Đi tìm công thức tổng quát dãy số

Chú ý:  Như các bạn đã thấy, nhiều suy luận trong phần đi tìm công thức tổng quát dãy số của chúng ta khá giống với tư tưởng của phương trình sai phân tuyến tính.. Tuy nhiên, những suy [r]

ĐI TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT DÃY SỐ    lim x un  un*  uˆn 2n1  un  n1 TRẦN DUY SƠN Xuân kỷ sửu 2009 Lop11.com Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Giới thiệu Dãy số là phần Đại số Giải tích toán học Dãy số đóng vai trò cực kì quan trọng toán học nhiều lĩnh vực đời sống Trong các kì thi HSG quốc gia, IMO (Olympic toán học quốc tế), hay kì thi giải toán nhiều tạp chí toán học các bài toán dãy số xuất khá nhiều và đánh giá mức độ khó Các bạn học sinh đã làm quen với dãy số từ sớm, từ hồi tiểu học chúng đã làm quen với các bài toán dãy số như: tìm quy luật dãy số đơn giản,… Đây không phải giáo trình lí thuyết dãy số mà là chuyên đề nhỏ trình bày vấn đề nhỏ lĩnh vực dãy số Tập tài liệu này gần bài viết mở, trao đổi, trò chuyên, trình bày đường tìm công thức tổng quát số dạng dãy số bản, từ đó ứng dụng để giải số bài toán Do đây là chuyên đề đầu tay tôi, nên nội dung cách trình bày tài liệu này chắn còn nhiều thiếu xót, mong bạn đọc thông cảm và có ý kiến đóng góp để bài viết hoàn thiện Mọi ý kiên đóng góp, phản hồi xin gửi địa hòm thư: ibelieveicanfly@ymail.com Trần Duy Sơn Xuân kỷ sửu 2009 The love makes us stronger Lop11.com Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Một số kí hiệu dùng tập tài liệu    CSN – Cấp số nhân CSC – Cấp số cộng CTTQ – Công thức tổng quát The love makes us stronger Lop11.com Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Mục lục Trang Đi tìm công thức tổng quát dãy số……………………………………………………… Phương trình sai phân tuyến tính………………………………………………………… 14 Sử dụng phép lượng giác để xác định CTTQ dãy số………………………………… 16 Các bài toán dãy số chọn lọc…………………………………………………………… 18 Bài tập đề nghị…………………………………………………………………………… 20 Tài liệu tham khảo……………………………………………………………………… 21 The love makes us stronger Lop11.com Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trong phần này, tôi và các bạn cùng tìm hiểu và nêu ý tưởng tìm CTTQ số dạng dãy số Chúng ta bắt đầu bài tập đơn giản sách giáo khoa sau: Ví dụ 1: (Bài 45, trang 123, Đại số & Giải tích 11 nâng cao) Cho dãy số (u n ) xác định bởi: un1  2n1  n  Chứng minh un  n1 2 Với số nguyên dương n u1  và un  Ý tưởng: Khi gặp dạng bài hẳn nhiều bạn nghĩ đến việc chứng minh phương pháp quy nạp Nhưng làm thì chẳng có gì thú vị, chúng ta không thử tìm cách giải khác cho bài toán này! Ta nhận thấy đề bài cho công thức truy hồi xác định dãy (u n ) và cho số hạng đầu tiên u1  nên ý tưởng chúng ta là tìm cách đưa (u n ) CSC CSN để dễ dàng liên hệ với u1 đã cho Giải: Ta viết lại (u n ) : 2u n  u n 1  từ đó ta tìm cách đưa CSN