Tìm m để hàm số 1 có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.. Tìm m để hàm số 1 có cực đại, cực tiểu và các đ[r]
(1)PhÇn kh¶o s¸t hµm sè Bµi to¸n liªn quan A Kh¶o s¸t hµm sè I Các bước khảo sát hàm số Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ Tập xác định Sù biÕn thiªn - ChiÒu biÕn thiªn, cùc - TÝnh låi lâm, ®iÓm uèn, - Giíi h¹n - B¶ng biÕn thiªn §å thÞ - Giá trị đặt biệt, nx tính đối xứng - §å thÞ Tập xác định Sù biÕn thiªn - ChiÒu biÕn thiªn, cùc - Giíi h¹n, tiÖm cËn - B¶ng biÕn thiªn §å thÞ - Giá trị đặt biệ, nx tính đối xứng - §å thÞ Sù kh¸c biÖt : Hµm ®a thøc kh«ng cã tiÖm cËn, hµm h÷u tØ kh«ng cÇn xÐt ®aä hµm cÊp hai II Các dạng đồ thị hàm số: Hµm bËc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) y y y y O I a>0 O x a<0 I I I x O D¹ng Hµm sè cã CT ? a>0 O x a<0 x D¹ng Hµm sè kh«ng cã CT ? Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a 0) y y O O x a>0 x O Dạng 1: hàm số có cực trị ? Hµm sè : y O x a>0 a<0 y y x a<0 Dạng 2: hàm số có cực trị ? ? ax b (ad bc 0) cx d y y I I O x Lop12.net O x (2) B Bµi to¸n liªn quan Dùng đồ thị biện luận phương trình: f(x) = m hoÆc f(x) = g(m) hoÆc f(x) = f(m) (1) + Với đồ thị (C) hàm số y = f(x) đã khảo sát + Đường thẳng (d): y = m y = g(m) y = f(m) là đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox Các bước giải Bước Biến đổi phương trình đã cho dạng pt (1) Bước Lập luận Bước Dựa vào đồ thị để kết luận Dựa vào pt hoành độ giao điểm để số giao điểm đồ thị hàm số Bµi to¸n: BiÖn luËn sè giao ®iÓm cña ®êng (C): y = f(x) vµ (C’): y = g(x) Bước Số giao diểm hai đường cong (C1) y= f(x) và (C2) y=g(x) là số nghiệm phương trình hoànhđộ giao điểm f(x) = g(x) (1) Bước Dựa vào việc xét pt (1) suy số nghiệm để số giao điểm đồ thi hµm sè TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng & thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay Häc sinh cÇn nhí vµ vËn dông thµnh th¹o c¸c c«ng thøc: a TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi: + (C): y = f(x), trôc Ox vµ ®êng th¼ng x = a, x = b ( a < b) b Ta sö dông c«ng thøc (I) S f ( x ) dx a + TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi: (C): y = f(x), y = g(x) / [a;b] Ta sö dông c«ng thøc S b f ( x ) g ( x ) dx (II) a + TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh tõ h×nh ph¼ng (H) giíi h¹n bëi (C): y = f(x), trôc Ox vµ ®êng th¼ng x = a, x = b ( a < b), (H) quay quanh Ox Ta dïng c«ng thøc b V f ( x ) dx (III) a Cùc trÞ cña hµm sè - Yêu cầu học sinh: Biết số lượng cực trị dạng hàm số học chương trình: Hµm sè bËc : y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) kh«ng cã cùc trÞ hoÆc cã cùc trÞ + Hs cã ct y’ cã nghiÖm ph©n biÖt Lop12.net (3) + Hs kh«ng cã ct y’ cã nghiÖm kÐp hc v« nghiÖm Hµm sè bËc d¹ng : y = ax4 + bx2 + c (a 0) cã cùc trÞ hoÆc cc trÞ + Hs cã ct y’ cã nghiÖm ph©n biÖt(a.b<0) + Hs cã ct y’ cã nghiÖm(a.b 0) Hµm sè nhÊt biÕn d¹ng: y ax+b chØ t¨ng hoÆc chØ gi¶m vµ kh«ng cã cùc trÞ cx+d Hµm sè h÷u tû (2/1)d¹ng: y ax bx c kh«ng cã cùc trÞ hoÆc cã cc trÞ a 'x b' + Hs cã ct y’ cã nghiÖm ph©n biÖt + Hs kh«ng cã ct y’ v« nghiÖm Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a;b) và x0 (a;b) - Nếu f’(x0) = và f’(x) đổi dấu x qua x0 thì hàm số có cực trị x = x0 - Nếu f’(x0) = và f’(x) đổi dấu từ + – x qua x0 thì hàm số có cực đại x = x0 - Nếu