2 Viết phương trình mp Q song song với mp P đồng thời tiếp xúc với mặt cầu S Câu Va 1,0 điểm: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:.. 2 Viết phương trình mặt cầu t[r]
(1)Đề số 01 I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = (1 - x )2 (4 - x ) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) giao điểm (C ) với trục hoành 3) Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm phân biệt: x - 6x + 9x - + m = Câu II (3,0 điểm): 1) Giải phương trình: 22x +1 - 3.2x - = 2) Tính tích phân: I = ò (1 + x )e dx x 3) Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số: y = e x (x - x - 1) trên đoạn [0;2] Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc cạnh bên và mặt đáy 600 Tính thể tích hình chóp II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chọn hai phần đây Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; -1), B(1; -2; 3),C (0;1;2) 1) Chứng minh điểm A,B,C không thẳng hàng Viết phương trình mặt phẳng (ABC ) 2) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc gốc toạ độ O lên mặt phẳng (ABC ) Câu Va (1,0 điểm): Tìm số phức liên hợp số phức z biết rằng: z + 2z = + 2i Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2; 0; -1), B(1; -2; 3),C (0;1;2) 1) Chứng minh điểm A,B,C không thẳng hàng Viết phương trình mặt phẳng (ABC ) 2) Viết phương trình mặt cầu tâm B, tiếp xúc với đường thẳng AC Câu Vb (1,0 điểm): Tính môđun số phức z = ( - i )2011 Hết -BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu I : y = (1 - x )2 (4 - x ) = (1 - 2x + x )(4 - x ) = - x - 8x + 2x + 4x - x = -x + 6x - 9x + y = -x + 6x - 9x + Tập xác định: D = Đạo hàm: y ¢ = -3x + 12x - éx = Cho y ¢ = Û -3x + 12x - = Û êê êëx = Giới hạn: lim y = +¥ ; lim y = -¥ x ®-¥ Bảng biến thiên x ®+¥ Lop12.net (2) x –¥ y¢ y – + +¥ +¥ – –¥ Hàm số ĐB trên khoảng (1;3), NB trên các khoảng (–¥;1), (3;+¥) Hàm số đạt cực đại yCÑ = x CÑ = ; y đạt cực tiểu yCT = x CT = y ¢¢ = -6x + 12 = Û x = Þ y = Điểm uốn là I(2;2) éx = ê Giao điểm với trục hoành: y = Û -x + 6x - 9x + = Û ê êëx = Giao điểm với trục tung: x = Þ y = Bảng giá trị: x y 4 O Đồ thị hàm số: nhận điểm I làm trục đối xứng hình vẽ bên đây (C ) : y = -x + 6x - 9x + Viết pttt giao điểm (C ) với trục hoành Giao điểm (C ) với trục hoành: A(1; 0), B(4; 0) pttt với (C ) A(1; 0) : x = vaøy = ïüï ý Þ pt t t t aïi A : y - = 0(x - 1) Û y = f ¢(x ) = f ¢(1) = 0ïï þ pttt với (C ) B(4; 0) : x = vaøy = üïï ý Þ pt t t t aïi B : y - = -9(x - 4) Û y = -9x + 36 f ¢(x ) = f ¢(4) = -9ïï þ Vậy, hai tiếp tuyến cần tìm là: y = và y = -9x + 36 3 Ta có, x - 6x + 9x - + m = Û -x + 6x - 9x + = m (*) (*) là phương trình hoành độ giao điểm (C ) : y = -x + 6x - 9x + và d : y = m nên số nghiệm phương trình (*) số giao điểm (C ) và d Dựa vào đồ thị ta thấy (*) có nghiệm phân biệt và 0<m <4 Vậy, với < m < thì phương trình đã cho có nghiệm phân biệt Câu II 22x +1 - 3.2x - = Û 2.22x - 3.2x - = (*) Đặt t = 2x (ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành ét = (nhan) 2t - 3t - = Û êê êët = - (loai) Với t = 2: 2x = Û x = Vậy, phương trình (*) có nghiệm x = I = ò (1 + x )e dx x ì ì ï ï ïu = + x ïdu = dx Þ Đặt í Thay vào công thức tích phân phần ta được: í ï ï dv = e xdx v = ex ï ï ï ï î î Lop12.net x (3) 1 I = (1 + x )e x - ò e xdx = (1 + 1)e1 - (1 + 0)e - e x Vậy, I = 1 = 2e - - (e1 - e ) = e ò (1 + x )e dx = e x Hàm số y = e x (x - x - 1) liên tục trên đoạn [0;2] y ¢ = (e x )¢ (x - x - 1) + e x (x - x - 1)¢ = e x (x - x - 1) + e x (2x - 1) = e x (x + x - 2) éx = Î [0;2] (nhan) Cho y ¢ = Û e x (x + x - 2) = Û x + x - = Û êê êëx = -2 Ï [0;2] (loai) Ta có, f (1) = e1(12 - - 1) = -e f (0) = e (02 - - 1) = -1 f (2) = e (22 - - 1) = e Trong các kết trên, số nhỏ là -e và số lớn là e Vậy, y = -e x = 1; max y = e x = [0;2] [0;2] Câu III Gọi O là tâm mặt đáy thì SO ^ (ABCD ) đó SO