Nhưng rắc rối nhỏ là vế phải công thức truy hồi có số Bây đặt u n  v n  d và thay vào dãy ta được: 2(v n  d )  v n 1  d  Từ đó 2d  d   d  thì (vn ) là CSN với công bội 1 n 1  q    n1 v1 Mà v  u  a  v   u n  v n  d  n 1   n 1 2 2 Đến đây bài toán coi chứng minh xong! Nhận xét: Bài toán trên đơn giản và điển hình cho dạng bài tìm CTTQ dãy số Thông thương chúng ta có thể dễ dàng giải nó phương pháp quy nạp Nhưng không cho trước CTTQ dãy số thì phương pháp quy nạp gần vô hiệu và cần có phương pháp cho trường hợp Trong tập tài liệu này tôi và các bạn cùng tìm CTTQ dãy số Tiếp theo ta xét số ví dụ khác sau đây Ví dụ 2: Tìm CTTQ dãy (u n ) xác định: u1  2, u n  2u n 1  n  n  The love makes us stronger Lop11.com Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Ý tưởng: Tiếp tục ý tưởng ví dụ 1, nhiên ta thấy công thức truy hồi đã cho xuất đa thức theo n là n  nên cách làm chúng ta khác chút Giải: Giả sử: u n   an  b (2) Thay vào dãy đã cho ta được:  an  b  2(vn 1  a ( n  1)  b )  n  1, chọn a, b cho an  b  a ( n  1)  2b  n   a ( n  2)  b  n    (vn ) là CSN và  a  1  2n1 v1 Thay n  1,   Tiếp tục thay a, b vào (2) suy ra: v1  u1    b     2n1 v1  2n1  un  2n1  n  Ví dụ 3: u1  Cho dãy số (un ) :  n un  3un1  n  Tìm CTTQ (un ) Giải: Giả sử: u n  v n  q (3) n Thay vào dãy số đã cho ta được: v n  q  3(v n 1  q n n 1 )  2n v n  3n 1v  n  q  2 n 1 n q  3q  n 1 Thay vào (3) suy ra: v1  u1   1   3  un  2n  3n1 Nhận xét: Từ ba ví dụ trên, chúngta có thể phát biểu bài toán tổng quát sau: (cách giải tổng quát nói tới phần Phương trình sai phân tuyến tính) Bài toán tổng quát 1: u1  c n  au  bu  f ( n ) n 1  n Cho dãy (u n ) xác định  Trong đó a, b, c là các số và f (n) là đa thức theo n Tìm CTTQ dãy (un ) The love makes us stronger Lop11.com Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Các bạn có thể tự tổng quát bài toán trên dạng công thức, với chút kiên nhẫn biến đổi tôi tìm hai CTTQ sau đây, ngoài các bạn hãy tự mình tổng quát công thức phức tạp Công thức tổng quát 1: u  x n  u n  qu n 1  d Cho dãy (u n ) xác định:  Trong đó a, b  là các số, có CTTQ là: (khi q  1)  x  (n  1)d n 1 u n   n 1 q x  d q  (khi q  1)  q 1 Công thức tổng quát 2: u  x Cho dãy (u n ) xác định:  n 1 u n  au n 1  b n   , là các số a   thì un  b(n  1) n1  x1 n1 Trong đó a, b  0, i Nếu ii Nếu a   thì un  a n 1 b b     n  x1   a   a  Thế là bắt đầu hình thành phương pháp nhỉ! Chúng ta tiếp tục bài toán tiếng sau đấy: Một đôi thỏ (gồm thỏ đực và thỏ cái) kể từ lúc tròn hai tháng tuổi tháng đẻ đôi thỏ (gồm thỏ đực và thỏ cái) Giả sử từ lúc đầu tháng giêng có đôi thỏ sơ sinh., hỏi đến đầu tháng n có bao nhiêu đôi thỏ Bài toán Fibonacci, trích Liber Abaci (sách toán đố) Ý tưởng: Đây là bài toán đố đơn thuần, để tiện cho việc giải toán, ta tìm cách viết lại đề bài Gọi Fn là số đôi thỏ sau n tháng