BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Để chứng minh các BĐT ta có thể sử dụng một số bất đẳng thức hoặc dùng phương pháp đánh giá... an xảy ra khi và chỉ khi các số này bằng nhau..[r]
(1)BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Để chứng minh các BĐT ta có thể sử dụng số bất đẳng thức dùng phương pháp đánh giá I.Sử dụng số BĐT bản: Các BĐT đây là BĐT Cô-Si: Với n số không âm bất kì: a1 ; a2 ; an ( n 2) ta luôn có: a1 a2 an n a1a2 an ( I ) ; dấu xảy và khi: a1 a2 an n BĐT Bunhiacôpxki: Với hai số thực bất kì ( a1 ; a2 ; an ),(b1 ; b2 ; bn ) ta luôn có: (a1b1 a2b2 anbn ) (a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 )( II ) ; dấu xảy và a a a 2 Khi: n BĐT: a b c ab bc ca ( III ) ; dấu xảy a b c b1 b2 bn 1 n2 ( IV ) ; đó a1 , a2 , an là các số dương; dấu BĐT: a1 a2 an a1 a2 an xảy và các số này Bài 1: Cho a b Chứng minh: a/a 3; b / a 3; c / a 2 b( a b) (a b)(b 1) b( a b) Giải: a/ Theo BĐT (I) ta có: b ( a b) 1 3 b.(a b) (đpcm) b( a b) b( a b) Dấu xảy b 1; a Bài 2: Cho a > 1; b > Chứng minh: a b b a ab (b 1) ab Giải: Theo BĐT (I) ta có: a b a (b 1).1 a ; tương tự ta có: 2 ab b a 1 Cộng các vế các BĐT này lại ta đpcm Dấu xảy a = b = 2 Bài 2’: a,b,c là ba số không âm có tổng Chứng minh: ab bc ca abc / 27 (1 a ) (1 b) (1 c) Giải: Theo BĐT (I) ta có: (1 a )(1 b)(1 c) 3 a b c ab bc ca abc ab bc ca abc / 27 (đpcm) Dấu xảy a = b = c =1/3 Bài 3: Cho ba số không âm a,b,c Chứng minh: a b3 c a bc b ca c ab Lop12.net (2) Giải: Theo BĐT (I) ta có: 4a b c 6 a 3 3 b3c 6a bc ; tương tự ta có: 4b3 c a 6b ca ;4c a b3 6c ab cộng các vế các BĐT này lại đơn giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c Bài 3’: Cho ba số dương x,y,z Chứng minh: ( x y z )6 / xy z 432 Bài 4: Tìm GTNN biểu thức P ( x y )9 / x y đó x,y là các số dương x y ( x y )9 99 39 x y Giải: Theo BĐT (I) ta có: x y P 6 6 x y 36 Vậy GTNN P / y = 2x Bài 5: Ba số thực a,b,c thỏa mãn hệ thức: a b6 c Hãy tìm GTLN biểu thức S a b2 c2 6 Giải: Theo BĐT (I) ta có: a 3a ; b 3b ; c 3c 3S S Vậy GTLN S a = b = c = Bài 6: x,y là các số thực thỏa mãn các điều kiện: x 3;0 y Tìm GTLN biểu thức: A (3 x)(4 y )(2 x y ) Giải: Theo BĐT (I) ta có: 2(3 x).3(4 y ).(2 x y ) (6 x) (12 y ) (2 x y ) 6 A 63 A 36 Vậy GTLN A 36 x = và y = Bài 7: x,y,z là các số không âm có tổng Tìm GTLN biểu thức: P xyz ( x y )( y z )( z x) a m n b m n c m n Bài 8: a,b,c là các số dương Chứng minh: m m m a n b n c n (m, n N * ) b c a n a m n n m a m n n n Giải: Theo BĐT (I) ta có: n m mb ( m n) m n m (b ) ( m n) a Tương tự b b b m n c m n n n n n ta có: n m mc ( m n)b ; n m ma ( m n)c Cộng các BĐT này lại đơn c a giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c