* Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong gx=0 2/ Theå tích cuûa moät vaät theå troøn xoay Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đư[r]
(1)KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ A/ TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT I Đạo hàm : Qui tắc tính đạo hàm : (u1 u2 … un)’ = u1’ u2‘ … un‘ (uv)’ = u’v + uv’ (uvw)’ = u’vw + uv’w + uvw’ (ku)’ = ku’ u u ' v uv ' ( )' v v2 Bảng đạo hàm : Đạo hàm các hàm số thường gặp (C)’ = (C : haèng soá ) (x)’ = Đạo hàm hàm số hợp u = u(x) ' ' 1 x x ( x )' x u' u u u' ( u )' u ( x )' x 1 (u )' u 1 u ' (sinx)’ = cosx (cosx)’ = – sinx (tan x) ' tan x cos x 1 (cot x) ' (1 cot x) sin x (ex)’ = ex (ax)’ = axlna (ln x )' x (log a x )' x ln a (sinu)’ = u’cosu (cosu)’ = – u’sinu u' (tan u ) ' (1 tan u ).u ' cos u u ' (cot u ) ' (1 cot u ).u ' sin u (eu)’ = u’eu (au)’ = aulna.u’ u' (ln u )' u u' (log a u )' u ln a II Sự đơn điệu hàm số : Định lí : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên K + Nếu f’(x) > 0, x K thì hàm số f(x) đồng biến trên K + Neáu f’(x) < 0, x K thì haøm soá f(x) nghòch bieán treân K ● Chú ý : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K Nếu f’(x) ( f’(x) ), x K và f’(x) = xãy số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến ( nghịch biến ) trên K Qui tắc tìm các khoảng đơn điệu : 1/ Tìm tập xaùc ñònh 2/ Tính đạo hàm f ' ( x) 3/ Laäp baûng bieán thieân roài keát luaän ● Chuù yù : * Haøm soá y ax3 bx cx d : a + Đồng biến trên R y ' Trang Lop12.net (2) a + Nghòch bieán treân R y ' a b c d ax b a.d c.b * Haøm soá y ( y' ): cx d (cx d ) (cx d ) + Đồng biến trên các khoảng xác định ad – cb > + Nghịch biến trên các khoảng xác định ad – cb < III Cực đại và cực tiểu 1/.Điều kiện cần : Nếu hàm số y f (x) có đạo hàm x0 và đạt cực trị điểm này thì f ' ( x0 ) 2/.Điều kiện đủ : Dấu hiệu 1: Giả sử hs y f (x) xác định điểm x0 Nếu đạo hàm f ' ( x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 thì x0 là điểm cực đại Nếu đạo hàm f ' ( x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu Dấu hiệu 2: Giả sử hs y f (x) có đạo hàm liên tục tới cấp hai x0 và f ' ( x0 ) , f " ( x0 ) thì x0 là điểm cực trị Nếu f " ( x0 ) thì x0 là điểm cực tiểu Nếu f " ( x0 ) thì x0 là điểm cực đại ● Chuù yù : * Cách tìm tham số để hàm số y = f(x) đạt CĐ (hoặc CT) điểm x = x0 : - Caùch 1: + Tìm f’(x) + Giaûi f’(x0) = tìm tham soá + Thử lại tham số nào thoả đề bài thì nhận - Caùch 2: duøng daáu hieäu * Haøm soá y ax3 bx cx d : a + Có cực trị (có cực trị) y ' a + Không có cực trị y ' * Haøm soá y ax bx c : + Có cực trị y’ = có nghiệm + Có cực trị y’ = có nghiệm IV Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f(x) : Phöông phaùp : 1/ Treân (a;b) ( f(x) xaùc ñònh treân (a;b)) Tính đạo hàm f ' ( x) Lập bảng biến thiên trên (a ; b) , dựa vào bảng biến thiên kết luận 2/ Treân [a ; b] ( f(x) xaùc ñònh treân [a ; b]) Tính đạo hàm , f ' ( x) tìm các điểm tới hạn x1 , x2 , x3 , .xn a; b (f’(xi) (i=1,2 , …, n) không xác định) Tính giaù trò f (a ), f ( x1 ), f ( x ), f ( x3 ) ; f ( x n ), f (b) Tìm số lớn M và số nhỏ m các giá trị trên kết luận max f ( x) M f ( x) m vaø a; b a; b Trang Lop12.net (3) V Tiệm cận : Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Tiệm cận đứng : Nếu lim f ( x) ( lim f ( x) ) lim f ( x) ( lim f ( x) ) thì x x0 x x0 x x0 x x0 đường thẳng d: x = x0 là tiệm cận đứng đồ thị (C) Tiệm cận ngang: Nếu lim f ( x) = y0 lim f ( x) = y0 thì đường thẳng d: y = y0 là tiệm cận ngang x đồ thị (C) ● Chuù yù : Haøm soá y = x ax b (c 0, a.d – c.b 0) cx d a c a y laø TCN c (ad cb 0) (ad cb 0) + lim y ; lim y d x ( ) (ad cb 0) x ( d ) (ad cb 0) + lim y x