Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt... Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên P.[r]
(1)ĐỀ THI MẪU MÔN TOÁN THI TỐT NGHIỆP THPT 2009 (Thời gian làm bài: 150 phút) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm) Cho hàm số y = − 2x x −1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho Tìm tất các giá trị tham số m để đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hàm số đã cho hai điểm phân biệt Câu II (3,0 điểm) Giải bất phương trình log 2x −1 <0 x +1 π x Tính tích phân I = ∫ (sin + cos x)dx Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số f ( x) = x − e x trên đoạn [1;0] Câu III (1,0 điểm) Cho khối chóp S.ABCD có AB = a, góc mặt bên và mặt đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh học chương trình nào thì làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần phần 2) Theo chương trình Chuẩn: Câu IV.a (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x+2y+z-1 = Lop12.net (2) Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A trên (P) Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P) Câu V.a (1,0 điểm) Tìm môđun số phức z = 4-3i+(1-i)3 Theo chương trình Nâng cao: Câu IV.b (2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;2;3) và đường thẳng x − y −1 z d có phương trình: = = 1 Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A trên d Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d Câu V.b (1,0 điểm) Viết dạng lượng giác số phức z = − 3i ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu I (3,0 điểm) Đáp án Điểm (2,0 điểm) Tập xác định: D = \{1} 0,25 Sự biến thiên: • Chiều biến thiên: y ' = − < 0∀x ∈ D ( x − 1) 0,50 Suy ra, hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) và (1; +∞) • Cực trị: hàm số không có cực trị • Giới hạn: lim y = lim y = −2; lim+ y = +∞ và lim− y = −∞ x →−∞ x →+∞ x →1 x →1 Suy ra, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1, và tiệm cận ngang là đường thẳng y = -2 • Bảng biến thiên: Lop12.net 0,50 (3) x −∞ − y' y +∞ 0,25 − −2 +∞ −∞ −2 Đồ thị: • Đồ thị cắt trục tung điểm (0; -3) và cắt trục hoành điểm ⎛3 ⎞ ⎜ ;0 ⎟ ⎝2 ⎠ • Đồ thị nhận điểm I(1;-2) (là giao điểm hai đường tiệm cận) làm tâm đối xứng 0,50 y ‐2 1,5 x I ‐3 (1,0 điểm) Đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hai điểm phân biệt ⇔ Phương trình (ẩn x) − 2x = mx + có hai nghiệm phân biệt x −1 ⇔ Phương trình (ẩn x) mx − (m − 4) x − = có hai nghiệm phân biệt, khác Lop12.net 0,50 (4) ⎧m ≠ ⎪ ⇔ ⎨Δ = (m − 4) + 20m > ⎪m.12 − (m − 4).1 − ≠ ⎩ 0,50 ⎧m ≠ ⇔⎨ ⎩m + 12m + 16 > ⇔ m < −6 − hay − + < m < hay m > II (3,0 điểm) (1,0 điểm) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình: ⎡⎧ x − > ⎢⎨ ⎡ x < −1 x−2 ⎩ x +1 > ⇔ >0⇔⎢ ⇔⎢ ⎢⎧ x − < x +1 ⎣ x>2 ⎢⎨ ⎢⎣ ⎩ x + < 2x −1 >1 x +1 0,50 0,50 (1,0 điểm) π π 2 x I = ∫ sin dx + ∫ cos xdx 0 π π 2 x = −2cox + sin x 2 0,25 0,50 0,25 = − (1,0 điểm) 0,25 Ta có: f ' ( x) = − 2e x Do đó: f ' ( x) = ⇔ x = − ln ∈ (−1;0); f ' ( x ) > 0∀x ∈ [ −1; − ln 2); Lop12.net 0,25 (5) f ' ( x) < 0∀x ∈ (− ln 2;0] Suy ra: max f ( x) = f (− ln 2) = − ln − ; x∈[ −1;0] 0,50 f ( x) = min{ f (−1); f (0)} x∈[ −1;0] = min{−1 − e−2 ; −1} = −1 − e−2 III (1,0 điểm) Do S.ABCD là khối chóp và AB = a nên đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi O là tâm hình vuông ABCD và gọi I là trung điểm cạnh BC Ta có SO là đường cao và SIO là góc mặt bên và mặt đáy khối chóp đã cho 0,50 S D C I O A 0,25 B Trong tam giác vuông SOI, ta có: a a SO = OI tan SIO = tan 60o = 2 Diện tích đáy: S ABCD = a Do đó, thể tích khối chóp S.ABCD là: VS ABCD IV.a (2,0 điểm) 1 a a3 = S ABCD SO = a = 3 0,25 (1,0 điểm) Ký hiệu d là đường thẳng qua A và vuông góc với (P) Gọi H là giao điểm d và (P), ta có H là hình chiếu vuông góc A trên (P) Lop12.net 0,25 (6) r r Do v = (1; 2;1) là vectơ pháp tuyến (P) nên v là vectơ phương d Suy ra, d có phương trình: x −1 y − z − = = 0,25 Tọa độ H là nghiệm hệ phương trình: ⎧ x −1 y − z − = = ⎪ ⎨ ⎪⎩ x + y + z − = 2 Giải hệ trên, ta được: x = − , y = , z = 3 0,50 ⎛ 2 1⎞ Vậy: H = ⎜ − ; ; ⎟ ⎝ 3 3⎠ (1,0 điểm) Có thể giải theo hai cách • Cách (Dựa vào kết phần 1): Ký hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) Ta có: 2 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ R = AH = ⎜1 + ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ = 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 0,50 Do đó, mặt cầu có phương trình là: ( x − 1) + ( y − 4) + ( z − 2) = 50 0,50 Hay: 3x + y + z − x − 24 y − 12 z + 13 = • Cách (độc lập với kết phần 1): Ký hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) Ta có R khoảng cách từ A đến (P) Suy ra: R= 1.1 + 2.4 + 1.2 − 1 + +1 2 = 0,50 Do đó, mặt cầu có phương trình là: 0,50 Lop12.net (7) ( x − 1) + ( y − 4) + ( z − 2) = 50 Hay: 3x + y + z − x − 24 y − 12 z + 13 = V.a (1,0 điểm) IV.b (2,0 điểm) Ta có: z = − 3i + (1 − 3i − + i ) = − 5i 0,50 Do đó: z = + 25 = 29 0,50 (1,0 điểm) Ký hiệu (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d Gọi H là giao điểm (P) và d, ta có H là hình chiếu vuông góc A trên d r r Do v = (1; 2;1) là vectơ phương d nên v là vec tơ pháp 0,25 0,25 tuyến (P) Suy ra, (P) là phương trình: x+2y+z-6=0 Do đó, tọa độ H là nghiệm hệ phương trình: ⎧ x − y −1 z = = ⎪ ⎨ ⎪⎩ x + y + z − = Giải hệ trên, ta được: x = , y = , z = 3 0,50 ⎛7 1⎞ Vậy H = ⎜ ; ; ⎟ ⎝ 3 3⎠ (1,0 điểm) Có thể giải theo hai cách • Cách (dựa vào kết phần 1): Ký hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với đường thẳng d Ta có: 2 165 ⎛7 ⎞ ⎛5 ⎞ ⎛1 ⎞ R = AH = ⎜ + 1⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ = ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠ Lop12.net 0,50 (8) Do đó, mặt cầu có phương trình là : ( x + 1)2 + ( y − 2) + ( z − 3) = 0,50 55 Hay: 3x + y + z + x − 12 y − 18 z − 13 = • Cách (độc lập với kết phần 1): Ký hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với đường thẳng d Ta có R khoảng cách từ A đến d Suy ra: R= 3 −3 −3 + + 1 1 2 + +1 2 0,50 = 165 Do đó, mặt cầu có phương trình là: ( x + 1)2 + ( y − 2) + ( z − 3) = 55 0,50 Hay: 3x + y + z + x − 12 y − 18 z − 13 = V.b (1,0 điểm) 0,50 ⎛1 ⎞ Ta có: z = ⎜⎜ − i ⎟⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎡ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞⎤ = ⎢cos ⎜ − ⎟ + i sin ⎜ − ⎟ ⎥ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ 3⎠ 0,50 Nguồn: Cục Khảo thí và Kiểm định chất lượng giáo dục (Bộ GD-ĐT) Hướng dẫn: Trung tâm Luyện thi Vĩnh Viễn Lop12.net (9)