Chuyên đề khảo sát hàm số: Hướng dẫn và đáp án

Tiếp tuyến của C tại M cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác coù dieän tích khoâng phuï thuoäc M.. Vaäy: SIAB khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M..[r]

www.PNE.edu.vn Chuyên đề khảo sát hàm số: Hớng dẫn và đáp án Baøi 1: x 1 x 1 1) Khaûo saùt haøm soá: y  y'  2 0 ( x  1)2 (C) TXÑ: D = R \ (1)  Hàm số giảm trên khoảng xác định TCÑ: x = vì lim y   x 1 TCN: y = vì lim y  x  BBT: Đồ thị: y 2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñi qua ñieåm P(3, 1): Đường thẳng (d) qua P có hệ số góc k:y = k( x-3) +  x+1  x-1 = k(x-3) + (d) tieáp xuùc (C)    -2 = k  (x-1)2 A M (1) B coù nghieäm O (2) Thay (2) vaøo (1) : x  -2(x-3)    x   2( x  3)  ( x  1)2  x   x  x  (x-1)2 Thay vaøo (2)  k  2 Vaäy phöông trình tieáp tuyeán ñi qua P laø: y= -2x + 3) M0 ( x0 , y0 )  (C ) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận tạo thành tam giác coù dieän tích khoâng phuï thuoäc M Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M: y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 x0  x0  x  3 -3 y ( x  )    x x (x0 -1)2 ( x0  1)2 x  ( x0  1)2 Giao điểm với tiệm cận đứng x =1 x 1 y  Giao điểm với tiệm cận ngang y = y   x   x 4 x0   A  1,  x0   x0   x0   5x    B ,1   Giao điểm hai đường tiệm cận: I(1, 1) Ta coù : SIAB  IA.IB   1 x0  5x  1 1 y A  yI x B  x I  2 x0  25 5x  1   haèng soá x0  Vaäy: SIAB khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M Lop12.net x www.PNE.edu.vn C©u 2: (2 ñieåm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y  y,  3  x  12 x2 x 1 TXÑ: D=R\{1}   Hàm số giảm trên khoảng xác định TCD: x=1 vì lim y   x  TCN: y=1 vì lim y  x BBT: Đồ thị: 2) Xác định a để từ A(0,a) kẻ tiếp tuyến đến (C) cho tiếp điểm đến nằm phía 0x x 2 Goïi M ( x ; y )  (C )  y  0 0 x 1 Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M: y  f ' ( x )( x  x )  y 0 x 2 x  4x  3 0  y (x  x )   y x 0 2  x ( x  1) ( x  1) ( x  1)2 0 0 x  4x  Tieáp tuyeán qua A(0,a)  a   (a  1) x  2(a  2) x  a   (1) 0 ( x  1) (vì x =1 khoâng laø nghieäm) a   a   Điều kiện để có tiếp tuyến kẻ từ A là:  , Khi đó (1) có nghiệm là  a  2   3 x , x x 2 vaø y   Tung độ tiếp điểm y  0 x 1 x 2 Ñieàu kieän tieáp ñieåm naèm veà phía x 1 Ox Lop12.net www.PNE.edu.vn x 2 x 2 x x  2( x  x )   y y 0  0 0 1 x 1 x 1    x x x x 1 1 a  4(a  2)  4 9a  2 a 1  a 1  0   3a    a  a  2(a  2) 3  1 a 1 a 1 a  2, a  2 2  a Toùm laïi:  2 vaø a  ÑS: a  , a  3 a    C©u 3: (2 ñieåm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: x2  x  y x 1 TXÑ: D = R\{-1} y' x2  x ( x  1)2 x  y'    x  2 Tiệm cận đứng: x= -1 vì lim y   x  1 2 Tieäm caän xieân: y = 2x - vì lim Ta coù: y  x   0 x 1 x   x 1 BBT Đồ thị: Cho x = suy y = 2) Gọi