Thì F1  1, F2  Ta dễ thấy đến tháng ba, đôi thỏ tháng giêng đẻ còn đôi thỏ sinh tháng hai tháng tuổi nên chưa đẻ nên có F3    đôi thỏ, đến tháng thứ tư thì đôi thỏ tháng giêng và tháng hai đẻ nên có F4    đôi thỏ Cứ tiếp tục suy diễn ta suy ra: Fn  Fn 1  Fn  The love makes us stronger Lop11.com Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Đề bài viết lại sau: Ví dụ 4: (dãy Fibonacci) Dãy ( Fn ) xác định F1  1, F2  và Fn  Fn 1  Fn  n  Tìm CTTQ ( Fn ) Ý tưởng: Không bài toán đã gặp trên, bài toán này chúng ta gặp công thức truy hồi liên quan tới số hạng dãy Ý tưởng chúng ta bây là tìm cách biến đổi công thức truy hồi đó dạng đơn giản liên quan tới số hạng dãy Giải:   2  ( F2  1F1 )   12  1 Suy 1 , 2 là nghiệm phương trình:      , giải PT ta hai nghiệm Giải sử: Fn  1 Fn 1  2 ( Fn 1  1 Fn  )  2 n2 1,2  1 1 1 Chọn 1  , 2  2 1  1   Fn   F   n 1       n2 1  1   Fn    Fn1    2      1   1   F2    F1            n2 1 n 1 Áp dụng kết công thức tổng quát ta suy ra: n n         Fn             Chú ý:  Bài toán trên Leonardo Pisano (khoảng 1170-1250) hay còn gọi là Fibonacci phát biểu lần đầu tiên ttrong sách mình tên là Liber Abaci dạng bài toán đố Dãy Fibonacci là dãy số có nhiên ứng dụng toán học, kinh tế, sinh học, hội họa,… Có nhiều tính chất tuyệt đẹp dãy Fibonacci khuôn khổ tập tài liệu không thể nói đến được, hi vọng có thể cùng các bạn trao đổi dãy Fibonacci chuyên đề khác!  Công thức chúng ta vừa tìm còn có tên là công thức Binet nhà toán học Pháp Binet (1786 – 1856) tìm đầu tiên The love makes us stronger Lop11.com Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Từ cách làm ví dụ 4, ta rút bài toán tổng quát sau: Bài toán tổng quát 2: u1  x1 , u2  x2 n  un  aun 1  bun   Cho dãy (u n ) xác định  Trong đó a, b, x1, x2 là các số và a  4b  Tìm CTTQ dãy (un ) Giải: (tổng quát) Giải phương trình đặc trưng:   a  b  từ đó tìm 1 , 2 , đó: un  1un1  2 (un1  1un2 )   2n1 (u2  1u1 )  un  1un1  ( x2  1 x1 )2n1 Áp dụng Công thức tổng quát 2: a a   a Nếu 1  2  thì: un   x2  x1  (n  1)   2   2 n2 a  x1   2 n2  a  a a  x2  x1  ( n  1)  x1    k ( n  1)l          x1a l  Trong đó k , l là nghiệm hệ phương trình:  k  l  x2 a   2 n 1 n2 (sửa) Ví dụ 5: u1  1, u2  Cho dãy (u n ) xác định:  un  5un1  6un2  2n  2n  n  Tìm CTTQ (u n ) Giải: Giải sử: un   an  bn  c , cần chọn a, b, c cho: 2n  2n   (an  bn  c )  5(a (n  1)  b (n  1)  c )  6(a (n  2)  b (n  2)  c ) (5.1)  v n 1  5v n  6v n 1  (5.2) The love makes us stronger Lop11.com Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Thay n  0,1,2 vào (5.1) ta có hệ: 19a  7b  2c  a    7 a  5b  2c   b   a  3b  2c  11 c  19   Đến đây ta giải tiếp (5.2) từ đó có suy (u n ), công việc này xin dành bạn đọc Ví dụ 6: Tìm CTTQ (u n ) biết: u1  1, un  un n  * un  Giải: Ta có: un  un u 2   n 1 un  un un un v  1  un v n   2v n 