Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Vị trí tương đối của ∆1 và ∆ 2 phụ thuộc vào số nghiệm của hệ phương trình :.. Góc giữa hai đường thẳng 1.Định nghĩa: Hai đường thẳng a, b[r]
(1)Lop12.net (2) Lop12.net (3) Mục lục Tóm tắt Lý thuyết Bài toán có lời giải 15 Điểm - Đường thẳng 15 Đường tròn - Đường elip 68 Bài tập ôn luyện có đáp số 94 Bài tập Điểm - Đường thẳng 94 Bài tập Đường tròn - Đường elip 107 Lop12.net (4) ath Lời nói đầu Hình học giải tích hay hình học tọa độ là cách nhìn khác Hình học Hình học giải tích mặt phẳng đưa vào chương trình toán lớp 10 có đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Để góp phần việc ôn tập cho học sinh trước dự thi Diễn đàn BoxMath xin đóng góp tuyển tập này Khi thực biên soạn trên diễn đàn BoxMath, tôi đã nhận quan tâm nhiều thành viên và quản trị viên Những người đã góp sức vào quá trình biên soạn, góp ý sửa chữa các chi tiết tuyển tập Sự đóng góp các bạn, và thầy cô tâm huyết chứng tỏ tài liệu này là cần thiết cho học sinh Bây đây, bạn đọc nó trên máy tính hay đã in trên giấy Chúng tôi hy vọng nó góp phần ôn tập kiến thức thân đồng thời tăng thêm động lực học tập hình học giải tích không gian Mặc dù đã biên soạn kỹ nhiên tài liệu có thể còn sai sót, mong các bạn đọc hãy nhặt dùm và gởi email hungchng@yahoo.com Đồng thời qua đây xin phép các Tác giả đã có bài tập tuyển tập này mà chúng tôi chưa nhớ để ghi rõ nguồn gốc vào, cùng lời xin lỗi chân thành Thay mặt nhóm biên soạn, tôi xin chân thành cảm ơn! Chủ biên Châu Ngọc Hùng bo xm Các thành viên biên soạn Huỳnh Chí hào -THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp Lê Đình Mẫn - THPT Nguyễn Chí Thanh - Quảng Bình Lê Trung Tín - THPT Hồng Ngự - Đồng Tháp Đỗ Kiêm Tùng - THPT Ngọc Tảo - Hà Nội Tôn Thất Quốc Tấn - Huế Nguyễn Tài Tuệ - THPT Lương Thế Vinh - Vụ Bản Nam Định Nguyễn Xuân Cường - THPT Anh Sơn - Nghệ An Lê Đức Bin - THPT Đồng Xoài - Bình Phước Châu Ngọc Hùng - THPT Ninh Hải - Ninh Thuận 10 Phạm Tuấn Khải - THPT Trần Văn Năng - Đồng Tháp Lop12.net (5) Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ath HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉCTƠ A KIẾN THỨC CƠ BẢN y I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC mặt phẳng : • • • ' x Ox : trục hoành y'Oy : trục tung O : gốc toạ độ rr i, j : véctơ đơn vị • x' r (i = r j r r r j = vaø i ⊥ j x' ) r i x O y' Quy ước : Mặt phẳng mà trên đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxy gọi là mặt phẳng Oxy và ký hiệu là : mp(Oxy) II Toạ độ điểm và véctơ: uuuur Định nghĩa 1: Cho M ∈ mp(Oxy ) Khi đó véctơ OM biểu diển cách theo rr uuuur r r y i, j hệ thức có dạng : OM = xi + y j voi x,y ∈ ¡ Q M r Cặp số (x;y) hệ thức trên gọi là toạ độ điểm M j r Ký hiệu: M(x;y) ( x: hoành độ điểm M; y: tung độ điểm M ) i x O P d /n y Ý nghĩa hình học: Q uuuur r r OM = xi + y j