a b2 c2 Chú ý: Nếu m n thì ta BĐT: a b c b c a a3 b3 c3 abc Bài 9: Cho số thực dương a,b,c Chứng minh: b(c a ) c(a b) a (b c) a3 b ca a b c a 3a Giải: Theo BĐT (I) ta có: Tương tự ta có: 3 b (c a ) b (c a ) 2 Lop12.net (3) b3 c a b 3b c3 a b c 3c ; Cộng các vế các BĐT này lại đơn c ( a b) a (b c) giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c Bài 10: Các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: x y z Tìm GTNN biểu thức: x3 y3 z3 S yz xz yx Bài 11: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: a b c Tìm GTNN biểu thức: 1 P (1 )(1 )(1 ) a b c Bài 12: Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn hệ thức: x y z Chứng minh: S 4x y 4z Giải: Theo BĐT (I) ta có: x x 4 x 2.2 x / Tương tự ta có: y 2.2 y / ; z 2.2 z / S 2(2 x / y / z / ) 2.3 2( x y z ) / (đpcm) Dấu xảy x y z Bài 13: Cho hai số thực dương x,y có tổng Tìm GTNN biểu thức: x y S 1 y 1 x x2 y2 xy xy Giải: Dễ thấy S dương Theo BĐT (I) ta có: S x y y x x2 y2 3 xy xy 3( x y ) S S Vậy MinS x = y = 1/2 y x Bài 14: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a b c Tìm GTNN biểu thức: a b c S b c a 2 Bài 15: Cho số dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: a b c Chứng minh: ab bc ca S c a b Bài 16: Cho số dương x,y,z có tổng Chứng minh BĐT: xy yz zx xy z yz x zx y Giải: Do xy z xy z ( x y z ) ( x z )( y z ) nên theo BĐT (I) ta có: Lop12.net (4) x y 1 x y Tương tự ta có: x z y z 2 x z y z yz 1 y z xz 1 x z ; yz x x y x z xz y x y y z xy xy z Cộng các BĐT trên ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy x y z 1/ Bài 17: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện: x y Tìm GTNN biểu thức: P 3x y Giải: Theo BĐT (I) ta có: P x y 3x y 3x y 3x y x y 2 x y 19 Vậy MinP = 19 x = và y = Bài 18: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: xy xz Tìm GTNN biểu thức: yz xz xy S x y z yz xz yz xy xy xz Giải: Theo BĐT (I) ta có: S 3 z y x x y x z z y 2( x z ) 4( x y ) xz xy Vậy MinS = x = y = z = 1/3 Bài 19: Cho hai số thực không âm x,y thỏa mãn các điều kiện: x y 4;3 x y Tìm GTLN biểu thức: P x y 2 y.3 3( x 2) ( y 3) 3 3 92 a ( x y ) b(3 x y ) 4a 6b 62 ( Do a 3b & a b / a (2 3) / & b (9 3) / ) Giải: Theo BĐT (I) ta có: P 3.3 x.1.1 Vậy MaxP x 1& y Bài 20: Cho số dương a,b,c Chứng minh BĐT: 1 1 1 1 2a b c a 2b c a b 2c a b c 1 1 1 Giải: Theo BĐT (IV) ưng với n =2 ta có: 2a b c ( a b) ( a c ) a b a c 1 1 1 Tương tự ta có: a b a c 16 a b c Lop12.net (5) 1 1 1 2 1 ; Cộng các vế các BĐT này lại a 2b c 16 a b c a b 2c 16 a b c đơn giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a b c Bài 21: Cho hai số dương a,b có tổng Chứng minh các BĐT sau: 1 a/ 6; b / 14 ab a