Viết phương trình tham số của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng OBC, tan BC.. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M163; 50 sao cho đường thẳng đó gần các điểm đã cho nhất.[r]
(1)` BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 2010 Môn Thi: TOÁN – Khối A Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ THI THAM KHẢO I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y x 3m có m x 4m đồ thị là (Cm) (m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Xác định m cho đường thẳng (d): y = x + m cắt đồ thị (C) hai điểm A, B cho độ dài đoạn AB là ngắn Câu II: (2 điểm) s inx cosx 4sin x 1) Giải phương trình: 2) Tìm m để hệ phương trình: x y x y 2 m x y x y Câu III: (1 điểm) Tính các tích phân I x x dx ; có ba nghiệm phân biệt e J = xex dx x(e ln x) x Câu IV: (1điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a và điểm M trên cạnh AB cho AM = x, (0 < x < a) Mặt phẳng (MA'C') cắt BC N Tính x theo a để thể tích khối đa diện MBNC'A'B' thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D' Câu V: (1 điểm) Cho x, y là hai số dương thay đổi thoả điều kiện 4(x + y) – = Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = x 4y II PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng 1: 3x y ; 2: x – 3y – Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d: x – 6y – 10 = và tiếp xúc với 1, 2 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp A.OBC, đó A(1; 2; 4), B thuộc trục Ox và có hoành độ dương, C thuộc Oy và có tung độ dương Mặt phẳng (ABC) OBC Viết phương trình tham số đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (OBC), tan BC Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình: z 2(2 i) z 4i trên tập số phức B Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm M1(155; 48), M2(159; 50), M3(163; 54), M4(167; 58), M5(171; 60) Lập phương trình đường thẳng d qua điểm M(163; 50) cho đường thẳng đó gần các điểm đã cho 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0; 0; 4).Tìm tọa độ điểm B mp(Oxy) cho tứ giác OABC là hình chữ nhật Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm O, B, C, S Câu VII.b (1 điểm) Chứng minh : 8a 8a , với a thuộc đoạn [–1 ; 1] Lop12.net (2) ` Hướng dẫn 2m 1 Câu I: 2) AB = 2 Dấu "=" xảy m 1 AB ngắn m 2 Câu II: 1) Đặt t sin x cos x , t PT t – t2 = x k ; x l , (k , l Z ) (m 1) x 2(m 3) x 2m (1) 2) Hệ PT x2 y x 1 2 x Khi m = 1: Hệ PT x2 y x 1 (VN ) Khi m ≠ Đặt t = x2 , t Xét f (t ) (m 1)t 2(m 3)t 2m (2) Hệ PT có nghiệm phân biệt (1) có ba nghiệm x phân biệt f (0) m 3 m S 1 m (2) có nghiệm t = và nghiệm t > 1 Đặt: t x I t t dt Câu III: I x3 x dx J= e e xe x x e x ln x dx = d e x ln x e ln x x ln e x ln x e ln 15 ee e Câu IV: Ta có A'M, B'B, C'N đồng quy S Đặt V1 = VSBMN, V2 = VSB'A'C' , V = VMBNC'A'B' Ta có a a x SB a x SB , (0< x < a) SB ' a x V ax a4 x Xét phép vị tự tâm S tỉ số k = 1 ta có: Mà V2 S A ' B ' C ' SB ' 6x a V2 a a x a3 x x 1 1 1 1 1 x a a a 2 a3 x x x x Theo đề bài V = a 1 1 1 a 1 1 (*) a a a a V1 a4 x 1 ; 6x a Do đó: V V2 V1 x Đặt t 1 , t (vì 0< x<0), PT (*) t2 + t – = t = ( 1) x a Câu V: Ta có: 4(x + y) = 4y = – 4x S = 3 a 20 15 x = , với < x < x 4y x(5 x) Dựa vào BBT MinS = đạt x = 1, y = Câu VI.a: 1) Tâm I là giao điểm d với đường phân giác góc tạo 1 và 2 2) Câu VII.a: z i; z 3i z Câu VI.b: 1) Đường thẳng d: y = ax + b gần các điểm đã cho Mi(xi; yi), i = 1, , thì điều kiện cần là f (a ) y1 y i i 1 bé nhất, đó y i axi b Đường thẳng d qua điểm M(163; 50) 50 = 163a + b d: y = ax – 163a + 50 Từ đó: f (a) (48 155a 163a 50) (50 159a 163a 50) (54 163a 163a 50) + (58 167 a 163a 50) (60 171a 163a 50) = (8a 2) (4a) 42 (8 4a) (10 8a) 80a 129a 92 (P) Lop12.net (3) ` f(a) bé a = 129 13027 129 13027 b= Đáp số: d: y x 160 160 160 160 2) OABC là hình chữ nhật B(2; 4; 0) Tọa độ trung điểm H OB là H(1; 2; 0), H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OCB + Đường thẳng vuông góc với mp(OCB) H cắt mặt phẳng trung trực đoạn OS (mp có phương trình z = ) I I là tâm mặt cầu qua điểm O, B, C, S + Tâm I(1; 2; 2) và bán kính R = OI = 22 22 (S): ( x 1) ( y 2) ( z 2) Câu VII.b: Chứng minh : 8a 8a , với a [–1; 1] Đặt: a = sinx, đó: 8a 8a 8sin x(sin x 1) 8sin x cos x 8sin x cos x 2sin 2 x cos x ( đúng với x) Lop12.net (4)