M bo xm • ⇔ M ( x; y ) y' y x' O x x x = OP P và y=OQ y' r r Định nghĩa 2: Cho a ∈ mp (Oxy ) Khi đó véctơ a biểu diển cách theo r r r rr i, j hệ thức có dạng : a = a1 i + a2 j voi a1 ,a ∈ ¡ r Cặp số (a1;a2) hệ thức trên gọi là toạ độ véctơ a r v e2 Ký hiệu: a = ( a1; a2 ) r a =(a1 ;a ) x' r r r a = a1 i + a2 j d /n ⇔ • Ý nghĩa hình học: K H x O A1 y' a1 = A1 B1 B1 Lop12.net và a =A B2 x P y' B A A2 x' v e1 O y B2 r a y (6) Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ath Tĩm tắt lý thuyết III Các công thức và định lý toạ độ điểm và toạ độ véctơ : Định lý 1: Nếu A( x A ; y A ) và B(x B ; y B ) thì B( x B ; y B ) uuur AB = ( xB − x A ; y B − y A ) Định lý 2: A( x A ; y A ) r r Nếu a = (a1 ; a2 ) và b = (b1 ; b2 ) thì v a r r a = b * a=b ⇔ 1 a2 = b2 r r * a + b = (a1 + b1; a2 + b2 ) r r * a − b = (a1 − b1 ; a2 − b2 ) r * k a = ( ka1; ka2 ) (k ∈ ¡ ) v b IV Sự cùng phương hai véctơ: Nhắc lại • Hai véctơ cùng phương là hai véctơ nằm trên cùng đường thẳng nằm trên hai đường thẳng song song • Định lý cùng phương hai véctơ: r r r r Định lý : Cho hai véctơ a và b voi b ≠ r r a cùng phuong b r r ⇔ ∃!k ∈ ¡ cho a = k b bo xm v a v b v a v b r r Nếu a ≠ thì số k trường hợp này xác định sau: r r k > a cùng hướng b v r r r a b k < a ngược hướng b r a k = r v 2v 5v v b a =− b , b=- a B A uuur uuur A, B, C thang hàng ⇔ AB cùng phuong AC Định lý : (Điều kiện điểm thẳng hàng ) r r Định lý 5: Cho hai véctơ a = ( a1; a2 ) vaø b = (b1; b2 ) ta có : r r a cùng phuong b v a = (a1 ; a2 ) v b = (b1 ; b2 ) ⇔ a1.b2 − a2 b1 = VD : v a = (1;2) v b = (2;4) Lop12.net C (Điều kiện cùng phương véctơ (7) Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn V Tích vô hướng hai véctơ: Nhắc lại: v v B b b v a O ϕ v a A ath Tĩm tắt lý thuyết y rr r r r r a.b = a b cos( a, b) r2 r a =a r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = v b x' r r Định lý 6: Cho hai véctơ a = (a1; a2 ) và b = (b1; b2 ) ta có : rr a.b = a1b1 + a2b2 v a O x y' (Công thức tính tích vô hướng theo tọa độ) r Định lý 7: Cho hai véctơ a = (a1 ; a2 ) ta có : r a = a12 + a2 (Công thức tính độ dài véctơ ) A( x A ; y A ) B( xB ; yB ) Định lý 8: Nếu A( x A ; y A ) và B(x B ; y B ) thì AB = ( xB − x A )2 + ( y B − y A )2 (Công thức tính khoảng cách điểm) r r Định lý 9: Cho hai véctơ a = (a1; a2 ) và b = (b1; b2 ) ta có : bo xm r r a⊥b ⇔ a1b1 + a2b2 = (Điều kiện vuông góc véctơ) r r Định lý 10: Cho hai véctơ a = (a1; a2 ) và b = (b1; b2 ) ta có rr r r a.b a1b1 + a2b2 cos(a , b) = r r = a.b a12 + a2 b12 + b2 (Công thức tính góc véctơ) VI Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: uuur uuur Định nghĩa: Điểm M gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ≠ ) : MA = k MB • A • M • B uuur uuur Định lý 11 : Nếu A( x A ; y A ) , B(x B ; y B ) và MA = k MB ( k ≠ ) thì x A − k xB y A − k y B ; 1− k 1− k ( xM ; yM ) = Lop12.net (8) Đặc biệt : Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ath Tĩm tắt lý thuyết M là trung điểm AB ⇔ x A + xB y A + y B ; ( xM ; yM ) = VII Một số điều kiện xác định điểm tam giác : A x A + x B + xC x = G uuur uuur uuur r G G là tâm tam giác ABC ⇔ GA + GB + GC = ⇔ yG = y A + y B + yC B A uuur uuur uuur uuur AH BC = AH ⊥ BC H H là truc tâm tam giác ABC ⇔ uuur uuur ⇔ uuur uuur A BH AC BH AC ⊥ = B uuur uuur AA' ⊥ BC A ' là chân duong cao ke tu A ⇔ uuur uuur C ' B A' BA cùng phuong BC A IA=IB I là tâm duong tròn ngoai tiêp tam giác ABC ⇔ IA=IC I uuur AB uuur B D là chân duong phân giác cua góc A cua ∆ABC ⇔ DB = − DC AC A uuur AB uuur E là chân duong phân giác ngoài cua góc A cua ∆ABC ⇔ EB = EC A AC uur AB uuur J là tâm duong tròn nôi tiêp ∆ABC ⇔ JA = − JD BD D J B C C C bo xm C VIII Kiến thức thường sử dụng khác: D B Công thức tính diện tích tam giác theo toạ độ ba đỉnh : uuur uuur Định lý 12: Cho tam giác ABC Đặt AB = (a1; a2 ) và AC = (b1; b2 ) ta có : B S ∆ABC = a1b2 − a2b1 C B Cơng thức tính góc hai đường thẳng dựa vào hệ số góc : Định lý 13: Cho hai đường thẳng ∆1 với hệ số góc k1 và ∆ với hệ số góc k2 Khi đó ∆ ; ∆ ) = α thì (· tan α = k1 − k2 + k1k2 Lop12.net C (9) Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ath Tĩm tắt lý thuyết ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I Các định nghĩa VTCP và VTPT (PVT) đường thẳng: r r dn a ≠ r a là VTCP đường thẳng ( ∆ ) ⇔ r a có giá song song hay trùng voi (∆ ) r r dn n ≠ r n là VTPT đường thẳng ( ∆ ) ⇔ r n có giá vuông góc voi (∆ ) v a v a v n (∆) * Chú ý: r r • Nếu đường thẳng ( ∆ ) có VTCP a = ( a1; a2 ) thì có VTPT là n = ( −a2 ; a1 ) r r • Nếu đường thẳng ( ∆ ) có VTPT n = ( A; B ) thì có VTCP là a = ( − B; A) (∆ ) v a v n bo xm (∆) II Phương trình đường thẳng : Phương trình tham số và phương trình chính tắc đường thẳng : r a Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy) Đường thẳng ( ∆ ) qua M0(x0;y0) và nhận a = ( a1; a2 ) làm VTCP có : y M ( x; y ) x = x0 + t.a1 v (t ∈ ¡) Phương trình tham số là : ( ∆ ) : a y = y0 + t.a2 x O M ( x0 ; y0 ) x − x0 y − y0 Phương trình chính tắc là : ( ∆ ) : = ( a1, a2 ≠ 0) a1 a2 Lop12.net (10) M ( x0 ; y0 ) ath Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Phương trình tổng quát đường thẳng : r a Phương trình đường thẳng qua điểm M0(x0;y0) và có VTPT n = ( A; B ) là: v y n M ( x; y ) x O ( ∆ ) : A( x − x0 ) + B( y − y0 ) = ( A2 + B ≠ ) b Phương trình tổng quát đường thẳng : Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy) Phương trình đường thẳng ( ∆ ) có dạng : v y n = ( A; B ) Ax + By + C = M ( x0 ; y0 ) x O v a = ( − B ; A) v a = ( B ; − A) Chú ý: với A2 + B ≠ Từ phương trình ( ∆ ): Ax + By + C = ta luôn suy : r VTPT ( ∆ ) là n = ( A; B ) r r VTCP ( ∆ ) là a = ( − B; A) hay a = ( B; − A) M ( x0 ; y0 ) ∈ ( ∆ ) ⇔ Ax0 + By0 + C = Mệnh