là đường cao hình chóp và hình chiếu SB lên mặt đáy là BO, đó SBO = 600 (là góc SB và mặt đáy) A BD SO Þ SO = BO tan SBO = tan SBO Ta có, tan SBO = 60 BO = a tan 600 = a Vậy, thể tích hình chóp cần tìm là B S D O 2a C 1 4a V = B.h = AB.BC SO = 2a.2a.a = 3 3 THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu IVa: Với A(2; 0; -1), B(1; -2; 3),C (0;1;2) Ta có hai véctơ: AB = (-1; -2; 4) , AC = (-2;1; 3) æ -2 4 -1 -1 -2 ö÷ ç ÷÷ = (-10; -5; -5) ¹ Þ A, B,C không thẳng hàng ; ; [AB, AC ] = çç ççè 3 -2 -2 ÷÷ø Điểm trên mp (ABC ) : A(2; 0; -1) vtpt mp (ABC ) : n = [AB, AC ] = (-10; -5; -5) Vậy, PTTQ mp (ABC ) : A(x - x ) + B(y - y ) + C (z - z ) = Û -10(x - 2) - 5(y - 0) - 5(z + 1) = Û -10x - 5y - 5z + 15 = Û 2x + y + z - = Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (a) , có vtcp u = (2;1;1) ì ï x = 2t ï ï PTTS d : ïíy = t Thay vào phương trình mp (a) ta được: ï ï z =t ï ï î 2(2t ) + (t ) + (t ) - = Û 6t - = Û t = 21 Lop12.net (4) Vậy, toạ độ hình chiếu cần tìm là H (1; 21 ; 21 ) Câu Va: Đặt z = a + bi Þ z = a - bi , thay vào phương trình ta a + bi + 2(a - bi ) = + 2i Û a + bi + 2a - 2bi = + 2i Û 3a - bi = + 2i ìï3a = ìïa = Û ïí Û ïí Þ z = - 2i Þ z = + 2i ïï-b = ïïb = -2 î î Vậy, z = + 2i THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu IVb: Với A(2; 0; -1), B(1; -2; 3),C (0;1;2) Bài giải hoàn toàn giống bài giải câu IVa (phần ban bản): đề nghị xem lại phần trên Đường thẳng AC qua điểm A(2; 0; -1) , có vtcp u = AC = (-2;1; 3) Ta có, AB = (-1; -2; 4) æ -2 4 -1 -1 -2 ö÷ ç ÷÷ = (-10; -5; -5) ; ; u = AC = (-2;1; 3) Suy [AB, u ] = çç ÷÷ø ççè 3 -2 -2 Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC ta [AB, u ] (-10)2 + (-5)2 + (-5)2 15 d (B, AC ) = = = u 14 (-2)2 + (1)2 + (32 ) 15 Mặt cầu cần tìm có tâm là điểm B(1; -2; 3) , bán kính R = d (B, AC ) = nên có pt 14 225 (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 14 Câu Vb: Ta có, ( - i )3 = ( 3)3 - 3.( 3)2 i + 3.i - i = 3 - 9i - 3 + i = -23.i 670 Do đó, ( - i )2010 = éêë( - i )3 ùûú = (-23 i )670 = 22010.i 670 = 22010.(i )167 i = -22010 Vậy, z = ( - i )2011 = -22010.( - i ) Þ z = 22010 ( 3)2 + 12 = 2011 Đề số 02 I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = x - 3x + 3x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y = 3x Câu II (3,0 điểm): 1) Giải phương trình: 6.4x - 5.6x - 6.9x = 2) Tính tích phân: I = p ò (1 + cos x )xdx 3) Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số: y = e x (x - 3) trên đoạn [–2;2] Câu III (1,0 điểm): Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (BA = BC), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là a , cạnh bên SB tạo với đáy góc 600 Tính diện tích toàn phần hình chóp Lop12.net (5) II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chọn hai phần đây Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(2;1;1) và hai đường thẳng x -1 y + z +1 x -2 y -2 z +1 = = , d¢ : = = -3 2 -3 -2 1) Viết phương trình mặt phẳng (a) qua điểm A đồng thời vuông góc với đường thẳng d d: 2) Viết phương trình đường thẳng D qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cắt đường thẳng d ¢ Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình sau đây trên tập số phức: (z )4 - 2(z )2 - = Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz cho mp(P) và mặt cầu (S) có phương trình (P ) : x - 2y + 2z + = và (S ) : x + y + z – 4x + 6y + 6z + 17 = 1) Chứng minh mặt cầu cắt mặt phẳng 2) Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn giao tuyến mặt cầu và mặt phẳng Câu Vb (1,0 điểm): Viết số phức sau dạng lượng giác z = + 2i Hết -BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu I : y = x - 3x + 3x Tập xác định: D = Đạo hàm: y ¢ = 3x - 6x + Cho y ¢ = Û 3x - 6x + = Û x = Giới hạn: lim y = -¥ ; lim y = +¥ x ®-¥ x ®+¥ Bảng biến thiên x –¥ y¢ y –¥ + 1 +¥ + +¥ y Hàm số ĐB