào hàm xung đơn vị hay hàm nấc đơn vị

Hình 3.1 Tín hiệu vào tín hiệu hệ thống

Nếu tín hiệu vào hàm xung đơn vị r(t) = δ(t) đáp ứng hệ thống là: C s( )=R s G s( ) ( )=G s( ) (do R(s) = 1)

⇒ c t( )=LLLL−1{ }C s( ) =LLLL−1{ }G s( ) = g t( ) (3.1)

Vậy đáp ứng xung đáp ứng hệ thống tín hiệu vào hàm xung đơn vị Theo biểu thức (3.1) đáp ứng xung biến đổi Laplace ngược hàm truyền

Nếu tín hiệu vào hàm nấc đơn vị r(t) = 1(t) đáp ứng hệ thống là:

G s C s R s G s

s

( )

( )= ( ) ( )= (doR s

s

( )=1)

⇒ c t { }C s G s t g d

s ( ) ( )= − ( ) = −  = ( )τ τ   ∫ 1 L L L L L L

L L (3.2)

Biểu thức (3.2) có áp dụng tính chất ảnh tích phân phép biến đổi Laplace Đặt:

t

h t( )=∫g d( )τ τ

0

(3.3) h(t) gọi đáp ứng nấc hay gọi hàm độ hệ thống

Vậy đáp ứng nấc đáp ứng hệ thống tín hiệu vào hàm nấc đơn vị Theo biểu thức (3.3) đáp ứng nấc tích phân đáp ứng xung

Ví dụ 3.1 Cho hệ thống có hàm truyền là: s G s s s ( ) ( ) + = +

Xác định hàm trọng lượng hàm độ hệ thống Giải Hàm trọng lượng:

{ } s

g t G s

s s s s

( ) ( ) ( ) ( ) − −  +  −   = =  =  +  + +    

1 1 1

5 5

L L L

LL LL LL

L L L

⇒ g t( )= +1 4e−5t 5 Hàm độ: Cách 1:

t t t

h t( )= g d( )τ τ =  + e− τdτ = τ − e− τ

   

∫ ∫ 5

0

0

1 4

5 5 25

h t( )=1t− e−5t +

Caùch 2: h t G s s

s s s

( ) ( ) ( ) −   −  +  =  =   +     1 1 L L

LL LL

L L

Thực phép biến đổi Laplace ngược ta kết

treân g

Nhận xét: Ở chương ta biết có ba cách mơ tả tốn học

hệ thống tuyến tính liên tục dùng phương trình vi phân, hàm truyền hệ phương trình trạng thái Do quan hệ hàm trọng lượng hàm độ với hàm truyền cho biểu thức (3.1) (3.3) ta thấy dùng hàm trọng lượng hay hàm q độ để mơ tả tốn học hệ thống tự động Khi biết hàm trọng lượng hay hàm độ suy hàm truyền dễ dàng công thức sau đây:

{ }

G s( )=LLLL g t( ) (3.4)

dh t G s dt ( ) ( )=     L LL L (3.5)

Ví dụ 3.2 Cho hệ thống có đáp ứng nấc đơn vị là:

t t

h t( )= −1 3e−2 +2e−3

Xác định hàm truyền hệ thống Giải Theo đề bài, ta có:

{ t t}

dh t

G s e e

dt s s s s

( ) ( ) ( )( ) − −   =  = − = − = + + + +  

2 6

6

2 3

L L

L L

L L

L L g

3.1.2 Đặc tính tần số

Đặc tính tần số hệ thống tuyến tính liên tục mơ tả quan hệ tín hiệu tín hiệu vào hệ thống trạng thái xác lập thay đổi tần số tín hiệu dao động điều hòa tác động đầu vào hệ thống

Xét hệ tuyến tính liên tục có hàm truyền G(s), giả sử tín hiệu vào tín hiệu hình sin:

m

r t( )= R sinωt ⇔ R s Rm s

( )= ω + ω

Tín hiệu hệ thống là: m R

C s R s G s G s

s

( )= ( ) ( )= ω  ( ) + ω

 2

Giả sử G(s) có n cực pi phân biệt thỏa pi≠ ± ωj , ta

phân tích C(s) dạng:

n i

i i

C s

s j s j s p

( )

= β

α α

= + +

+ ω − ω ∑1 −

Biến đổi Laplace ngược biểu thức trên, ta được:

i

n p t

j t j t

i i c t( ) e− ω e ω e

=

= α + α +∑β

1

Nếu hệ thống ổn định tất cực pi có phần thực

âm (khái niệm ổn định nói rõ chương 4) Khi đó:

i

n p t i

tlim→+∞ =∑i 1βe =0

Do đó: c txl( )= αe− ωj t + αej tω (3.6) Nếu G(s) có cực bội ta chứng minh đáp ứng xác lập hệ thống có dạng (3.6) Các hệ số α α xác định công thức:

m m

s j

R R G j

G s s j

j s ( ) ( ) ( ) =− ω ω − ω α = + ω = − + ω

2 2 (3.7)

m m

s j

R R G j

G s s j

j s ( ) ( ) ( ) = ω ω ω α = − ω = + ω

2 2 (3.8)

Thay (3.7) (3.8) vào (3.6), rút gọn biểu thức ta được:

xl m

c t( )=R G j( ω) sin (ω + ∠t G j( ω)) (3.9)

Biểu thức (3.9) cho thấy trạng thái xác lập tín hiệu hệ thống tín hiệu hình sin, tần số với tín hiệu vào, biên độ tỉ lệ với biên độ tín hiệu vào (hệ số tỉ lệ G(jω)) lệch

pha so với tín hiệu vào (độ lệch pha ∠G(jω))

Định nghĩa: Đặc tính tần số hệ thống tỉ số tín

hiệu trạng thái xác lập tín hiệu vào hình sin C j R j ( ) ( ) ω = ω

Từ định nghĩa (3.10) biểu thức (3.9) ta rút ra: s j

G s( ) = ω G j( )

= = ω

Đặc tính tần số (3.11)

Ví dụ 3.3 Nếu hệ thống có hàm truyền G s s s s

( )

( )

( )

+ =

+

10

1 đặc tính tần số hệ thống G j j

j j

( )

( )

( )

ω + ω =

ω ω +

10

1 g

Tổng quát đặc tính tần số G(jω) hàm phức nên biểu diễn dạng đại số dạng cực:

j

G j P jQ M e ( )

( ω =) ( )ω + ( )ω = ( ).ω ϕ ω (3.12)

trong đó: P(ω) phần thực; Q(ω) phần ảo đặc tính tần số M(ω) đáp ứng biên độ; ϕ(ω) đáp ứng pha

Quan hệ hai cách biểu diễn G(jω) sau:

M( )ω = G j( ω =) P2( )ω +Q2( )ω (3.13)

Q

G j tg

P

( )

( ) ( )

( )

−  ω 

ϕ ω = ∠ ω =  

ω

 

1 (3.14)

P( )ω =M( ) cosω ϕ ω( ) (3.15)

Q( )ω =M( )sinω ϕ ω( ) (3.16)

Để biểu diễn đặc tính tần số cách trực quan, ta dùng đồ thị Có hai dạng đồ thị thường sử dụng:

1- Biểu đồ Bode hình vẽ gồm hai thành phần:

•••• Biểu đồ Bode biên độ: đồ thị biểu diễn mối quan hệ logarith đáp ứng biên độ L(ω) theo tần số ω

L( )ω =20lgM( )ω (3.17)

L(ω) - đáp ứng biên độ tính theo đơn vị dB (decibel)

•••• Biểu đồ Bode pha: đồ thị biểu diễn mối quan hệ đáp ứng pha ϕ(ω) theo tần số ω

Cả hai đồ thị vẽ hệ tọa độ vng góc với trục hồnh ω chia theo thang logarith số 10 (H.3.2a) Khoảng cách hai tần số 10 lần gọi decade

2- Biểu đồ Nyquist: (đường cong Nyquist) đồ thị biểu diễn

0→∞ Nói cách khác đường cong Nyquist tập hợp tất điểm véctơ biểu diễn số phức G(jω) (biên độ véctơ M(ω), góc véctơ ϕ(ω)) ω thay đổi từ 0→∞ (H.3.2b)

Mặc dù biểu diễn hai dạng đồ thị khác thơng tin có hệ thống từ biểu đồ Bode biểu đồ Nyquist Từ biểu đồ Bode ta suy biểu đồ Nyquist ngược lại

Đặc tính tần số hệ thống có thông số quan trọng sau đây:

Đỉnh cộng hưởng (Mp): đỉnh cộng hưởng giá trị cực đại

cuûa M(ω)

Tần số cộng hưởng (ωp): tần số có đỉnh cộng hưởng Tần số cắt biên (ωc): tần số biên độ đặc tính tần

số (hay 0dB) c

M(ω =) (3.18)

hay L(ω =c) (3.19)

Tần số cắt pha (ω−π): tần số pha đặc tính tần số

baèng −π (hay −180o)

( −π)

ϕ ω = −180 ° (3.20)

Độ dự trữ biên (GM - Gain Margin)

GM

M( −π) =

ω

1 (3.21)

hay GM = − ωL( −π) [dB] (3.22)

Cơng thức tính theo đơn vị dB sử dụng nhiều

Độ dự trữ pha (ΦM - Phase Margin)

Φ =M 180° + ϕ ω( c) (3.23)

Độ dự trữ biên độ dự trữ pha hệ thống cho biết hệ thống có ổn định hay khơng Chương đề cập chi tiết vấn đề

3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH

3.2.1 Khâu tỉ lệ (khâu khuếch đại)

Hàm truyền: G s( )=K (K>0) (3.24) Đặc tính thời gian: C s( )=G s R s( ) ( )=KR s( )

c t( )=Kr t( ) (3.25)

Vậy tín hiệu khâu tỉ lệ tín hiệu vào khuếch đại lên K lần Hình 3.3 mơ tả hàm trọng lượng hàm độ khâu tỉ lệ

Hình 3.3 Đặc tính thời gian khâu tỉ lệ a) Hàm trọng lượng; b) Hàm độ

Đặc tính tần số: G j( ω =) K

Biên độ: M( )ω =K ⇒ L( )ω =20lgK

Pha: ϕ ω =( )

Các biểu thức cho thấy đặc tính tần số khâu tỉ lệ số với ω, biểu đồ Bode biên độ đường song song với trục hoành, cách trục hoành 20lgK; biểu đồ Bode pha đường nằm ngang trùng với trục hoành; biểu đồ Nyquist điểm véctơ G(jω) không đổi với ω Xem hình 3.4

3.2.2 Khâu tích phân lý tưởng Hàm truyền: G s

s

( )=1 (3.26)

Đặc tính thời gian: C s R s G s R s s

( ) ( )= ( ) ( )=

Hàm trọng lượng: g t {G s} t s

( )= − ( ) = −   = ( )  

1 1 1

L L

L L

L L

L L (3.27)

Hàm độ: h t G s t t

s s

( )

( )= −  = −  = ( )

 

 

1

2

1 1

L L

L L

L L

L L (3.28)

Vậy hàm trọng lượng hàm độ khâu tích phân lý tưởng tương ứng hàm nấc đơn vị hàm dốc đơn vị (H.3.5) Một đặc điểm quan trọng cần quan tâm hàm độ khâu tích phân lý tưởng tăng đến vơ

Đặc tính tần số: G j j j

( ω =) = −

ω ω

1 (3.29)

Biên độ: M( )ω = ω

1 (3.30)

⇒ L( )ω = lgM( )ω = lg = − lgω ω

 

1

20 20 20 (3.31)

Pha: ϕ ω = − °( ) 90 (3.32)

Nếu vẽ L(ω) hệ tọa độ vng góc thơng thường đồ thị L(ω) đường cong Tuy nhiên trục hoành biểu đồ Bode chia theo thang logarith số 10 nên dễ dàng thấy biểu đồ Bode biên độ khâu tích phân lý tưởng đường thẳng có độ dốc –20dB/dec Biểu đồ Bode pha khâu tích phân lý tưởng đường nằm ngang ϕ ω = − °( ) 90 với ω Biểu

đồ Nyquist nửa trục tung G j( ω) có phần thực

0, phần ảo luôn âm (H.3.6)

Hình 3.6: Đặc tính tần số khâu tích phân lý tưởng a) Biểu đồ Bode; b) Biểu đồ Nyquist

3.2.3 Khâu vi phân lý tưởng

Haøm truyeàn: G s( )=s (3.33)

Hàm độ: { } G s

h t t

s

( )

( )= −  = − = δ( )

 

1 1

L L

LL LL

L L (3.34)

Hàm trọng lượng:

d

g t h t t

dt

( )= ( )= δ&( ) (3.35)

Hàm độ khâu vi phân lý tưởng hàm xung đơn vị (H.3.7), hàm trọng lượng đạo hàm hàm độ, mơ tả biểu thức tốn học (H.3.8), không biểu diễn đồ thị

Đặc tính tần số: G j( ω = ω) j (3.36)

Biên độ: M( )ω = ω (3.37)

⇒ L( )ω =20lgM( )ω =20lgω (3.38)

Pha: ϕ ω = + °( ) 90 (3.39)

Đặc tính tần số khâu vi phân lý tưởng hoàn toàn trái ngược so với khâu tích phân lý tưởng Biểu đồ Bode biên độ khâu vi phân lý tưởng đường thẳng có độ dốc +20dB/dec, biểu đồ Bode pha đường nằm ngang ϕ ω = + °( ) 90 Biểu đồ

Nyquist nửa trục tung G(jω) có phần thực 0, phần ảo ln ln dương (H.3.8)

Hình 3.8: Đặc tính tần số khâu vi phân lý tưởng a) Biểu đồ Bode; b) Biểu đồ Nyquist

Hình 3.1: Hàm q độ

3.2.4 Khâu quán tính bậc Hàm truyền: G s

Ts

( )= +

1

1 (3.40)

Đặc tính thời gian: C s R s G s R s Ts

( ) ( )= ( ) ( )=

+1 Hàm trọng lượng:

t T

g t e t

Ts T

( )= −  = − ( )

+

 

1 1 1

1 L

L L

L (3.41)

Hàm độ:

t T

h t e t

s Ts

( ) ( ) ( )

( )

−

−  

=  = −

+

 

1 1 1

1 L

L L

L (3.42)

Hàm trọng lượng khâu quán tính bậc hàm mũ suy giảm 0, hàm độ tăng theo qui luật hàm mũ đến giá trị xác lập Tốc độ biến thiên hàm trọng lượng hàm độ tỉ lệ với T nên T gọi thời khâu quán tính bậc T nhỏ đáp ứng nhanh, T lớn đáp ứng chậm Hình 3.9 minh họa đặc tính thời gian hai khâu qn tính bậc có thời tương ứng T1 T2, T1 < T2

Thay t = T vào biểu thức 3.42 ta h T( )=0 63 , thời ,

hằng khâu quán tính bậc thời gian cần thiết để hàm độ tăng lên 63% giá trị xác lập (giá trị xác lập h(t) = 1) Một cách khác để xác định thời T làø vẽ tiếp tuyến với hàm độ gốc tọa độ, khoảng cách từ giao điểm tiếp tuyến với đường nằm ngang có tung độ T

Đặc tính tần số: G j Tj

Tj T

( ω =) = − ω

ω + + 2ω

1

1 (3.43)

Phần thực: P

T

( )ω =

+ 2ω

1

1 Phần ảo: Q T

T

( )ω = − ω

+ 2ω

1

Biên độ: M( )ω = P2( )ω +Q2( )ω

T

T T T

ω

   