b ab a b Giải: a/ Theo BĐT (IV) ứng với n =2 ta có: 1 1 ab a b 2ab 2ab a b 2 (đpcm) Dấu xảy a b 1/ (a b) 2ab a b a b 1/ Bài 22: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a b c 3/ Chứng minh: a b c 1/ a 1/ b 1/ c 15 / Bài 23: Ba số dương x,y,z có tích Chứng minh: x y z x y z ( x y z )2 2 Giải: Áp dụng BĐT (II) và (I) ứng với n = ta có: x y z ( x y z ) x yz ( x y z ) xyz x y z (đpcm) Dấu xảy x y z a b2 c2 a b c Chú ý: Từ BĐT trên ta suy BĐT: với a,b,c là các số dương b c a b c a Bài 24: Cho a c 0; b c Chứng minh: c(b c) c(a c) ab Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai số ( c ; a c ) & ( b c ; c ) ta được: ( c(b c) c(a c)) (c a c)(b c c) ab từ đó suy BĐT ccm Dấu xảy ab c(a b) Bài 25: Cho số dương x,y,a,b thỏa man các điều kiện: a x; a b x y Chứng minh: x2 (a x) a2 x y ab x y ab x ax ; & ( x y ; a b x y ) ta Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai số x y a b x y 2 x (a x) được: ( x y a b x y ) ( x a x) từ đó suy BĐT ccm Dấu x y ab x y xảy bx = ay Lop12.net (6) Bài 26: Bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn hệ thức: a b c d 1; x là số thực bất kì Chứng minh: ( x ax b) ( x cx d ) (2 x 1) 2 2 2 2 Giải: Áp dụng BĐT (II) ứng với n = ta có: ( x ax b) ( x x )( x a b ); ( x cx d ) ( x x 12 )( x c d ) ( x ax b) ( x cx d ) (2 x 1)( x a b x c d ) (2 x 1) (đpcm) Dấu xảy b=d=1&x=a=c x y z Bài 27: Cho số dương x,y,z,p,q bất kì Chứng minh: py qz pz qx px qy p q Giải: Theo BĐT (III) ta có: x( py qz ) y ( pz qx) z ( px qy ) ( p q )( xy yz zx) x y z ( p q )( x y z ) / (*) Áp dụng BĐT (II) cho hai số ; ; và py qz pz qx px qy ( x( py qz ); y ( pz qx); z ( px qy )) ta được: x y z x( py qz ) y ( pz qx) z ( px qy ) ( x y z ) py qz pz qx px qy Kết hợp với BĐT (*) ta BĐT ccm Dấu xảy khi; py qz pz qx px qy Bằng cách giải tương tự ta chứng minh các BĐT sau: a b c với a,b,c là các số dương bất kì bc ac ba a b c d 2/ với a,b,c,d là các số dương bất kì bc d c d a ab a2 b2 c2 abc 3/ với a,b,c là các số dương bất kì bc ac ba a2 b2 c2 4/ a b c với a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác bca a cb b a c a b c 5/ với a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác bca a cb b a c Bài 28: Cho các số thực x,y,u,v thỏa mãn điều kiện: x y u y Chứng minh: 1/ u ( x y ) v( x y ) 2 2 2 Giải: Theo BĐT (II) : u ( x y ) v( x y ) (u v ) ( x y ) ( x y ) 2( x y ) Từ đó suy BĐT cần chứng minh Dấu xảy u ( x y ) v( x y ) Bài 29: Cho a,b,c là số dương thỏa mãn điều kiện: a b c Chứng minh: Lop12.net (7) a3 b3 c3 bc ac ba a3 b3 c3 Giải: Theo BĐT (II) ta có: a (b c) b(a c) c(b a ) b c a c b a (a b c ) (a b c ) ab bc ca Từ đó ta suy BĐT cần chứng minh Dấu xảy a b c / Bài 30: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: x( x 1) y ( y 1) z ( z 1) / Chứng minh: 1 x y z 2 Giải: Từ điều kiện ta suy ra: ( x 1/ 2) ( y 1/ 2) ( z 1/ 2) 25 /12 Áp dụng BĐT (II) ta được: 1.