Sáng tạo mới trong những bài toán cũ

5 5 Bình luận: Đây là một lời giải rất đẹp bởi lẽ nó rất ngắn gọn , hơn nữa ta đã huy động được kiến thức hình học về yếu tố khoảng cách để giải quyết trọn vẹn một bài toán đại số.. - Vè[r]

Đời là dòng sông tự chảy SÁNG TẠO MỚI TRONG NHỮNG BÀI TOÁN CŨ (Nguyễn Tiến Minh-THPT Hồng Lam Hà Tĩnh) I KHÔNG CÓ BÀI TOÁN NÀO LÀ CŨ Lâu điều ta thường nghĩ nhiều bài toán đã gặp với nhiều lời giải mà biết nên thường nghĩ đó là bài toán cũ Nhưng toán học người ta quan tâm đó là lời giải có tính sáng tạo Đó là lời giải không theo lối mòn tư thông thường Đó là lời giải đẹp ! II NHỮNG LỜI GIẢI SÁNG TẠO Ví dụ 1: Với a là số thực cho trước Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức sau 2 f ( x; y; z ) =  x  y  1   x  y  z    2 x  y  az  1 Lời giải : theo lối truyền thống là ta xét trường hợp x  y 1    a) Nếu  x  y  z   có nghiệm  a  4  Amin  2 x  y  az     x  y 1  b) Nếu  x  y  z   vô nghiêm  a  4  A  2 x  y  az    Khi đó f ( x; y; z ) =  x  y  1   x  y  z    2 x  y  z  1 = 2 x  y  12   x  y  z  22  2 x  y  z  12   x  y  z  22  2 x  y  z  12 Theo bất đẳng thức Bu nhiakopski ta có: =    1 2  ( -x-y +2z -2) +1 ( 2x +2y -4z +1)  x  y  z  2  2 x  y  z  1   2 Lop12.net Đời là dòng sông tự chảy  x  y  z  22  2 x  y  z  12   f ( x; y; z )  dấu “ = “ xẩy chẳng hạn ( x: y ; z ) = ( 0; ; 9/10 ) Vậy Amin  Bây ta xét lời giải đặc sắc sau đây Lời giải 2: Xét hệ tọa độ Đề -Cac không gian O.xyz đó ta gọi M ( a; b; c )  a  x  y 1  Với :  b  x  y  z  Dễ thấy M thay đổi thuộc mặt phẳng cố định (P) có c  x  y  z   phương trình sau đây (P) : y  z   Khi đó f ( x; y; z ) = MO 3 MOmin  khoảng cách từ đến ( P ) =  f ( x; y; z )  5 Bình luận: Đây là lời giải đẹp lẽ nó ngắn gọn , ta đã huy động kiến thức hình học yếu tố khoảng cách để giải trọn vẹn bài toán đại số - Vè đẹp lời giải còn minh họa kiểu tư qua ví dụ sau đây Ví dụ 2: u và v là số thực thay đổi Hãy chứng minh bất đẳng thức sau: f (u; v)  u  v   u  v   32  M (u; u ) Lời giải: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O.xy ta gọi   M và N là các điểm  N (v; v  1)   thay đổi theo thứ tự thuộc Pa bol y  x và đường thẳng (d) y = x-1 Gọi ( a ) là tiếp tuyến song song với (d ) Lop12.net Đời là dòng sông tự chảy 1 Bạn dễ tính tọa độ tiếp điểm M ( ; ) Và 1  1 f (u; v)  MN  f (u; v)  MN  d( M ; a )   Từ đó f (u; v)  32 Cuối cùng để bài viết khỏi quá dài xin mời các bạn tham gia giải các bài tập sau và chúc các bạn tìm lời giải sáng tạo so với lời giải đã có III.Bài tập: Cho số thực thõa mãn: x  y  z  x  y  z   Hãy tìm và max P = x  y  z  Chứng minh với số thực a, x, y ta luôn có: x  (4  a ) y  (4a  4) xy  22 x  (10a  4) y  26  Trong mặt phẳng O.xy cho điểm A ( -1;0 ), B ( 2;0 ) và C ( 1; ) Hãy viết phương trình đường thẳng ( d ) qua A cho tổng các khoảng cách từ B và C đến ( d) là lớn ( đây là bài toán hay) ( Nguyễn tiến Minh- tháng năm 2007) Lop12.net