=   +  =

+ ω + ω

    + ω

2

2 2 2 2

1

1 1 (3.44)

⇒ L( )ω =20lgM( )ω = −20lg 1+T2 2ω (3.45)

Pha: tg Q tg T

P

( )

( ) ( )

( )

−  ω  −

ϕ ω =  = − ω

ω

 

1 (3.46)

Biểu thức (3.45) cho thấy biểu đồ Bode biên độ đường cong Có thể vẽ gần biểu đồ Bode biên độ đường tiệm cận sau:

- Nếu ω <1/T⇔ ω <T : L( )ω ≈ −20lg , ta =

vẽ gần đường thẳng nằm trục hoành (độ dốc 0)

- Nếu ω >1/T⇔ ω >T : L( )ω ≈ −20lg ω2 2T = −20lgωT,

ta vẽ gần đường thẳng có độ dốc –20dB/dec

Như phân tích trên, ta thấy tần số 1/T độ dốc đường tiệm cận thay đổi, biểu đồ Bode đường gấp khúc nên tần số 1/T gọi tần số gãy khâu quán tính bậc

Thay giá trị ω vào biểu thức (3.46) ta vẽ biểu đồ Bode pha Để ý số điểm đặc biệt sau:

ω →0 : ϕ ω →( )

T

/

ω =1 : ϕ ω = − °( ) 45

ω → ∞: ϕ ω → − °( ) 90

và đường tiệm cận xuất tần số gãy, tần số giá trị xác L(ω) −20lg ≈ −3dB, giá trị gần 0dB, sai lệch bé bỏ qua Do phân tích thiết kế hệ thống tự động miền tần số ta dùng biểu đồ Bode biên độ vẽ đường tiệm cận thay cho biểu đồ Bode biên độ vẽ xác

Để vẽ biểu đồ Nyquist ta có nhận xét sau: T

P Q

T T

( ) ( )    −ω 

 

ω − + ω = −  + 

  + ω + ω

     

2

2

2 2

1 1

2

T T T T T

T T T T

( ) ( ) ( )

 − ω   −ω  − ω + ω ω

=  +  = + =

+ ω  + ω  + ω + ω

 

 

2 2

2 2 4 2

2 2 2 2 2

1

4

2 1 4

Điều chứng tỏ biểu đồ Nyquist khâu quán tính bậc nằm đường tròn tâm ( , )1

2 , bán kính

2 Do pha G(jω) âm ω thay đổi từ đến +∞ (xem biểu thức 3.46) nên biểu đồ Nyquist nửa đường tròn (H.3.10b)

3.2.5 Khâu vi phân bậc

Hàm truyền: G s( )=Ts+1 (3.47) Đặc tính thời gian: C s( )=R s G s( ) ( )=R s Ts( )( +1 )

Hàm độ: h t Ts T t t

s

( )

( )= −  + = δ +( ) ( )

 

1 1

L L L

L (3.48)

Hàm trọng lượng: g t( )=h t&( )= δ + δT t&( ) ( )t (3.49) Hàm độ khâu vi

phân bậc tổ hợp tuyến tính hàm xung đơn vị hàm nấc đơn vị (H.3.11) Ta thấy khâu vi phân lý tưởng vi phân bậc có đặc điểm chung giá trị hàm độ vô lớn t=0 Hàm trọng lượng đạo hàm

của hàm q độ, mơ tả biểu thức tốn học (3.49), khơng biểu diễn đồ thị

Đặc tính tần soá: G j( ω =) Tjω +1 (3.50)

Phần thực: P( )ω =1 (3.51)

Phần ảo: Q( )ω = ωT (3.52)

Biên độ: M( )ω = P2( )ω +Q2( )ω = 12+ ω(T )2

⇒ L( )ω =20lgM( )ω =20lg 1+T2 2ω (3.53)

Pha: tg Q tg T

P

( )

( ) ( )

( )

−  ω  −

ϕ ω =  = ω

ω

 

1 (3.54)

So sánh biểu thức (3.53) (3.54) với (3.45) (3.46) ta rút kết luận: biểu đồ Bode khâu vi phân bậc khâu quán tính bậc đối xứng qua trục hồnh (H.3.12a)

Do G(jω) có phần thực P(ω) luôn 1, phần ảo Q(ω) có giá trị dương tăng dần từ đến +∞ thay đổi từ đến +∞

nên biểu đồ Nyquist khâu vi phân bậc nửa đường thẳng qua điểm có hồnh độ song song với trục tung hình 3.12b

Hình 3.12: Đặc tính tần số khâu vi phân bậc a) Biểu đồ Bode; b) Biểu đồ Nyquist

3.2.6 Khâu dao động bậc hai Hàm truyền:

G s

T s Ts

( )=

+ ξ +

2

2 (0< ξ <1 ) (3.55)

hay n

n n

G s

s s

( )= ω

+ ξω + ω

2

2 2 (với ω =n T

1 ) (3.56)

Đặc tính thời gian:

n

n n

R s C s R s G s

s s

( )

( )= ( ) ( )= ω

+ ξω + ω

2

2 2

Hàm trọng lượng:

n n n g t

s s

( ) −

 ω 

 

=  

+ ξω + ω

 

 

2

2 2

L L L L

⇒ n nt

n e

g t( ) sin ( )t

−ξω

ω  

=  ω − ξ 

 

− ξ

2

2

Hàm độ:

n n n h t

s s s

( )= −  ω 

+ ξω + ω

 

 

2

2

1

2 L

L L L

⇒ h t( ) e nt sin ( n )t

−ξω

 

= −  ω − ξ + θ

− ξ

2

1

1 (3.58)

trong độ lệch pha θ xác định θ =cos−1ξ

Biểu thức (3.57) (3.58) cho thấy đặc tính thời gian khâu dao động bậc hai có dạng dao động suy giảm, hàm trọng lượng dao động suy giảm 0, hàm độ dao động suy giảm đến giá trị xác lập (H.3.13)

- Nếu ξ =0: h t( )= −1 sin (ω +nt 90 , đáp ứng hệ dao °)

động không suy giảm với tần số ω n, ω n gọi tần số dao

động tự nhiên khâu dao động bậc hai

- Nếu 0< ξ <1 đáp ứng hệ dao động với biên độ giảm :

dần, ξ lớn dao động suy giảm nhanh, ξ gọi hệ số tắt (hay hệ số suy giảm)

Hình 3.13: Đặc tính thời gian khâu dao động bậc hai a) Hàm trọng lượng; b) Hàm q độ

Đặc tính tần số: G j

T Tj

( ω =)

− ω + ξ ω +2

1

2 (3.59)

Biên độ: M G j

T T

( ) ( )

( )

ω = ω =

− 2 2ω + ξ2 2ω

1

1 (3.60)

Pha: G j tg T T

( ) ( ) −  ξ ω 

ϕ ω = ∠ ω = −  

− ω

 

1

2 2

1 (3.62)

Biểu thức (3.61) cho thấy biểu đồ Bode biên độ khâu dao động bậc hai đường cong Tương tự làm khâu qn tính bậc nhất, ta vẽ gần biểu đồ Bode biên độ đường tiệm cận sau:

- Nếu ω <1/T ⇔ ωT <1 L( )ω ≈ −20lg , ta có =

thể vẽ gần đường thẳng nằm trục hoành (độ dốc 0)

- Neáu ω >1/T⇔ ω >T L( )ω ≈ −20lg (−ω2 2T ) = −40lgωT,

do ta vẽ gần đường thẳng có độ dốc –40dB/dec Ta thấy tần số 1/T độ dốc đường tiệm cận thay đổi nên tần số 1/T gọi tần số gãy khâu dao động bậc hai

Biểu đồ Bode pha khâu dao động bậc hai đường cong, để ý biểu thức (3.62) ta thấy biểu đồ Bode pha có điểm đặc biệt sau đây:

ω →0 : ϕ ω →( )

T

ω = : ϕ ω = − °( ) 90 ω → ∞: ϕ ω → −( ) 180 °

Hình 3.14a minh họa biểu đồ Bode khâu dao động bậc hai Các đường cong biểu đồ Bode biên độ đường L(ω) vẽ xác Biểu đồ Bode biên độ xác có đỉnh cộng hưởng

p

M =1 1/( ξ − ξ2) tần số ω = ωp n 2− ξ2, dễ thấy

nếu ξ nhỏ đỉnh cộng hưởng cao Khi ξ →0 tần số cộng hưởng tiến đến tần số dao động tự nhiênω → ω =p n 1/T

Biểu đồ Nyquist khâu dao động bậc hai có dạng đường cong minh họa hình 3.14b Khi ω =0 G(jω) có biên độ 1, pha 0; ω → ∞ G(jω) có biên độ 0, pha –180o Giao điểm đường cong Nyquist với trục tung có

G j( )

∠ ω = − °90 , tương ứng với tần số ω =1/T, thay

T

/

Hình 3.14: Đặc tính tần số khâu dao động bậc hai a) Biểu đồ Bode; b) Biểu đồ Nyquist

3.2.7 Khâu trì hỗn (khâu trễ)

Hàm truyền: G s( )=e−Ts (3.63) Đặc tính thời gian: C s( )=R s G s( ) ( )=R s e( ) −Ts

Hàm trọng lượng: g t( )=LLLL−1{ }e−Ts = δ −(t T) (3.64)

Hàm độ: h t e Ts t T

s

( ) ( )

− −  

=  = −

 

 

1 1

L LL

L (3.65)

Đặc điểm khâu trễ tín hiệu trễ tín hiệu vào khoảng thời gian T

a) Hàm trọng lượng; b) Hàm độ

Đặc tính tần số: G j( ω =) e− ωTj (3.66) Biên độ: M( )ω = G j( ω =)

⇒ L( )ω =20lgM( )ω = −20 lg = (3.67)

Pha: ϕ ω = ∠( ) G j( ω = − ω) T (3.68) Biểu đồ Bode biên độ khâu trì hỗn đường thẳng nằm ngang trùng với trục hoành L(ω) = với ω Để ý biểu thức (3.68) phương trình đường thẳng trục hồnh ω chia theo thang tuyến tính Tuy nhiên trục hoành biểu đồ Bode lại chia theo thang logarith nên biểu đồ Bode pha khâu trì hỗn đường cong dạng hàm mũ, xem hình 3.16a

Do G(jω) có biên độ với ω có pha giảm từ đến −∞ nên biểu đồ Nyquist khâu trễ đường tròn đơn vị có mũi tên chiều tăng ω hình 3.16b

3.3 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG

3.3.1 Đặc tính thời gian hệ thống Xét hệ thống có hàm truyền:

m m

o m m

n n

o n n

b s b s b s b

G s

a s a s a s a

( ) − − − − + + + + = + + + + 1 1 1 L L (3.69)

Biến đổi Laplace hàm độ là:

m m

o m m

n n

o n n

b s b s b s b

G s H s

s s a s a s a s a

( ) ( ) − − − −  + + + +  = =   + + + +   1 1 1 L

L (3.70)

Tùy theo đặc điểm hệ thống mà đặc tính thời gian hệ thống có dạng khác Tuy rút số kết luận quan trọng sau đây:

Nếu G(s) khơng có khâu tích phân, vi phân lý tưởng hàm trọng lượng suy giảm 0, hàm độ có giá trị xác lập khác

o m m m m

n n

s s o n n

b s b s b s b

g sG s s

a s a s a s a

( ) lim ( ) lim

− − − → → −  + + + +  ∞ = =  = + + + +   1 1

0 1 1

L L

m m

o m m m

n n

s s o n n n

b s b s b s b b

h sH s s

s a s a s a s a a

( ) lim ( ) lim

− − − → → −  + + + +  ∞ = =  = ≠ + + + +   1 1

0 1 1

1 L 0

L

Nếu G(s) có khâu tích phân lý tưởng (an =0) hàm trọng lượng có giá trị xác lập khác 0, hàm độ tăng đến vô

m m

o m m m

n n

s s o n n

b s b s b s b b

g sG s s

a

a s a s a s

( ) lim ( ) lim

− − − → → − −  + + + +  ∞ = =  = ≠ + + +   1 1

0 1 1 1

L L ∞ =         + + + + + + + = = ∞ − − − − →

→ a s as a s

b s b s b s b s s s sH h n n n m m m m s s 1 1 1 0 lim ) ( lim ) ( L L

Nếu G(s) có khâu vi phân lý tưởng (bm =0 ) hàm độ suy giảm

m m

o m

n n

s s o n n

b s b s b s

h sH s s

s a s a s a s a

( ) lim ( ) lim

− − − → → −  + + +  ∞ = =  = + + + +   1 1

0 1 1

1 L 0

Nếu G(s) hệ thống hợp thức (m≤n) h(0)=0

m m

o m m

n n

s s o n n

b s b s b s b

h H s

s a s a s a s a

( ) lim ( ) lim

− − − →+∞ →+∞ −  + + + +  = =  = + + + +   1 1 1

0 L

L

Nếu G(s) hệ thống hợp thức chặt (m<n) g(0)=0

m m

o m m

n n

s s o n n

b s b s b s b

g G s

a s a s a s a

( ) lim ( ) lim

− − − →+∞ →+∞ −  + + + +  = =  = + + + +   1 1 1

0 L

L

Nếu G(s) khơng có khâu tích phân, vi phân lý tưởng có n cực phân biệt, H(s) phân tích dạng:

n o i i i h h H s

s s p

( ) = = + − ∑ (3.71) Biến đổi Laplace ngược biểu thức (3.71) ta hàm độ hệ thống là:

i

n p t o i

i h t( ) h h e

=

= +∑

1

(3.72) Do hàm độ tổ hợp tuyến tính hàm mũ số tự nhiên Nếu tất cực pi cực thực hàm q độ

khơng có dao động; ngược lại có cặp cực phức hàm q độ có dao động

Trên vừa trình bày vài nhận xét đặc tính thời gian hệ thống tự động Thông qua đặc tính thời gian biết hệ thống có khâu tích phân, vi phân lý tưởng hay khơng? Hệ thống gồm tồn cực thực hay có cực phức? … Những nhận xét giúp có hình dung ban đầu đặc điểm hệ thống, từ chọn phương pháp phân tích, thiết kế hệ thống phù hợp 3.3.2 Đặc tính tần số hệ thống

Xét hệ thống tự động có hàm truyền G(s) Giả sử G(s)

phân tích thành tích hàm truyền sau: l

i i

G s( ) G s( )

=

=∏

1

Đặc tính tần số hệ thống là: l

i i

G j( ) G j( )

=

ω =∏ ω

1

(3.74) Biên độ:

l i l i

i i

M( ) G j( ) G j( ) G j( )

= = ω = ω = ∏ ω =∏ ω 1 ⇒ ∏ = = l i i M M ) ( )

(ω ω (3.75)

l i l i

i i

L( ) lgM( ) lg M ( ) lgM( )

= =

ω = ω = ∏ ω = ∑ ω

1

20 20 20

⇒ ∑ = = l i i L L ) ( )

(ω ω (3.76)

Biểu thức (3.76) cho thấy biểu đồ Bode biên độ hệ thống tổng biểu đồ Bode biên độ khâu thành phần

Pha: l i l i

i i

G j G j G j

( ) ( ) a r g ( ) ( )

= =

 

ϕ ω = ∠ ω =  ω = ∠ ω

 

∏1  ∑1

⇒ l i i ( ) ( ) = ϕ ω =∑ϕ ω (3.77)

Biểu thức (3.77) chứng tỏ biểu đồ Bode pha hệ thống tổng biểu đồ Bode pha khâu thành phần