M  (C) có XM = m Chứng tỏ tích các khoảng cách từ M đến đường tiệm cận (C) không phụ thuộc m Ta coù: XM = m  y M  2m   m 1 Tiệm cận đứng : x + = Suy d1(M, D1)  m 1 (D1)  m 1 2m  2m   Tieäm caän xieân: 2x – y – = (D2) Suy d1.d2 = m  www.VNMATH.com d2(M,D2) = 1 m 1  m 1 2 (khoâng phuï thuoäc m)  m 1 Lop12.net 13 www.PNE.edu.vn C©u 4: (2 ñieåm) Cho haøm soá: y  x  mx  x 1 1) Tìm m để diện tích tam giác tạo TCX và trục tọa độ Ta coù: y  x  m   m x 1 m 0 x   x 1 Với m  thì TCX: y = 2x + m + vì lim m2  m2   A  ,0  2   x   y  m   B (0, m  2) Giao ñieåm TXC vaø oy: m  1 m2  SOAB  OA.OB   m2  ( thoûa ñieàu kieän  (m  2)2  16   2  m  6 m0) x  3x  2) Khảo sát và vẽ đồ thị m = -3: y (C) x 1 Giao ñieåm TCX vaø Ox: y=0 x TXÑ: D = R\ {1} y'  x2  4x  ( x  1) x  0  Suy hàm số tăng trên khoảng xác định TCÑ: x = vì lim y   x 1 TCX: y = 2x - (theo caâu 1) BBT: Đồ thị: x   y  2, x   y  C©u 5: (2 ñieåm) Cho: y = x4 – (m2 + 10)x2 + (Cm) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = y = x – 10x + TXD: D = R y '  x3  20 x  x( x  5) y ''  12 x  20 y ''   x   x  y'   x   5 44 y BBT: Lop12.net  44   44   ñieåm uoán  ;     ;      www.PNE.edu.vn Đồ thị:  x2   x  1    x  3 x  Cho y    2) Chứng minh với  m  , (Cm) luôn luôn cắt Ox điểm phân biệt đó có hai điểm nằm  (-3,3) và điểm nằm ngoài (-3,3) Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) và Ox x  (m  10) x   (1) Ñaët t  x (t  0) Phương trình trở thành: t  (m  10)t   (2)   (m  10)  36  0, m  Ta coù: P    S  m  10  0, m  < t1 < t2  (1) coù nghieäm phaân bieät Ñaët f(t) = t  (m2  10)t  x  x  x  x 1 Ta coù: af(9)= 81  9m  90   9m  0, m  0t 9t x  x  (3;3)      x  3   x  x   x  1   x ( 3;3) x    Vậy (Cm) cắt Ox điểm phân biệt đó điểm (3,3) và điểm  (3,3) C©u 6: (2 ñieåm) Cho haøm soá y  f ( x)  x3  (m  3) x  3x  (m laø tham soá) 1) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu Khi đó viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị này y '  x  2( m  3) x  3; y '   x  2( m  3) x   (1) Ta coù: Haøm soá coù CÑ, CT  (1) coù nghieäm phaân bieät   '   ( m  3)    m  6m   m  6  m  1 1  Chia f(x) cho f’(x) ta : y  f '( x)  x  (m  3)   (m  6m) x  m  3  Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: y   (m  6m) x  m  2) Tìm m để f ( x )  3x với x  Ta có: f ( x )  x, x   x3  (m  3) x   , x   m  x   , x  x2 Lop12.net www.PNE.edu.vn  m  g ( x) với g ( x )  x   x 1 x2 x3  , x  ; g '( x)   x  Ta coù: g '( x)    3 x x +) BBT:  g ( x )  Vaäy: m  x 1 C©u 7: (2 ñieåm) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị y  x2  x  x  (C )  TXÑ: D = R\ {2} x2  4x  y' ( x  2) x  y' 0  x  TCÑ: x = vì lim   ; Ta coù: y   x   x2 TCX: y = - x + vì lim  x x  0 x  BBT: Đồ thị: Cho x =  y  b) Tìm M  Oy cho tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) song