1  v n  2n   u n  n 1 Đặt: v n  Nhận xét: Đây là dạng bài toán tìm CTTQ dãy số cho công thức truy hồi dạng phân tuyến tính với các hệ số Chúng ta có thể dễ dàng tổng quát bài toán trên dạng sau đây: Bài toán tổng quát 3: pun1  q n   * run1  s Trong đó  , p, q, r, s là các số Tìm CTTQ dãy (un ) Cho dãy (u n ) xác định bởi: u1   , un  Giải: (tổng quát) p  1  t   q p  rt  1  rt  ( p  s )t  q  Đặt: un   t   t    r  1  t   s rvn 1  rt  s Ta chọn: rt  ( p  s )t  q  đó: 1    Từ đó tìm CTTQ (vn ) vn1 suy (u n ) 10 The love makes us stronger Lop11.com Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Chúng ta tiếp tục xét ví dụ sau là dạng bài xác định CTTQ dãy số biết công thức truy hồi có thức Ví dụ 7: Cho dãy (u n ) xác định: u1  2, un 1  2un  3un2  Tìm CTTQ (u n ) Ý tưởng: Ta thấy công thức truy hồi có thức nên việc đầu tiên chúng ta làm là khai triển thức, từ đó tìm cách đưa dãy dạng đơn giản Giải: Viết lại công thức truy hồi:  un 1  2un   3un   un 1  4un 1un  un   Thay n 2 2 n  ta đươc: un  4unun 1  un 1   un 1  4un 1un  un   2 2 Từ đó suy ra: un 1 và un 1 là nghiệm phương trình: x  xun  un   2  u n 1  u n 1  4u n Từ đây ta đã đưa dạng quen thuộc, các bạn hãy giúp tôi hoàn thành nốt bài toán này! Ví dụ 8: u1  1, v   Cho dãy số (u n ), (v n ) : u n 1  4u n  2v n v  u  v n n  n 1 Tìm CTTQ (u n ) và (v n ) Giải: Thay n n  1ta được: u n  4u n 1  2v n 1  u n 1  4u n  2v n  4u n  2(u n 1  v n 1 )  4u n  2u n 1  2v n 1  v n  u n 1  v n 1  4u n  2u n 1  u n  4u n 1  5u n  6u n 1 u  1, u   u n  2n 1 Thay vào hệ đã cho, suy ra: u n 1  5u n  6u n 1 Từ đó ta có hệ  v n 1  v n  2n 1  v n  2n 1 11 The love makes us stronger Lop11.com Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Nhận xét: Đây là dạng bài toán xác định CTTQ dãy số cho hệ phương trình Ta có thể tổng quát bài toán trên dạng: Bài toán tổng quát 4: u   , v    Cho dãy (u n ), (v n ) xác định bởi: u n 1  pu n  qv n v  ru  sv n n  n 1 Trong đó  ,  , p ,q , r , s là các số Tìm CTTQ dãy (u n ), (v n ) Giải: (tổng quát) u n  pu n 1  qv n 1 v n  ru n 1  sv n 1 Thay n n  ta hệ   u n 1  pu n  qv n  pu n  q ( ru n 1  sv n 1 )  pu n  qru n 1  s (u n  pu n 1 )  ( p  s )u n  (qr  ps )u n 1  u n 1  ( p  s )u n  ( ps  qr )u n 1  Từ đây ta đưa dạng Bài toán tổng quát Ngoài việc tìm CTTQ bài toán cho trước, chúng ta có thể tự tổng quát số dạng dãy số khác Chúng ta cùng xét ví dụ: xây dựng phương trình phi tuyến bậc cao từ nghiệm phương trình bậc Xét phương trình bậc 2: x  mx   có nghiệm là x và x Xét mộ số thực  bất kì  và dãy số u n   x  x  u n 1  u n2  2n 2n  Khi đó u n    x 12 n 1  x 22 n 1    u n 1  2  2 Từ đây ta có bài toán: Ví dụ 9: Cho dãy (u n ) xác định bởi: u  2, u n 1  2u n  Tìm CTTQ (u n ) 12 The love makes us stronger Lop11.com Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Giải: Ta thấy: u n 1  2u n   u n 1    u   x 12  x 22   x 1,2 0 u n2  Trong trường hợp này   Lại có: 2  x  x    m   x  4x    1    un    2   2  3 2n 2n    Chú ý:  Trong phần chúng ta vừa cùng tìm hiểu và nêu ý tưởng tìm CTTQ số dạng dãy số Tuy nhiên còn nhiều dạng dãy số khác, khuôn khổ tài liệu có hạn không thể đề cập hết đây Rất mong các bạn thông cảm và hãy tự mình tìm hiểu, khám phá loại dãy số mới!  