đề (3) hiểu là : Điều kiện cần và đủ để điểm nằm trên đường thẳng là tọa độ điểm đó nghiệm đúng phương trình đường thẳng bo xm Các dạng khác phương trình đường thẳng : a Phương trình đường thẳng qua hai điểm A(xA;yA) và B(xB;yB) : ( AB ) : x − xA y − yA = xB − x A y B − y A ( AB ) : x = x A y M ( x; y ) O y B( x B ; y B ) yA xA x A( x A ; y A ) ( AB ) : y = y A yB A( x A ; y A ) xB A( x A ; y A ) y B( x B ; y B ) yA yB x x B( x B ; y B ) b Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: Định lý: Trong mp(Oxy) phương trình đường thẳng ( ∆ ) cắt trục hồng điểm A(a;0) và trục tung x y điểm B(0;b) với a, b ≠ có dạng: + =1 a b Lop12.net (11) ath Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn c Phương trình đường thẳng qua điểm M0(x0;y0) và có hệ số góc k: y Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng ∆ Gọi α = (Ox, ∆ ) thì k = tan α gọi là hệ số góc đường thẳng ∆ α O x Định lý 1: Phương trình đường thẳng ∆ qua M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k là : y y0 (1) x x0 O y - y = k(x - x ) M ( x; y ) Chú ý 1: Phương trình (1) không có chứa phương trình đường thẳng qua M0 và vuông góc Ox nên sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng qua M0 và vuông góc Ox là x = x0 Chú ý 2: Nếu đường thẳng ∆ có phương trình y = ax + b thì hệ số góc đường thẳng là k = a Định lý 2: Gọi k1, k2 là hệ số góc hai đường thẳng ∆1 , ∆ ta có : • ∆1 / / ∆ ⇔ ( ∆1 ≠ ∆ ) k1 = k • ∆1 ⊥ ∆ ⇔ k1.k2 = −1 d Phương trình đt qua điểm và song song vuông góc với đt cho trước: i Phương trình đường thẳng (∆1 ) //(∆ ): Ax+By+C=0 có dạng: Ax+By+m1 =0 ii Phương trình đường thẳng (∆1 ) ⊥ (∆ ): Ax+By+C=0 có dạng: Bx-Ay+m =0 bo xm Chú ý: m1 ; m2 xác định điểm có tọa độ đã biết nằm trên ∆1 ; ∆ y ∆ : Ax + By + m1 = y ∆ : Bx − Ay + m = ∆ : Ax + By + C = O M1 x x0 M III Vị trí tương đối hai đường thẳng : y ∆2 ∆1 O x0 O ∆ : Ax + By + C = y y ∆1 ∆1 x x O ∆ caét ∆ Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : O ∆2 ∆2 ∆ // ∆ x ( ∆1 ) : A1 x + B1 y + C1 = ( ∆ ) : A2 x + B2 y + C2 = Lop12.net ∆1 ≡ ∆ x (12) ath Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Vị trí tương đối ( ∆1 ) và (∆ ) phụ thuộc vào số nghiệm hệ phương trình : A1 x + B1 y + C1 = A2 x + B2 y + C2 = A1 x + B1 y = −C1 (1) A2 x + B2 y = −C2 hay Chú ý: Nghiệm (x;y) hệ (1) chính là tọa độ giao điểm M ( ∆1 ) vaø (∆ ) Định lý 1: i ⇔ (∆1 ) / /( ∆ ) Hê (1) vô nghiêm ii Hê (1) có nghiêm nhât ⇔ (∆1 ) cát (∆ ) ⇔ (∆1 ) ≡ ( ∆ ) iii Hê (1) có nghiêm tùy ý Định lý 2: Nếu A2 ; B2 ; C2 khác thì i (∆1 ) cát ( ∆ ) ii (∆1 ) // (∆ ) iii (∆1 ) ≡ ( ∆ ) ⇔ A1 B1 ≠ A B2 ⇔ A1 B1 C1 = ≠ A B2 C2 ⇔ A1 B1 C1 = = A B2 C2 IV Góc hai đường thẳng 1.