trên tập xác định; hàm số không đạt cực trị y ¢¢ = 6x - = Û x = Þ y = Điểm uốn là I(1;1) Giao điểm với trục hoành: I Cho y = Û x - 3x + 3x = Û x = Giao điểm với trục tung: Cho x = Þ y = O Bảng giá trị: x y Đồ thị hàm số (như hình vẽ bên đây): (C ) : y = x - 3x + 3x Viết (C ) song song với đường thẳng D : y = 3x Tiếp tuyến song song với D : y = 3x nên có hệ số góc k = f ¢(x ) = Lop12.net x (6) éx = Do đó: - 6x + = Û - 6x = Û êê êëx = Với x = thì y = 03 - 3.02 + 3.0 = 3x 02 3x 02 và f ¢(x ) = nên pttt là: y - = 3(x - 0) Û y = 3x (loại vì trùng với D ) Với x = thì y = 23 - 3.22 + 3.2 = và f ¢(x ) = nên pttt là: y - = 3(x - 2) Û y = 3x - Vậy, có tiếp tuyến thoả mãn đề bài là: y = 3x - Câu II 6.4x - 5.6x - 6.9x = Chia vế pt cho 9x ta æ ö÷2x æ ö÷x ç x - x - = Û çç ÷÷ - ççç ÷÷ - = (*) è3ø è3ø 9 4x 6x æ ö÷x Đặt t = ççç ÷÷ (ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành è3ø 6t - 5t - = Û t = (nhan) , t = - (loai) x æ ö÷x æ ö÷-1 æç ö÷ Với t = : çç ÷÷ = Û ççç ÷÷ = ççç ÷÷ Û x = -1 è3ø è3ø è3ø Vậy, phương trình đã cho có nghiệm x = -1 I = p ò (1 + cos x )xdx = Với I = Với I = p ò xdx = x2 p p p ò xdx + ò x cos xdx = p2 02 p2 = 2 0 p ò x cos xdx ïìu = x ïìdu = dx Đặt ïí Thay vào công thức tích phân phần ta được: Þ ïí ïïdv = cos xdx ïïv = sin x î î p p p p I = x sin x - ò sin xdx = - (- cos x ) = cos x = cos p - cos = -2 p -2 Hàm số y = e x (x - 3) liên tục trên đoạn [–2;2] Vậy, I = I + I = y ¢ = (e x )¢ (x - 3) + e x (x - 3)¢ = e x (x - 3) + e x (2x ) = e x (x + 2x - 3) éx = Î [-2;2] (nhan) Cho y ¢ = Û e x (x + 2x - 3) = Û x + 2x - = Û êê êëx = -3 Ï [-2;2] (loai) Ta có, f (1) = e1(12 - 3) = -2e f (-2) = e -2 [(-2)2 - 3] = e -2 f (2) = e (22 - 3) = e Trong các kết trên, số nhỏ là -2e và số lớn là e Lop12.net (7) Vậy, y = -2e x = 1; max y = e x = [-2;2] [-2;2] Câu III Theo giả thiết, SA ^ AB , SA ^ AC , BC ^ AB , BC ^ SA Suy ra, BC ^ (SAB ) và BC ^ SB S Do đó, tứ diện S.ABC có mặt là các tam giác vuông Ta có, AB là hình chiếu SB lên (ABC) nên SBA = 600 a SA SA a tan SBA = Þ AB = = = a (= BC ) AB tan SBO A AC = AB + BC = a + a = a 60 C SB = SA2 + AB = (a 3)2 + a = 2a Vậy, diện tích toàn phần tứ diện S.ABC là: STP = S DSAB + S DSBC + S DSAC + S DABC B Vậy, PTTQ mp (a) : A(x - x ) + B(y - y ) + C (z - z ) = Û 1(x - 2) - 3(y - 1) + 2(z - 1) = d = (SA.AB + SB.BC + SA.AC + AB.BC ) 3+ + = (a 3.a + 2a.a + a 3.a + a.a ) = ×a 2 THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu IVa: Điểm trên mp (a) : A(2;1;1) vtpt (a) là vtcp d: n = ud = (1; -3;2) Û x - - 3y + + 2z - = Û x - 3y + 2z - = A d' B ì ï x = + 2t ï ï PTTS d ¢ : ïíy = - 3t Thay vào phương trình mp (a) ta được: ï ï z = -1 - 2t ï ï î (2 + 2t ) - 3(2 - 3t ) + 2(-1 - 2t ) - = Û 7t - = Û t = Giao điểm (a) và d ¢ là B(4; -1; -3) Đường thẳng D chính là đường thẳng AB, qua A(2;1;1) , có vtcp u = AB = (2; -2; -4) nên ì ï x = + 2t ï ï có PTTS: D : ïíy = - 2t (t Î ) ï ï z = - 4t ï ï î Câu Va: (z )4 - 2(z )2 - = Đặt t = (z )2 , thay vào phương trình ta é(z )2 = ét = t - 2t - = Û êê Û êê Û tê = -2 ( z ) = ê ë ë Vậy, phương trình đã cho có nghiệm: éz = ±2 éz = ±2 ê ê Û ê ê êëz = ±i êëz = i z1 = ; z = -2 ; z = i ; z = -i Lop12.net I (8) THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu IVb: Từ pt mặt cầu (S) ta tìm hệ số : a = 2, b = –3, c = –3 và d = 17 Do đó, mặt cầu (S) có tâm I(2;–3;–3), bán kính R = 22 + (-3)2 + (-3)2 - 17 = Khoảng cách từ tâm I đến mp(P): d = d (I ,(P )) = - 2(-3) + 2(-3) + =1<R 12 + (-2)2 + 22 Vì d (I ,(P )) < R nên (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) Gọi d là đường thẳng qua tâm I mặt cầu và vuông góc mp(P) thì d có vtcp ìïx = + t ïï u = (1; -2;2) nên có PTTS d : ïíy = -3 - 2t (*) Thay (*) vào pt mặt phẳng (P) ta ïï ïïz = -3 + 2t î (2 + t ) - 2(-3 - 2t ) + 2(-3 + 2t ) + = Û 9t + = Û t = æ 11ö÷ Vậy, đường tròn (C) có tâm