Đề thi khảo sát chất lượng lần 1 năm học: 2015 - 2016 môn: Ngữ văn thời gian làm bài: 180 phút

www.MATHVN.com Trong các bài toán du có chứa mẫu số, thường ta chọn cho v một hằng số C thích hợp để thành phần vdu khử bớt phân số.. Thí dụ 6: Tính tích phân.[r]

www.MATHVN.com VÀI MẸO NHỎ KHI TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN LÊ ANH DŨNG (Gv THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Rạch Giá, Kiên Giang) Khi tính tích phân công thức tích phân phần ta chọn u, v cách khéo léo thì thành phần  vdu  udv  uv   vdu , đơn giản và việc tính tích phân đơn giản Bài viết này trao đổi với các bạn số kĩ tính tích phân phương pháp tích phân phần Tách tích phân thành phần, phần phần cho phần còn lại khử vdu Thí dụ 1: Tìm nguyên hàm I =  e x (x  4x  1)dx Bình thường ta đặt u = x2 + 4x + thì phải tích phân phần lần; để tránh điều này, ta thêm bớt, để thành phần vdu khử hết phần còn lại  du  2xdx u  x   ; nên  vdu=  xe x dx khử hết xe2x đó ta thêm vào u :   2x x    v  e dv  e dx   + 3x để phần còn lại còn xe2x Lời giải I =  e x (x  4x  1)dx   e x (x  3x)dx   e x (x  1)dx   u  x  3x  Đặt  , chọn 2x   dv e dx   Khi đó: I = =  du  (2x  3)dx      v  e2x    e x (x  3x)   2 e x (x  3x)   e x (2x  3)dx   e x (x  3)dx e x dx  e x (x  3x)  e x  C Thí dụ 2: Tìm nguyên hàm sau I   e x (x  4x  1)dx   u  x3  Tương tự ví dụ trên  x  dv  e dx  du  3x dx ; nên  vdu=  3x e x dx khử hết 3x2ex  v  e x đó ta thêm vào u : x2 để phần còn lại còn lại 3x2    u  x3  x  du  (3x  2x)dx   ; nên vdu=(3x +2x)e x dx khử hết 2xex đó ta lại  x x   dv  e dx v  e   thêm vào u: -2x để phần còn lại còn 2x Lời giải I   e x (x  x  2x)dx   e x (3x  2x  1)dx www.mathvn.com Lop12.net www.MATHVN.com   u  x  x  2x  Đặt:  , chọn x   dv  e dx   du  (3x  2x  2)dx   x   v  e I  e x (x  x  2x)   e x (3x  2x  2)dx   e x (3x  2x  1)dx  e x (x  x  2x)   e x dx  e x (x  x  2x  1)  C Trên sở đó, ta có thể sử dụng sơ đồ sau để tìm thành phần u cho bài toán tính tích phân phần hàm số eax  b (a n x n  a n 1 x n 1   a1  a )dx  an hệ số đa thức an-1 an-2 _ _ n/a (n-2)/a (n-1)/a x x bn - 1=an hệ số đa thức u a1 bn - bn - b n 1  a n   k2 b b k  a k 1  a k 1  (Nhân lên, lấy hệ số đa thức trừ hạ xuống) Thí dụ 3: Tính I = e 2x (x  4x  x  1)dx Ta lập sơ đồ sau ngoài nháp để tính u hệ số đa thức n=5, a =2 _ -4 2 1 2 x hệ số đa thức u - www.mathvn.com Lop12.net - 2 www.MATHVN.com Trình bày: I=   5  5  3 e  x  x  x  x  x  dx   e 2x  x  5x  x  x  1 dx    2  2 2x  5  u  x  x  x  x  x Đặt  2 ,  x dv  e dx   du  5x 10x  3x  3x     2x v  e  1 5  3 5  5 I  e 2x  x  x  x  x  x    e 2x  x  5x  x  x   dx 2 2 0 2 4  2 3 5    e 2x  x  5x  x  x  1 dx 2 2  1 5    e 2x  x  x  x  x  x    e 2x dx 2 2 0  1 5 1 1   e 2x  