Định nghĩa: Hai đường thẳng a, b cắt tạo thành góc Số đo nhỏ các số đo bốn góc đó gọi là góc hai đường thẳng a và b (hay góc hợp hai đường thẳng a và b) Góc hai đường thẳng a và b đước kí hiệu là ( a , b ) bo xm Khi a và b song song trùng nhau, ta nói góc chúng 00 Cơng thức tính góc hai đường thẳng theo VTCP và VTPT r r a) Nếu hai đường thẳng có VTCP là u và v thì rr u.v r r cos ( a, b ) = cos u, v = r r u.v r uur b) Nếu hai đường thẳng có VTPT là n và n ' thì r uur n.n ' r uur cos ( a, b ) = cos n, n ' = r uur n n' ( ) ( ) Định lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : ( ∆1 ) : A1 x + B1 y + C1 = ( ∆ ) : A2 x + B2 y + C2 = Gọi ϕ ( ≤ ϕ ≤ 90 ) là góc ( ∆1 ) vaø (∆ ) ta có : 0 cos ϕ = A1 A2 + B1 B2 A12 + B12 A22 + B22 y ϕ ∆1 O Hệ quả: ( ∆1 ) ⊥ ( ∆ ) ⇔ A1 A2 + B1B2 = Lop12.net ∆2 x (13) Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ath Tĩm tắt lý thuyết V Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng : Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ∆ ) : Ax + By + C = và điểm M ( x0 ; y0 ) Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng ( ∆ ) tính công thức: M0 y d ( M ; ∆) = Ax0 + By0 + C A2 + B Định lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : ( ∆1 ) : A1 x + B1 y + C1 = ( ∆ ) : A2 x + B2 y + C2 = Phương trình phân giác góc tạo ( ∆1 ) vaø (∆ ) là : A1 x + B1 y + C1 A12 + B12 =± H x O (∆ ) ∆1 y A2 x + B2 y + C2 O A22 + B22 ∆2 Định lý 3: Cho đường thẳng ( ∆1 ) : Ax + By + C = và hai điểm M(xM;yM), N(xN;yN) không nằm N trên ( ∆ ) Khi đó: M • Hai điểm M , N nằm cùng phía ( ∆ ) và ∆ ( Ax M + By M + C )( Ax N + By N + C ) > • Hai điểm M , N nằm khác phía ( ∆ ) và M ∆ ( Ax M + By M + C )( Ax N + By N + C ) < bo xm N Lop12.net x (14) Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ath Tĩm tắt lý thuyết ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I Phương trình đường tròn: Phương trình chính tắc: Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R là : y b I ( a; b ) R a O (C ) : ( x − a ) + ( y − b ) = R M ( x; y ) x (1) Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc đường tròn Đặc biệt: Khi I ≡ O thì (C ) : x + y = R 2 Phương trình tổng quát: Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình : x + y − 2ax − 2by + c = với a + b − c > là phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính R = a + b2 − c II Phương trình tiếp tuyến đường tròn: bo xm Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C ) : x + y − 2ax − 2by + c = điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) là : M ( x0 ; y ) (C) (∆ ) ( ∆ ) : x0 x + y0 y − a ( x + x0 ) − b( y + y0 ) + c = I(a;b) VI Các vấn đề có liên quan: Vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn: (C ) (C ) I I R M R Định lý: H M ≡H ( ∆ ) I (C ) = ∅ ⇔ d(I;∆ ) > R ( ∆ ) tiêp xúc (C) ⇔ d(I;∆ ) = R ( ∆ ) cát (C) ⇔ d(I;∆ ) < R 10 Lop12.net (C ) I RH M (15) C1 I1 C2 R1 R2 I2 ath Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 2 Lưu ý: Cho đường tròn (C ) : x + y − 2ax − 2by + c = và đường thẳng ( ∆ ) : Ax + By + C = Tọa độ giao