c c d x laø TCÑ c VI Khảo sát hàm số : Các bước khảo sát hàm số : Tìm taäp xaùc ñònh Chieàu bieán thieân : * Tìm y’, y’= nghieäm ( neáu coù) * Laäp baûng bieán thieân Kết luận các khoảng tăng, giảm, cực trị hàm số Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn vô cực (điền lên BBT) và tiệm cận (nếu có) Vẽ đồ thị : * Tìm các điểm đặc biệt : CĐ, CT, giao điểm với các trục toạ độ (nếu được), … * Dựa vào BBT vẽ đồ thị Caùc haøm soá cô baûn: 1/ Haøm soá bậc ba y= ax3+ bx2+ cx + d (a 0) * Taäp xaùc ñònh : D=R * y’= 3ax2+2bx + c + Nếu y’ = có hai nghiệm x1,x2 hàm số có hai cực trị + Nếu y’ = vô nghiệm có nghiêm kép hàm số không có cực trị * Giới hạn : (a 0) lim y x (a 0) Trang Lop12.net (4) * Bảng biến thiên và dạng đồ thị : Đồ thị nhận điểm uốn I(x0;y0) làm tâm đối xứng (x0 là nghiệm y”) Baûng bieán thieân Dạng đồ thị x -∞ x1 x2 +∞ CÑ B a > vaø y’ = y’ + – + I coù y CÑ +∞ A nghieäm -∞ CT CT p/bieät a < vaø y’ = coù nghieäm p/bieät a > vaø y’ = coù nghieäm keùp a < vaø y’ = coù nghieäm keùp a > vaø y’ = voâ nghieäm x -∞ y’ – y +∞ a < vaø y’ = voâ nghieäm x -∞ y’ y +∞ x1 + x2 CÑ +∞ A – I -∞ CT x -∞ y’ y -∞ x -∞ y’ y +∞ + x0 CÑ +∞ B CT A + +∞ I B – x0 +∞ A – I B -∞ x -∞ y’ y -∞ +∞ A + +∞ I B +∞ A I -∞ 2/ Haøm soá truøng phöông y = ax4+bx2+c (a0) * Taäp xaùc ñònh : D=R * y’= 4ax3+2bx=2x(2ax2+b) x y’ = b x 2a + a.b < y’= có nghiệm hàm số có cực trị + a.b y’= có nghiệm hàm số có cực trị (a 0) * Giới hạn : lim y x (a 0) * Bảng biến thiên và dạng đồ thị : Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng Trang Lop12.net B (5) Baûng bieán thieân a > vaø y’ = coù nghieäm a < vaø y’ = coù nghieäm x - y’ – y + x1 + 0 CÑ Dạng đồ thị x2 – x1 CÑ1 + A CT2 – 0 B + CT1 x - y’ + y - + y CÑ x2 – CÑ2 + CT + - CT1 O CT2 CÑ1 y CÑ2 A B CT O y a > vaø y’ = coù nghieäm a < vaø y’ = coù nghieäm x - y’ y + – 0 + + B A + CT x - y’ y - + 0 CÑ O CT y + CÑ – - A ax b (c ; a.d - c.b 0) cx d d * Taäp xaùc ñònh : D R \ c a b c d a.d c.b * y’= (cx d ) (cx d ) + a.d - c.b < thì hàm số đồng biến + a.d – c.b < thì haøm soá nghòch bieán * Giới hạn, tiệm cận : a a + lim y y laø TCN x c c (ad cb 0) (ad cb 0) + lim y ; lim y d x ( ) (ad cb 0) x ( cd ) (ad cb 0) c d x laø TCÑ c * Bảng biến thiên và dạng đồ thị : d a Đồ thị nhận I ( ; ) làm tâm đối xứng c c 3/ Haøm soá y = Trang Lop12.net O B (6) x Baûng bieán thieân d c + + - ad – cb y’ >0 y x ad – cb y’ <0 y + TCÑ I a c + a c Dạng đồ thị TCN - d c - + – TCÑ – a c I + TCN a c - VII CÁC BAØI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT 1/ Sự tương giao đường cong Bài toán : Cho hàm số y f (x) có đồ thi (C) và hàm số y g (x) có đồ thị là (C’) Hãy biện luận (hoặc tìm giao điểm ) hai đường cong trên Caùch giaûi : Phương trình hoành độ giao điểm hai đường cong là : f ( x) g ( x) (*) Số giao điểm hai đường cong (C) và (C’) chính là số nghiệm phương trình (*) Bieän luaän Neáu phöông trình (*) voâ nghieäm thì (C ) (C ' ) Neáu phöông trình (*) coù n ngieäm thì (C) vaø (C’) coù n ñieåm chung Chuù yù : Nghieäm keùp xem nhö laø moät ( ñieåm chung laø ñieåm tieáp xuùc) 2/ Dùng đồ thị biện luận nghiệm phương trình Bài toán : Cho phương trình f ( x; m) 0(*) (m là tham số).Hãy dùng đồ thị (C) : y f (x) biện luaän theo m nghieäm phöông trình (*) Caùch giaûi : Biến đổi phương trình (*) f ( x) g (m) (*a) Soá nghieäm cuûa phöông trình (*a) chính laø giao ñieåm cuûa (C) : y f (x) vaø d: y g (m) (là đường thẳng song trùng Ox) Biện luận : Dựa vào đồ thị + d (C ) pt (*) voâ nghieäm + d (C ) n ñieåm phöông trình (*) coù n ngieäm 3/.Vieát phöông trình tieáp tuyeán Bài toán : Cho hàm số y f (x) có đồ thị (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) ● Chuù