song với đường thẳng y=  x có dạng Goïi M(0, b)  Oy , tieáp tieáp qua M song song 4 đường thẳng y   x có dạng: (D): y   x  b (D) tieáp xuùc (C)  x2  x     xb  x      x  4x     (  x  2)  (2)  x  x   x   x  (1) co ù nghieäm (2) Thay vaøo (1): x   b  ; x   b  Vaäy : M (0; ), M (0; ) C©u 8: (2 ñieåm) a) Khaûo saùt (1) y  x3  3(2m  1) x  6m(m  1) x  m  1: y  x3  x  12 x  TXÑ: D= R Lop12.net (1) m= 1: www.PNE.edu.vn  y6 x  y '  x  18 x  12 ; y '     y5 x  11  y  y ''  12 x  18 ; y ''   x  2  11  ñieåm uoán I  ,  2  BBT: Đồ thị: b) Chứng minh  m hàm số (1) luôn đạt cực trị x1, x2 với x1 - x2 không phụ thuộc m Ta coù: y  x3  3(2m  1) x  6m(m  1) x  y '  x  6(2m  1) x  6m(m  1); y '     (2m  1)2  4m(m  1)    (*) luoân coù nghieäm phaân bieät x1 , x2 x  (2m  1) x  m(m  1)  (*)  Hàm số luôn đạt cực trị x1 , x2 Ta coù: x  2m    2m ; x  2m    2m   x  x  2m   2m  2 Vaäy: x  x khoâng phuï thuoäc m Bµi 9: (2 ñieåm) a) Khaûo saùt haøm soá: y  x2  5x  Taäp xaùc ñònh: D = R y’= 2x – BBT: Đồ thị: b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai parapol: ( P ) : y  x  x  vaø ( P ) : y   x  x  11 Lop12.net (haèng soá) www.PNE.edu.vn - Goïi    : y= ax + b laø tieáp tuyeán chung cuûa (P1) vaø (P2) -    tiếp xúc với (P1) và (P2)  x  x   ax  b coùnghieäm keù p    x  x  11  ax  b coù nghieäm keùp  x  (5  a) x   b  coù nghieäm keùp    x  (5  a ) x  11  b  coùnghieäm keùp    a   a  10a  4b      b  10   a  10a  4b  19  Vaäy phöông trình tieáp tuyeán chung laø: a  3  b   y = 3x – 10 hay y = - 3x + C©u 10: (2 ñieåm) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y  x3  x TXÑ: D = R y '  x  x  3x ( x  2) x   x  2  x  1  y   y' y ''  y ''  x   (C )  Ñieåm uoán I(-1, 2) +) BBT: Đồ thị: Cho x = -3, y = x = 1, y = b) Tìm điểm M trên Ox cho từ M kẻ tiếp tuyến đến (C) đó có tiếp tuyến vuông góc Gọi M(a, 0)  Ox , đường thẳng (d) qua M và có hệ số góc K là: y = k( x - a)  x3  3x  k ( x  a)  3 x  x  k (d) tieáp xuùc (C)   (1) coùnghieäm (2) Thay (2) vaøo (1): x3  x  x  x( x  a)  x3  3(a  1) x2  6ax  x   x  x2  3(a  1) x  6a        x  3(a  1) x  6a  Với x =  k =  tiếp tuyến là y = Lop12.net (3) www.PNE.edu.vn +) Từ M kẻ tiếp tuyến đến (C) đó có tiếp tuyến vuông góc với  (3) coù nghieäm phaân bieät x , x  vaø k k  1  a       2  (3 x1  x1 )(3 x2  x2 )   1   a    a   vaø a      81a  81a ( a  1)  108 a     Vaäy chæ coù ñieåm M ( C©u 11: (2 ñieåm)  a     9( a  1)  48 a    9( x1 x )  18 x1 x ( x1  x )  36 x1 x    vì x1x = - 3a    3(a-1)    x1 + x =      a    a   vaø a     -27a + = , 0)  Ox thoả điều kiện bài toán 27 Cho haøm soá: y  x  1  m  x3  6mx2   m  a 27 (C ) m y  3x  x  TXÑ: D = R x  y '  12 x3  12 x  12 x x  y'    x  1 1  1 1 y ''  36 x  12  y ''   x    y  ñieåm