Từ hai nhận xét ta thấy để vẽ biểu đồ Bode hệ thống, ta vẽ biểu đồ Bode khâu thành phần, sau cộng đồ thị lại Dựa nguyên tắc cộng đồ thị, ta có phương pháp vẽ biểu đồ Bode biên độ gần hệ thống đường tiệm cận sau:

Phương pháp vẽ biểu đồ Bode biên độ đường tiệm cận Giả sử hàm truyền hệ thống có dạng:

Bước 1: Xác định tất tần số gãy i i T

ω = , xeáp

theo thứ tự tăng dần: ω < ω < ω1 3K

Bước 2: Nếu tất tần số ωi ≥1 biểu đồ Bode gần phải qua điểm A có tọa độ:

L( ) lgK

ω =  

ω = 

1 20

Bước 3: Qua điểm A, vẽ đường thẳng có độ dốc:

(− 20 dB/dec × α) G(s) có α khâu tích phân lý tưởng (+ 20 dB/dec× α) G(s) có α khâu vi phân lý tưởng

Đường thẳng kéo dài đến tần số gãy Bước 4: Tại tần số gãy i

i T

ω = , độ dốc đường tiệm cận

được cộng thêm:

(− 20 dB/dec × β) ωi tần số gãy khâu quán tính bậc

(+ 20 dB/dec × β) ωi tần số gãy khâu vi phân bậc

(−40 dB/dec × β) ωi tần số gãy khâu dao động bậc hai

(+40 dB/dec × β) ωi tần số gãy khâu vi phân bậc hai, (T s2 2+ ξ2 Ts+1 )

(β số nghiệm bội ωi)

Đường thẳng kéo dài đến tần số gãy

Bước 5: Lặp lại bước vẽ xong đường tiệm cận tần số gãy cuối

Ví dụ 3.4 Vẽ biểu đồ Bode biên độ gần hệ thống có hàm

truyền: G s s

s s

( , )

( )

( , )

+ =

+

100 1 01

Giaûi Các tần số gãy:

T ,

ω =1 = =

1

1 10

0 (rad/sec)

T ,

ω =2 = =

2

1 100

0 01 (rad/sec) Biểu đồ Bode qua điểm A có tọa độ:

L( ) lgK lg dB

ω =  

ω = = =



1

20 20 100 40

Biểu đồ Bode biên độ gần có dạng hình 3.17 Theo hình vẽ, tần số cắt biên hệ thống 103rad/sec

Hình 3.17: Biểu đồ Bode biên độ hệ thống ví dụ 3.4 g

Ví dụ 3.5 Hãy xác định hàm truyền hệ thống, biết biểu đồ Bode biên độ gần hệ thống có dạng hình 3.18

Giải: Hệ thống có bốn tần số gãy ω1, ω2,ω3, ω4 Dựa vào thay đổi độ dốc biểu đồ Bode, ta thấy hàm truyền hệ thống phải có dạng:

K T s T s

G s

T s T s

( )( )

( )

( )( )

+ +

=

+ +

2

2

2

1

1

1

Vấn đề lại xác định thơng số hệ thống Theo hình vẽ: K

lg =

20 34 ⇒ K =50

lgω = −1 ⇒ ω =1 , ⇒ T1=10

Độ dốc đoạn BC –20dB/dec, mà từ điểm B đến điểm C biên độ biểu đồ Bode giảm 40dB (từ 34dB giảm xuống –6dB), từ B đến C tần số phải thay đổi decade Suy ra:

lgω = ω + =2 lg 1 ⇒ ω =2 10 ⇒ T2=0 , lgω =3 ⇒ ω =3 100 ⇒ T3 =0 01 ,

Độ dốc đoạn DE +40dB/dec, mà từ điểm D đến điểm E biên độ biểu đồ Bode tăng 60dB (từ –6dB tăng lên +54dB), từ D đến E tần số phải thay đổi 1.5 decade Suy ra:

lgω = ω +4 lg 5 , = , ⇒ ω =4 3162 ⇒ T4 =0 0003 ,

Do hàm truyền hệ thống là:

s s

G s

s s

( , )( , )

( )

( )( , )

+ +

=

+ +

2 50 1 01

10 003 g

3.4 TÓM TẮT

Phụ lục: KHẢO SÁT ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG DÙNG MATLAB

Control Toolbox 5.0 hỗ trợ đầy đủ lệnh khảo sát đặc tính động hệ thống, cú pháp lệnh gợi nhớ nên dễ sử dụng

Vẽ đáp ứng xung: lệnh impulse Vẽ đáp ứng nấc: lệnh step Vẽ biểu đồ Bode: lệnh bode Vẽ biểu đồ Nyquist: lệnh nyquist

Có thể nhấp chuột vào điểm đặc tính động học mà Matlab vẽ để biết giá trị cụ thể tung độ, hồnh độ điểm

Ví dụ: Khảo sát đặc tính thời gian đặc tính tần số hệ thống sau: G s

s s

( )=

+ +

2 30 30 Ta gõ vào lệnh sau:

>> TS=30; MS=[1 30]; G=tf(TS,MS) Transfer function:

30 - s^2 + s + 30 >> impulse(G) >> step(G) >> bode(G) >> nyquist(G)

Chương 4 KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH

CỦA HỆ THỐNG 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH

4.1.1 Định nghóa

Hệ thống gọi trạng thái ổn định, với tín hiệu vào bị chặn đáp ứng hệ bị chặn (Bounded Input Bounded Output = BIBO)

Yêu cầu hệ thống ĐKTĐ hệ thống phải giữ trạng thái ổn định chịu tác động tín hiệu vào chịu ảnh hưởng nhiễu lên hệ thống

Hệ phi tuyến ổn định phạm vị hẹp độ lệch ban đầu nhỏ không ổn định phạm vị rộng độ lệch ban đầu lớn

Đối với hệ tuyến tính đặc tính q trình q độ khơng phụ thuộc vào giá trị tác động kích thích Tính ổn định hệ tuyến tính khơng phụ thuộc vào thể loại giá trị tín hiệu vào hệ tuyến tính tồn trạng thái cân

và d hình 4.1, cầu với độ lệch ban đầu lớn khơng trở trạng thái cân ban đầu - Hai trạng thái b d cầu ổn định phạm vị hẹp mà khơng ổn định phạm vi rộng

Hình 4.1

Trong trường hợp việc khảo sát tính ổn định giới hạn cho hệ tuyến tính bất biến theo thời gian Đó hệ thống mơ tả phương trình vi phân tuyến tính hệ số áp dụng nguyên lý xếp chồng

4.1.2 Ổn định hệ tuyến tính

Một hệ thống ĐKTĐ biểu diễn phương trình vi phân dạng tổng quát:

ao ( )

n n d c t

dt + a1

1

( )

n n d c t

dt −

− + + anc(t) = bo

( )

m m d r t

dt + b1

1

( )

m m d r t

dt −

− + + bmr(t) (4.1) Phương trình (4.1) ứng với tín hiệu vào hệ thống r(t) tín hiệu c(t) Hàm truyền đạt hệ thống mơ tả (4.1) có dạng:

G(s) = C s R s

( ) ( ) =

m m r

o m

n n

o n

b s b s b

a s a s a

− − + + + + + + 1

= B s A s

( )

( ) (4.2)

Nghiệm (4.1) gồm hai thành phần:

c(t) = co(t) + cqđ(t) (4.3)

trong đó: co(t) - nghiệm riêng (4.1) có vế phải, đặc trưng cho

trình xác lập

cqđ(t) - nghiệm tổng quát (4.1) vế phải, đặc

Dạng nghiệm tổng quát đặc trưng cho trình độ hệ thống: cqđ(t) =

1 =

λ

∑n i i

pit

e (4.4)

trong pi nghiệm phương trình đặc tính:

A(s) = n n

o n

a s +a s1 −1+ + a = (4.5) pi nghiệm thực nghiệm phức liên hợp gọi nghiệm cực hệ thống Đa thức mẫu số hàm truyền đạt A(s) bậc n hệ thống có n nghiệm cực pi(Pole), i = 1, 2, , n

Zero nghiệm phương trình B(s) = Tử số hàm truyền đạt G(s) đa thức bậc m (m< n) nên hệ thống có m nghiệm zero - zj với j = 1, 2, , m

Hệ thống ổn định nếu: t

lim

→∞ cqđ(t) = (4.6)

Hệ thống không ổn định nếu: t

lim

→∞ cqđ(t) = ∞ (4.7)

Trong phương trình (4.4) hệ số λi số phụ thuộc vào thông số hệ trạng thái ban đầu

Nghiệm cực piđược viết dạng pi = α ± βi j i (4.8)

Phân biệt ba trường hợp phân bố cực mặt phẳng phức số (H.4.2):

1- Phần thực nghiệm cực dương αi > 2- Phần thực nghiệm cực không αi = 3- Phần thực nghiệm cực âm αi <

Ổn định hệ thống phụ thuộc vào nghiệm cực mà khơng phụ thuộc vào nghiệm zero, mẫu số hàm truyền đạt

t

lim

→∞ λ pit

e

i =

αi < Hệ ổn định

là A(s) = gọi phương trình đặc tính hay phương trình đặc trưng hệ thống

Hình 4.2: Phân bố cực mặt phẳng S Kết luận:

1- Hệ thống ổn định tất nghiệm phương trình đặc tính có phần thực âm: Re{pi} < 0, αi < nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức:

A(s) = a so n+a s1 n−1+ +an= (4.9) 2- Hệ thống khơng ổn định có dù nghiệm phương trình đặc tính (4.9) có phần thực dương (một nghiệm phải) cịn lại nghiệm có phần thực âm (nghiệm trái)

3- Hệ thống biên giới ổn định có dù nghiệm có phần thực khơng cịn lại nghiệm có phần thực âm (một nghiệm cặp nghiệm phức liên hợp nằm trục ảo)

Vùng ổn định hệ thống nửa trái mặt phẳng phức số S Đáp ứng độ dao động không dao động tương ứng với nghiệm phương trình đặc tính nghiệm phức hay nghiệm thực

Tất phương pháp khảo sát ổn định xét đến phương trình đặc tính (4.9) theo cách Tổng quát, ba cách đánh giá sau thường dùng để xét ổn định:

1- Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh - Hurwitz

4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ

4.2.1 Điều kiện cần

Điều kiện cần để hệ thống ổn định tất hệ số phương trình đặc trưng phải khác dấu

Ví dụ: Hệ thống có phương trình đặc trưng: s3+3s2−2s+ =1 không ổn định s4+2s2+5s+ =3 không ổn định

s4+4s3+5s2+2s+ =1 chưa kết luận g 4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh

Cho hệ thống có phương trình đặc trưng n n

o n n

a s a s − a s a

−

+ 1+ +K + =0

Muốn xét tính ổn định hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trước tiên ta thành lập bảng Routh theo qui tắc:

- Bảng Routh có n+1 hàng

- Hàng bảng Routh gồm hệ số có số chẵn - Hàng bảng Routh gồm hệ số có số leû

- Phần tử hàng i cột j bảng Routh (i ≥ 3) tính theo cơng thức:

ij i j i i j c =c−2, +1− α ⋅c−1, +1

với i i

i c c

, ,

− −

α =

1 sn

o

c11=a c12=a2 c13=a4 c14=a6 …

sn–1 c =a

21 c22=a3 c23=a5 c24=a7 … c

c

α = 11

21

sn–2 c =c − α c

31 12 22 c32=c13− α3 23c c33=c14− α3 24c c34=c15− α3 25c …

c c

α = 21

31

sn–3 c =c − α c

41 22 32 c42=c23− α4 33c c43=c24− α4 34c c44=c25− α4 35c …

… … … …

, ,

n n

n

c c−−

α =

1

s0

,

n n

c1=c −2 2− ,

n nc −

Phát biểu tiêu chuẩn Routh

Điều kiện cần đủ để tất nghiệm phương trình đặc trưng nằm bên trái mặt phẳng phức tất phần tử nằm cột bảng Routh dương Số lần đổi dấu phần tử cột bảng Routh số nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức

Ví dụ 4.1 Hãy xét tính ổn định hệ thống có phương trình đặc trưng s4+4s3+5s2+2s+ =1

Giaûi

Baûng Routh

s4

s3 4 2 0

α =3 14 s

−1 =9

5

1

α =4 89 s

−8 =10

2

9

0

α =5 8120 s

0 1

Vì tất phần tử cột bảng Routh dương nên tất nghiệm phương trình đặc tính nằm bên trái mặt phẳng phức, hệ thống ổn định g

Ví dụ 4.2 Hãy xét tính ổn định hệ thống tự động có sơ đồ khối sau

Hình 4.3

G s

s s s s

( )

( )( )

=

+ 2+ +

50

3 H s( )= s+

Giaûi Phương trình đặc trưng hệ thống G s H s( ) ( )

+ ⋅ =

1

⇔

s s s( )(s s ) ( )

+ ⋅ =

+

+ 2+ +

50

1

2

3

⇔ s s( +3)(s2+ +s 5)(s+2)+50 0= ⇔ s5+6s4 +16s3+31s2+30s+50 0=

Baûng Routh

s5 1 16 30

s4 6 31 50

α =3 16 s

, − ⋅1 =

16 31 10 83

6 − ⋅ = ,

1

30 50 21 67

0

, α =4 10 836 s

2

, ,

,

− × =

31 21 67 18 99 10 83

50

, , α =5 10 8318 99 s

1 ,

, ,

,

−10 83× = −

21 67 50 84 18 99

0

s0 50

Vì phần tử cột bảng Routh đổi dấu hai lần nên phương trình đặc tính có hai nghiệm nằm bên phải mặt

phẳng phức, hệ thống khơng ổn định g

Ví dụ 4.3 Cho hệ thống có sơ đồ khối sau

K G s

s s s s

( )

( )( )

=

+ + +

2 1 2

Hình 4.4

Xác định điều kiện K để hệ thống ổn định Giải Phương trình đặc tính

G s( )

+ =

1

⇔ K

s s( s )(s )

+ =

+ + +

2

1

1

Baûng Routh

s4 1 3 K

s3 3 2 0

α =3 13 s

− ⋅ =1

3

3

K

α =4 79 s

K

− ⋅9

2

0

s0 K

Điều kiện để hệ thống ổn định K

K



− >

   > 

9

2

7

⇔ 0<K <14

9 g

Các trường hợp đặc biệt

Trường hợp 1: có hệ số cột hàng 0, hệ số cịn lại hàng khác ta thay hệ số cột số ε dương, nhỏ tùy ý, sau q trình tính tốn tiếp tục

Ví dụ 4.4 Xét tính ổn định hệ thống có phương trình đặc trưng: s4+2s3+4s2+8s+ =3

Giải

Bảng Routh

s4 1 4 3

s3 2 8 0

α =3 12 s

− ⋅ =1

4

3

⇒ s2 ε > 3

α = ε

4 s

1

− ⋅ < ε

8 0

s0 3

Trường hợp 2: tất hệ số hàng - Thành lập đa thức phụ từ hệ số hàng trước hàng có tất hệ số 0, gọi đa thức Ap(s)

- Thay hàng có tất hệ số hàng khác có hệ số hệ số dA sp

ds

( )

Sau q trình tính tốn tiếp tục

Chú ý: Nghiệm đa thức phụ Ap(s) nghiệm

của phương trình đặc trưng

Ví dụ 4.5 Xét tính ổn định hệ thống có phương trình đặc trưng: s5+4s4+8s3+8s2+7s+ =4