H ççç ; - ; - ÷÷ và bán kính r = R2 - d = - = è3 3ø Câu Vb: - 2i + 2i + 2i 1 = = = = + i z= 2 + 2i (2 + 2i )(2 - 2i ) - 4i 4 1 æçç 2 ÷÷ö æç p p ö + i ÷÷ = Vậy, z = + i = ççcos + sin i ÷÷÷ çè 4 2 ø è 4 ø Đề số 03 æ ö÷2 æ ÷ö2 Þ z = ççç ÷÷ + ççç ÷÷ = è4ø è4ø I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = -x + 4x - 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho 2) Dựa vào (C ) , hãy biện luận số nghiệm phương trình: x - 4x + + 2m = 3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) điểm trên (C ) có hoành độ Câu II (3,0 điểm): 1) Giải phương trình: 7x + 2.71-x - = 2) Tính tích phân: I = e2 òe (1 + ln x )xdx 3) Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số: y = x + 2x + trên đoạn [- 21 ;2] x +1 Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SA = 2a Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chọn hai phần đây Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ (O, i , j , k ) , cho OI = 2i + j - 2k và mặt phẳng (P ) có phương trình: x - 2y - 2z - = Lop12.net (9) 1) Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm là điểm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P ) 2) Viết phương trình mp (Q ) song song với mp (P ) đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S ) Câu Va (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau đây: y = x - 4x + 3x - và y = -2x + Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(–1;2;7) và đường thẳng d có x -2 y -1 z = = phương trình: 1) Hãy tìm toạ độ hình chiếu vuông góc điểm A trên đường thẳng d 2) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng d ìïlog x + log y = + log 4 Câu Vb (1,0 điểm): Giải hệ pt ïí ïïx + y - 20 = î Hết -BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu I : y = -x + 4x - Tập xác định: D = Đạo hàm: y ¢ = -4x + 8x é 4x = Û Cho y ¢ = Û -4x + 8x = Û 4x (-x + 2) = Û êê êë-x + = Giới hạn: lim y = -¥ ; lim y = -¥ x ®-¥ éx = ê êx = Û êë éx = ê ê êëx = ± x ®+¥ Bảng biến thiên x –¥ y¢ y - + – –¥ 0 + –3 +¥ – –¥ Hàm số ĐB trên các khoảng (-¥; - 2),(0; 2) , NB trên các khoảng (- 2; 0),( 2; +¥) Hàm số đạt cực đại yCĐ = x CÑ = ± , đạt cực tiểu yCT = –3 x CT = éx = Û Giao điểm với trục hoành: cho y = Û -x + 4x - = Û êê êëx = Giao điểm với trục tung: cho x = Þ y = -3 Bảng giá trị: x y Đồ thị hàm số: - - –3 Lop12.net éx = ±1 ê ê êëx = ± (10) y -1 - O - -3 2m x y = 2m x - 4x + + 2m = Û -x + 4x - = 2m (*) Số nghiệm pt(*) với số giao điểm (C ) : y = -x + 4x - và d: y = 2m Ta có bảng kết quả: Số giao điểm Số nghiệm M 2m (C) và d pt(*) m > 0,5 2m > 0 m = 0,5 2m = 2 –1,5< m < 0,5 –3< 2m < 4 m = –1,5 2m = –3 3 m < –1,5 2m < –3 2 x = Þ y = f ¢(x ) = f ¢( 3) = y ¢ = -4x + 8x = -4 Vậy, pttt cần tìm là: y - = -4 3(x - 3) Û y = -4 3x + 12 Câu II 7x + 2.71-x - = Û 7x + x - = (*) x Đặt t = (ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành t+ 14 - = Û t + 14 - 9t = Û t - 9t + 14 = Û t Với t = : 7x = Û x = log7 ét = 2(nhan) ê êt = (nhan) êë Với t = : 7x = Û x = Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm : x = và x = log7 I = e2 òe (1 + ln x )xdx ìï ïïdu = dx ìïu = + ln x x Thay vào công thức tích phân phần ta được: Þ íï Đặt ïí ïïdv = xdx ïï x2 î ïïv = ïî e2 2 e2 x (1 + ln x ) x e (1 + 2) e (1 + 1) x -ò dx = e 2 2 e e 4 3e e e 5e 3e = - e2 - + = 4 4 5e 3e Vậy, I = 4 x + 2x + Hàm số y = liên tục trên đoạn [- 21 ;2] x +1 I = e2 Lop12.net (11) y¢ = (x + 2x + 2)¢ (x + 1) - (x + 2x + 2)(x + 1)¢ (x + 1)2 = (2x + 2)(x + 1) - (x + 2x + 2)1 éx = Î [- ;2] (nhan) 2 ¢ Cho y = Û x + 2x = Û êê êëx = -2 Ï [- ;2] (loai) æ 1ö f ççç- ÷÷÷ = Ta có, f (0) = è 2ø Trong các kết trên, số nhỏ là và số lớn là (x + 1)2 f (2) = 10 = x + 2x (x + 1)2 10 10 x = [- ;2] [- ;2] 2 Câu III Theo giả thiết, SA ^ AC , SA ^ AD , BC ^ AB , BC ^ SA Suy ra, BC ^ (SAB ) và BC ^ SB Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh CD ^ SD A,B,D cùng nhìn SC góc vuông nên A,B,D,S,C cùng thuộc đường tròn đường kính SC, có tâm là trung điểm I SC Vậy, y = x = 0; max y = S A Ta có, SC = SA2 + AC = (2a )2 + (a 2)2 = a Bán kính mặt cầu: R = SC a = 2 B 2a I D a C æa ö÷2 ç ÷÷ = 6pa Vậy, diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD là: S = 4pR2 = 4p çç è ÷ø THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu IVa: OI = 2i + j - 2k Þ I (2; 3; -2) Tâm mặt cầu: I (2; 3; -2) Bán kính mặt cầu: R = d (I ,(P )) = - 2.3 - 2.