uoán  ,  ,  3  3  3 1) Khaûo saùt haøm soá m= -1:   BBT: x + y’ y - -1 - + + - CÑ + + -1 -1 Đồ thị: x  Cho y=2  3x  x    x   2) Tìm giá trị m < để (Cm) và () : y  có ba giao điểm phân biệt Ta coù: y  x   m x3  6mx   m ;   y '  12x3 12 1 m x3  12mx  12x  x2  1 m x  m  y '    Lop12.net  x   y 1 m   x 1  ym   y  m4  2m3  m   x  m www.PNE.edu.vn (C ) Và    cắt điểm phân biệt đường thẳng :y=1 qua điểm cực trị m cuûa (C ) m   m 1   m 1  m  2m  m 1    m  ( loại ) m  0(loại)  m  ( loạ i )    m  1(loại)    m   ( loại )  2 m m 1 m  m 1      m   ÑS: m  1 ( nhaän v ì m < ) 1 C©u 12: (2 ñieåm) Cho y  x3  3x   m   x  2m (C ) m 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) m = 1 y  x3  x  x  (C ) TXÑ: D = R y '  x  x    x  1  suy haøm soá luoân taêng treân R y'  x  1 ; y ''  x  ; y ''   x  1  y  1 ñieåm uoán I(-1, 1)  BBT:  Đồ thị: Cho x = 0, y = x = -2, y = y '   tieáp tuyeán taïi I song song Ox I 2) Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ âm.Phương trình hoành độ giao điểm (Cm ) và Ox x3  3x   m   x  2m    x  2 (1)    x  x  m   x  2  x2  x  m   (2) (Cm ) cắt Ox điểm có hoành độ âm  (2) có nghiệm âm phân biệt khác -2 m  2 m  2  m  2   1  4m   1    ÑS:  m       m   0m 4 P  m    S  1  m  Cho y  x3  mx2  x  (1) C©u 13: (2 ®iÓm) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = y  x3  x2  x  TXÑ : y’= 3x2 +10x + Lop12.net www.PNE.edu.vn  x  1  y  y'   ;  x    y  32 27   16   ,   27  16 y ''  x  10 y ''   x    y  27  ñieåm uoán BBT : Đồ thị: Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu Lập phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và cực tiểu Ta coù : y  x3  mx  x  3; y '  3x2  2mx  y '   3x  2mx   0(*) Hàm số có cực đại và cực tiểu  (*) có hai nghiệm phân biệt  m   21 v m  21   '   m  21  Chia y cho y’ ta : m  2(21  m2 ) 27  7m 1 y  f '( x )  x     9 9 3 Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và điểm cực tiểu là: y 2(21  m ) 27  m  9 C©u 14: (2 ñieåm) 1a) Khaûo saùt vaø veõ: TXÑ: y  x4  2x2 y '  x3  x y '   x   x  1 ; y ''  12 x  4; y "   x    y 5 5   ;   , I2    ;  9  9  => Ñieåm uoán I1   BBT: Đồ thị: +) 1b Bieän luaän soá nghieäm: Ta coù : x  x  m   x  x  m Dựa vào đồ thị (C) ta kết luận : m< -1: voâ nghieäm ; m= -1: nghieäm -1< m < 0: nghieäm ; m= 0: nghieäm ; m> 0: nghieäm Lop12.net www.PNE.edu.vn C©u 15: (2 ñieåm) x2  4x  (C) x2 x2  x x  y'  y'   ( x  2)  x  4   Tiệm cận đứng: x = -2 vì lim x 2 x   Chia tử cho mẫu: y  x   x2 0  Tieäm caän xieân: y= x + vì lim x  x  a.Khaûo saùt haøm soá : y  TXÑ: D  R \ {2} (I)  BBT:  Đồ thị: Y (C1) (C1) x2  x  b.Từ đồ thị (C) suy đồ thị hàm số : y1  x2 -4 (C1 ) Ta coù : y y1   -y (III) neáu x > -2 -2 O -4 (C) neáu x < -2 Do đó đồ thị (C1 ) suy từ (C) sau: - Neáu x > -2 thì (C1 )  (C) - Nếu