Xác định số nghiệm phương trình đặc tính nằm bên trái, bên phải hay trục ảo mặt phẳng phức

Giaûi

Baûng Routh

s5 1 8 7

s4 4 8 4

α =3 14 s

− × =1 8

4 − × =

1

4

0

α =4 46 s

− × =4

6

4

α =5 64 s

− × =6

4

0

⇒ s1 8 0

α =6 48 s

− × =4 4

8

Đa thức phụ =4 +4 p

A s( ) s ⇒ dA sp =8s+0 ds

( )

Nghiệm đa thức phụ (cũng nghiệm phương trình đặc trưng)

2

4

= + =

p

A s( ) s ⇔ s= ±j Kết luận

trình đặc trưng khơng có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức - Phương trình đặc tính có hai nghiệm nằm trục ảo - Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức – =

⇒ Hệ thống biên giới ổn định g 4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz

Cho hệ thống có phương trình đặc trưng

n n

o n n

a s a s − a s a

−

+ 1+ +K + =0

Muốn xét tính ổn định hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz, trước tiên ta thành lập ma trận Hurwitz theo qui tắc:

- Ma trận Hurwitz ma trận vuông cấp n×n

- Đường chéo ma trận Hurwitz hệ số từ a1 đến an

- Hàng lẻ ma trận Hurwitz gồm hệ số có số lẻ theo thứ tự tăng dần bên phải đường chéo giảm dần bên trái đường chéo

- Hàng chẵn ma trận Hurwitz gồm hệ số có số chẵn theo thứ tự tăng dần bên phải đường chéo giảm dần bên trái đường chéo

o

o

n

a a a a

a a a a

a a a

a a a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

2

0

0

0

0

K K K K

M M M M M

K K K K

Phát biểu tiêu chuẩn Hurwitz

Điều kiện cần đủ để hệ thống ổn định tất định thức chứa đường chéo ma trận Hurwitz dương

Ví dụ 4.6 Cho hệ thống tự động có phương trình đặc trưng s3+4s2+3s+ =2

o

a a

a a

a a

   

 = 

   

   

   

1

2

1

0

0

0

Các định thức

∆ =1 a1=1

o

a a

a a

∆ =2 = = × − × =

2

4

4 10

o

a a

a a

a a a

a a

a a

∆ = = = × = × =

1

1

3

0

1

0

4

0 2 10 20

1

Vì tất định thức chứa đường chéo ma trận Hurwitz dương nên hệ thống ổn định g 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ

4.3.1 Khái niệm

- Xét hệ thống có phương trình đặc tính

s2+4s K+ =0 (4.10)

- Nghiệm phương trình đặc tính ứng với giá trị khác K

K =0 : s1=0 , s2= −4 K =1: s1= −0 268 , , s2= −3 732 ,

K =2 : s1= −0 586 , , s2= −3 414 ,

K =3 : s1= −1 , s2= −3 K =4 : s1= −2 , s2= −2

K =5 : s1= − +2 j, s2= − −2 j

K =6 : s1= − +2 j1 414 , , s2= − −2 j1 414 ,

K =7 : s1= − +2 j1 732 , , s2= − −2 j1 732 ,

K =8 : s1= − +2 j2 , s2= − −2 j2

Hình 4.5: Quỹ đạo nghiệm số

Vẽ nghiệm phương trình (4.10) tương ứng với giá trị K lên mặt phẳng phức Nếu cho K thay đổi liên tục từ đến +∞, tập hợp tất nghiệm phương trình (4.10) tạo thành đường đậm nét hình vẽ Đường đậm nét hình vẽ gọi quỹ đạo nghiệm số

Định nghóa

Quỹ đạo nghiệm số tập hợp tất nghiệm phương trình đặc tính hệ thống có thơng số hệ thay đổi từ → ∞

4.3.2 Qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số

Hình 4.6

Xét hệ thống điều khiển có sơ đồ khối hình 4.6 Phương trình đặc tính hệ

G s H s( ) ( )

+ =

1 (4.11)

N s K

D s

( ) ( )

+ =

1 (4.12)

trong K thơng số thay đổi Đặt G so K N s

D s

( ) ( )

( ) =

Gọi n số cực G0(s), m số zero Go(s)

(4.12) ⇔ 1+G so( )=0

⇔ o

o

G s Điều kiện biên độ G s l Điều kiện pha

( )

( ) ( )

 =

 

∠ = + π



1

Sau 11 qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số hệ thống có phương trình đặc tính có dạng (4.12):

Qui tắc 1: Số nhánh quỹ đạo nghiệm số = bậc phương trình đặc tính = số cực G0(s) = n

Qui tắc 2: Khi K = 0: nhánh quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ cực Go(s)

Khi K tiến đến +∞ : m nhánh quỹ đạo nghiệm số tiến đến m zero Go(s), n-m nhánh lại tiến đến ∞ theo tiệm

cận xác định qui tắc

Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực

Qui tắc 4: Một điểm trục thực thuộc quỹ đạo nghiệm số tổng số cực zero Go(s) bên phải số lẻ

Qui tắc 5: Góc tạo đường tiệm cận quỹ đạo nghiệm số với trục thực xác định

l n m

( + π) α =

−

2 (l

, , ,

= ± ±0 2K) (4.13)

Qui tắc 6: Giao điểm tiệm cận với trục thực điểm A có tọa độ xác định

n m

i i

i i

p z

cực zero OA

n m = n m=

− −

= =

− −

∑ ∑

∑ ∑ 1 (4.14)

(pi zi cực zero Go(s))

nằm trục thực nghiệm phương trình: dK ds =0

Qui tắc 8: Giao điểm quỹ đạo nghiệm số với trục ảo xác định hai cách sau

- Áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz

- Thay s j= ω vào phương trình đặc tính (4.12), cân

phần thực phần ảo tìm giao điểm với trục ảo giá trị K

Qui tắc 9: Góc xuất phát quỹ đạo nghiệm số cực phức pj xác định

arg( ) arg( )

m n

j j i j i

i i

i j

p z p p

= =

≠

θ = ° +∑ − −∑ −

1

180 (4.15)

Dạng hình học cơng thức

θj = 180o + (∑góc từ zero đến cực pj ) – (∑góc từ cực lại đến cực pj)

Qui tắc 10: Tổng nghiệm số K thay đổi từ → +∞

Qui tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỹ đạo nghiệm số xác định từ điều kiện biên độ

N s K

D s

( )

( ) =1 (4.16)

Ví dụ 4.7 Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối sau K G s

s s s

( )

( )( )

=

+2 +3

Hình 4.7

Hãy vẽ QĐNS hệ thống K = → +∞ Giải Phương trình đặc tính hệ thoáng

G s( )

+ =

1 ⇔ K

s s( )(s )

+ =

+ +

1

2 (1)

p1=0 , p2= −2 , p3= −3 Các zero:

⇒ QĐNS gồm có ba nhánh xuất phát từ cực K = Khi K → +∞, ba nhánh QĐNS tiến đến vô theo tiệm cận xác định bởi:

- Góc tiệm cận trục thực

l l

n m

( + π) ( + π)

α = =

− −

2

3 ⇒ 3 π  α = =   π  α = − =   α = π =   (l ) (l ) (l ) –

- Giao điểm tiệm cận trục thực cực zero OA n m [ ( ) ( )] − + − + − − = = = − − −

∑ ∑

3

- Điểm tách nhập nghiệm phương trình dK ds =0 Ta coù (1) ⇔ K = −s s( +2)(s+3)= −(s3+5s2+6 s)

⇒ dK s s

ds = −( + + )

3 10

Do dK

ds =0 ⇔ −( s + s+ )=

3 10 ⇔ s (loại) s , , = −   = −  2 549 785

- Giao điểm QĐNS với trục ảo xác định hai cách sau đây:

Caùch

Áp dụng tiêu chuẩn Routh

(1) ⇔ s3+5s2 +6s K+ =0 Baûng Routh

s3 1 6

s2 5 K

α =3 15 s

1

K

− × =1

6

5

s0 K

Điều kiện để hệ thống ổn định K K  − >    >  ⇔

0 < K < 30 Vậy hệ số khuếch đại giới hạn Kgh = 30

Thay giá trị Kgh = 30 vào phương trình (2), giải phương trình

ta giao điểm QĐNS với trục ảo s3+5s2+6s+30 =

⇔ s s j s j = −   =   = −  6 Caùch

Giao điểm (nếu có) QĐNS trục ảo phải có dạng s j= ω Thay s j= ω vào phương trình (1) ta

( )jω +3 5( )jω +2 6( )jω +K =0 ⇔ − ω − ω +j 6jω +K =0

⇔ j j

K − ω + ω =   − ω + =  K ω =   =  0 K ω = ±   =  30

Ví dụ 4.8 Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, hàm truyền

hở là: G s K

s s s

( )

( )

=

+ +

2 8 20

Hãy vẽ QĐNS hệ thống K = 0→ +∞ Giải Phương trình đặc trưng hệ thống

G s( )

+ =

1

⇔

⇔ K s s( s )

+ =

+ +

2

1

8 20 (1)

Các cực p1 =0 , p2 3, = − ±4 j2 Các zero khơng có

⇒ QĐNS gồm ba nhánh xuất phát cực K = Khi K → +∞, ba nhánh tiến đến vô theo tiệm cận xác định

- Góc tiệm cận trục thực

l l

n m

( + π) ( + π)

α = =

− −

2

3 ⇒ 3 π  α = =   π  α = − =   α = π =   (l 0) (l ) (l 1) –

- Giao điểm tiệm cận trục thực

cực zero j j

OA n m [ ( ) ( )] ( ) − + − + + − − − = = = − − −

∑ ∑ 4

3

- Điểm tách nhập nghiệm phương trình dK ds =0 Ta có

(1) ⇔ s3+8s2+20s K+ =0

⇔ K = −(s3+8s2+20 s)

⇒ dK s s

ds = −(3 2+16 +20 ) Do dK

ds =0 ⇔ 3s2+16s+20 = ⇔ s s , , = −   = −  33 00

Vậy QĐNS có hai điểm tách nhập

- Giao điểm QĐNS với trục ảo xác định cách thay s j= ω vào phương trình đặc tính

j j j K

( ω +)3 8( ω +)2 20( ω +) =0 ⇔ − ω − ω +j 20jω +K =0

⇔ − ω +K =

−ω + ω =



2

8

20 K K

ω =  

=  ω = ±  

= 

0

20 160

Vậy giao điểm QĐNS trục ảo s= ±j 20 - Góc xuất phát QĐNS cực phức p2

p p p p

[a r g( ) a r g( )]

θ =2 180° − 2− + 2−

=180° −{a r g[(− +4 j2)− +0] a r g[(− +4 j2)− − −( j2 )]}

= ° −tg−  + 

−

 

 

1

180 90

4 =180° −{153 90, + }

⇒ θ = −2 63 5, °

Hình 4.9

Ví dụ 4.9 Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, hàm truyền hở là: G s K s

s s s s

( )

( )

( )( )

+ =

+ 2+ +

1

3 20

Hãy vẽ QĐNS hệ thoáng K = → +∞

Giải Phương trình đặc trưng hệ thống G s( )

+ =

1

⇔ K s

s s s s

( )

( )( )

+

+ =

+ 2+ +

1

1

3 20 (1)

Các cực p1=0 , p2 = −3, p3 4, = − ±4 j2 Các zero z1= −1

⇒ QĐNS gồm bốn nhánh xuất phát cực K = Khi K → +∞, nhánh tiến đến zero, ba nhánh lại tiến đến vô theo tiệm cận xác định bởi:

- Góc tiệm cận trục thực

l l

n m

( + π) ( + π)

α = =

− −

2

4 ⇒ 3 π  α = =   π  α = − =   α = π =   (l 0) (l ) (l 1) –

- Giao điểm tiệm cận trục thực

cực zero j j

OA n m [ ( ) ( ) ( )] ( ) − + − + − + + − − − − = = = − − −

∑ ∑ 4 10

3

- Điểm tách nhập nghiệm phương trình dK ds =0 Ta coù

(1) ⇔ s s( +3)(s2+8s+20)+K s( + =1)

⇔ K s s s s

s ( )( ) ( ) + + + = − +

3 20

1

⇒ dK s s s s

ds (s )

+ + + +

= −

+

4

2

3 26 77 88 60

1 Do dK

ds =0 ⇔ s + s + s + s+ =

4

3 26 77 88 60

⇔ ss, jj

, , , , = − ±   = − ± 

3 67 05

- Giao điểm QĐNS với trục ảo xác định cách thay s j= ω vào phương trình đặc tính

(1) ⇔ s s( +3)(s2+8s+20)+K s( + =1)

⇔ s4 +11s3+44s2+(60+K s K) + =0

Thay s j= ω ta

j ( K j) K

ω −4 11 ω −3 44ω +2 60+ ω + =0

⇔ K K ( ) ω − ω + =   − ω + + ω =  44

11 60

K ω =   =  0 ⇔ K , ω = ±   =  893 322 j K , , ω = ±   = −  314

61 (loại) Vậy giao điểm cần tìm là: s= ±j5 893 ,

Hệ số khuếch đại giới hạn Kgh =322

- Góc xuất phát QĐNS cực phức p3

( )

θ =3 180+ β − β + β + β1

=180 146 153 116 90 + , −( , + , + ) ,

θ = −3 33 g

Ví dụ 4.10 Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, hàm truyền hở là: G s

s s s a

( ) ( )( ) = + + 400

Hãy vẽ QĐNS hệ thống a = 0→ +∞ Giải Phương trình đặc trưng hệ thống

G s( )

+ =

1

⇔

s s( )(s a)

+ =

+ +

400

1

6

⇔ s s( +6)(s a+ )+400 = ⇔ s s2( +6)+400+as s( +6)=0

⇔ as s

s s ( + ) + = + +

6 400 (1)

Các cực p1= −10 , p2 3, = ±2 j6 Các zero z1 =0, z2 = −6

⇒ QĐNS gồm ba nhánh xuất phát cực K = Khi K → +∞, hai nhánh tiến đến hai zero, nhánh lại tiến đến vô theo tiệm cận xác định

- Góc tiệm cận trục thực

l l

n m

( + π) ( + π)

α = =

− −

2

3 ⇒ α = π, (l = 0)

- Giao điểm tiệm cận trục thực

cực zero j j

OA n m [ ( ) ( )] [ ( )] − − + − + + − − − + − = = = − − −

∑ ∑ 10 6 8

3

- Điểm tách nhập nghiệm phương trình da ds =0

Ta coù (1) ⇔ s3+6s2+400+as s( +6)=0

⇔ a s s

s s + + = − + 2 400

⇒ da s s s s s s

ds s s (s s)

+ + + + − −

= − =

+ +

3

2 2

6 400 12 36 800 2400

6

Do da

ds=0 ⇔ s + s + s − s− = 12 36 800 2400

⇔

s (loại) s

s , j (loại)

, , ,  = +  = −   = − ±  9

8 48

- Giao điểm QĐNS với trục ảo xác định cách thay s j= ω vào phương trình đặc tính

(1) ⇔ s3+6s2+400+as s( + =6)

⇔ s3+ +(6 a s) 2+6as+400 0=

Thay s j= ω ta

j ( a) aj

− ω −3 6+ ω +2 ω +400 =

⇔ a

a

( )

− + ω + =

 

−ω + ω =



2

6 400

6

a

ω =  

= ∞ 

0

⇔

a

, , ω = ±  

= 

5 85

j a

, , ω = ±  

= − 

8 38

11 (loại)