(-2) - 12 + (-2)2 + (-2)2 = =3 Vậy, pt mặt cầu (S ) là: (x - a )2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 Û (x - 2)2 + (y - 3)2 + (z + 2)2 = (Q ) || (P ) : x - 2y - 2z - = nên (Q) có vtpt n = n(P ) = (1; -2; -2) Do đó PTTQ mp(Q) có dạng (Q ) : x - 2y - 2z + D = (D ¹ -9) Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d (I ,(Q )) = R Û - 2.3 - 2.(-2) + D =3Û 12 + (-2)2 + (-2)2 Vậy, PTTQ mp(Q) là: (Q ) : x - 2y - 2z + = D =3Û D =9Û éx = Câu Va: Cho x - 4x + 3x - = -2x + Û x - 4x + 5x - Û êê êëx = Diện tích cần tìm là: S = ò1 x - 4x + 5x - dx 10 Lop12.net éD = (nhan) ê êD = -9(loai) êë (12) æ x 4x 5x ö÷ 1 hay S = ò (x - 4x + 5x - 2)dx = ççç (đvdt) + - 2x ÷÷ = = è4 ø1 12 12 THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu IVb: Gọi H là hình chiếu A lên d thì H (2 + t;1 + 2t; t ) , đó AH = (3 + t;2t - 1; t - 7) Do AH ^ d nên AH ud = Û (3 + t ).1 + (2t - 1).2 + (t - 7).1 = Û 6t - = Û t = Vậy, toạ độ hình chiếu A lên d là H (3; 3;1) Tâm mặt cầu: A(–1;2;7) Bán kính mặt cầu: R = AH = 42 + 12 + (-6)2 = 53 Vậy, phương trình mặt cầu là: (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 7)2 = 53 Câu Vb: ĐK: x > và y > ïìlog4 x + log4 y = + log4 ïìlog xy = log4 36 ïìxy = 36 ï Û ïí Û ïí í ïïx + y - 20 = ïïx + y - 20 = ïïx + y = 20 î î î éX = 18 > x và y là nghiệm phương trình: X - 20X + 36 = Û êê êëX = > ìx = 18 ìx = ï ï Vậy, hệ pt đã cho có các nghiệm: ï ; ï í í ï ï y =2 y = 18 ï ï î î Đề số 04 I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) 2x - x -1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = 2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc – Câu II (3,0 điểm): 1) Giải phương trình: log22 x - log4 (4x ) - = 2) Tính tích phân: I = ò0 p sin x + cos x dx cos x 3) Tìm các giá trị tham số m để hàm số sau đây đạt cực tiểu điểm x = y = x - 3mx + (m - 1)x + Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông B, BAC = 300 ,SA = AC = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Tính VS.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chọn hai phần đây Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ (O, i , j , k ) , cho OM = 3i + 2k , mặt cầu (S ) có phương trình: (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 1) Xác định toạ độ tâm I và bán kính mặt cầu (S ) Chứng minh điểm M nằm trên mặt cầu, từ đó viết phương trình mặt phẳng (a) tiếp xúc với mặt cầu M 11 Lop12.net (13) 2) Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I mặt cầu, song song với mặt phẳng (a) , x +1 y -6 z -2 = = đồng thời vuông góc với đường thẳng D : -1 Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình sau đây trên tập số phức: -z + 2z - = Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có toạ độ các đỉnh là A(1;1;1) , B(1;2;1) , C(1;1;2) , D(2;2;1) 1) Viết phương trình đường vuông góc chung AB và CD 2) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Câu Vb (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau đây y = ln x , trục hoành và x = e Hết BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu I: 2x - x -1 Tập xác định: D = \ {1} y= Đạo hàm: y ¢ = -1 < 0, "x Î D (x - 1)2 Hàm số đã cho NB trên các khoảng xác định và không đạt cực trị Giới hạn và tiệm cận: lim y = ; lim y = Þ y = là tiệm cận ngang x ®-¥ x ®+¥ x ®1- x ®1+ lim y = -¥ ; lim y = +¥ Þ x = là tiệm cận đứng Bảng biến thiên x –¥ y¢ y +¥ – – y +¥ –¥ Giao điểm với trục hoành: y = Û 2x - = Û x = Giao điểm với trục tung: cho x = Þ y = Bảng giá trị: x –1 y 3/2 || 5/2 Đồ thị hàm số hình vẽ bên đây: 2x - (C ) : y = x -1 Tiếp tuyến có hệ số góc –4 nên f ¢(x ) = -4 2,5 -1 O é é êx - = êx = -1 ê 2 Û êê Û = Û ( x 1) = Û ê êx - = - êx = (x - 1)2 ê ê 2 ë ë æ - 3ö Với x = Þ y = = pttt là: y - = -4 çççx - ÷÷÷ Û y = -4x + 10 è 2ø -1 12 Lop12.net x (14) Với x = æ - 1ö Þ y0 = = pttt là: y - = -4 çççx - ÷÷÷ Û y = -4x + è 2ø -1 Vậy, có tiếp tuyến thoả mãn ycbt là : y = -4x + và y = -4x + 10 Câu II: Điều kiện: x > Khi đó, phương trình đã cho tương đương với log22 x - (log4 + log4 x ) - = Û log22 x - log2 x - = (*) Đặt t = log2 x , phương trình (*) trở thành éx = 23 ét = é log x = ê ê (nhận hai nghiệm) t -t - = Û ê Ûê Û êê -2 t = -2 êëx = êë log2 x = -2 ëê Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm : x = và x = p p p p æ ö sin x + cos x sin x cos x ÷ sin x ç 3 ÷ dx = ò çç + dx = ò dx + ò 1.dx I =ò 0 è cos x cos x cos x cos x ø÷ Với I = ò0 p sin x dx , ta đặt t = cos x Þ dt = - sin x dx Þ sin x dx = -dt cos x p Đổi cận: x t æ -dt ö÷ dt 1 ÷÷ = ò1 Thay vào: I = ò ççç = ln t = ln - ln = ln 2 è t ø t p 1.dx p p Vậy, I = I + I = ln + 3 2 y = x - 3mx + (m - 1)x + có TXĐ D = y ¢ = 3x - 6mx + m - y ¢¢ = 6x - 6m ì ì ï3.22 - 6m.2 + m - = ï f ¢(2) = Ûï Hàm số đạt cực tiểu x = Û ïí í ï ï ï f ¢¢(2) > ï6.2 - 6m > î ï î ì ì ïm - 12m + 11 = ï ïm = hoac m = 11 Û m = Ûï Û í í ï ï m <2 ï12 - 6m > ï î ï î Vậy, với m = thì hàm số đạt cực tiểu x = Với I = ò0 p =x0 = Câu III Theo giả thiết, SA ^ AB , BC ^ AB , BC ^ SA Suy ra, BC ^ (SAB ) và BC ^ SB Ta có, AB = AC cos 300 = a a và BC = AC sin 300 = 2 3a a SB = SA2 + AB = a + = S DABC = S a a A B 1 a a a2 a3 AB.BC = × × = Þ VS ABC = SA × S DABC = 2 2 24 13 Lop12.net C (15) S DSBC 1 a a a2 = SB.BC = × × = 2 2 3VS ABC a3 a 21 VS ABC = d (A,(SBC )).S DSBC Þ d (A,(SBC )) = = 3× × = S DSBC 24 a 7 THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu IVa: OM = 3i + 2k Þ M (3; 0;2) và (S ) : (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = Mặt cầu có tâm I (1; -2; 3) và bán kính R = Thay toạ độ điểm M vào phương trình mặt cầu: (3 - 1)2 + (0 + 2)2 + (2 - 3)2 = là đúng Do đó, M Î (S ) (a) qua điểm M, có vtpt n = IM = (2;2; -1) Vậy, PTTQ (a) là: 2(x - 3) + 2(y - 0) - 1(z - 2) = Û 2x + 2y - z - = Điểm trên d: I (1; -2; 3) (a) có vtpt n = (2;2; -1) và D có vtcp uD = (3; -1;1) nên d có vtcp æ -1 -1 2 ö÷ ç ÷÷ = (1; -5; -8) u = [n, uD ] = çç ; ; ççè -1 1 3 -1 ÷÷ø ìx = + t ï ï ï Vậy, PTTS d là: ï íy = -2 - 5t (t Î ) ï ï z = - 8t ï ï î Câu Va: -z + 2z - = (*) Ta có, D = 22 - 4.(-1).(-5) = -16 = (4i )2 Vậy, pt (*) có nghiệm phức phân biệt -2 - 4i -2 + 4i z1 = = + 2i và z = = - 2i -2 -2 THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu IVb: Ta có, AB = (0;1; 0) và CD = (1;1; -1) Gọi M,N là điểm nằm trên AB và CD thì toạ độ M,N có dạng M (1;1 + t;1), N (1 + t ¢;1 + t ¢;2 - t ¢) Þ MN = (-t ¢; t - t ¢; t ¢ - 1) MN là đường vuông góc chung AB và CD và ìï ìït - t ¢ = ïïAB.MN = Û ïí Û t = t¢ = í ïïCD.MN = ï2 ïî t ¢ + t - t ¢ - t ¢ + = ïî æ æ ö÷ æ 3 ö÷ 1ö ç ç ÷ ÷ Vậy, M çç1; ;1÷, N çç ; ; ÷ Þ MN = ççç- ; 0; - ÷÷÷ hay u = (1; 0;1) là vtcp d cần tìm è ø è2 2ø è ø ì ï x = 1+t ï ï ï ï (t Î ) PTCT đường vuông góc chung cần tìm là: íy = ï ï ï z = 1+t ï ï î Phương trình mặt cầu (S ) có dạng: x + y + z - 2ax - 2by - 2cz + d = Vì A(1;1;1) , B(1;2;1) , C(1;1;2) , D(2;2;1) thuộc (S ) nên: 14 Lop12.net (16) ì ì ì ì ï ï ï ï - 2a - 2b - 2c + d = 2a + 2b + 2c - d = d = 2a + 2b + 2c - d =6 ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï - 2a - 4b - 2c + d = = -3 ï ï2a + 4b + 2c - d = ï - 2b ïb = / ï Ûï Ûï Ûï í í í í ï ï ï ï - 2a - 2b - 4c + d = 2a + 2b + 4c - d = 2b - 2c = c = 3/2 ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï - 4a - 4b - 2c + d = 4a + 4b + 2c - d = -2a - 2b + 2c = -3 a = 3/2 ï ï ï ï ï ï ï ï î î î î Vậy, phương trình mặt cầu là: x + y + z - 3x - 3y - 3z + = Câu Vb: Cho y = ln x = Û x = Diện tích cần tìm là: S= e ò1 ln x dx = e ò1 ln xdx ìï ìïu = ln x ïdu = dx ï Þ ïí Đặt í Thay vào công thức tính S ta được: ïïdv = dx ïïv = x x î ïïî e e e S = x ln x - ò dx = e ln e - 1ln - x = e - - e + = (đvdt) Vậy, diện tích cần tìm là: S = (đvdt) Đề số 05 I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = x (4 - x ) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho 2) Tìm điều kiện tham số b để phương trình sau đây có nghiệm phân biệt: x - 4x + log b = 3) Tìm toạ độ điểm A thuộc (C ) biết tiếp tuyến A song song với d : y = 16x + 2011 Câu II (3,0 điểm): 1) Giải phương trình: log2 (x - 3) + log2 (x - 1) = 2) Tính tích phân: I = ò p p sin x dx + cos x 3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y = e x + 4e -x + 3x trên đoạn [1;2] Câu III (1,0 điểm): Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi vuông góc với nhau, SB =SC = 2cm, SA = 4cm Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, từ đó tính diện tích mặt cầu đó II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chọn hai phần đây Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz , cho điểm A(-3;2; -3) và hai đường thẳng x -1 y + z - x - y -1 z - d1 : = = = = và d2 : 1 -1 1) Chứng minh d1 và d2 cắt 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và d2 Tính khoảng cách từ A đến mp(P) Câu Va (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau đây: y = x + x - và y = x + x - Theo chương trình nâng cao 15 Lop12.net (17) Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x -1 y + z - x y -1 z - và d2 : = d1 : = = = 1 -1 1) Chứng minh d1 và d2 chéo 2) Viết phương trình mp(P) chứa d1 và song song với d2 Tính khoảng cách d1 và d2 Câu Vb (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau đây: y = 2x , x + y = và trục hoành Hết BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu I: y = x (4 - x ) = -x + 4x Tập xác định: D = Đạo hàm: y ¢ = -4x + 8x é 4x = Û Cho y ¢ = Û -4x + 8x = Û 4x (-x + 2) = Û êê êë-x + = Giới hạn: lim y = -¥ ; lim y = -¥ x ®-¥ éx = ê êx = Û êë éx = ê ê êëx = ± x ®+¥ Bảng biến thiên - x –¥ y¢ y + – –¥ + +¥ – –¥ Hàm số ĐB trên các khoảng (-¥; - 2),(0; 2) , NB trên các khoảng (- 2; 0),( 2; +¥) Hàm số đạt cực đại yCĐ = x CÑ = ± , đạt cực tiểu yCT = x CT = y Giao điểm với trục hoành: éx = éx = ê Û êê cho y = Û -x + 4x = Û ê êëx = êëx = ±2 Giao điểm với trục tung: cho x = Þ y = y = logm Bảng giá trị: x -2 - 2 -2 - O y 0 Đồ thị hàm số hình vẽ bên đây: x - 4x + log b = Û -x + 4x = log b (*) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm (C) và d: y = logb Dựa vào đồ thị, (C) cắt d điểm phân biệt và < log b < Û < b < 104 2x Vậy, phương trình (*) có nghiệm phân biệt và < b < 104 Giả sử A(x ; y ) Do tiếp tuyến A song song với d : y = 16x + 2011 nên nó có hệ số góc f ¢(x ) = 16 Û -4x 03 + 8x = 16 Û 4x 03 - 8x + 16 = Û x = -2 x = -2 Þ y = Vậy, A(-2; 0) 16 Lop12.net (18) Câu II: log2 (x - 3) + log2 (x - 1) = ïìx - > ïìx > Điều kiện: ïí Û ïí Û x > Khi đó, ïïx - > ïïx > î î log2 (x - 3) + log2 (x - 1) = Û log2 éë(x - 3)(x - 1)ùû = Û (x - 3)(x - 1) = éx = -1 (loai ) Û x - x - 3x + = Û x - 4x - = Û êê êëx = (nhan) Vậy, phương trình đã cho có nghiệm nhất: x = p sin x dx I = ò p2 + cos x Đặt t = + cos x Þ dt = -2 sin x dx Þ sin x dx = p t 1 æ -dx ö ÷÷ = Thay vào: I = ò × ççç ø t è ÷ Đổi cận: x p Vậy, I = ln 2 dt ò1 = ln t 2t 2 = -dt ln = ln 2 Hàm số y = e x + 4e -x + 3x liên tục trên đoạn [1;2] Đạo hàm: y ¢ = e x - 4e -x + Cho y ¢ = Û e x - 4e -x + = Û e x - x + = Û e 2x + 3e x - = (1) e Đặt t = e (t > 0), phương trình (1) trở thành: ét = (nhan) t + 3t - = Û êê Û e x = Û