Trong các phần tiếp theo, tôi giới thiệu số bài toán mà quá trình giải có sử dụng kết phần này Nhưng trước tiên, chúng ta hãy cùng tìm hiểu khái niệm thú vị sau! 13 The love makes us stronger Lop11.com Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Phương trình sai phân tuyến tính Phương trình sai phân tuyến tính là công cụ mạnh việc tìm CTTQ dãy số Trong phần này, tôi giới thiệu vơi các bạn khái quát phương trình sai phân tuyến tính cấp và cấp hai Phương trình sai phân tuyến tính cấp (bậc nhất) Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp là phương trình sai phân dạng: u1   , aun1  bun  f (n) n  * Trong đó a, b  0, là số và f (n) là biểu thức n cho trước Phương pháp giải: Giải phương trình đặc trưng a  b  ta tìm  Giải sử: un  un  uˆn đó: un * * là nghiệm tổng quát phương trình au n 1  bu n  và uˆ n là nghiệm riêng tùy ý phương trình không au n 1  bu n  f ( n ) Vậy un  q * n 1 ( q là số xác định sau) Để xác định uˆ n ta làm sau: i Nếu   thì uˆ n là đa thức cùng bậc với f ( n) ii Nếu   (khi đó dãy (u n ) là CSC) thì uˆ n  n.g ( n ) đó g ( n ) là đa thức cùng bậc với f ( n) Thay uˆ n và phương trình, đồng hệ số ta tính các hệ số uˆ n Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là phương trình sai phân dạng: u1   , u   , aun1  bun  cun1  f (n) n  * Trong đó  ,  , a, b, c là các số khác, a  và f (n) là biểu thức n cho trước Phương pháp giải: Giải phương trình đặc trưng a  b  c  ta tìm i  Nếu 1 , 2 là hai nghiệm thực nhau: 1  1   thì: u n   A  B.n   đó n A, B xác định biết u1 , u2 14 The love makes us stronger Lop11.com Đi tìm công thức tổng quát dãy số ii Nếu 1 , 2 là hai nghiệm thực khác thì: un  A1  B2 đó A, B xác n định biết u1 , u iii Trần Duy Sơn Nếu  là hai nghiệm phức, giả sử: n   x  iy thì:   r (cos   i sin  ) và un  r n  A cos n  B sin n  , đó: r    x  y , tan   y     ,   ,  và A, B xác định biết  2 u1 , u Chú ý:  Như các bạn đã thấy, nhiều suy luận phần tìm công thức tổng quát dãy số chúng ta khá giống với tư tưởng phương trình sai phân tuyến tính Tuy nhiên, suy luận đó tự nhiên, sáng và hoàn toàn không cần tới công cụ cao cấp phương trình sai phân tuyến tính phải không các bạn !  