yù : Caùch giaûi : * PTTT coù dạng : y -y0 = f’(x0)(x-x0) ( y0 = f(x0) , M0 (x0 ,y0) : tieáp ñieåm, f’(x0 ) : heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán ) * Dựa vào đề tìm x0, y0 , f’(x0) thay vào PTTT rút gọn *Neáu bieát y0 = p thì giaûi phöông trình f(x0) = p tìm x0 Trang Lop12.net (7) * Nếu biết hệ số goùc k thì giaûi phöông trình f’(x0) = k tìm x0 + Tiếp tuyến song song đường thẳng y = kx + b thì f ' ( x0 ) k + Tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y = kx + b thì f '( x0 ) k B/ BAØI TAÄP AÙP DUÏNG Baøi 1: Khaûo saùt caùc haøm soá sau: y x3 x 2 y x x y x x x 2x y x 1 2x y 3x 10 y x 10 x 12 y x x y x x x 2 y x2 3x y 2x y x 2x 11 y x x Bài : Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Khaûo saùt haøm soá Tính dieän tích hình phaúng cuûa(C) vaø Ox Dùng đồ thị (C) biện luận theo m nghiệm phương trình x 12 x 4m Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ y = sin x sin x trên ; 2 Đường thẳng d qua góc toạ độ có hệ số góc k Tìm k để d cắt đồ thị (C) điểm phân bieät Bài 3: cho hàm số y= x3 + 3x2 + mx +m – ; m là tham số ; có đồ thị (Cm) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số m = Goïi A laø giao ñieåm cuûa (C) vaø Oy Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi A vaø tính dieän tích hình phẳng giới hạn (C) và tiếp tuyến Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định Tìm m để hàm số nhận x0 = -2 làm điểm cực đại Tìm m để đồ thị nhận I(-1,0) làm điểm uốn Tìm m để hàm số có điểm cực đại , cực tiểu , viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Bài 4: Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x –1 có đồ thị ( C) Khaûo saùt haøm soá Biện luận theo m số giao điểm (C) và đường thẳng y = – m + Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) và đừong thẳng y = Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ – Bài 5: Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Khaûo saùt haøm soá Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi giao ñieåm cuûa (C) vaø truïc Ox Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi đồ thị (C) và trục Ox Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình x x m Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo hình phẳng (H) giới hạn bỡi (C) và Ox quay quanh Ox Bài 6: Cho hàm số y (m 1) x 4mx ; m là tham số, có đồ thị (Cm) Trang Lop12.net (8) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số m =1 Viết hương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi đồ thị (C) và đường thẳng y=2 Biện luận theo m số cực trị hàm số Định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt Baøi 7: Cho haøm soá y x 2(m 1) x 2m (Cm) Khảo sát hàm số m = (có đồ thị (C)) Dựa vào (C) tìm a để phương trình x x a có bốn nghiệm hân biệt Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm x3 Baøi 8: Cho haøm soá y có đồ thị (C) 2 x Khaûo saùt haøm soá ( C) Viết hương trình tiếp tuyến (C) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 4x + y -3 = 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và đồ thị y x Chứng minh với m đường thẳng y = x +m luôn cắt (C) điểm phân biệt (m 1) x m (có đồ thị Cm, m 0) mx Tìm m để đồ thị (Cm) qua M(0; ),khảo sát với m tìm (có đồ thị (C)) 2 Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) và trục hoành Tính thể tích vật thể tròn xoay xoay quanh trục ox hình phẳng (H) giới hạn (C), Ox, Oy và đường thẳng x=1 Đường thẳng (D) qua A(0;1) có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng (D) cắt đồ thị (C) hai ñieåm phaân bieät x 1 Baøi 10: Cho haøm soá y= có đồ thị (C) x 1 Khaûo saùt haøm soá Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) Bieát heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán baèng Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và hai trục tọa độ x 2mx m Baøi 12: Cho haøm soá y= Chứng minh hàm số luôn có cực đại ; cực tiểu với m xm và ycực đại + ycực tiểu = x mx Bài 13: Tìm m để hàm số y đạt cực tiểu x = xm Baøi 14: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : x 3x 1 y treân 1; y ( x 2) x 1 x 2 f ( x) x ln(1 x) treân 2;0 f ( x) 2sin x sin x treân 0; Baøi 9: Cho haøm soá y= Trang Lop12.net (9) CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT I – LÍ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 1: Dùng công thức tính các biểu thức có chứa hàm số mũ hàm số logarit an = an ; a0 Các quy tắc: =1 ; m n m an a ax.ay ax+y = ( m; n nguyên dương , n > 1) ,(a.b)x =ax.bx a , a x y a xy , b a x a b x x , a x y y a x Hàm số mũ : y = a x với a > ; a TXĐ : D = R MGT : (0; + ) + a > ; h/s đồng biến : x1 < x2 a x1 < a x2 + < a < ; h/s nghịch biến : x1 < x2 a x1 > a x2 * Hàm số logarit: = logaN a = N logax = b x= ab Đặc biệt : a loga x = x ; log a a x = x ; loga1 = ; log a a = Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > ; a ta có: B log a (B.C) = log a B + log a C; log a = log a B log a C ;log a B = log a B C Công thức đổi số : với a , b , c > ; a , c ta có : log c a.log a b = log c b log a b log c b log c a ; < a, b : log a b = log b a Chú ý : log10x = log x ; log e x = ln x Hàm số Logarit: y = log a x với a > ; a TXĐ : D = (0 ; + ) MGT : R + a > ; h/s đồng biến : x1 > x2 > log a x1 > log a x2 + < a < 1;h/s ngh biến: x1 > x2 > log a x1 <log a x2 Bài toán 2: Tính đạo hàm các hàm số mũ và logrit s(ex)’ = ex > ( eu)’ = u’.eu ; ( ax)’ = ax.lna > ( au)’ = u’.au.lna (lnx)’= x x (0;+) u > (lnu)’ = u ; (logax)’ = x ln a > (logau )’ = u u ln a Bài toán3: giải phương trình mũ và logarit : Dạng bản: f (x) = a g(x) f(x) = g(x) v(x) u = ( u 1 ).v(x) = ( đó u có chứa biến ) f (x) a = b ( với b > ) f(x) = log a b a log f (x) b f (x) g(x) log a f(x) = log a g(x) ; dạng: a f(x) = f (x) g(x) 0 a v(x) ; u(x) ; u(x) log u(x) v(x) = b b v(x) u(x) Đặt ẩn phụ : a 2f (x) + a f (x) + = f (x) , Đk t > f (x) , Đk t > ; Đặt : t = a a b f (x) + a bf (x) + = ; Đặt : t = a Trang Lop12.net a b a x.y (10) a f (x) + b f (x) + = và a.b = 1; Đặt: t = a 2f (x) + a.b f (x) a f (x) b ; = f (x) t a + b 2f (x) = ; Đặt t = b f (x) Logarit hoá hai vế : Bài toán4: Giải bất phương trình mũ và logarit Dạng : f (x) g(x) a 1) a f (x) > a g(x) f (x) g(x) a 2) a f (x) > b Nếu b có nghiệm x Nếu b > f(x) > log a b a > f(x) < log a b < a < f (x) Nếu b thì pt vô nghiệm Nếu b > ; f(x) < log a b a > f(x) > log a b < a < log a f(x) > log a g(x) Đk: f(x) > ; g(x) > ; < a (a1)[ f(x) g(x) ] > log a f(x) > b * Nếu a > : bpt là f(x) > a b 3) a < b log a f(x) < b * Nếu < a < bpt là < f(x) < a b * Nếu a > : bpt là < f(x) < a b * Nếu < a < bpt là u(x) v(x) f(x) > a b > u(x) > và [ u(x) 1 ].v(x) > u( x )v( x ) < u(x) > và [ u(x) 1 ].v(x) < Lưu ý: *) trường hợp có ẩn số thì chúng ta nên sử dụng công thức sau để bài toán trở nên dễ dàng 1) a f (x) > a g(x) (a1)(f(x) g(x)) > 2) log a f(x) > log a g(x) (a1)(f(x) g(x)) > *) Khi giải bài toán bất phương trình mũ logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu hai hàm số trên *) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao hai hay nhiều tập hợp số II BAØI TAÄP Giaûi caùc phöông trình a) (1,5) d) 2x x 7 3 x 2 3 x 1 b) 0,3 4 x x 1 c) 25 5 1 e) (0,5) x (0,5)1 x x 2 x2 x 4 f) 0,125.4 g) Ñs: a) x=1 b) x c) x = -2 d) x = x = e) x = f) x=6 g)x= -2,x=3 Giaûi caùc phöông trình muõ: a) x 4.3x 45 b) 32 x 1 32 x 108 c) x 1 x 1 x 28 d) 64 x x 56 e) 3.4 x 2.6 x x f) 25 x 6.5 