Đề thi tuyển sinh đại học năm học 2009 môn thi: Toán; Khối A

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 2/ Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lợt tại hai điểm phân biệt A, B v[r]

Bộ giáo dục và đào tạo Đề thi tuyển sinh đại học năm 2009 §Ò chÝnh thøc M«n thi: to¸n; Khèi A (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề) PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh (7,0 ®iÓm) C©u I (2,0 ®iÓm) Cho hµm sè y x2 2x  (1) 1/ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) 2/ Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lợt hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân gốc toạ độ O C©u II (2,0 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1  sin x  cos x  1  sin x 1  sin x  3 Gi¶i ph¬ng tr×nh: x    x   C©u III (1,0 ®iÓm) TÝnh tÝch ph©n    I   cos x  cos xdx C©u IV (1,0 ®iÓm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D, AB = AD = 2a, CD =a; gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (SBC) vµ (ABCD) b»ng 600 Gäi I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AD BiÕt hai mÆt ph¼ng (SBI) vµ (SCI) cïng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABCD), tÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.ABCD theo a C©u V (1,0 ®iÓm) Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc d¬ng x, y, z tho¶ m·n x(x + y + z)=3yz, ta cã: (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z)≤ 5(y + z)3 Lop12.net Phần riêng (3,0 điểm): Thí sinh đợc làm hai phần (phần A phần B) A Theo ch¬ng tr×nh ChuÈn C©u VI.a (2,0 ®iÓm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm hai đờng chéo AC và BD Điểm M(1; 5) thuộc đờng thẳng AB và trung điểm E cạnh CD thuộc đờng thẳng : x  y   Viết phơng trình đờng thẳng AB Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  y  z   và mặt cầu 2 (S): x  y  z  x  y  z  11  Chøng minh r»ng mÆt ph¼ng (P) c¾t mÆt cÇu (S) theo đờng tròn Xác định toạ độ tâm và bán kính đờng tròn đó C©u VII.a (1,0 ®iÓm) Gäi z1 vµ z2 lµ hai nghiÖm phøc cña ph¬ng tr×nh z  z  10  TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A  z1  z 2 B Theo ch¬ng tr×nh N©ng cao C©u VI.b (2 ®iÓm) 2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đờng tròn (C): x   y  x  y   và đờng thẳng : x  my  2m   , với m là tham số thực Gọi I là tâm đờng tròn (C) Tìm m để  cắt (C) hai điểm phân biệt A và B cho diện tích tam giác IAB lớn Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  y  z   và hai đờng x 1 y z  x 1 y  z 1     ,  2:  Xác định toạ độ điểm M thuộc đờng th¼ng 1: thẳng 1 cho khoảng cách từ M đến đờng thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt ph¼ng (P) b»ng C©u VII.b (1,0 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh Lop12.net   log x  x   log  xy   x  xy  y 3  81 (x, y R) - HÕt - Huíng dÉn chÊm thi C©u C©u I §¸p ¸n PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh a) Kh¶o s¸t hµm sè y §iÓm ®iÓm x2 2x  1.00  3 D  R \    2 a/ Tập xác định: 0.25 b/ Sù biÕn thiªn cña hµm sè  Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận lim y   , lim y   x 3 x 3 , nên đờng thẳng x là tiệm cận đứng 1 lim y  y x   , x  , nên đờng thẳng lµ tiÖm cËn ngang 1 y'   0; x   2 2 x  3  B¶ng biÕn thiªn : lim y  0.25 0.25 3      ;    ;   vµ   Hµm sè nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng  c/ §å thÞ:  2  0;  §å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm   vµ C¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm  2;0  1 I   ;   2  hai đờng tiệm cận làm NhËn xÐt : §å thÞ nhËn giao ®iÓm tâm đối xứng Lop12.net 0.25 y x -4 -3 -2 -1 -2 -4 b) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn * Tam giác OAB cân O nên tiếp tuyến song song với hai đường thẳng y = x y = -x Mµ y’ < 0, nªn:  x  1  y  1    x  2  y  (2x  3)   C©u II a) Gi¶i ph¬ng tr×nh * ĐK: 0.50 0.25 0.25 2.00 1.00 * 1 : y – = -1(x + 1)  y = -x (loại) * 2 : y – = -1(x + 2)  y = -x – sin x  1.00 1 , sinx ≠ Pt  1  2sin x  cos x  1  2sin