Phương trình sai phân tuyến tính hay số công cụ khác (ví dụ: hàm sinh) là khái niệm thuộc toán học cao cấp, có nhiều ứng dụng việc tìm CTTQ dãy số Nhưng để đảm bảo tính sơ cấp tập tài liệu, khái niệm đó không đề cập đây, mong bạn đọc thông cảm! P/s: Nếu các bạn muốn tìm hiểu khái niệm nói trên có thể tham khảo số tài liệu như: [1] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên) - Chuyên đề chọn lọc dãy số và áp dụng, NXB Giáo Dục 2008 [2] Các diễn đàn: http://maths.vn, http://diendantoanhoc.net, 15 The love makes us stronger Lop11.com Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Sử dụng phép lượng giác để xác định CTTQ dãy số Nhiêu công thức truy hồi phức tạp trở thành đơn giản nhờ thực phép lượng giác Chúng ta hãy cùng xét ví dụ sau Ví dụ 8: Hãy tìm cách biểu diễn    dạng khác Ý tưởng: Đây là bài toán kinh điển lượng giác, tinh mắt chút ta có thể dễ dàng đưa nó bài toán dãy số, cách làm đó sau: Đặt: u1  2, u2   , , un     Từ đó suy ra: un   un1 Giải: Ta thấy: u1   2cos      u2   u1  u22   u1  1  cos   4cos 4    u2  2cos Từ đó suy ra: un  2cos  2n1 (các bạn có dùng chứng minh quy nạp để kiểm tra lại) Tiếp tục ý tưởng dùng phép lượng giác, liên tưởng tới công thức To be continue… 16 The love makes us stronger Lop11.com Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn 17 The love makes us stronger Lop11.com Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Các bài toán dãy số chọn lọc Trong phần này tôi đưa số bài toán dãy số mà quá trình giải có sử dụng kết các phần trước Ví dụ: (HSG Quốc gia 1997) Cho dãy số ( xn ) : x1  7, x2  50, xn 1  xn  xn 1  1975 n  Chứng minh rằng: x1996 1997 Giải: Ví dụ: (IMO 1967) Trong thi đấu thể thao có m huy chương, phát n ngày thi đấu Ngày thứ phát huy chương và 1 số huy chương còn lại Ngày thứ hai phát hai huy chương và 7 số huy chương còn lại Những ngày còn lại tiếp tục tương tự Ngày sau cùng còn lại n huy chương để phát Hỏi có tất bao nhiêu huy chương và phát bao nhiêu ngày? Ý tưởng: Thoạt nhìn ta thấy đây là bài toán đố đơn thuần, “nhạy cảm” chút ta có thể biến nó bài toán dãy số Nếu gọi u k là số huy chương phát ngày thứ k thì: 1    6  u  m , u1   (m  1), u    m  1  (m  1)     1  (m  1)   7    7  6  u  u1  , quy nạp ta chứng minh được: 7 k 6 u k 1  u k  k   u k  k k  7 7 Giải: 6 Từ công thức truy hồi tìm được, ta suy ra: u n    7 n 1 (m  36)  6n  42  n n 1 7n 7  m  36  (7 n  42)    ( n  6) n 1 Do (7,6)  và 6 6n 1  n   n    n   m  36 18 The love makes us stronger Lop11.com Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Vậy có 36 huy chương phát ngày To be continue… 19 The love makes us stronger Lop11.com Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Bài tập đề nghị Bài viết đến đây là kết thúc, sau đọc bài viết này, các bạn hãy tự mình giải số bài tập đề nghị sau đây Bài 1: u1  u   Tìm CTTQ (u n ) Cho dãy (u n ) :  u n21  u   n   n u n 2  Bài 2: (HSG Quốc gia bảng A - 1998) u  20, u  100 u n 1  4u n  5u n 1  20 n  Cho dãy số (u n ) :  Tìm số nguyên dương h bé cho: u n  h  u n 1998 n   * To be continue… 20 The love makes us stronger Lop11.com