x  x  x  x  x    e  2 2 40 8   x ln x  2x   dx  x  Thí dụ 4: Tính tích phân I =  ln x  e 1 Chú ý: (x  1) '  2x; (ln x)' = ln x , ta tách I thành tích phân để khử vdu x  e e e x 1  x   Lời giải I =   x ln x + ln x dx =  x ln xdx +  2 ln x dx  1    x x    ln x  dx du  u  ln x  x Đặt  chọn   dv  xdx  v  (x  1)  x  1 ln x e  Suy I =  1 e  2  x2 1 x x  1 ln x e e     2   e x 1 ln x dx   2 ln x dx  x    2 Thêm số cho v www.mathvn.com Lop12.net www.MATHVN.com Trong các bài toán du có chứa mẫu số, thường ta chọn cho v số C thích hợp để thành phần vdu khử bớt phân số Thí dụ 5: Tính tích phân I =  (2x  1) ln(x  1)dx  3x du  3x dx  x3 1 (x  1)(x  x  1)   v  x  x  u  ln(x  1) Lời giải Đặt  , chọn dv  (2x 1)dx Bình thường ta lấy v = x2 – x, đây ta chọn C = + mục đích là khử bớt mẫu số vdu Khi đó: I = (x  x  1)ln(x +1)   0 3x x 1 dx  x2      x  ln x     2ln  dx ln = ln  3 x        x  1   1  /4 Thí dụ 6: Tính tích phân  ln(sin x  cos x) dx cos x cos x  sin x dx sin x  cos x sin x  cos x v= dx chọn v  tan x +  cos x cos x Bình thường ta hay lấy v = tanx đây ta thêm C = để khử mẫu  /4 cos x  sin x  /4 Khi đó: I = (tan x  1) ln(sin x  cos x )   dx cos x Đặt u = ln(sin x  cos x)  du =  /4 = ln  ( x  ln cos x )    ln Cách chọn thành phần dv Để tìm v, ta phải tìm nguyên hàm dv Trong trường hợp dv không có bảng nguyên hàm bản, ta phải tách tích để lấy nguyên hàm dv theo biến số π Thí dụ 7: Tính tích phân x2  (x sin x  cos x) dx Để giảm bậc mẫu thì phải nằm thành phần dv; để tìm (x sin x  cos x) nguyên hàm theo biến xsinx + cosx ta cần có d(xsinx + cosx) =– xcosxdx www.mathvn.com Lop12.net www.MATHVN.com π π Lời giải x  (x sin x  cos x) x cos x 2 dx   (x sin x  cos x) x cos x dx  x  x sin x  cos x   du  u dx  cos x   cos x  Đặt  chọn    x cos x d(x sin x cos x)    dv  dx  v   2   (x sin x  cos x) (x sin x  cos x) x sin x  cos x   π π Khi đó I =  x  cos x(x sin x  cos x) 0 2π 4 π  tan x 04  π4 4π π dx cos x  Thí dụ 8: Tính tích phân x dx  (x  1) Để giảm bậc lớn mẫu, ta có thể dùng tích phân phần Để khử bậc mẫu phải nằm dv Nhưng để lấy nguyên hàm theo x4 thì ta cần (x4)’ = 4x3 ( x  1) u  x du  5x dx   Đặt  x dx d(x  1) , chọn  1  v   dv  (x  1)  (x  1) x 1  thì 1 =  x dx  (x Vậy I = 1  1)  x 4(x  1)  x x4 1 dx     1 dx   1    dx  dx   1  2     x 1 x 2(x 1) 2(x 1)    0 x4 1    1 x   1 1 Ta có  1    ln  dx   x  ln   2(x 1)   x   1 3 Đặt x = tant Ta tính Tính  2(x Vậy I =  1) dx  π 12 1 π  ln   12 Cuối cùng chúng tôi xin đưa số bài tập để các bạn tự luyện tập Tính các tích phân sau: www.mathvn.com Lop12.net www.MATHVN.com ln(1  x) 1)  x2 1 2) dx  x  2x  3x  e2 x dx  e 3)  ln 4)  esin x (1 x cos x)dx xdx  5)   sin x (1  cos x)e x dx 6)  (x  1)3 dx _ HẾT_ www.mathvn.com Lop12.net