Vậy giao điểm cần tìm s= ±j5 85 , tương ứng với giá trị ,

giới hạn hệ số a agh=5 7,

- Góc xuất phát QĐNS cực phức p2

θ =2 180+ β + β − β + β( 2) ( 4) =180+(71 36 7, + , )−(26 90 , + ) ,

θ =2 171 7°

4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ

4.4.1 Nguyên lý góc quay

Xét hệ thống bậc n có phương trình đặc tính hệ số hằng: A(s) = a so n +a s1 n−1+ +an= (4.17) Đa thức A(s) viết dạng:

A(s) = ao(s - p1)( s - p2) ( s - pn)

với p1, p2, pn cực hệ thống, nghiệm phương trình

đặc tính

Thay s = jω vào (4.17) ta coù:

A(jω) = ao(jω - p1)( jω - p2) ( jω - pn)

Giả sử phương trình (4.17) có m nghiệm phải (có phần thực dương), cịn (n - m) nghiệm trái (có phần thực âm)

Hình 4.12

Góc quay vectơ đa thức đặc tính tần số A(jω) arg A(jω) = n i

i

j p

a r g( )

=

ω −

∑

Khi tần số ω thay đổi từ –∞ đến +∞ thay đổi góc quay vectơ đa thức đặc tính tần số A(jω) là:

∆arg A(jω) = n i i

j p

a r g( )

=

ω −

∑

Ký hiệu ∆ thay đổi góc quay

Nếu qui định chiều quay dương chiều ngược chiều kim đồng hồ ta có biểu thức sau nghiệm trái phải:

∆arg (jω - pn-m) = π ∆ arg (jω - pm) = - π -∞<ω < +∞ -∞<ω < +∞ Hệ có m nghiệm phải (n - m) nghiệm trái:

∆ arg A(jω) = (n - m)π - mπ = (n - 2m) π

-∞<ω < +∞

Nguyên lý góc quay

Hệ thống bậc n có m nghiệm phải (n - m) nghiệm trái có vectơ đa thức đặc tính tần số A(jω) quay góc ((n−2m)/2

vịng kín theo chiều ngược chiều kim đồng hồ tần số ω biến thiên từ - ∞ đến + ∞

∆arg A(jω) = n− m

 

2

2 2π -∞< ω < +∞

Véctơ đa thức đặc tính tần số A(jω) quay góc hiệu số nghiệm trái (n - m) nghiệm phải (m) nhân với π ω

biến thiên từ - ∞ đến + ∞

4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số Mikhailov

Tiêu chuẩn ổn định dựa vào nguyên lý góc quay

A V Mikhailov phát biểu vào năm 1938:

Điều kiện cần đủ để hệ tuyến tính ổn định biểu đồ vectơ đa thức đặc tính A(jω) xuất phát từ nửa trục thực dương ω khơng, phải quay n góc phần tư theo chiều ngược chiều kim đồng hồ ω biến thiên từ đến + ∞, với n bậc phương trình đặc tính hệ thống

Chứng minh:

Xét hệ thống bậc n có phương trình đặc tính:

∆arg A (jω) = nπ (4.19) -∞<ω < +∞

Vì A(jω) A(-jω) phức liên hợp nên

∆ arg A(jω) = ∆ arg A(jω) (4.20) -∞<ω < <ω < +∞

Do phương trình (4.20) viết dạng

∆ arg A(jω) = nπ <ω < +∞

Hệ ổn định Hệ không ổn định

Hình 4.13

Xây dựng biểu đồ Mikhailov

Thay S = jω vào phương trình đặc tính sau tách phần thực phần ảo

A(jω) = P(ω) + jQ(ω)

trong đó: P(ω) hàm chẵn với ω: P(-ω) = P(ω) Q(ω) hàm lẻ với ω: Q(-ω) = - Q(ω)

Từ biểu thức A(jω) nhận cách S = jω vào mẫu số hàm truyền:

A(jω)= a jo( ω +)n a j1( ω)n−1+ +an

Ta nhận thấy A(jω)chính đường chéo đa giác có cạnh

Ví dụ 4.12 xét hệ baäc ba n =

A(jω)= a jo( ω +)3 a j1( ω +)2 a j2( ω +) a3

Cho ω biến thiên từ đến vô phương pháp xây dựng toàn biểu đồ véctơ đa thức đặc tính A(jω)

Đa thức đặc tính (mẫu số hàm truyền đạt hệ cần xét ổn định trạng thái hở trạng thái kín) phân tích thành hai thành phần:

A(s) = D(s) + K(s)

Ví dụ 4.13: A(s) = (1+sT1) (1+sT2) (1+sT3) + K = D(s) + K = T1 = 0,5 ; T2 = ; T3 = 0,1 Tính Kgh

∆ arg A(jω) = D(jω) + K < ω <+∞ < ω < +∞

Xây dựng biểu đồ D(jω) = P(ω) + jQ(ω) Từ suy ra: P(ω) = - 1,25 ω2

P(ω) = ω(2,6 - 0,1ω2)

2

( )

?

( )

, ,

o gh

gh

o o

P K

K

Q

ω = 

= 

ω = 

ω =

2

1 25 31

0

,

( , ) ,

,

gh

K = − × = g

4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối

Hình 4.16

Hình 4.14

Cho biết đặc tính tần số hệ hở G(s), toán đặt xét tính ổn định hệ thống kín Gk(s)

Tiêu chuẩn Nyquist

Hệ thống kín Gk(s) ổn định đường cong Nyquist hệ hở G(s) bao điểm (–1, j0) l

2 vòng theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) ω thay đổi từ đến +∞, l số cực hệ hở G(s) nằm bên phải mặt phẳng phức

Ví dụ 4.14 Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, hệ hở G(s) có đường cong Nyquist hình vẽ Biết G(s) ổn định Xét tính ổn định hệ thống kín

Hình 4.17

Vì G(s) ổn định nên G(s) khơng có cực nằm bên phải mặt phẳng phức Do theo tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định đường cong Nyquist G(jω) hệ hở khơng bao điểm (–1, j0) Vì vậy:

Trường hợp : G(jω) không bao điểm (-1, j0) ⇒ hệ kín ổn định Trường hợp : G(jω) qua điểm (-1, j0) hệ kín biên giới ổn định;

Chú ý: Đối với hệ thống có khâu tích phân lý tưởng, để xác định đường cong Nyquist có bao điểm (–1, j0) hay khơng, ta vẽ thêm cung −2γ bán kính vơ lớn (γ số khâu tích phân lý tưởng hàm truyền hệ hở)

Ví dụ 4.15 Xét tính ổn định hệ hồi tiếp âm đơn vị biết hàm truyền hệ hở là:

1

=

+ + +

K G s

s T s T s T s

( )

( )( )( )

Giải Tùy theo giá trị K, T1, T2, T3 mà biểu đồ Nyquist hệ hở có ba dạng sau

Hình 4.18

Vì hệ kín khơng có cực nằm bên phải mặt phẳng phức nên - Trường hợp : G(jω) không bao điểm (–1, j0) ⇒ hệ kín ổn định - Trường hợp : G(jω) qua điểm (–1, j0) ⇒ hệ kín biên giới ổn định

- Trường hợp : G(jω) bao điểm (–1, j0) ⇒ hệ kín khơng ổn định g

Giải: (a) Ổn định (b) Không ổn định (c) Không ổn định (d) Ổn định (e) Không ổn định

Ví dụ 4.17.Cho hệ thống hở có hàm truyền đạt n

K G s

Ts

( )

( )

=

+1 (K > 0, T > 0, n > 2)

Tìm điều kiện K T để hệ thống kín (hồi tiếp âm đơn vị) ổn định

Giải Đặc tính tần số hệ thống n

K G j

Tj

( )

( )

ω =

ω +1 Biên độ

( )n

K M

T

( )ω =

ω +

2 1 Pha ϕ ω = −( ) ntg−1(Tω)

Biểu đồ Nyquist hệ thống hở có dạng hình 4.29

Hình 4.20

Do hệ hở khơng có cực nằm bên phải mặt phẳng phức nên để hệ thống kín ổn định đường cong Nyquist hệ hở khơng bao điểm (–1,j0), theo hình vẽ ta thấy điều xảy M(ω–π) <

Ta coù ϕ ω( −π)= −ntg−1(Tω−π)= −π

⇒ tg T

n

( )

−

−π π

ω =

1 ⇒ T tg

n

( ω−π)=   π

  ⇒ −π Ttg n

π  

ω =  

 

1

Do M(ω−π)<1 ⇔ K n

T tg

T n

<

 

  π 

 + 

 

 

   

   

 

2

1

1 1

⇔

n

K tg

n

  π 

<  +   

 

2 1

g

4.4.4 Tiêu chuẩn ổn định Bode

Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối hình 4.30

Cho biết đặc tính tần số hệ hở G(s), tốn đặt xét tính ổn định hệ thống kín Gk(s)

Hình 4.21 Tiêu chuẩn Bode

Hệ thống kín Gk(s) ổn định hệ thống hở G(s) có độ dự trữ biên độ dự trữ pha dương

GM M

>  

Φ > 

0

0 ⇒ hệ thống ổn định

Hình 4.22

Giải Trên biểu đồ Bode ta xác định được: ω =c 1, (rad/sec), ω =−π (rad/sec)

L(ω−π)=35dB ⇒ GM = −35dB

ϕ ω = −( c) 270 ° ⇒ Φ =M 180° + −( 270° = − °) 90

Chương 5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG

HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 5.1 CÁC TIÊU CHUẨN CHẤT LƯỢNG

Ổn định điều kiện cần hệ ĐKTĐ, song chưa phải đủ để hệ thống sử dụng thực tế Nhiều yêu cầu đòi hỏi hệ thống phải thỏa mãn lúc tiêu chuẩn chất lượng khác độ xác, độ ổn định, đáp ứng độ, độ nhạy, khả chống nhiễu Sau số tiêu chuẩn thường dùng để đánh giá chất lượng hệ thống điều khiển

Hình 5.1 1- Sai số xác lập

0

lim ( ) lim ( )

xl t s

e e t sE s

→∞ →

e(t) = r(t) – c(t)

Sai số hiệu số tín hiệu vào tín hiệu hồi tiếp Mục đích muốn tín hiệu qua vịng hồi tiếp ln ln bám tín hiệu vào mong muốn Điều có nghĩa sai số xác lập khơng

2- Độ vọt lố (độ điều chỉnh )

100

m a x

% xl

xl

c c

POT

c

−

= × (5.2)

3- Thời gian đáp ứng

• Thời gian lên đỉnh thời gian đáp ứng đạt giá trị cực đại (tp = tpeak)

• Thời gian độ ts = tset xác định thời điểm đáp ứng

từ sau trở khơng vượt khỏi miền giới hạn sai số ∆ quanh giá trị xác lập Ví dụ:∆ ± 2%, ± 5%

4- Độ trữ ổn định

Định nghĩa: Khoảng cách từ trục ảo đến nghiệm cực gần (nghiệm thực phức) gọi độ trữ ổn định hệ Ký hiệu khoảng cách ngắn λo, λo lớn trình độ nhanh xác lập Đáp ứng độ hệ bậc n:

n n

i i

p o t

t i

i t

p o

c t( ) i⋅e e i⋅e( )

= =

+λ

−λ

= ∑ λ = ∑λ

1 (5.3)

Re (pi + λo) ≤

5- Tiêu chuẩn tích phân

5.2 SAI SỐ XÁC LẬP

Xét hệ thống hồi tiếp âm có sơ đồ khối hình vẽ:

Hình 5.2 Hệ thống hối tiếp âm Sai số hệ thống laø

G s

E s R s C s H s R s R s H s

G s H s

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

 

= − = − + 

 

⇒ E s R s G s H s

( ) ( ) ( ) ( ) = + Sai số xác lập

xl

t s

e lim e t( ) limsE s( )

→+∞ →

= =

0 ⇒ exl lims G s H ssR s( )

( ) ( ) →

=

+

01 (5.4)

Sai số xác lập phụ thuộc vào cấu trúc thông số hệ thống mà cịn phụ thuộc vào tín hiệu vào

1- Tín hiệu vào hàm nấc đơn vị

r t( )=u t( ) ⇒ R s

s

( )=1

xl s

s s

s e

G s H s G s H s

lim

( ) ( ) lim ( ) ( )

→ → ⋅ = = + + 0 1 1

Đặt p s

K limG s H s( ) ( ) →

=

0 : hệ số vị trí

⇒ xl

p e K = + 1 (5.5)

2- Tín hiệu vào hàm dốc đơn vị

r t( )=tu t( ) ⇒ R s

s

xl s s

s s

s e

G s H s s sG s H s sG s H s

lim lim

( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )

→ → → ⋅ = = = + + 0 1 1 Đặt v

s

K limsG s H s( ) ( ) →

=

0 : hệ số vận tốc xl v e K = (5.6)

3- Tín hiệu vaøo laø haøm parabol

t r t( )= u t( )

2

2 ⇒ R s( )=s3

xl s s

s s

s e

G s H s s s G s H s s G s H s

lim lim

( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )

→ → → ⋅ = = = + +

2 2

0

0

1

1

Đặt Ka lims s G s H s( ) ( )

→

=

0 : hệ số gia tốc xl

a e

K

= (5.7)

Nhận xét

Tùy theo số khâu tích phân lý tưởng có hàm truyền hở

( ) ( )

G s H s mà Kp , Kv , Ka có giá trị bảng sau:

Số khâu tích phân G(s)H(s)

Hệ số vị trí Kp

Hệ số vận tốc Kv

Hệ số gia tốc Ka

0 Kp < ∞ 0

1 ∞ Kv < ∞

2 ∞ ∞ Ka < ∞

> ∞ ∞ ∞

- Nếu G(s)H(s) khơng có khâu tích phân lý tưởng hệ thống kín theo kịp thay đổi tín hiệu vào hàm nấc với sai số xl

p e K = +

- Nếu G(s)H(s) có khâu tích phân lý tưởng hệ thống kín theo kịp thay đổi tín hiệu vào hàm nấc với sai số

xl

e =0, theo kịp thay đổi tín hiệu vào hàm dốc với sai số xl

v e

K

= không theo kịp thay đổi tín hiệu vào

hàm parabol ⇒ hệ thống có khâu tích phân lý tưởng gọi hệ vô sai bậc

- Nếu G(s)H(s) có hai khâu tích phân lý tưởng hệ thống kín theo kịp thay đổi tín hiệu vào hàm nấc hàm dốc với sai số exl =0, theo kịp thay đổi tín hiệu vào hàm parabol với sai số xl

a

e K

= ⇒ hệ thống có hai khâu tích phân lý tưởng gọi hệ vơ sai bậc hai

- Nếu G(s)H(s) có ba khâu tích phân lý tưởng hệ thống kín theo kịp thay đổi tín hiệu vào hàm nấc, hàm dốc hàm parabol với sai số exl =0 ⇒ hệ thống có ba khâu tích phân lý

tưởng gọi hệ vô sai bậc ba

⇒ Hệ thống có n khâu tích phân lý tưởng gọi hệ vô sai bậc n

5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ

Đáp ứng độ đáp ứng hệ thống tín hiệu vào hàm nấc đơn vị

5.3.1 Hệ quán tính bậc

Hàm truyền

k Ts

G s

Ts Ts

/ ( )

/

= =

+ +

1

1 1

Hệ thống kín có cực thực s T

Hình 5.3 Giản đồ cực - zero hệ quán tính bậc

Hình 5.4 Đáp ứng độ hệ quán tính bậc Đáp ứng hệ thống tín hiệu vào hàm nấc

k T

C s R s G s

s Ts s Ts s s T

( ) ( ) ( )