f’(x0) = và f’(x) đổi dấu từ – + x qua x0 thì hàm số có cực tiểu x = x (Điều này đúng hsố không có đạo hàm x0 hàm số có xác định đó) HoÆc: - NÕu f’(x0) = vµ f’’(x) th× hµm sè cã cùc trÞ t¹i x = x0 - NÕu f’(x0) = vµ f’’(x) > th× hµm sè cã cùc tiÓu t¹i x = x0 - Nếu f’(x0) = và f’’(x) < thì hàm số có cực đại x = x0 Viết PTTT đồ thị hàm số TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ( C ) : y = f(x) - Phương trình tiếp tuyến ( C ) M(x0 ; y0) : y – y0 = f’(x0)(x – x0) - ( C ) : y = f(x) và ( D ) : y = g(x) tiếp xúc với f x g x có nghiệm f x g x ( nghiệm hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm ) Dạng : Lập phương trình tiếp tuyến ( C ) M( x0 ; y0 ) Phương pháp : Áp dụng công thức y – y0 = f’(x0)( x – x0 ) - Nếu chưa cho y0 thì tính y0 = f(x0) - Nếu chưa cho x0 thì x0 là nghiệm phương trình f(x) = y0 Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước Phương pháp Cách : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc k f x0 k Giải phương trình tìm x0 D y f x0 Phương trình tiếp tuyến y – y0 = k( x – x0 ) Cách : Gọi (d) : y = kx + b là tiếp tuyến ( C ) f x k 1 có nghiệm Giải (1) tìm x vào (2) tìm b f x kx b 2 Lưu ý Cho (d) : y = a.x + b : Lop12.net (4) - (d1) song song với (d) thì (d1) có hệ số góc k = a - (d2) vuông góc với (d) thì (d1) có hệ số góc k = a hay a.k = – Dạng : Lập phương trình tiếp tuyến qua điểm A( x1 ; y1 ) Phương pháp Cách : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm.Tính y0 = f(x0) và f’(x0) theo x0 Phương trình tiếp tuyến (C) M là : y – y0 = f’(x0)( x – x0 ) (1) Vì tiếp tuyến qua A nên y1 – y0 = f’(x0)( x – x0) giải phương trình tìm x0 thay vào (1) Cách : Gọi (d) là đường thẳng qua A có hệ số góc k Ta có (d) : y – y1 = k( x – x1 ) (1) là tiếp tuyến (C) f x k 1 f x k x x1 y1 2 có nghiệm Thế k từ (1) vào (2) giải tìm x vào (1) tìm k và thay vào phương trình (1) Dạng :Sự tiếp xúc hai đường Phương pháp : Áp dụng (C) và (D) tiếp xúc với f ' ( x) g ' ( x) có nghiệm Từ đó suy giá trị tham số f ( x) g ( x) Max - a Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D Sè M gäi lµ GTLN cña hµm sè y=f(x) trªn D nÕu: x D : f ( x) M x0 D : f ( x0 ) M (ký hiÖu M=maxf(x) ) Sè m gäi lµ GTNN cña hµm sè y=f(x) trªn D nÕu: x D : f ( x) m x0 D : f ( x0 ) m (ký hiÖu m=minf(x) ) b C¸ch t×m GTLN-GTNN trªn (a,b) + LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè trªn (a,b) + Nếu trên bảng biến thiên có cực trị là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) hàm số trên (a,b) b C¸ch t×m GTLN-GTNN trªn [a,b] + T×m c¸c ®iÓm tíi h¹n x1,x2, , xn cña f(x) trªn [a,b] + TÝnh f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b) + T×m sè lín nhÊt M vµ sè nhá nhÊt m c¸c sè trªn M max f ( x) ; m f ( x) [ a ,b ] [ a ,b ] Bµi to¸n kh¸c bài tập các đề thi đại học Bµi 1: Cho hµm sè y = – x3 + 3mx2 + 3( – m2 )x + m3 – m2 (1) (A – 2002) 1) KSSBT vµ V§T cña hµm sè (1) m = 2) Tìm k để pt : – x3 + 3x2 + k3 – 3k2 = có nghiệm phân biệt 3) ViÕt pt ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm cùc trÞ cña hµm sè (1) Bµi 2: Cho hµm sè y mx (m 9) x 10 (1) ( m lµ tham sè) (B – 2002) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) có điểm cực trị Bµi 3: Cho hµm sè : y = (2m 1) x m (1) ( m lµ tham sè) (D – 2002) x 1 Lop12.net (5) 1).Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ V§T (C) cña hµm sè (1) øng víi m = –1 2) Tính d.t hình phẳng giới hạn đường cong (C) và trục tọa độ 3) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x Bµi 4: Cho hµm sè y mx x m x 1 (1) ( m lµ tham sè ) (A – 2003) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = – 2).Tìm m để đthị hsố (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương Bµi 5: Cho hµm sè y = x3 – 3x2 + m (1) ( m lµ tham sè) (B – 2003) 1) Tìm m để đồ thị h.số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa độ 2) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Bài 6: 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hs y x2 x (1) (D – 2003) x2 2) Tìm m để đường thẳng dm : y = mx + – 2m cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt x 3x Bµi 7: Cho hµm sè y (1) (A – 2004) 2( x 1) 1) Kh¶o s¸t hµm sè (1) 2) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A, B cho AB = Bµi 8: Cho hµm sè y = x x x (1) có đồ thị (C) (B – 2004) 1) Kh¶o s¸t hµm sè (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm uốn và chứng minh là tiếp tuyến (C) cã hÖ sè gãc nhá nhÊt Bµi 9: Cho hµm sè y = x3 – 3mx2 + 9x + (1) víi m lµ tham sè (D – 2004) 1) Kh¶o s¸t hµm sè (1) m = 2) Tìm m để điểm uốn hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + Bài 10: Gọi (Cm) là đồ thị hàm số y mx (*) ( m lµ tham sè ) (A – 2005) x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 1/4 2) Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) đến tiệm cận xiên cña (Cm) b»ng 1/ Bài 11: Gọi (Cm) là đồ thị hs y = x (m 1) x m (*) (m lµ tham sè) (B – 2005) x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) m = 2) CMR với m , đồ thị (Cm) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách hai điểm đó 20 Bài 12: Gọi (Cm) là đồ thị hàm số y = x3 m x (*) (m lµ tham sè) (D – 2005) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) m = 2) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ –1 Tìm m để tiếp tuỵến (Cm) điểm M song song víi ®êng th¼ng 5x – y = Bài 13: 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y = 2x3 – 9x2 + 12x – 2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt : x3 – 9x2 + 12x = m(A – 2006) Bµi 14: Cho hµm sè y x2 x 1 (B – 2006) x2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Lop12.net (6) 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên cña (C) Bµi 15: Cho hµm sè y = x3 – 3x + 2(D – 2006) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho 2) Gọi d là đường thẳng qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) điểm phân biệt Bµi 16: Cho hµm sè y x 2(m 1) x m 4m (1) , m lµ tham sè (A – 2007) x2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = –1 2) Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O Bµi 17: Cho hµm sè y = –x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – (1), m lµ tham sè (B – 2007) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ O Bµi 18: Cho hµm sè y 2x (D – 2007) x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt hai trục Ox, Oy A, B và tam gi¸c OAB cã diÖn tÝch b»ng 1/ Bµi 19: Cho hµm sè y mx (3m 2) x (1) víi m lµ tham sè thùc (A – 2008) x 3m 1).Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2).Tìm các giá trị m để góc đường tiệm cận đồ thị hàm số (1) 45o Bµi 20: Cho hµm sè y= 4x3 – 6x2 + (1) (B – 2008) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó qua điểm M(-1; -9) Bµi 21: Cho hµm sè y = x3 – 3x2 + (1) (D – 2008) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k 3) cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm đoạn thẳng AB bµi tËp «n thi Hµm bËc Bµi Cho hµm sè y x3 3x (C) a Kh¶o s¸t hµm sè b Tìm m để pt x3 3x m có nghiệm phân biệt lớn c Tìm m để đường thẳng qua A(1;0) với hệ số góc m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt có hoành độ dương d T×m c¸c ®iÓm M thuéc (C) cho tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M qua ®iÓm D(0;-2) e tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) , x=-1vµ tiÕp tuyÕn cña nã t¹i ®iÓm cã hoµnh độ 1 Bµi Cho hµm sè y x3 mx (2m 1) x m 2(Cm ) Lop12.net (7) a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số với m=2 b Tìm m để hàm số đồng biến trên (-1;0) c Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm 1; là điểm cực đại 3 d Tìm m để điểm A(0;2) thuộc đường thẳng qua cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số e Tìm m để tâm đối xứng (Cm) nằm trên đường thẳng y 2 x Bài a Qua A(0;-2) kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y x3 3x với các tiếp điểm là M, N Viết phương trình đường thẳng MN b Chứng minh m thay đổi đường thẳng y m( x 1) 2(d ) luôn cắt đồ thị hàm số y x3 x (C) điểm A cố định Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt A, B, C cho tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i B, C vu«ng gãc c Tìm m để đường thẳng qua cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y x3 3mx 3(2m 1) x vu«ng gãc víi ®êng th¼ng x y 2009 Hµm bËc Bµi Cho hµm sè y x 2mx 2m(Cm ) a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số với m=1 b TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ tiÕp tuyÕn cña nã t¹i t¹i ®iÓm cùc tiÎu c Tìm m để đồ thị hàm số có cực trị và điểm cực trị nó là đỉnh tam giác vu«ng c©n d Tìm m để đồ thị hàm số (Cm=) cắt đường thẳng y điểm phân biệt có hoành độ theo thø tù lËp thµnh cÊp sè céng Bài a Tìm m để hàm số y mx (m 1) x 2m có cực trị b Tìm m để đồ thị hàm số y x 2(m 1) x 2m nằm phía trên đường thẳng y 2 2 c Tìm a để đths y ax tiếp xúc với đths y x 1 x 1 , viết pt tiếp tuyến chung c¸c tiÕp ®iÓm d Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m ®ths y x 2mx 2m lu«n ®I qua ®iÓm cố định A, B Tìm m để tiếp tuyến đths A và B vuông góc e Tìm m để tiếp tuyến điểm cố định có hoành độ dương đths y x mx m song song víi ®êng th¼ng y x Mai Duy Du©n Hµm bËc nhÊt / bËc nhÊt Bµi Cho hµm sè y 2x 1 (C ) x 1 a Kh¶o s¸t hµm sè b TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ ®êng th¼ng 3x y c Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua A(-1;8) Tìm toạ độ tiếp điểm e Tìm m để đường thẳng y x m cắt (C) điểm phân biệt A, B cho AB = 2 f Chứng minh đường thẳng y x m luôn cắt đồ thị (C) điểm phân biệt M, N d Tìm k để đường thẳng y x k tiếp xúc với đồ thị (C) Tìm m để MN ngắn g Tìm các điểm M thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận (C) là nhá nhÊt h Tìm k để pt: 2sin x k cã nghiÖm ph©n biÖt tho¶ m·n: x sin x Lop12.net (8) Bµi a Gọi I là giao tiệm cận đồ thị hs y tuyÕn cña (C) t¹i M vu«ng gãc víi IM 2x 1 (C ) T×m M thuéc (C) cho tiÕp x 1 b Tìm m để đường thẳng y x m cắt đồ thị hs y x 1 (C ) t¹i ®iÓm ph©n biÖt A, B x 1 cho tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i A vµ B song song Lop12.net (9)