điềm (nếu có) (C) và ( ∆ ) là nghiệm hệ phương trình: x + y − 2ax − 2by + c = Ax + By + C = Vị trí tương đối hai đường tròn : C1 C1 I R1 R2 I2 C2 C2 I1 R1 R2 I2 (C1 ) và (C ) không cát ⇔ I1I > R + R2 (C1 ) và (C ) cát ⇔ R − R2 < I1I < R + R2 (C1 ) và (C ) tiêp xúc ngoài ⇔ I1I = R + R2 (C1 ) và (C ) tiêp xúc Lưu ý: Cho đường tròn (C ) : x + y − 2ax − 2by + c = ⇔ I1I = R − R2 bo xm và đường tròn ( C ' ) : x + y − 2a ' x − 2b ' y + c ' = Tọa độ giao điềm (nếu có) (C) và (C’) là nghiệm hệ phương trình: x + y − 2ax − 2by + c = 2 x + y − 2a ' x − 2b ' y + c ' = 11 Lop12.net C1 I1 I C2 (16) Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ath Tĩm tắt lý thuyết ĐƯỜNG ELÍP TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I.Định nghĩa: Elíp (E) là tập hợp các điểm M có tổng khoảng cách đến hai điểm cố định F1; F2 số * Hai điểm cố định F1; F2 gọi là các tiêu điểm * F1F2 = 2c ( c > ) gọi là tiêu cự (E) M F1 2c ( E ) = {M / MF1 + MF2 = 2a} F2 ( a>0 : số và a>c ) II Phương trình chính tắc Elíp và các yếu tố: Phương trình chính tắc: (E) : Q x2 y2 + = với b2 = a − c ( a > b) (1) a b2 y (E ) B2 r1 r2 O bo xm A a1 c F1 P M F2 c a A2 x R S B1 Các yếu tố Elíp: * Elíp xác định phương trình (1) có các đặc điểm: - Tâm đối xứng O, trục đối xứng Ox; Oy - Tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0) - Tiêu cự F1F2 = 2c - Trục lớn nằm trên Ox; độ dài trục lớn 2a ( = A1A2 ) - Trục nhỏ nằm trên Oy; độ dài trục lớn 2b ( = B1B2 ) - Đỉnh trên trục lớn : A1(-a;0); A2(a;0) - Đỉnh trên trục nhỏ :B1(0;-b); B2(0;b) - Bán kính qua tiêu điểm: c r1 = MF1 = a + a x = a + ex Với M(x;y) ∈ (E) thì r2 = MF2 = a − c x = a − ex a c - Tâm sai : e= (0 < e < 1) a a - Đường chuẩn : x = ± e 12 Lop12.net (17) Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ath Tĩm tắt lý thuyết ĐƯỜNG HYPEBOL TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I Định nghĩa: M ( H ) = {M / MF1 − MF2 = 2a} ( a > : số và a < c ) (1) 2c F1 F2 II Phương trình chính tắc Hypebol và các yếu tố: Phương trình chính tắc: (H ) : y=− b x a x2 y2 − = với b2 = c − a 2 a b y y= B2 −a F1 −c A (1) b x a M a O A2 F2 c x B1 bo xm Các yếu tố Hypebol: * Hypebol xác định phương trình (1) có các đặc điểm: - Tâm đối xứng O, trục đối xứng Ox; Oy - Tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0) Tiêu cự F1F2 = 2c - Trục thực nằm trên Ox; độ dài trục thực 2a ( = A1A2 ) - Trục ảo nằm trên Oy; độ dài trục ảo 2b ( = B1B2 ) - Đỉnh: A1(-a;0); A2(a;0) b - Phương trình tiệm cận : y = ± x a - Bán kính qua tiêu điểm: Với M(x;y) ∈ (H) thì : r = MF = a + ex 1 r1 = MF1 = −( a + ex ) Với x > ⇒ Với x < ⇒ r2 = MF2 = −a + ex r2 = MF2 = −( −a + ex ) - Tâm sai : e= c a - Đường chuẩn : x = ± ( e > 1) a e 13 Lop12.net (18) Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ath Tĩm tắt lý thuyết ĐƯỜNG PARABOL TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I