/

= ⋅ = = − = −

+ + +

1 1 1

1 1

⇒

t T c t( )= −1 e−

Nhận xét (xem hình 5.4)

• Đáp ứng q độ khâu qn tính bậc khơng có vọt lố

• Thời T thời điểm c(t) đạt 63.2% giá trị xác lập, T nhỏ đáp ứng nhanh

• Thời gian xác lập ts (settling time) thời gian để sai số c(t) giá trị xác lập nhỏ ε (ε = 5% hay 2%)

• Sai số xác lập 5.3.2 Hệ dao động bậc hai

Hàm truyền

n

n n

k

n n n

n

s s

G s

s s T s Ts

s s

( )

ω

+ ξω ω

= = =

ω + ξω + ω + ξ +

+

+ ξω

2

2

2 2 2

2

2

2

1

trong

n T=

ω1

Hệ thống có cặp cực phức liên hợp (H.5.5)

, n n

s = −ξω ± ωj − ξ2

1

Hình 5.5 Giản đồ cực - zero

hệ dao động bậc hai

Hình 5.6 Đáp ứng độ

hệ dao động bậc hai Đáp ứng hệ thống tín hiệu vào hàm nấc

( ) ( ) k( )

C s R s G s

s T s Ts

= ⋅ = ⋅

+ ξ +

2

1

2

⇒ ( ) sin ( )

nt

n

e

c t = − −ξω ω − ξ t+ θ − ξ

2

1

1

trong độ lệch pha θ xác định cosθ = ξ

Nhận xét (xem hình 5.6)

• Đáp ứng độ khâu dao động bậc hai cóù dạng dao động với biên độ giảm dần

- Nếu ξ =0 : c t( )= −1 sinωnt, đáp ứng hệ dao động

không suy giảm với tần số ωn ⇒ ωn gọi tần số dao động tự nhiên

- Nếu 0< ξ <1 đáp ứng hệ dao động với biên độ giảm :

• Đáp ứng khâu dao động bậc hai có vọt lố

Tổng quát, độ vọt lố (POT – Percent of Overshoot) định nghĩa

100

m a x xl %

xl

c c

POT

c

−

= ⋅ (5.8)

(cmax - giá trị cực đại c(t); cxl - giá trị xác lập c(t)) Đối với hệ dao động bậc hai, độ vọt lố POT tính cơng thức

2 100

exp %

POT= − ξπ ⋅

 − ξ 

 

(5.9)

••••Thời gian xác lập ts thời gian để sai số c(t) giá trị

xác lập nhỏ ε (ε = 5% hay 2%) Đối với hệ bậc hai

- Theo tieâu chuaån 5%: xl n

t =

ξω (5.10)

- Theo tiêu chuẩn 2%: xl n t =

ξω4 (5.11)

• Thời gian lên tr: (rise time) thời gian để c(t) tăng từ 10% đến 90% giá trị xác lập

Đối với hệ bậc hai

( , , , , )

r n

t = ξ − ξ + ξ +

ω

3

1 1 589 0 1562 0 924 1 0141 (5.12)

Chú ý: Nếu ξ ≥1 ta không gọi hệ dao động bậc hai trường hợp đáp ứng hệ khơng có dao động

• Nếu ξ =1 hệ thống kín có nghiệm kép (thực)

1 p

n

t = π

Đáp ứng hệ thống

C s( )= s s( + ω + ωωnns n)

2 2

⇒ nt nt

n c t( )= −1 e−ω − ω ⋅t e−ω

• Nếu ξ >1 hệ thống kín có hai nghiệm thực phân biệt

Đáp ứng hệ thống

C s A B C

s s p s p

( )= + +

+ 1 + 2

5.3.3 Hệ bậc cao

Hình 5.7 Cặp cực định hệ bậc cao

Hệ bậc cao có nhiều hai cực Đáp ứng tương ứng với cực nằm xa trục ảo suy giảm nhanh Do xấp xỉ hệ bậc cao hệ bậc hai với cặp cực hai cực nằm gần trục ảo Cặp cực nằm gần trục ảo hệ bậc cao gọi cặp cực định

5.4 CÁC TIÊU CHUẨN TỐI ƯU HÓA ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ 1- Tiêu chuẩn tích phân sai lệch IE (Integrated Error)

IE = e t dt( ) MIN ∞

→

∫

0

Hình 5.8 Tiêu chuẩn IE IAE

Song hệ có đáp ứng độ dao động ổn định (đường 2) tiêu chuẩn IE khơng phản ánh chất lượng hệ thống có miền diện tích âm trừ bớt Kết giá trị tích phân nhỏ q trình q độ xấu Vì phải sử dụng tiêu chuẩn tích phân trị số tuyệt đối sai lệch

2- Tiêu chuẩn IAE (Integral of the Absolute Magnitude of the Error - tích phân trị tuyệt đối biên độ sai số)

J e t dt( )

+∞

= ∫

1

(5.13)

Đối với hệ bậc hai: J1→min ξ =0 707,

3- Tiêu chuẩn ISE (Integral of the Square of the Error - tích

phân bình phương sai số)

J e t dt( )

+∞

= ∫

2

ISE xem nhẹ diện tích bé bình phương số nhỏ bé trị số tuyệt đối số Một lý khiến tiêu chuẩn ISE thường sử dụng cơng việc tính tốn thực đơn giản Có thể tính ước lượng ISE theo biến đối Fourier theo công thức (phụ lục )

ISE = E j( ) d ∞

ω ω

π∫

2

0

Đối với hệ bậc hai: J2→min ξ =0 5,

4- Tiêu chuẩn ITAE (Integral of Time multiplied by the

Absolute Value of the Error- tích phân thời gian nhân với trị tuyệt đối sai số)

J t e t dt( )

+∞

= ∫

3

(5.15)

Đối với hệ bậc hai: J3→min ξ =0 707,

Trong ba tiêu chuẩn tối ưu hóa đáp ứng độ vừa trình bày trên, tiêu chuẩn ITAE sử dụng nhiều Để đáp ứng độ hệ thống bậc n tối ưu theo chuẩn ITAE mẫu số hàm truyền kín hệ bậc n phải có dạng

Bậc Mẫu số hàm truyền

1 s+ ωn

2 s2+1 414, ω + ωns n2

3 s3+1 75, ωns2+2 15, ω + ωn2s n3

4 s4+2 1, ωns3+3 4, ωn2 2s +2 7, ω + ω3ns 4n

Nếu mẫu số hàm truyền hệ kín có dạng tử số hàm truyền hệ kín hệ bậc n n

n

ω đáp ứng độ hệ thống tối ưu sai số xác lập

J = e t de dt dt

( )

∞ 

 

+ α

   

 

 

 

∫ 2

0

với α số chọn thích hợp cho trường hợp

Ví dụ: α lớn không cho phép dao động lớn Ngược lại, α nhỏ cho phép độ dao động lớn

5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ THEO ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG

Hình 5.9

1- Đánh giá theo phân bố cực zero hàm truyền hệ thống kín theo nghiệm phương trình đặc tính theo điều kiện ban đầu

2- Đánh giá theo tiêu chuẩn tích phân

3- Đánh giá trình độ theo đặc tính tần số hệ thống

4- Tiêu chuẩn tích tích thời gian nhân với trị tuyệt đối sai số ITAE (Integral of Time Multiplied by the Absolute Value of Error)

ITAE = t e t dt( )

∞ ∫

ITAE rút ngắn thời gian độ (tính tra bảng) Tần số cắt L(ω =c)

Hoặc G j( ω =c) với độ nghiêng ωc -20dB/dec

Độ dự trữ pha ΦM = 30o ÷ 60o Thời gian độ:

c s c

t

* *

π < < π

ω ω

4

c *

ω tần số cắt thỏa độ dự trữ pha theo yêu cầu

Xây dựng phần thực đặc tính tần số hệ kín theo đặc tính biên độ pha hệ hở (Biểu đồ Nichols)

Xét hệ hồi tiếp - đơn vị có đường cong Nyquist vẽ hình 5.10

Hình 5.10

G sK( ) G sG s( ) P( ) jQ( ) ( )

= = ω + ω

+

1

Phần thực: P G s OB

G s AB

( )

( ) Re cos( )

( )

ω = = θ − θ

+

1

P OB CB

AB AB

trong CB hình chiếu vectơ OB lên vectơ AB mặt phẳng phức G(jω)

Đường cong P(ω) = đường trịn đường kính tâm nằm trục thực có tâm (-1

2, j0) ( H.5.11)

Hình 5.11

Phương trình đường cong P(ω) = const = C dễ dàng nhận cách:

G j P

G j

( ) ( ) Re

( )

ω ω =

+ ω

1

trong đó: G(jω) = X + jY

Từ đó: P X jY X X Y

X jY X Y

( )

( ) Re

( )

+ + +

ω = =

+ + + +

2

2

1

1

Với P(ω) = C ta có phương trình: X X Y C

X Y

( )

( )

+ + =

+ +

2

2

1

Đây phương trình đường trịn có tâm nằm trục thực tâm điểm có tọa độ C j

C

(− − , )

−

1

Hình 5.12

Cách xây dựng đường trịn P(ω) = const

Hình 5.13

Thời gian độ tính gần đúng: s o

t = π

ω

4

ωo tần số nhỏ mà đường tròn tâm(-1/2, j0) bán kính 1/2 cắt đường cong Nyquist G(jω)

Chương 6 THIẾT KẾ HỆ THỐNG

ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 6.1 KHÁI NIỆM

Thiết kế tồn q trình bổ sung thiết bị phần cứng thuật toán phần mềm vào hệ cho trước để hệ thỏa mãn yêu cầu tính ổn định, độ xác, đáp ứng độ, … Có nhiều cách bổ sung điều khiển vào hệ thống cho trước, khuôn khổ sách chủ yếu xét hai cách sau:

Cách 1: thêm điều khiển nối tiếp với hàm truyền hệ hở, phương pháp gọi hiệu chỉnh nối tiếp (H.6.1) Bộ điều khiển sử dụng hiệu chỉnh sớm pha, trễ pha, sớm trễ pha, P, PD, PI, PID,… Để thiết kế hệ thống hiệu chỉnh nối tiếp sử dụng phương pháp QĐNS hay phương pháp biểu đồ Bode Ngoài phương pháp thường sử dụng thiết kế theo đặc tính q độ chuẩn

Hình 6.1 Hệ thống hiệu chỉnh nối tiếp

Hình 6.2 Hệ thống điều khiển hồi tiếp trạng thái

Q trình thiết kế hệ thống q trình địi hỏi tính sáng tạo thiết kế thường có nhiều thông số phải chọn lựa Người thiết kế cần thiết phải hiểu ảnh hưởng khâu hiệu chỉnh đến chất lượng hệ thống chất phương pháp thiết kế thiết kế hệ thống có chất lượng tốt Do phương pháp thiết kế trình bày chương mang tính gợi ý, cách thường sử dụng phương pháp bắt buộc phải tuân theo Việc áp dụng cách máy móc thường khơng đạt kết mong muốn thực tế Dù thiết kế theo phương pháp yêu cầu cuối thỏa mãn chất lượng mong muốn, cách thiết kế, cách chọn lựa thông số không quan trọng

Trước xét đến phương pháp thiết kế điều khiển, xét ảnh hưởng điều khiển đến chất lượng hệ thống Chương trình bày điều khiển dạng mơ tả tốn học, mạch điều khiển cụ thể, xem lại chương

6.2 ẢNH HƯỞNG CỦA CÁC BỘ ĐIỀU KHIỂN ĐẾN CHẤT LƯỢNG CỦA HỆ THỐNG

6.2.1 Ảnh hưởng cực zero

Trong mục khảo sát ảnh hưởng việc thêm cực zero vào hệ thống cách dựa vào quỹ đạo nghiệm số Ta thấy:

Hình 6.3 Sự thay đổi dạng QĐNS thêm cực vào hệ thống - Khi thêm zero có phần thực âm vào hàm truyền hệ hở QĐNS hệ kín có xu hướng tiến xa trục ảo (H.6.4), hệ thống ổn định hơn, độ dự trữ biên độ dự trữ pha tăng, độ vọt lố giảm

Hình 6.4 Sự thay đổi dạng QĐNS thêm zero vào hệ thống 6.2.2 Ảnh hưởng hiệu chỉnh sớm trễ pha

1- Hiệu chỉnh sớm pha

Hàm truyền: G sc( )= + αTsTs +

1

1 (α >1) (6.1) Đặc tính tần số: G jc( ω =) + α ωTjTj

+ ω

1

sẽ mở rộng băng thông hệ thống, làm cho đáp ứng hệ thống nhanh hơn, khâu hiệu chỉnh sớm pha cải thiện đáp ứng độ Tuy nhiên tác dụng mở rộng băng thông mà khâu hiệu chỉnh sớm pha làm cho hệ thống nhạy với nhiễu tần số cao

Hình 6.5 Biểu đồ Bode khâu hiệu chỉnh sớm pha

Các thông số cần ý đặc tính tần số khâu hiệu chỉnh sớm pha:

- Độ lệch pha cực đại:

m a x sin−

α −

 

ϕ = α + 

 

1

1 (6.2)

- Tần số độ lệch pha cực đại: T

m a x

ω =

α

1 (6.3)

- Biên độ pha cực đại:

Chứng minh:

j T j T jT

jT T

( )( )

( ) a r g + α ω a r g + α ω − ω 

ϕ ω =  + ω =  

+ ω

 

  2

1 1

1

T

T jT

T

( )

a r g ( ) a r ct a n ω α − 

=  + α ω + ω α − =   + α ω   2 2 1 1 T T ( )

a r ct a n a r ct a n a r csin

( )

 ω α −  α −  α − 

≤  =  = α + 

α ω α  

   

1 1

1

2

Do đó: ϕm a x =a r csinα −  α +

 

1

Dấu đẳng thức xảy khi: 1= α ωT2 2m a x ⇔ ωm a x =1/(T α)

Thay ωm a x =1/(T α) vào biểu thức biên độ khâu sớm

pha ta dễ dàng rút công thức (6.4)

2- Hiệu chỉnh trễ pha

Hàm truyền: G sc Ts Ts

( )= + α +

1

1 (α < 1) (6.5) Đặc tính tần số: G jc Tj

Tj

( ω =) + α ω

+ ω

1

Hình 6.6 biểu đồ Bode khâu hiệu chỉnh trễ pha Dựa vào biểu đồ Bode khâu trễ pha ta thấy đặc tính pha ln âm (ϕ(ω) < 0, ∀ω ) nên tín hiệu ln ln trễ pha tín hiệu vào Khâu hiệu chỉnh trễ pha lọc thông thấp (xem biểu đồ Bode biên độ), sử dụng khâu hiệu chỉnh trễ pha thu hẹp băng thông hệ thống, làm cho hệ số khuếch đại hệ thống tín hiệu vào tần số cao giảm đi, khâu hiệu chỉnh trễ pha khơng có tác dụng cải thiện đáp ứng độ Tuy nhiên tác dụng làm giảm hệ số khuếch đại miền tần số cao mà khâu trễ pha có tác dụng lọc nhiễu tần số cao ảnh hưởng đến hệ thống Do hệ số khuếch đại miền tần số thấp lớn nên khâu hiệu chỉnh trễ pha làm giảm sai số xác lập hệ thống (xem biểu thức sai số xác lập trình bày chương 5)

Các thông số cần ý đặc tính tần số khâu trễ pha:

ϕm in =sin− α −α + 

 

1

1 (6.6)

- Tần số độ lệch pha cực tiểu:

T

m in

ω =

α

1 (6.7)

- Biên độ pha cực tiểu:

L(ωm in)=10lgα (6.8)

Chứng minh: Tương tự làm khâu sớm pha

Hình 6.6 Biểu đồ Bode khâu hiệu chỉnh trễ pha

3- Hiệu chỉnh sớm trễ pha

Khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha gồm khâu trễ pha mắc nối tiếp với khâu sớm pha Hàm truyền khâu hiệu chỉnh sớm trễ viết dạng:

C C C T s T s

G s G s G s

T s T s

( )= ( ) ( )= + α    + α 

+ +

   

1 2

1

1

1

1 (6.9)

Để biểu thức (6.9) hàm truyền khâu sớm trễ pha thơng số phải thỏa điều kiện:

Đặc tính tần số khâu sớm trễ pha:

c T j T j

G j

T j T j

( ω =)  + α ω   + α ω

+ ω + ω

   

1 2

1

1

1 (6.10)

Hình 6.7 Biểu đồ Bode khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha

Hình 6.7 biểu đồ Bode khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha Ở miền tần số cao tín hiệu sớm pha tín hiệu vào; miền tần số thấp tín hiệu trễ pha tín hiệu vào nên khâu hiệu chỉnh gọi khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha Khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha lọc chắn dãi (xem biểu đồ Bode biên độ), hệ số khuếch đại miền tần số cao lớn làm cải thiện đáp ứng độ; hệ số khuếch đại miền tần số thấp lớn làm giảm sai số xác lập, khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha kết hợp ưu điểm khâu hiệu chỉnh sớm pha trễ pha

6.2.3 Hiệu chỉnh PID

1- Hiệu chỉnh tỉ lệ P (Proportional)

Đặc tính tần số khâu hiệu chỉnh tỉ lệ trình bày chương Dựa vào biểu thức sai số xác lập trình bày chương ta thấy hệ số khuếch đại KP lớn sai số xác lập nhỏ, nhiên KP tăng cực hệ thống nói

chung có xu hướng di chuyển xa trục thực, điều có nghĩa đáp ứng hệ thống dao động, độ vọt lố cao Nếu KP tăng giá trị hệ số khuếch đại giới hạn hệ thống trở nên ổn định Do khơng thể có sai số hệ thống khơng thể tăng hệ số khuếch đại lên vơ Ví dụ 6.1 Khảo sát ảnh hưởng điều khiển tỉ lệ

Xét hệ thống hiệu chỉnh nối tiếp có sơ đồ khối hình 6.1, hàøm truyền đối tượng là: G s

s s

( )

( )( )

=

+ +

10

2 Bộ điều khiển sử dụng điều khiển tỉ lệ Đường liền nét hình 6.8 đáp ứng hệ thống chưa hiệu chỉnh KP =

Theo hình vẽ ta thấy tăng KP sai số xác lập giảm, đồng

thời độ vọt lố tăng lên (các đường đứt nét) g

Hình 6.8 Đáp ứng nấc hệ thống kín thay đổi hệ số khuếch đại điều khiển tỉ lệ

2- Hieäu chỉnh vi phân tỉ lệ PD (Proportional Derivative)

Hàm truyeàn: G sC( )=KP +K s KD = P(1+T sD ) (6.12)

trong KD =K TP D, TD gọi thời vi phân

điều khiển PD

Hình 6.9 Biểu đồ Bode khâu hiệu chỉnh PD

Mắc nối tiếp khâu hiệu chỉnh PD với hàm truyền đối tượng tương đương với việc thêm vào hệ thống zero vị trí –1/TD Như trình bày mục 6.2.1, việc thêm vào hệ thống

zero làm cho QĐNS có xu hướng rời xa trục ảo tiến gần phía trục thực, làm giảm độ vọt lố hệ thống

Ví dụ 6.2 Khảo sát ảnh hưởng điều khiển vi phân tỉ lệ Xét hệ thống hiệu chỉnh nối tiếp có sơ đồ khối hình 6.1, hàøm truyền đối tượng là: G s K

s a s b

( )

( )( )

=

+ + (a>b>0)

Bộ điều khiển sử dụng điều khiển vi phân tỉ lệ Phương trình đặc tính hệ thống sau hiệu chỉnh là:

P D K

K T s

s a s b

( )

( )( )

+ + =

+ +

1

Ảnh hưởng đặc trưng khâu PD định thời vi phân TD (cũng vị trí zero –1/TD QĐNS hay tần số

gãy 1/TD đặc tính tần số) Tùy theo giá trị TD mà QĐNS

của hệ thống sau hiệu chỉnh có dạng hình 6.10

Hình 6.10 Sự thay đổi dạng QĐNS thêm khâu hiệu chỉnh PD vào hệ thống

a) Chưa hiệu chỉnh; b) Đã hiệu chỉnh (0 < 1/TD < b)

c) Đã hiệu chỉnh (b < 1/TD < a); d) Đã hiệu chỉnh (1/TD > a)

Ta thấy < 1/TD < a QĐNS hệ thống sau hiệu

chỉnh nằm hồn tồn trục thực (hình 6.10b 6.10c), đáp ứng hệ thống hồn tồn khơng có dao động Nếu 1/TD > a

thì tùy giá trị KP mà hệ thống có nghiệm phức,

nhiên nghiệm phức gần trục thực so với trục ảo (nghĩa

,

Hình 6.11a trình bày đáp ứng độ hệ thống thay đổi giá trị TD giữ hệ số KP số Ta thấy TD lớn

thì đáp ứng nhanh, thời gian lên ngắn Tuy nhiên thời gian lên nhanh dẫn đến vọt lố đáp ứng khơng có dao động

Khi xác định TD ảnh hưởng KP tương tự

ảnh hưởng khâu khuếch đại, nghĩa KP tăng

(nhưng phải nhỏ Kgh) sai số xác lập giảm (H.6.11b),

tuy nhiên sai số xác lập lúc khác Mặt khác trường hợp hệ thống khảo sát, KP tăng QĐNS

càng rời xa trục ảo nên thời gian đáp ứng nhanh lên Tuy nhiên ảnh hưởng ảnh hưởng đặc trưng khâu PD

Hình 6.11 Ảnh hưởng khâu hiệu chỉnh PD đến đáp ứng nấc đơn vị hệ thống

3- Hiệu chỉnh tích phân tỉ lệ PI (Proportional Integral)

Hàm truyền: I

C P P

I K

G s K K

s T s

( )= + =  + 

 

1

1 (6.14)

trong KI =KP/TI, TI gọi thời tích phân

điều khiển PI

Đặc tính tần số: C P

I

G j K

T j

( ω =)  + 

ω

 

1

1 (6.15)

thống sau hiệu chỉnh bị đẩy phía phải mặt phẳng phức, nên hệ thống ổn định

Hình 6.12 Biểu đồ Bode khâu hiệu chỉnh PI

Hình 6.12 biểu đồ Bode khâu hiệu chỉnh PI Dựa vào biểu đồ Bode khâu hiệu chỉnh PI ta thấy khâu hiệu chỉnh PI trường hợp riêng khâu hiệu chỉnh trễ pha, độ lệch pha cực tiểu tín hiệu tín hiệu vào làϕm in = − °90 , tương ứng với tần số ωm in =0 Khâu hiệu chỉnh PI có đặc điểm

Ví dụ 6.3 Khảo sát ảnh hưởng điều khiển tích phân tỉ lệ Xét hệ thống hiệu chỉnh nối tiếp có sơ đồ khối hình 6.1, hàøm truyền đối tượng là: G s K

s a s b

( )

( )( )

=

+ + (a>b>0)

Bộ điều khiển sử dụng điều khiển tích phân tỉ lệ Phương trình đặc tính hệ thống sau hiệu chỉnh là:

I P

I

T s K

K

T s (s a s b)( )

 + 

+   =

+ +

 

1

1

Ảnh hưởng đặc trưng khâu PI định thời tích phân TI (cũng vị trí zero –1/TI QĐNS hay tần

số gãy 1/TI đặc tính tần số) Tùy theo giá trị TI mà

QĐNS hệ thống sau hiệu chỉnh có dạng hình 6.13

Hình 6.13 Sự thay đổi dạng QĐNS thêm khâu hiệu chỉnh PI vào hệ thống

a) Chưa hiệu chỉnh; b) Đã hiệu chỉnh (0 < 1/TI < b)

Theo công thức sai số (5.4), ta thấy khâu hiệu chỉnh PI làm cho sai số xác lập hệ thống tín hiệu vào hàm nấc Tuy nhiên khâu hiệu chỉnh PI làm cho hệ thống ổn định Ta kiểm chứng điều cách phân tích thay đổi dạng QĐNS hệ thống sau hiệu chỉnh Theo công thức (4.14), giao điểm tiệm cận với trục thực là:

I

OA= − − +( a b 1/T ) Do 1/TI tăng QĐNS hệ

thống di chuyển phía phải mặt phẳng phức (H.6.13b,c), hệ thống ổn định Khi 1/TI đủ lớn thỏa điều kiện

I

T a b

/ > +

1 QĐNS có đoạn nằm bên phải mặt phẳng phức (H.6.13d), hệ thống không ổn định hệ số khuếch đại hệ thống lớn giá trị Kgh

Hình 6.14 minh họa đáp ứng độ hệ thống thay đổi thông số điều khiển PI Ở hình 6.14a ta thấy giảm thời tích phân TI độ vọt lố hệ thống cao,

hệ thống chậm xác lập Từ ta rút kết luận thiết kế khâu hiệu chỉnh PI nên chọn zero –1/TI nằm gần gốc tọa độ

để thời tích phân TI có giá trị lớn nhằm hạn chế độ vọt lố

Khi giữ TI số ảnh hưởng KP đến chất lượng

hệ thống ảnh hưởng khâu khuếch đại, KPcàng tăng

thì độ vọt lố tăng, nhiên thời gian độ gần không đổi (H.6.14b) Nếu KP vượt giá trị hệ số khuếch đại

giới hạn hệ thống trở nên ổn định

4- Hiệu chỉnh vi tích phân tỉ lệ PID

(Proportional Integral Derivative)

Hàm truyền: I

C P K D

G s K K s

s

( )= + + (6.16)

Có thể xem khâu hiệu chỉnh PID gồm khâu PI mắc nối tiếp với khâu PD

C P D

I

G s K T s

T s

( )=  + ( + )

 

1

1

1 (6.17)

trong TI1 > TD2 Dễ dàng suy mối quan hệ hệ số hai cách biểu diễn (6.16) (6.17) sau:

D P P

I T

K K

T

 

=  + 

 

2

1

1 (6.18)

P I

I K K

T

=

1

(6.19) D P D

K =K 1⋅T (6.20)

Đặc tính tần số: C P D

I

G j K T j

T j

( ω =)  + ( + ω)

ω

 

1

1

1 (6.21)

Khâu hiệu chỉnh PID trường hợp riêng hiệu chỉnh sớm trễ pha, độ lệch pha cực tiểu tín hiệu tín hiệu vào làϕm in = − °90 , tương ứng với tần số ωm in =0 ; độ lệch pha cực đại tín hiệu tín hiệu vào làϕm a x = + °90 , tương ứng với tần số ωm a x = ∞

Do khâu hiệu chỉnh PID xem khâu PI mắc nối tiếp với khâu PD nên có ưu điểm khâu PI PD Nghĩa khâu hiệu chỉnh PID cải thiện đáp ứng độ (giảm vọt lố, giảm thời gian độ) giảm sai số xác lập (nếu đối tượng khơng có khâu vi phân lý tưởng sai số xác lập tín hiệu vào hàm nấc 0)

Chúng ta vừa khảo sát xong ảnh hưởng khâu hiệu chỉnh nối tiếp thường dùng đến chất lượng hệ thống, khâu hiệu chỉnh có ưu điểm khuyết điểm riêng Do cần phải hiểu rõ đặc điểm khâu hiệu chỉnh sử dụng linh hoạt hiệu Tùy theo đặc điểm đối tượng điều khiển cụ thể yêu cầu chất lượng mong muốn mà phải sử dụng khâu hiệu chỉnh thích hợp Khi xác định khâu hiệu chỉnh cần dùng vấn đề cịn lại xác định thơng số Các mục tiếp đề cập đến vấn đề

6.3 THIẾT KẾ HỆ THỐNG DÙNG QĐNS

Nguyên tắc thiết kế hệ thống dùng phương pháp QĐNS dựa vào phương trình đặc tính hệ thống sau hiệu chỉnh:

C

G s G s( ) ( )

+ =

1 (6.22)

⇔ C

C

G s G s điều kiện biên độ G s G s điều kiện pha

( ) ( ) ( ) ( )

 =

 

∠ = − °



1

180 (6.23)

Ta cần chọn thông số điều khiển GC(s) cho phương

trình (6.22) có nghiệm vị trí mong muốn 6.3.1 Hiệu chỉnh sớm pha

thức (6.1):

C C s T

G s K

s T

( / )

( )

( / )

+ α

=

+

1

1 (α >1) (6.24) Bài toán đặt chọn giá trị KC, α T để đáp ứng hệ thống thỏa mãn yêu cầu chất lượng độ (độ vọt lố, thời gian xác lập, …)

Ta biết chất lượng độ hệ thống hoàn toàn xác định vị trí cặp cực định Do nguyên tắc thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng phương pháp QĐNS chọn cực zero khâu hiệu chỉnh cho QĐNS hệ thống sau hiệu chỉnh phải qua cặp cực định mong muốn Sau cách chọn hệ số khuếch đại KC thích hợp ta chọn

cực hệ thống cặp cực mong muốn Ngun tắc cụ thể hóa thành trình tự thiết kế sau:

Trình tự thiết kế

Khâu hiệu chỉnh: Sớm pha Phương pháp thiết kế:QĐNS

Bước 1: Xác định cặp cực định từ yêu cầu thiết kế chất lượng hệ thống trình độ:

  

Độ vọt lố POT Thời gian độ,

⇒ n

ξ   ω

 ⇒ s n j n

*

, = −ξω ± ω − ξ

2

1

Bước 2: Xác định góc pha cần bù để cặp cực định s* , nằm QĐNS hệ thống sau hiệu chỉnh công thức:

n m

i i

i i

s p s z

* a r g( * ) a r g( * )

= =

Φ = − ° +∑ 1− −∑ 1−

1

180 (6.25)

trong pi zi cực hệ thống G(s) trước hiệu

chỉnh

Dạng hình học cơng thức là:

góc từ cực G s đến cực s

* ( ) *

Φ = −180° +∑ 1

góc từ zero G s đến cực s*

( )

−∑ 1 (6.26)

Vẽ hai nửa đường thẳng xuất phát từ cực định s* cho hai nửa đường thẳng tạo với góc

*

Φ Giao điểm hai nửa đường thẳng với trục thực vị trí cực zero khâu hiệu chỉnh

Có hai cách vẽ thường dùng:

- PP đường phân giác (để cực zero khâu hiệu chỉnh gần nhau)

- PP triệt tiêu nghiệm (để hạ bậc hệ thống)

Bước 4: Tính hệ số khuếch đại KC cách áp dụng công thức:

C s s G s G s( ) ( ) =* =

1

Giải thích

Bước 1: Do chất lượng độ phụ thuộc vào vị trí cặp cực định nên để thiết kế hệ thống thỏa mãn chất lượng độ mong muốn ta phải xác định cặp cực định tương ứng Gọi cặp cực định mong muốn s*