x< -2 thì lấy phần đối xứng (C) qua Ox ta (C1 ) c Xác định tập hợp điểm mà không có đồ thị nào họ (Cm ) ï qua: y x2  x  m2  x2 (Cm ) Goïi M ( x0 , y0 )  (Cm ), m  y0  x0  x0  m  vô nghiệm với m x0   x0  2 m2  y0 ( x0  2)  x02  x0  vô nghiệm theo m  y0 ( x  2)  x02  x    y0 ( x  2)  x 02  x   x 20 +4x0 +8 y < (neáu x >-2)  x +2   x +4x0 +8 (neáu x <-2) y0 > x +2   M  miền (I) giới hạn (C) với x > -2   M  miền (III) giới hạn (C) với x< -2 Vậy điểm M thoả điều kiện bài toán là điểm thuộc mặt phẳng toạ độ Oxy, khoâng naèm treân mieàn (I), mieàn (III) vaø khoâng naèm treân (C) Lop12.net X www.PNE.edu.vn C©u 16: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y  ( x  1)2 ( x  4)   x3  x  x   TXÑ: D = R  x  1 y '  3 x  12 x   y '     x  3 y ''  6 x  12  y "   x  2  y  2 Ñieåm uoán :( -2, -2)  BBT:  Đồ thị : 2) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phöông trình : ( x  1)2 ( x  4)  (m  1)2 (m  4)  ( x  1)2 ( x  4)  (m  1)2 (m  4) Đây là phương trình hoành độ giao điểm (C) và đường thẳng (d) có phương trình : y  (m  1)2 (m  4) - Soá giao ñieåm laø soá nghieäm cuûa phöông trình  Bieän luaän: (m  1)2 (m  4)  4  m(m  3)2   m  : nghieäm (m  1)2 (m  4)  4  m   m  3 : nghieäm 4  (m  1)2 (m  4)   4  m  : nghieäm (m  1)2 (m  4)   m  1  m  4 : nghieäm (m  1)2 (m  4)   m  4 :1 nghieäm C©u 17: ( ñieåm) Cho: y  ( x 1)( x  mx  m) (1) 1) Khảo sát hàm số (1) tương ứng với m= -2: y  ( x  1)( x  x  2) y  x3  3x2  Taäp xaùc ñònh : D = R x  y'    x  y"   x  1 y  y '  3x  x  3x( x  2) y ''  x   Ñieåm uoán : I(1, 0) BBT: Đồ thị: Ñieåm ñaëc bieät : 2) Tìm m để đồ thị (1) tiếp xúc trục hoành Xác định toạ độ tiếp điểm (1) Ta coù : y  x3  (m  1) x  m  x +(m-1)x -m=0 Đồ thị (1) tiếp xúc trục hoành   3x +2(m-1)x=0 Lop12.net (2) (3) coù nghieäm www.PNE.edu.vn x  (3)  x  3x  2(m  1)    2(m  1) x    Thay vaøo (2) : x0m0 2(m  1)   (m  1)3  (m  1)3  m  x 27 3  4(m  1)  27 m   4m  12m2  15m   m   (m  4)(4m  4m  1)    m    2 Hoành độ tiếp điểm là : m   x  m   x  2 m    x 1 Vậy đồ thị (C) tiếp xúc Ox khi: m= 0, m= 4, m   Toạ độ tiếp điểm tương ứng là: (0, 0), (-2, 0), (1, 0) C©u 18: ( ñieåm) 1) Khaûo saùt haøm soá: y  y'  2 0 ( x  1)2 x 1 x 1 (C) TXÑ: D = R \ (1)  Hàm số giảm trên khoảng xác định TCÑ: x = vì lim y   x 1 TCN: y = vì lim y  x  BBT: Đồ thị: y A M 2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñi qua ñieåm P(3, 1): Đường thẳng (d) qua P có hệ số góc k: y = k( x-3) +  x+1  x-1 = k(x-3) + (d) tieáp xuùc (C)    -2 = k  (x-1) B O (1) coù nghieäm (2) x  -2(x-3) 1  x  (x-1)2  x   2( x  3)  ( x  1)2  4x   x  Thay (2) vaøo (1) : Lop12.net x www.PNE.edu.vn Thay vaøo (2)  k  2 Vaäy phöông trình tieáp tuyeán ñi qua P laø: y= -2x + 3) M0 ( x0 , y0 )  (C ) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận tạo thành tam giác coù dieän tích khoâng phuï thuoäc M Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M: y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 x0  x  x0  3 -3 )    x x y ( x  ( x0  1)2 x  ( x0  1)2 (x0 -1)2  x 4 x0   A  1,  x0   x0   5x   5x    B ,1 y  1 x    Giao điểm với tiệm cận đứng x =1 x 1 y  Giao điểm với tiệm cận ngang y = Giao điểm hai đường tiệm cận: I(1, 1) Ta coù : 5x  1 x0  1 1 IA.IB  y A  yI xB  x I  2 x0  SIAB   5x  25 1   haèng soá x0  Vaäy: SIAB khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M m x  2(m  1) x y  x3  4x a) Khaûo saùt haøm soá m= 1: Cho y  f ( x )  C©u ( ñieåm)  TXÑ: D = R x  y '  x2  y'    x  2 ; y "  2x  y"   x   y  x Ñieåm uoán O(0, 0) BBT: y’ y Đồ thị: Cho x  4  y   x 4 y  + 0 16 16 b)Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu cho: y '  mx  2(m  1) Lop12.net + + + 16 16 ( yCÑ  yCT )2  (4m  4)3 m Ta coù: y  x  2(m  1) x -2 www.PNE.edu.vn y '   mx2  2(m  1)  (1) Hàm số có cực đại và cực tiểu  (1) có nghiệm phân biệt 2(m  1)   m  1  m  m Khi đó (1) có nghiệm x1, x2 ( x1  x2 )   yCÑ  f ( x1) vaø yCT  f ( x2 ) Để tìm yCĐ và yCT ta chia f(x) cho f’(x) thì được:  yCÑ  f ( x1)   (m  1)x1 yCT  f ( x2 )   (m  1)x2 3  f ( x )  f '( x ). x   (m  1) x (Vì f'(x1)  0, f '( x2 )  0) Theo giaû thieát: ( yCÑ  yCT )2  (4m  4)3 16 (m  1)2 ( x1  x2 )2  64(m  1)3  ( x1  x2 )  8(m  1) ( Vì m+1  ) 9 8(m+1) -2(m+1) (vì S = , P = )  S2  4P  8(m+1)  0 m m  m = ( Vì m+1  ) So với điều kiện m< -1 m > nhận giá trị m = ÑS: m =  C©u 20: ( ñieåm) 1) Khaûo saùt haøm soá:  y'  1 y x x2  x  ( x  1)2 ( x  1)2 x 1 (C) Taäp xaùc ñònh: D  R \ 1 x  y'    x   Tiệm cận đứng: x = vì lim   x 1  Tieäm caän xieân: y = x vì lim x  0 x 1  BBT:  Đồ thị: 2) Viết phương trình các tiếp tuyến (C) kẻ từ A(0, 3) - Đường thẳng (D) qua A và có hệ số góc k: y = kx +3   x  x   kx + (D) tieáp xuùc (C)   1  k  ( x  1) Y (1) coù nghieäm (2) O -1 - Thay (2) vaøo (1) : Lop12.net X www.PNE.edu.vn x x  x 3 x 1 ( x  1)2  x    x  3( x  1)2  x  x   x  k    x   k  8  ÑS: y = ; y = -8x + Caâu 21: a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y  x  x2  x  ; TXÑ : D = R  x  1 y '  3x  x  y'    x    52 y "  6x  ; y "   x    y  27  50  Ñieåm uoán I   ,   27  BBT: Đồ Thị: b) Bieän luaän theo k soá giao ñieåm cuûa (C) vaø (D1 ) : y = kx + Phương trình hoành độ giao điểm (C) và (D1 ) : x  x  x   kx   x ( x  x   k )  x   '  11 k  k  x  x   k   Bieän luaän : k > vaø k  : (C) vaø (D1 ) coù ñieåm chung k =  k = 1: ñieåm chung k < 0: ñieåm chung c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục hoành và đường thẳng (D2 ) :y = -x + Phương trình hoành độ giao điểm (C) và (D2 ) Lop12.net www.PNE.edu.vn x3  2x2  x    x   x3  2x  