Định nghĩa : ( P ) = {M / MF = d ( M , ∆} * F là điểm cố định gọi là tiêu điểm * ( ∆ ) là đường thẳng cố định gọi là đường chuẩn * HF = p > gọi là tham số tiêu = 2px y 2) Dạng 2: Ptct: y ∆ F = -2px y M -p/2 F(-p/2;0) x O p H II Phương trình chính tắc parabol: 1) Dạng 1: Ptct: y M K F(p/2;0) p/2 M bo xm ( ): x=-p/2 3) Dạng 3: Ptct: x = 2py x (∆) : x = p / 4) Dạng 4: Ptct : x = -2py y y p/2 x F(0;-p/2) x M O -p/2 ) : y = p/2 O F(0;p/2) M ( :y = -p/2 14 Lop12.net (19) ath BÀI TOÁN CÓ LỜI GIẢI Điểm - Đường thẳng Bài Trong mặt phẳng Ox y , cho hình thoi ABC D có tâm I (3; 3) và AC = 2B D Điểm M 2; 43 ¡ ¢ thuộc đường thẳng AB , điểm N 3; 13 thuộc đường thẳng C D Viết phương trình đường chéo B D biết đỉnh B có hoành độ nhỏ Giải: ¡ ¢ C N D I B N0 M A ¶ Tọa độ điểm N đối xứng với điểm N qua I là N 3; Đường thẳng AB qua M , N có phương trình: x − 3y + = |3 − + 2| Suy ra: I H = d (I , AB ) = p = p Do AC = 2B D nên I A = 2I B 10 10 p 1 Đặt I B = x > 0, ta có phương trình + = ⇔ x = ⇔ x = x 4x p ¡ ¢ Đặt B x, y Do I B = và B ∈ AB nên tọa độ B là nghiệmcủa hệ: 14 ( ( ( ¡ ¢2 5y − 18y + 16 = x = < x =4>3 (x − 3)2 + y − = ⇔ ⇔ x − 3y + = x = 3y − y =2 y = µ ¶ 14 Do B có hoành độ nhỏ nên ta chọn B ; 5 Vậy, phương trình đường chéo B D là: 7x − y − 18 = 0 µ bo xm Bài Trong mặt phẳng Ox y , cho điểm A (−1; 2) và đường thẳng (d ) : x −2y +3 = Tìm trên đường thẳng (d ) hai điểm B,C cho tam giác ABC vuông C và AC = 3BC Giải: Từ yêu cầu bài toán ta suy C là hình chiếu vuông góc A trên (d ) Phương trình đường thẳng (∆) qua A và vuông góc với (d ) là: 2x + y + m = A (−1; 2) ∈ (∆) ⇔ −2 + + m = ⇔ m = Suy ra: (∆) : 2x + y = 0 µ ¶ x = − Tọa độ C là nghiệm hệ phương trình: ⇔ ⇒C − ; 5 x − 2y = −3 y = Đặt B (2t − 3; t ) ∈ (d ), theo giả thiết ta có: AC = 3BC ⇔ AC = 9BC ( http://boxmath.vn/ 2x + y = Lop12.net 15 (20) 16 ·µ ¶ µ ¶ ¸ t= 12 15 2t − + t− ⇔ 45t − 108t + 64 = ⇔ 5 t= ath 16 + =9 ⇔ 25 25 µ ¶ 13 16 16 ⇒B − ; Với t = 15 µ 15 ¶15 4 Với t = ⇒ B − ; 3 µ ¶ µ ¶ 13 16 Vậy, có hai điểm thỏa đề bài là: B − ; B − ; 15 15 3 A B1 C B2 Bài Cho điểm A (−1; 3) và đường thẳng ∆ có phương trình x − 2y + = Dựng hình vuông ABC D cho hai đỉnh B,C nằm trên ∆ và các tọa độ đỉnh C dương Tìm tọa độ các đỉnh B,C , D Giải: D bo xm A C B Đường thẳng (d ) qua A và vuông góc với ∆ có phương trình: 2x + y + m = A (−1; 3) ∈ ∆ ⇔ −2 + + m = ⇔ m = −1 Suy ra: (d ) : 2x + y − = ( Tọa độ B là nghiệm hệ phương trình: p p ¡ x − 2y = −2 2x + y = ( ⇔ x =0 y =1 ⇒ B (0; 1) ¢ Suy ra: BC = AB = + = Đặt C x ; y với x , y > 0, ta có: ( Giải hệ này ta được: C ∈∆ ( x − 2y + = ⇔ ¡ ¢2 x 02 + y − = p ⇔ BC = ( ( x0 = x = −2 y0 = y0 = −−→ −→ Do ABCD là hình vuông nên: C D = B A ⇔ ( x = 2y − ¡ ¢2 x 02 + y − = (loại) Suy ra: C (2; 2) x D − = −1 − yD − = − Vậy B (0; 1) ,C (2; 2) , D (1; 4) 16 ( Lop12.net ( ⇔ xD = yD = ⇒ D (1; 4) boxmath.vn (21)