x = Ï [1;2] (loại) êët = -4 (loai) 4 f (1) = e + + và f (2) = e + + e e 4 Trong kết trên số nhỏ là: e + + , số lớn là e + + e e 4 Vậy, y = e + + x = và max y = e + + x = [1;2] [1;2] e e A Câu III Gọi H,M là trung điểm BC, SA và SMIH là hbh Ta có, IH || SA ^ (SBC ) Þ IH ^ SH Þ SMIH là hình chữ nhật M I Dễ thấy IH là trung trực đoạn SA nên IS = IA S C H là tâm đường tròn ngoại tiếp DSBC và IH ^ (SBC ) nên H IS = IB = IC (= IA) Þ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp B 1 1 Ta có, SH = BC = SB + SC = + 22 = (cm) và IH = SM = SA = (cm) 2 2 x Bán kính mặt cầu là: R = IS = SH + IH = ( 2)2 + 22 = Diện tích mặt cầu : S = 4pR2 = 4p( 6)2 = 24p(cm ) THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu IVa: 17 Lop12.net (19) d1 qua điểm M 1(1; -2; 3) , có vtcp u1 = (1;1; -1) d2 qua điểm M (3;1;5) , có vtcp u2 = (1;2; 3) æ -1 -1 1 ö÷ ç ÷÷ = (5; -4;1) ; ; Ta có [u1, u2 ] = çç 1 ÷÷ø ççè và M 1M = (2; 3;2) Suy ra, [u1, u2 ].M 1M = 5.2 - 4.3 + 1.2 = , đó d1 và d2 cắt Mặt phẳng (P) chứa d1 và d2 Điểm trên (P): M 1(1; -2; 3) vtpt (P): n = [u1, u2 ] = (5; -4;1) Vậy, PTTQ mp(P) là: 5(x - 1) - 4(y + 2) + 1(z - 3) = Û 5x - 4y + z - 16 = Khoảng cách từ điểm A đến mp(P) là: 5.(-3) - 4.2 + (-3) - 16 42 d (A,(P )) = = = 42 42 52 + (-4)2 + 12 Câu Va: y = x + x - và y = x + x - Cho x + x - = x + x - Û x - x = Û x = 0, x = ±1 Vậy, diện tích cần tìm là : S = ò-1 x - x dx æ x x ö÷ æ x x ö÷ 2 Û S = ò (x - x )dx + ò (x - x )dx = ççç - ÷÷ + ççç - ÷÷ = + = è3 è3 -1 ø -1 ø0 15 15 15 THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu IVb: d1 qua điểm M 1(1; -2; 3) , có vtcp u1 = (1;1; -1) d2 qua điểm M (-3;2; -3) , có vtcp u2 = (1;2; 3) æ -1 -1 1 ö÷ ç ÷÷ = (5; -4;1) ; ; Ta có [u1, u2 ] = çç ççè 3 1 ÷÷ø và M 1M = (-4; 4; -6) Suy ra, [u1, u2 ].M 1M = 5.(-4) - 4.4 + 1.(-6) = -42 ¹ , đó d1 và d2 chéo Mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2 Điểm trên (P): M 1(1; -2; 3) vtpt (P): n = [u1, u2 ] = (5; -4;1) Vậy, PTTQ mp(P) là: 5(x - 1) - 4(y + 2) + 1(z - 3) = Û 5x - 4y + z - 16 = Khoảng cách hai đường thẳng d1 và d2 khoảng cách từ M2 đến mp(P): 5.(-3) - 4.2 + (-3) - 16 42 d (d1, d2 ) = d (M 2,(P )) = = = 42 2 42 + (-4) + Câu Vb: y2 (y > 0) và x + y = Û x = - y Ta có, y = 2x Û x = 18 Lop12.net (20) Trục hoành là đường thẳng có phương trình y = 0: éy = -4 (nhan) y2 y2 = -y Û + y - = Û êê Cho 2 êëy = (loai) y2 + y - dx Diện tích cần tìm là: S = ò 2 æy y ö÷ y2 14 14 ç S = ò ( + y - 4)dx = çç + - 4y ÷÷ = = (đvdt) è6 ø0 2 3 Đề số 06 I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = 2x + (m + 1)x + (m - 4)x - m + 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số m = 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) giao điểm (C ) với trục tung 3) Tìm các giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu x = Câu II (3,0 điểm): 1) Giải phương trình: log2 (x - 2) + log0,5 (2x - 1) = 2) Tính tích phân: I = 3) Cho hàm số y = x e - x2 (e x ò0 + 1)2 ex dx Chứng minh rằng, xy ¢ = (1 - x )y Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chọn hai phần đây Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz , cho A(0;1;2), B(-2; -1; -2),C (2; -3; -3), D(-1;2; -4) 1) Chứng minh ABC là tam giác vuông Tính diện tích tam giác ABC 2) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Tính thể tích tứ diện ABCD Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình sau đây trên tập số phức: 2w - 2w + = Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz , cho A(0;1;2), B(-2; -1; -2),C (2; -3; -3) 1) Chứng minh ABC là tam giác vuông Tính diện tích tam giác ABC 2) Viết phương trình đường thẳng D qua điểm B đồng thời vuông góc với mặt phẳng (ABC) Xác định toạ độ điểm D trên D cho tứ diện ABCD có thể tích 14 Câu Vb (1,0 điểm): Giải phương trình sau đây trên tập số phức: z + 4z = 8i Hết -19 Lop12.net (21)