,

Bước 2: Để hệ thống có chất lượng q độ mong muốn cặp cực định s*

,

1 phaûi nghiệm phương trình đặc tính sau hiệu chỉnh (6.22) Xét điều kiện pha:

G s G sC( ) ( ) s s*

=

∠ = −180 °

⇔ ∠G sC( ) s s= * + ∠G s( ) s s=* = −180 °

⇔ C s s m i n i

i i

G s( ) * a r g(s* z) a r g(s* p) =

= =

 

∠ + − − − = − °

∑1 ∑1 

180 (6.27) zi pi zero cực hệ thống hở trước

hiệu chỉnh Đặt góc pha cần bù * G sC( ) s s* =

Φ = ∠ , từ biểu thức

(6.27) ta suy ra:

n m

i i

i i

s p s z

* a r g( * ) a r g( * )

= =

Φ = − ° +∑ − −∑ −

1

180

góc từ cực G s đến cực s

* ( ) *

Φ = −180° +∑

−∑góc từ zero G s đến cực s( ) *

Bước 3: Bây ta phải chọn cực zero khâu hiệu chỉnh cho: * G sC( ) s s*

=

Φ = ∠

⇔ Φ =* a r g(s*+ α1/ T)−a r g(s*+1/T) (6.28) Do Φ* s* biết nên phương trình (6.28) có hai ẩn số cần tìm 1/αT 1/T Chọn trước giá trị 1/αT thay vào phương trình (6.28) ta tính 1/T ngược lại, nghĩa tốn thiết kế có vơ số nghiệm

Thay chọn nghiệm phương pháp giải tích (giải phương trình (6.28)) vừa trình bày chọn phương pháp hình học Theo hình 6.16 hai số phức (s*+1/T) (s*+ α1/ T) biểu diễn hai véctơ uuurBP CPuuur,

s* T PBOˆ

a r g( +1/ )= a r g(s* + α1/ T)=PCOˆ ø Thay góc hình học vào phương trình (6.28) ta được:

s T s T PCO PBO BPC

* a r g( * / ) a r g( * / ) ˆ ˆ ˆ

Φ = + α1 − +1 = − =

Từ phân tích ta thấy cực zero khâu hiệu chỉnh sớm pha phải nằm điểm B C cho BPCˆ = Φ* Đây sở toán học cách chọn cực zero trình bày trình tự thiết kế

Hình 6.16 Quan hệ hình học vị trí cực zero khâu hiệu chỉnh sớm pha với góc pha cần bù

kiện biên độ Do ta phải chọn KC cơng thức:

C s s G s G s( ) ( ) *

=1 =1 g

Ví dụ 6.4 Thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng phương pháp QĐNS

Cho hệ thống điều khiển hình vẽ Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh GC(s) để đáp ứng độ hệ thống sau

khi hiệu chỉnh thỏa: POT < 20%; tqđ < 0,5 sec (tiêu chuẩn 2%) Giải: Vì yêu cầu thiết kế cải thiện đáp ứng độ nên sử dụng khâu hiệu chỉnh sớm pha:

C C s T

G s K

s T ( / ) ( ) ( / ) + α = +

1 (α >1) Bước 1: Xác định cặp cực định Theo yêu cầu thiết kế, ta có:

POT exp ,

 ξπ 

 

= − <

 − ξ 

 

0

1 ⇒ ln , ,

ξπ

− < = −

− ξ2

1

⇒ 95, ξ > 1− ξ2 ⇒ 8, ξ >2 ⇒ ξ >0 45 ,

Choïn ξ =0 707 ,

n t = < ,

ξω

4 0 5

qñ ⇒ n

, ω >

× ξ

4

0 ⇒ ω >n 11 , Choïn ω =n 15

Vậy cặp cực định là:

s* n j n j

, = −ξω ± ω − ξ = − , × ± − ,

2

1 707 15 15 707

⇒ s* j

, = − , ± , 10 10

Bước 2: Xác định góc pha cần bù Cách Dùng công thức đại số

{ j j }

* a r g[( , , ) ] a r g[( , , ) ( )]

Φ = −180° + −10 5+ 10 − +0 −10 5+ 10 − −5

a r ct a n , a r ct a n ,

, ,

    

= − ° + − + − 

   

 

10 10

180

10 5

⇒ Φ =* 72 , °

Cách Dùng cơng thức hình học

* ( )

Φ = −180° + β + β1

= −180° +(135° +117 6, ° =) 72 , °

Bước 3: Xác định cực zero khâu hiệu chỉnh phương pháp đường phân giác

- Vẽ PA phân giác góc OPxˆ

- Vẽ PB PC cho APBˆ =Φ*

2 , APC *

ˆ =Φ

2

Điểm B vị trí cực C vị trí zero khâu hiệu

chænh: OB

T =

1 OC

T=

α

1

Áp dụng hệ thức lượng tam giác ta suy ra: OPx OB OP OPx * * ˆ , sin sin , ˆ , sin sin  Φ   ° ° +   +         = = = ° °  Φ    − −          

135 72

2 2 2

15 28 12

135 72

2 2 OPx OC OP OPx * * ˆ , sin sin , ˆ , sin sin  Φ   ° ° −   −         = = = ° °  Φ    + +          

135 72

2 2 2

15

135 72

2

2

⇒ G sC KC s

s

( )= +

+

Bước 4: Tính K C

G s G sC( ) ( )s s= * =1

⇒ C

s j s

K

s s s( ) =− , + ,

+ =

+ + 10 10 5

8 50 1

28

⇒ KC j

j j j

, ,

, , ( , , )( , , )

− + + =

− + + − + − + +

10 10 50 1

10 10 28 10 10 10 10 5

⇒ KC ,

, ,

× =

× ×

10 79 50 1

20 41 15 11 85

⇒ KC =6 ,

Vậy hàm truyền khâu hiệu chỉnh sớm pha cần thiết kế là:

C s

G s

s

( )= , +

+

8

28 g

Nhận xét

Quỹ đạo nghiệm số hệ thống trước hiệu chỉnh khơng qua điểm s* (H.6.17a) hệ thống không đạt chất lượng đáp ứng độ yêu cầu dù có thay đổi hệ số khuếch đại hệ thống

Bằng cách sử dụng khâu hiệu chỉnh sớm pha, quỹ đạo nghiệm số hệ thống bị sửa dạng qua điểm s* (H.6.17b) Bằng cách chọn hệ số khuếch đại thích hợp (như thực bước 4) hệ thống có cặp cực định mong muốn, đáp ứng độ đạt yêu cầu thiết kế (H.6.18)

Hình 6.18 Đáp ứng nấc hệ thống ví dụ 6.4 trước sau hiệu chỉnh

6.3.2 Hiệu chỉnh trễ pha

Hàm truyền khâu hiệu chỉnh trễ pha cần thiết kế có daïng:

C C s T

G s K

s T

( / )

( )

( / )

+ β

=

+

1

1 (β <1 )

Bài toán đặt chọn giá trị KC, β T để đáp ứng hệ

thống thỏa mãn yêu cầu sai số xác lập mà “không” làm ảnh hưởng đến đáp ứng độ (ảnh hưởng không đáng kể)

Trình tự thiết kế

Khâu hiệu chỉnh: Trễ pha Phương pháp thiết kế: QÑNS

Bước 1: Xác địnhβ từ yêu cầu sai số xác lập

Nếu yêu cầu sai số xác lập cho dạng hệ số vận tốc V

K* tính β cơng thức: V V K K*

β =

trong KV KV* hệ số vận tốc hệ thống trước sau hiệu chỉnh

Bước 2: Chọn zero khâu hiệu chỉnh cho: s

T << Re( *, )

β

1

trong s* ,

1 cặp cực định hệ thống sau hiệu chỉnh Bước 3: Tính cực khâu hiệu chỉnh:

T = β.βT

1

Bước 4: Tính KC cách áp dụng công thức:

C s s G s G s *

,

( ) ( ) = =

1 s*

,

1 cặp cực định hệ thống sau hiệu chỉnh Do yêu cầu thiết kế không làm ảnh hưởng đáng kể đến đáp ứng q độ nên tính gần đúng: s* s

, ≈ , 2

Giải thích

Bước 1: Ta có hệ số vận tốc hệ thống trước sau hiệu chỉnh là:

V s

K limsG s( )

→

=

0

( )( )

V s C s C s

K* sG s G s G s sG s

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

→ → →

= =

0 0

( ) C V

C

s s

K K

s T

K sG s

s T

/

lim lim ( )

/ → → ⋅ + β   = +  = β

 

1

1

⇒ C V V K K K*

Neáu KC≈1 V V K K*

β =

Do ta chọn β cơng thức Các bước thiết theo đảm bảo KC ≈1

Bước 2: Gọi s1,2 cặp cực định hệ thống trước hiệu chỉnh:

s s G s( ) = ,

+ 1 2 =

1 ⇔ s s

s s G s G s , , ( ) ( ) = =  =   ∠ = − °   2 180 Goïi s*

,

1 cặp cực định hệ thống sau hiệu chỉnh:

C s s

G s G s *

,

( ) ( ) =

+ =

1

1 ⇔

C s s

C s s

G s G s G s G s

* , *, ( ) ( ) ( ) ( ) = =  =   ∠ = − °   2 180 Xét điều kiện pha Để hệ thống có chất lượng q độ gần khơng thay đổi s* s

, ≈ ,

1 2 Suy ra:

C s s

G s G s *

,

( ) ( ) =

∠ = − °

1 180

⇒ C

s s s s

G s * G s *

, ,

( ) ( )

= =

∠ + ∠ = − °

1 2 180

⇒ C

s s s s

G s * G s *

, ,

( ) ( )

= =

∠ = − ° − ∠

1 180

G s s s

,

( ) ( )

=

≈ − ° − ∠ = − ° − − °

1

180 180 180

⇒ C

s s

G s *

,

( ) =

∠ ≈ °

1 (6.29)

Phân tích cho thấy cực zero khâu hiệu chỉnh trễ pha phải thỏa mãn biểu thức (6.29) Khi thiết kế ta thường chọn khâu hiệu chỉnh trễ pha cho G sC s s*

,

( ) =

− ° < ∠ < °

1

5 , để

đạt điều đặt cực zero khâu hiệu chỉnh trễ pha nằm gần góc tọa độ so với phần thực nghiệm s*

,

đó ta chọn vị trí zero cho: s T << Re( *, )

β

1

Bước 3: Suy ra:

T = ββT

1

Để ý cách chọn 1/T nằm gần gốc tọa độ β <

Bước 4: Ở bước ta chọn cực zero khâu hiệu chỉnh trễ pha để thỏa mãn điều kiện pha Để thỏa mãn điều kiện biên độ ta chọn KC công thức: G s G sC s s*

,

( ) ( )

=1 =1

Có thể dễ dàng kiểm chứng cách chọn zero cực khâu hiệu chỉnh bước bước mà bước ta ln tính KC ≈1 Như KC thỏa mãn giả thiết ban đầu

khi tính hệ số β bước g

Ví dụ 6.5 Thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha dùng phương pháp QĐNS

Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh GC(s) cho hệ thống có sơ đồ

khối sau hiệu chỉnh có sai số tín hiệu vào hàm dốc 0,02 đáp ứng độ thay đổi không đáng kể

Giải Hệ số vận tốc hệ thống trước hiệu chỉnh: V

s s

K sG s s

s s s

lim ( ) lim ,

( )( )

→ →

= = =

+ +

0

10 0 83

3

Sai số xác lập hệ thống tín hiệu vào hàm dốc là: xl

V e

K , ,

= = =1

0 83

Vì yêu cầu thiết kế làm giảm sai số xác lập nên sử dụng khâu hiệu chỉnh trễ pha: G sC KCs T

s T

( / )

( )

( / )

+ β

=

+

1

Bước 1: Tínhβ

Hệ số vận tốc hệ sau hiệu chỉnh: V xl K e * * ,

= = =50

0 02 Do đó: V

V K K*

,

, β = = 83=0 017

50

Bước 2: Chọn zero khâu hiệu chỉnh

Các cực hệ thống trước hiệu chỉnh nghiệm phương trình:

G s( )

+ =

1 ⇔

s s( )(s )

+ =

+ +

10

1

3 ⇔ s3+7s2+12s+10 =

⇔ ss, = − ± j

 = − 

Vậy cặp cực định trước hiệu chỉnh s1 2, = − ±1 j Chọn

T

β

1 cho: { }s

T<< Re =

β

1 1 ⇒

T = ,

β

1 0

Bước 3: Tính cực khâu hiệu chỉnh T = ββT =( , )( , )

1 0 017 ⇒ T = , 0 0017

⇒ G sC KC s s , ( ) , + = + 0017 Bước 4: Tính KC:

C s s

G s G s( ) ( ) =* =1

⇒ C

s s s

K

s s s s *

,

, ( )( ) =

+ =

+ + +

0 10 1

0 0017

Để đáp ứng độ khơng thay đổi đáng kể thì:

s* s j

, = , = − ±

1 2

Thế vào công thức ta được:

KC j

j j j j

( , )

( , ) ( )( )( )

− + + =

− + + − + − + + − + +

1 10 1

1 0017 1

Vậy khâu hiệu chỉnh trễ pha cần thiết kế laø:

C s

G s s

, ( )

, + =

+

0

0 0017 g

Hình 6.19 cho thấy QĐNS hệ thống trước sau hiệu chỉnh trễ pha gần trùng Do vị trí cặp cực phức định gần trùng nên đáp ứng độ hệ thống trước sau hiệu chỉnh gần (H.6.20) Hình 6.20 cho thấy sai số xác lập hệ thống sau hiệu chỉnh nhỏ nhiều so với trước hiệu chỉnh Như khâu hiệu chỉnh trễ pha vừa thiết kế thỏa mãn yêu cầu đặt

Hình 6.19 QĐNS hệ thống ví dụ 6.5 a) Trước hiệu chỉnh; b) Sau hiệu chỉnh

6.3.3 Hiệu chỉnh sớm trễ pha

Hàm truyền khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha cần thiết kế có dạng: G sC( )=GC1( )s GC2( )s

trong đó: GC1( )s khâu hiệu chỉnh sớm pha GC2( )s khâu hiệu chỉnh trễ pha

Bài toán đặt thiết kế G sC( ) để cải thiện đáp ứng độ

vaø sai số xác lập hệ thống

Trình tự thiết kế

Khâu hiệu chỉnh: Sớm trễ pha Phương pháp thiết kế:QĐNS

Bước 1: Thiết kế khâu sớm pha GC1( )s để thỏa mãn yêu cầu đáp ứng độ (xem phương pháp thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha mục 6.3.1)

Bước 2: Đặt G s1( )=GC1( ) ( )s G s

Thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha GC2( )s mắc nối tiếp vào G s1( )để thỏa mãn yêu cầu sai số xác lập mà không thay đổi đáng

kể đáp ứng độ hệ thống sau hiệu chỉnh sớm pha (xem phương pháp thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha mục 6.3.2) Ví dụ 6.6 Thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha dùng phương pháp QĐNS

Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh GC(s) cho hệ thống sau

hiệu chỉnh có cặp cực phức với ξ =0 , , ω =n (rad/sec); hệ số vận

toác KV =80

Giải: Hệ chưa hiệu chỉnh có ξ =0 125 , , ω =n (rad/sec); KV =8 Vì yêu cầu thiết kế hiệu chỉnh để cải thiện đáp ứng độ sai số xác lập nên GC(s) khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha

C C C