x Ñs: x=0, x=1 g) 32 x 1 9.3x h) 27 x 12 x 2.8 x i) x 1 53 x 26 Ñs: a) x =2; b) x = c) x = d) x = 1; e) x = g) x = 0, x = log h) x x 3 Giaûi caùc phöông trình logarit Trang 10 Lop12.net (11) a) log x log x log 27 x 11 1 c) log x log x e) log( x 1) log(2 x 11) log b) g) log( x x 7) log( x 3) h) log ( x 1) log x log 22 x 3log x d) log (5 x 3) log (7 x 5) f) log ( x 5) log( x 2) Ñs: a) x=729 c) x=100, x =1000 d) voâ nghieäm Giaûi caùc phöông trình sau: 1 a) log( x x 5) log x log 5x c) log x log x log8 x 13 e) x = b) f) x = g) x = h) x=1 log( x x 1) log x log x Ñs: a) x = 2; b) x = c) x = Giaûi caùc baát phöông trình muõ a) 2 x 3 x 7 b) 9 4 d) x 3.2 x e) f) x 2.52 x 10 x g) Đs: a) x<1 x>2; b) x c) x Giaûi caùc baát phöông trình a) log8 (4 x) c) log 0,2 x log ( x 2) log 0,2 x 3 x x2 x 9 48 x c) 3x 3x 1 28 48 14 x d) x x >1 e) (1;2) f) (log 2; ) b) log (3 x 5) log ( x 1) 5 d) log x 5log x x c) x > d) x 27 Giaûi caùc phöông trình a) 3x 3.5 x 3 x 3x 3 b) 25 x 6.5 x c) 4.9 x 12 x 3.16 x d) log ( x 1) log x log x x 8 log x e) log x log x log x g) log x 1 Ñs: a) x 30 b) Ñs: x= -3; b) x= 0, x=1 ; c) x=1; d) x=8; e)x=27; g)x=4 Giaûi caùc baát phöông trình a) 22 x 1 22 x 22 x 3 448 b) (0, 4) x (2,5) x1 1,5 c) log log ( x 1) x 5 x 7 d) log 0,2 x 5log 0,2 x 6 x 17 x 3 e) 32 0, 25.128 f) 3.4 x 2.6 x x g) log ( x 1) log (5 x) h) log( x 16) log(4 x 11) x d) 0,008 < x < 0,04 Ñs: a) x b) x 1 c) 2 CHÖÔNG III: NGUYEÂN HAØM, TÍCH PHÂN VAØ ỨNG DỤNG Trang 11 Lop12.net (12) I Các phương pháp tìm nguyên hàm NGUYÊN HAØM CÁC HAØM SỐ HỢP : u u x NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ SÔ CAÁP THƯỜNG GẶP 1, dx x C 2, x dx 3, 1, du u C x 1 C , 1 1 2, u du dx ln x C , x x 3, 4, e x dx e x C 5, a x dx u 1 C , 1 1 du ln u C , u u x u 4, eu du eu C ax C , a ln a 5, a u du au C , a ln a 6, cos x.dx sin x C 6, cos u.du sin u C 7, sin x.dx cos x C 7, sin u.du cos u C dx du tan x C 8, tan u C cos x cos u dx du 9, cot x C 9, cot u C sin x sin u 1.Tìm nguyeân haøm cuûa moät haøm soá baèng ñònh nghóa vaø tính chaát Phöông phaùp giaûi: Thường đưa nguyên hàm đã cho nguyên hàm tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng kết Tìm nguyên hàm cách đổi biến số: 8, Dạng 1: Tính I = f (x)dx Nếu tích phân có chứa số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến sau: 2 a x ; a x thì đặt x = asint ; a2 x2 ; a2 x2 thì đặt x = atant Dạng 2: Tính I = f [u(x)].u '(x)dx cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x) dt u '(x)dx I = f [u(x)].u '(x)dx f (t )dt Tìm nguyên hàm phương pháp phần: Phương pháp giải: Sử dụng công thức: u.dv u.v v.du Baøi taäp : T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè sau ®©y x3 a (2 x x 5)dx b dx x2 x c. sin dx d (e x 5)e x dx e. dx 2x 1 Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x)=sin4x , bieát F( ) = -1 Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) = sinx.sin3x , bieát F( Trang 12 Lop12.net )=1 (13) Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) = x 3x 3x 1 , bieát F( 1) x 2 x II.Các phương pháp tính tính tích phân Daïng 1: Tính tích phaân baèng ñònh nghóa vaø tính chaát Phöông phaùp giaûi: Ñònh nghóa tích phaân: b f ( x)dx F ( x) b a F (b) F (a ) a Thường đưa tích phân đã cho tích phân tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng kết Dạng 2:*Tính tích phân phương pháp đổi biến dạng 1: b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b) dx = u(t) dt b2: Đổi cận: x = a u(t) = a t = x = b u(t) = b t = ( chọn , thoả đk đặt trên) b3: Vieát b f(x)dx tích phân theo biến mới, cận tính tích phân a * Tính tích phaân b f[(x)] '(x)dx phương pháp đổi biến dạng a Đặt t = (x) dt ' ( x)dx Đổi cận x=a => t = (a) x=b => t = (b) b I= f[(x)] '(x)dx = (b ) f (t )dt (a) a Dạng : Phương pháp tính tích phân phần : b Công thức phần : u.dv u.v a b a b v.du a B1: Đặt biểu thức nào đó dấu tích phân u tính du phần còn lại là dv tìm v B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức phần B3: Tích phaân b vdu suy keát quaû a b b a a Chú ý: a) Khi tính tính tích phân phần đặt u, v cho vdu dễ tính udv khó phải tìm caùch ñaët khaùc b b) Khi gaëp tích phaân daïng : P( x ).Q( x ).dx a - Nếu P(x) là đa thức ,Q(x) là các hàm số eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) thì ta đặt u = P(x) ; dv= Q(x).dx Nếu bậc P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân phần 2,3,4 lần theo cách đặt trên - Nếu P(x) là đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx DẠNG : Dùng cách biến đổi công thức nguyên hàm đã có 1 x 13 x 2 x x a) b) c) dx dx dx 2 x 4x x x 3x a) sin x cos xdx b) cos 5x cos xdx 0 e) sin 2xdx d) sin x dx Trang 13 Lop12.net (14) x dx a) 2 b) 4 x 3 c) 4dx cos 2x 1dx DẠNG : Dùng phương pháp đổi biến số tính Bµi x x dx a) b) x xdx (x b) 1 x3 dx cos x dx Bµi a) sin x 2) xdx b) sin xdx x (x 1) dx c) x 1 x dx a) x2 b) dx 2x c) x 2dx 10 2 a) 1 x x dx c) cos xdx c) d) sin 2x(1 sin x)3dx 0 2 a) cos3 x sin xdx b) sin x 1 cos xdx c) cos x(1 sin x) dx 0 e (1 ln x)4 a) dx x b) I (1 2sin x) cos xdx 0 2x dx x 2x c) 2 e tgx 0 cos x Bµi a) sin x e cosxdx b) x e c) 2 xdx d) (e sin x cos x) cos xdx a) e dx 1 x (1 ln x ) b) e e 3ln x ln x (1 ln x)4 d) dx 1 x dx DAÏNG : x e e x ln x dx c) Dùng phương pháp phần tính Bµi 1 a) x cos x dx a) x sin xdx b) Bµi a) ( x 2) ln xdx e ln x 1 ( x 1)2 dx xe dx x cos 3xdx b) b) cos 0 c) ln(1 x) 1 x2 dx c) 3x x.e dx x c) b) x ln x.dx e Bµi a) x 2 0 a) c) x(1 cos x)dx b) (2 x) sin xdx x dx ln x dx x5 e ln x 1 x dx c) ( x 2)e x dx Trang 14 Lop12.net (15) 2 b) e x cos x.dx a ) x(2 e x ).dx e c) cos x x sin xdx 0 III ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN: 1/ Dieän tích hình phaúng: a) Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong, trục hoành và đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] đó diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C) :y=f(x) b và các đường thẳng x= a; x=b; y= là : S f ( x ) dx a b) Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong và đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) và y=g(x) có đồ thị (C’) liên tục trên đoạn [a;b] đó diện tích hình phẳng b giới hạn đường cong (C), (C’) và các đt x= a; x=b là : S f ( x) g ( x ) dx a Phương pháp giải toán: B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm (C) và (C’) B2: Tính dieän tích hình phaúng caàn tìm: TH1: Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm b laø: S [ f ( x ) g ( x )]dx a TH2: tìm laø: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm là x1 (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần x1 b S f ( x) g ( x ) dx a b [ f ( x) g ( x )]dx [ f ( x) a g ( x )]dx x1 TH3: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có các nghiệm là x1; x2 (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng caàn tìm laø: x1 S f ( x) a g ( x ) dx x1 f ( x) x2 g ( x ) dx x2 f ( x) g ( x ) dx b Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều nghiệm làm tương tự trường hợp * Dạng toán là trường hợp đặc biệt dạng toán đường cong g(x)=0 2/ Theå tích cuûa moät vaät theå troøn xoay Thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong (C) có phương trình y= f(x) và các đường thẳng x= a, x=b , y= quay vòng xung quanh trục ox là: b V f ( x ) dx a BAØI TAÄP TÍNH DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG Baøi TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng sau: y = x2 – 4x + , Ox , x = , x = 2 y = 2x – x2 , truc Ox y = 3x – x2 , Oy , tt tai M(3;0) y = x2 – 3x + , y = x – , x = , x = Bai TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng sau: y = x3 - 3x , y = x y = x4 -4x2 + , y = 3 x = y3 , y = , x = y = x2 , x = y2 Bai TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng sau: y x2 , Ox , Oy x 1 y Trang 15 Lop12.net x2 x , Ox , Oy x 1 (16) y x 1 , y = x-1 x 1 y x 4x , TCX, x = -3 , x = -1 x4 Bai TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng sau: y = ex +1 , Ox , x = , x = y ln x x , y , x e , x 1 y = sinx , x = , x = e y ln x, y , x , x e Bai TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng sau: y tgx, x 0, x , y 3 y = x , y = , y = x2 2 y e x , y e x , x y = (e+1)x , y = (1+ex)x BAØI TAÄP TÍNH THE TICH VAT THE TRON XOAY Bai Tinh the tich cua vat the tron xoay xoay quanh truc Ox hinh phang (H) gioi han boi cac duong x 1 y x x , y y ,y=0,x=0 y = x4- 2x2 , y = x 1 y = ln x , y = , x = e y = x e x , y = , x = y = sinx ,O , x = 0, x = Bai Tinh the tich cua vat the tron xoay xoay quanh truc Ox hinh phang (H) gioi han boi cac duong x y = x2 , y = 3x y = , y= x y = sinx , y = cosx , x= , x = 2 Trang 16 Lop12.net (17) CHÖÔNG IV : SỐ PHỨC Mô đun, các phép toán Lý huyết Số phức z có dạng z a bi , đó a, b Môđun số phức z a bi a b Biết cách cong , nhân hai số phức (Chú ý i 1 ) *Chia hai số phức: a bi a bi c di a bi c di c di c di c di c2 d * Số phức nghịch đảo: a bi a bi a bi a bi a bi a b 2 Căn bậc hai số thực âm Căn bậc hai số thực âm: Căn bậc hai số thực a gồm hai số i a và i a Ví dụ: Căn bậc hai 28 gồm i 28 2i và 2i Ghi nhớ: Chúng ta không viết 28 , mà chúng ta nói là các bậc hai 28 Phương trình bậc hai không có nghiệm thực Lý huyết Giải phương trình bậc hai ax bx c a trên tập số phức Với b 4ac Phương trình có hai nghiệm phức x b i 2a BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo và môdum số phức z : a) z i 1 i , b) z = (2+i)3 - (3-i)3 , c) z 1 i , d) z 3i (1 3i ) 1 i a) z = i + (2 4i) (3 5i) b) z = ( 5i)2 c) z = (2 + 3i)(2 3i) d) z = i(2 i)(3+i) Bài Thực các phép tính: i (1 i )(4 3i ) 3i i 3i a) b) + – 3i c) + 2i 2i i 2i 3 2 a) (1 i 2) (1 i 2) b) (2 i ) (2 i ) c) (2 3i ) (2 3i ) Bài : Tìm nghịch đảo số phức z : 1 i a) z 3i b) z i c) z 5 i d) z e) z ( i ) f) z (1 i 3)3 3i i Hay tính : , z, z2 , (z)3 , z z2 Bài 3’: Cho z = 2 z Bài Giải các phương trình trên tập số phức: a) x x b) 3 z z c) z z d) x x A) x x b) z z c) z z h ) z z 15 a) z b) x3 c) 25 z d) z 27 z e) z z Bài Giải các phương trình trên tập số phức: a) (1+i)z +(2+i)(1-3i) = 2-3i b) (2 7i ) z (14 i ) (1 2i ) z c) z (2 i ) 2iz (1 i ) 3i (1 i ) z 2i e) (2 i ) z 4i d) f) (1 2i )3 z (3 4i ) 2 3i 3i Bài 6: Tìm hai số phức biết tổng và tích chúng : a) Tổng và tích 7; b) Tổng -2 và tích ; c) Tổng và tích 3; Trang 17 Lop12.net (18) Bài 7: Tìm các số thực x, y thoả : a) x (1 y )i x (3 y 1)i b) x y ( x y )i c) x ( y 2)i y (2 x 3)i d) x(1 3i ) ( x y )(1 2i )3 16 12i Bài 8: Trên mặt phẳng tọa độ, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: a) z 2i b) z 3i c) 2i z z d) z 2i e) z z f) z 2i z g) z i h) z (1 3i ) z 2i Bài 9: Tìm số phức z, biết: a) z z 4i b) z 3z 12i c) z z 3i d) ( z ) z e) z z f) z z 4i g) z z 4i h) z z 4i Bài 10 : Tìm các bậc hai của: 27 ; 45 ; - 15; ; Bài 11: a) Tìm số phức z, biết z = 10 và phần ảo z lần phần thực nó b) Tìm số phức z, biết z =2 và phần thực z lần phần ảo nó Bài 11’ Tìm số phức z biết: z và phần thực lần phần ảo z và phần thực phần ảo z và phần thực lần phần ảo z và phần thực Bài 12: Cho số phức z = x + 2i Tìm số thực x cho z là số thực z Tìm nghiệm phức và nghịch