( x 1/ 2) 1.( y 1/ 2) 1.( z 1/ 2) ( x 1/ 2) ( y 1/ 2) ( z 1/ 2) 25 / x y z 3/ / 5 / x y z 3/ / 1 x y z (đpcm) Dấu xảy x y z / Bài 31: Hai số a,b thỏa mãn điều kiện: a b 16 8a 6b Chứng minh: a /10 4a 3b 40; b / 7b 24a 2 Giải: a/ Từ điều kiện ta suy ra: ( a 4) (b 3) Áp dụng BĐT (II) ta được: 4(a 4) 3(b 3) (a 4) (b 3) (42 32 ) 9.25 4a 3b 25 15 15 4a 3b 25 15 10 4a 3b 40 (đpcm) Dấu xảy a = 24/5,b = 24/3 a = 16/5, b = 6/5 Bài 32: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: x y z x z Tìm GTNN và GTLN biểu thức: S x y z Bài 33: Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn hệ thức: a b c Tìm GTNN biểu thức: S a ab b c cb b a ac c Giải: Theo BĐT (II) ta có: 2 2 b 3b b b 2 (a ab b ) a a ( a b) 1 2 a ab b 3(a b) / Tương tự ta có: c cb b 3(c b) / ; c ca a 3(c a ) / S 3(a b c) Vậy MinS = a b c / II.Sử dụng phương pháp đánh giá: Bài 34: Cho số dương a,b,c Chứng minh các BĐT sau: Lop12.net (8) 1 1 ; a b3 abc c b3 abc a c abc abc 1 abc b/ a bc b ac c ab 2abc 3 2 Giải:a/Ta có: a b abc ( a b)( a ab b ) abc ( a b) ab abc ab( a b c) 1 c Tương tự ta có các BĐT: a b3 abc ab(a b c) abc(a b c) a/ a b ; Cộng các vế các BĐT này lại c b3 abc abc(a b c) c a abc abc(a b c) giản ước ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a b c 1 bc b c b/ Theo BĐT (I) ta có: a bc 2a bc a bc 2a bc 2abc 4abc ac ba Tương tự ta có: ; Cộng các vế các BĐT này lại đơn b ac 4abc c ab 4abc giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a b c Bài 35: Cho số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: x y z Tìm GTNN biểu thức: 1 P xy zy zx ab cb ac Bài 36: Cho số dương a,b,c có tổng Chứng minh: S 2c 2a 2b Bài 37: Cho số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1/ a 1/ b 1/ c Tìm GTLN biểu thức: ab cb ac S a b3 c b3 a c Bài 38: Cho ba số dương x,y,z có tích Tìm GTNN biểu thức: S log 22 x log 22 y log 22 z Giải: Ta có: (log x 1) (log x 1) (log x 1) ( log x log y log z 1) 2 2 log xyz Vậy MinS x y z 2 Bài 39: Cho số thực x,y,z có tổng Tìm GTNN biểu thức: S x y z xyz S 2 2 1 2 2 Giải: Theo BĐT (II) ta có: x y z ( x y z ) ( x y z ) Áp dụng 3 3 27 4 Lop12.net (9) x4 y z 1 1/ 27 xyz x y4 z4 xyz BĐT (I) ta được: S 4 4.27 4 xyz xyz xyz Vậy MinS x y z 1/ 4.27 Bài 40: Cho số dương x,y,z bất kì.Tìm GTNN biểuthức: x2 y2 z2 S x yz y yx z yx Bài 41: Cho số dương x,y,z bất kì Chứng minh: 2x 2y 2z 1 S y z z x6 x4 y x4 y z III.Chứng minh BĐT hoặctìm cực trị phương pháp đổi biến: Bài 42: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: ab bc ca abc Chứng minh BĐT: b 2a c 2b a 2c S ab cb ac Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: x y z và BĐT trở thành: S x y y z z x Theo BĐT (II) ta có: S ( x y ) / ( y z ) / ( z x) / 3( x y z ) / (đpcm) Dấu xảy x y z 1/ hay a b c Bài 43: Cho số thực dương x,y,z có tích Chứng minh BĐT: 1 S x ( y z ) y ( x z ) z ( y x) Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: abc và BĐT trở thành: (a b c) a b c a2 b2 c2 S Áp dụng BĐT (II)&(I) ta có ngay: S 2(a b c) 2 bc ac ba Dấu xảy a b c hay x y z Bài 44: Cho số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 1/ x 1/ y 1/ z Chứng minh BĐT: x yz y xz z yx xyz x y z Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: a b c và BĐT trở thành: a bc b ac c ab ab bc ca Ta có: a bc a (a b c) bc a 2a bc bc (a bc ) a bc Tương tự ta có: b ac b ac ; c ab c ab Cộng các BĐT này lại ta BĐT ccm Dấu xảy a b c 1/ hay x y z Lop12.net (10) Bài 45: Cho hai số thực x,y khác và thỏa mãn điều kiện: x y x y y x Tìm GTNN và GTLN biểu thức: S / x 1/ y Giải: Đặt u 1/ x & v 1/ y thì điều kiện trở thành: u v u 2v (u 1/ 2) (v 1) / Theo BĐT (II) ta có: ( S 2) 2(u 1/ 2) v 1 (22 12 ) (u 1/ 2) (v 1) 25 / 5 / S / 0,5 S 4,5 Vậy MinS = - 0,5 x = - 2; y = MaxS = 4,5 x = y = 2/3 Bài 46: Hai số thực x,y thỏa mãn các điều kiện: y & x x y 12 Tìm GTNN và GTLN biểu thức: A xy x y 17 Giải: Từ điều kiện ta suy ra: y x x 12 4 x ; đồng thời A f ( x) x x x Từ BBT hàm số ta suy ra: x f’(x) MaxA Maxf ( x) f (3) f (3) 20 4;3 MinA Minf ( x) f (1) 12 4;3 -4 + -3 20 - + 20 f(x) 13 -12 Bài 47: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: x y Tìm GTNN biểu thức: S ( x 1)(1 1/ y ) ( y 1)(1 1/ x) Bài 48: Cho các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: x y Tìm GTNN và GTLN x xy biểu thức: T xy y 3 x xy y 2 Giải: Từ điều kiện ta suy ra: T Nếu y x T Nếu y đặt x xy y 3t 2t t x/ y T (3T 3)t 2(T 1)t T 0(*) (*) không có nghiệm T=1 3t 2t Với T 1,(*) có ' (T 1)( 2T 4) 2 T Kết hợp với trên ta có: MinT=-2 x 10 /10; y 3 10 /10 MaxT=1 x 1 và y = Bài 49: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: x y / Tìm GTNN biểu thức: S / x 1/ y Bài 50: Cho hai số không âm x,y có tổng Tìm GTNN và GTLN biểu thức: S x 2008 y 2008 10 Lop12.net (11) Giải: Ta có: S f ( x) x 2008 (1 x) 2008 f '( x) 1004 x 2007 1 x 2008 1004(1 x) 2007 (1 x) 2008 f '( x) x 2007 (1 x) 2008 (1 x) 2007 x 2008 x 4014 1 (1 x) 2008 (1 x) 4014 (1 x 2008 ) x 4014 (1 x) 4014 x 2008 (1 x) 2008 x 2006 (1 x) 2006 (2 x 1) P1 ( x) x 2008 (1 x) 2008 (2 x 1) P2 ( x) x x 1/ ( Vì x và x không đồng thời nên P1 ( x) 0; P2 ( x) ) Do f (0) f (1) 2; f (1/ 2) 1/ 22008 MaxS 2; MinS 1/ 22008 11 Lop12.net (12)