2x    ( x  1)( x  x  1)   x  1  y  Giao điểm (C) và trục hoành: x3  x2  x    (x  2)( x  1)   x  2 Diện tích hình phẳng cho bởi: 1 1   x2  17 41 x4 2x3 x2 S   (x  2x  x  2)dx   (x 1)dx     2x      x     (ñvdt) 12  2  1 12 1 2 CAÂU 22: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: x2  3x  2  x 3 y x x2  y'  ; x2 (C) TXÑ: D = R\ {0} x      x  y'  TCÑ: x = vì lim y   x 0 x TCX: y = x – vì lim  x  BBT: Đồ thị: x  Cho y =  x2 – 3x +2 =   x  2)Tìm M trên đường thẳng x = cho từ M kẻ đến (C) tiếp tuyến vuông góc Gọi M(1, b) nằm trên đường thẳng x = Đường thẳng (d) qua M và M có hệ số góc k: y= k(x - 1) + b  x  3x  (1)  k(x - 2) + b  x coù nghieäm (d) tiếp xúc với (C)   2  x  (2) k  x x   ( x  2)( x  1)  b  (b + 2)x2 – 4x + =  Thay (2) vaøo (1): x x Từ M kẻ tiếp tuyến đến (C) và vuông góc với  (2) coù nghieäm phaân bieät x1, x2  cho k1, k2 = -1 4  2(b   0)  '      x12  x2   1  k1 k2  1  x22  x1 Lop12.net (3) www.PNE.edu.vn   x x  b  b2 i  2 vớ  2  x1 x2  ( x1  x2 )   x  x  b2   b  b    (nhaän)  b  6b    b  3  CAÂU 23: 1)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y x2  3x  2  x 3 x (C) TXÑ: D = R\ {0} x      x  TCÑ: x = vì lim y   y'  x2  ; y'  x2 x 0 x TCX: y = x – vì lim  x  BBT: Đồ thị: Cho y =  x2 – 3x +2 = x   x  2)Tìm M trên đường thẳng x = cho từ M kẻ đến (C) tiếp tuyến vuông góc Gọi M(1, b) nằm trên đường thẳng x = Đường thẳng (d) qua M và M có hệ số góc k: y= k(x - 1) + b  x  3x  (1)  k(x - 2) + b  (d) tiếp xúc với (C)   x coù nghieäm  x  (2) k  x x   ( x  2)( x  1) Thay (2) vaøo (1):   b  (b + 2)x2 – 4x + = x x Từ M kẻ tiếp tuyến đến (C) và vuông góc với  (2) coù nghieäm phaân bieät x1, x2  cho k1, k2 = -1 4  2(b   0)  '      x12  x2   1  k1 k2  1  x22  x1  x x   b   b2 với  2  2  x1 x2  ( x1  x2 )   x  x  b2  Lop12.net (3) www.PNE.edu.vn b   b     b  3   b  6b   Caâu 24: Cho y  x  x   m (nhaän) (Cm ) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = TXÑ: D = R y  x  x2   x0 y '  x  x  x( x  1) y '     x  1  13   13  13 y ''  12 x  ; y ''   x   , ,  ,   y   ñieåm uoán  3 9  9  BBT: Đồ thị: Cho y=2  x4- x2=0 x     x   2) Tìm m để (Cm) có hai giao điểm chung với trục Ox Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) và trục Ox: x4- 2x2+ 2-m = (1) Ñaët t = x (t≥0) Phương trình trở thành: t2- 2t + – m = (2) (1) có nghiệm  (2) có nghiệm trái dấu (1) coù nghieäm keùp döông  P0  2  m  m  '        b 1   m   m  0     2a Vaäy (Cm) caét Ox taïi ñieåm khi: m = hay m > 3) Chứng minh m tam giác có đỉnh là điểm cực trị (Cm) là tam giác vuoâng caân: Ta coù: y = x4- 2x2+ - my’= 4x3- 4x x  y  2 m   y'     x  1  y   m Gọi điểm cực trị là: A(0, 2- m), B(-1, 1- m), C(1, 1- m) Ta coù:     AC AB  1   0, m AB  (1, 1)  AB  ; AC  (1, 1)  AC     AB  AC  2, m Lop12.net