x 1  sin x   cos x  2sin x cos x  1  sin x  2sin x  0.50  cos x  s inx  s in2x  cos x      cos   x   cos  x   6 3   * 2  x   k 2 x  k 18 , k  Z (tho¶ m·n) (loại) Gi¶i ph¬ng tr×nh 3x    5x     * §Æt u  3x  , v   x víi v  Ta đợc 5u  3v  * Phơng trình đã cho tơng đơng với Hpt Lop12.net 0.50 1.00 0.25  2u  3v   5u  2v   v0  0.25 u  2  * Giải hệ phơng trình ta đợc  v   3x    x  2   x  * Do đó  VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt x = C©u -2 TÝnh tÝch ph©n * Ta cã * TÝnh     2 0 I   cos x  cos xdx   cos xdx   cos xdx  I  I   2    I   cos xdx    sin x d sin x   sin x 02   I  I1  I  C©u 0.25   2  sin x  sin x  15 0  0.25  12 1  I   cos xdx   1  cos x dx  x  sin x  20 2 0 * TÝnh 0.25 1.00  0.25   15 0.25 0.25 * VËy TÝnh thÓ tÝch cña h×nh chãp S J A B I D H C * V× c¸c mp(SBI) vµ mp(SCI) cïnh vu«ng gãc víi mp(ABCD), nªn SI lµ đờng cao hình chóp Gäi H lµ h×nh chiÕu cña I trªn BC th× gãc SHI lµ gãc gi÷a mp(SBC) vµ mp(ABCD) Hay gãc SHI = 600 Lop12.net 0.25 * §¸y ABCD cã diÖn tÝch lµ: * Tam gi¸c IBC cã diÖn tÝch Sd   AB  CD  AD  3a 2 S IBC  S d  S IAB  S ICD IH BC  S IBC  IH  0.25 3a  3a 0.25 v× víi trung ®iÓm M cña AB th× tam gi¸c MBC vu«ng c©n ,nªn BC  a Suy ra: * XÐt tam gi¸c vu«ng SIH : SI  IH tan 60  3a 15 Vëy thÓ tÝch cña 3a 15 V  SI S d  h×nh chãp lµ : C©u Chứng minh bất đẳng thức * V× x,y,z >0 nªn x(x+y+z) = 3yz Đặt u 1.00  1 y z yz  3 x x xx y z  0, v   0, t  u  v  x x Tađợc: 0.25 0.25 t uv  t  3uv      3t  4t     t   3t     t    * Chia hai vế cho x3 bất đẳng thức cần chứng minh đưa 1  u   1  v   1  u 1  v  u  v    u  v  2    t   1  u  1  v   1  u 1  v   1  u 1  v  t  5t 3    t   1  u 1  v   5t    t   6(1  u  v  uv )  5t 3 3 1 t   3    t   1  t    5t  4t  6t  4t   t  2t  1 t      * * Lại t  ,nên bất đẳng thức luôn đúng Vậy ta có ĐPCM 0.25 0.50 C©u VI.a PhÇn riªng cho tõng ch¬ng tr×nh Phần đề thi theo chơng trình chuẩn Phơng pháp toạ độ mặt phẳng và không gian a) Viết phơng trình đờng thẳng * Vì E    nên toạ độ E có dạng E(m; – m); Gọi F là trung điểm AB thì F (12 – m; m – 1) Do E,F đối xứng qua điểm I(6;2) * Theo gi¶ thiÕt IE  FM  IE.FM   11  m m    m  3  m   Lop12.net 3.00 2.00 1.00 0.25 0.25 * Víi m = th× AB cã VTPT lµ: IE  0;3 , suy pt AB lµ y = 0.25 * Víi m = th× VTPT lµ IE  1;4 , suy pt AB lµ x – 4y + 19 = b) Mặt cầu, đờng tròn giao tuyến 0.25 * PT m.c viÕt thµnh x  1   y  2  z  3  25 , nªn t©m I(1;2;3) vµ R=5 2 d 2.1  2.2   4  1 35 R * Khoảng cách d từ tâm I đến mp(P) là: Vậy mp(P) cắt mc(I) theo giao tuyến là đờng tròn tâm J, bán kính r * Bán kính đường tròn r = C©u VII.a R  IJ  25   0.25 0.25 0.25 * Ph¬ng tr×nh JI lµ x=1+2t,y=2-2t,z=3-t, nªn J=(1+2t;2-2t;3-t) vµ J  P  , suy tâm đờng tròn là J(3 ;0 ;2) Sè phøc * Ph¬ng tr×nh z  z  10  cã nghiÖm phøc lµ z= -1+3i vµ z = -1- 3i * Do đó A = z12 + z22 = (1 + 9) + (1 + 9) = 20 Phần đề thi theo chơng trình nâng cao Phơng pháp toạ độ không gian C©u VI.b 1.00 a) T×m tham sè m 0.25 1.00 0.50 0.50 2.00 1.00 * (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + = có tâm là I (-2; -2); R = Điều kiện để  cắt (C) hai điểm phõn biệt A, B là d  I ,   0.25 (1)  IA.IB.sin AIB  * Kẻ đường cao IH IAB, ta có: SABC = = sin AIB  =  AIB vuông I Do đó SABC lớn và sin AIB  4m IA 1 1 m  * Ta đợc IH = (thỏa IH < R)   – 8m + 16m2 = m2 +  15m2 – 8m =  m = hay m = 15 b) T×m ®iÓm M * Toạ độ M có dạng: M (-1 + t; t; -9 + 6t) 1 2 qua A (1; 3; -1) có véctơ phương a = (2; 1; -2)    AM  a = (14 – 8t; 14t – 20; – t) AM * Vect¬ = (t – 2; t – 3; 6t – 8)  261t  792t  612  11t  20 * Ta có : d (M, 2) = d (M, (P))   35t2 - 88t + 53 =  t = hay t = Lop12.net 0.25 0.50 1.00 0.25 0.25 0.25 53 35  18 53   ; ;  * Do đó, có điểm M thoả mãn là : M (0; 1; -3) và M  35 35 35  C©u VII.b Gi¶I hÖ ph¬ng tr×nh 0.25 1.00 0.25 * Điều kiện xy > log (x  y )  log 2  log (xy)  log (2xy)  2  x  xy  y   * HÖ ph¬ng tr×nh  x   x  2   * GiảI hpt ta đợc 2nghiệm là:  y  và  y  2 2  x  y  2xy  2  x  xy  y  - HÕt Lop12.net 2 0.25 0.50