đảo các nghiệm phức phương trình : z 10 z 32 Biết z1 ; z2 là nghiệm pt z z Hãy tính giá trị các biếu thức sau: a) A z1 z2 b) B z12 z2 Bài 13: Tìm số phức z biết z = c) C z13 z23 d) D z14 z2 34 và z z Chứng minh z = 1 i 2010 là số ảo Bài 14 Cho ba số phức z1 4i; z2 1 5i; z3 3 3i có các điểm biểu diễn là A, B, C Hãy tìm số phức z có điểm biểu diễn là trọng tâm G tam giác ABC Hãy tìm số phức z’ có điểm biểu diễn D là đỉnh thứ tư hình bình hành ABCD Hãy tìm số phức z’’ có điểm biểu diễn là trực tâm H tam giác ABC Hãy tìm số phức z’’’ có điểm biểu diễn là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trang 18 Lop12.net (19) A/ CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN 12 I TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG AB AC (ĐỐI chia HUYỀN) cos = (KỀ chia HUYỀN) BC BC AC AB tan = (ĐỐI chia KỀ) cot = (KỀ chia ĐỐI) AB AC sin = A II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago) AB2 = BH.BC AC2 = CH.BC AH2 = BH.CH AB.AC = BC.AH B C H 1 2 AH AB AC2 III ĐỊNH LÍ CÔSIN a2 = b2 + c2 – 2bccosA b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC IV ĐỊNH LÍ SIN a b c 2R sin A sin B sin C V ĐỊNH LÍ TALET A MN // BC a) AM AN MN ; AB AC BC b) AM AN MB NC VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG B Tam giác thường: a) S = ah b) S = N M C p(p a)(p b)(p c) (Công thức Hê-rông) c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác) Tam giác cạnh a: a a) Đường cao: h = ; a2 b) S = c) Đường cao là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Tam giác vuông: a) S = ab (a, b là cạnh góc vuông) b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm cạnh huyền Tam giác vuông cân (nửa hình vuông): a) S = a (2 cạnh góc vuông nhau) A b) Cạnh huyền a Nửa tam giác đều: a) Là tam giác vuông có góc 30o 60o a2 a b) BC = 2AB c) AC = d) S = Tam giác cân: a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) B 60 o b) Đường cao hạ từ đỉnh là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Trang 19 Lop12.net 30 o C (20) Hình chữ nhật: Hình thoi: S= S = ab (a, b là các kích thước) d1.d2 (d1, d2 là đường chéo) Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo a 10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 11 Đường tròn: a) C = R (R: bán kính đường tròn) b) S = R2 (R: bán kính đường tròn) VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC Đường trung tuyến: G: là trọng tâm tam giác a) Giao điểm đường trung tuyến tam giác gọi là trọng tâm b) * BG = A BN; * BG = 2GN; * GN = BN 3 N M Đường cao: G Giao điểm của đường cao tam giác gọi là trực tâm B Đường trung trực: Giao điểm đường trung trực tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường phân giác: Giao điểm đường phân giác tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác C P VIII HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Hình tứ diện đều: a) Có mặt là các tam giác b) Chân đường cao trùng với tâm đáy (hay trùng với trọng tâm tam giác đáy) c) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc Hình chóp đều: a) Có đáy là đa giác b) Có các mặt bên là tam giác cân c) Chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy d) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc Đường thẳng d vuông góc với mp( ): d a; d b a) Đt d vuông góc với đt cắt cùng nằm trên mp( ) Tức là: a b d ( ) a,b () () b) () () a d ( ) a d () c) Đt d vuông góc với mp( ) thì d vuông góc với đt nằm mp( ) Góc đt d và mp( ): d cắt ( ) O và A d AH () ˆ = Nếu thì góc d và ( ) là hay AOH H ( ) d A O d' H Góc mp( ) và mp( ): () () AB Nếu FM AB;EM AB EM (),FM () F ˆ = thì góc ( ) và ( ) là hay EMF Khoảng cách từ điểm A đến mp( ): E B Trang 20 M Lop12.net A (21)