2 Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số 1 có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.. Câu III: 1 điểm Tính tích phân:.[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 2010 Môn Thi: TOÁN – Khối A Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ THI THAM KHẢO I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số : y x3 (1 2m) x (2 m) x m (1) ( m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ Câu II: (2 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Giải bất phương trình: cos3 x cos x cos x 3log x 2log x 3 log x log x Câu III: (1 điểm) Tính tích phân: dx 4x 2x I Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp lục giác S.ABCDEF với SA = a, AB = b Tính thể tích hình chóp đó và khoảng cách các đường thẳng SA, BE Câu V: (1 điểm) Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: x xy y Chứng minh : (4 3) x xy y II PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh AB, BC là 4x + 3y – = 0; x – y – = Phân giác góc A nằm trên đường thẳng x + 2y – = Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x + 2y – z + = và hai điểm A(4;0;0), B(0; 4; 0) Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AB Xác định tọa độ điểm K cho KI vuông góc với mặt phẳng (P) đồng thời K cách gốc tọa độ O và mặt phẳng (P) Câu VII.a: (1 điểm) Chứng minh 3(1 i)2010 4i(1 i)2008 4(1 i)2006 B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 5y – = và đường tròn (C): x y x y Xác định tọa độ các giao điểm A, B đường tròn (C) và đường thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương) Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) cho tam giác ABC vuông B 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: x t (1 ) : y 1 t , z 2 : x y 1 z 1 Xác định điểm A trên 1 và điểm B trên 2 cho đoạn AB có độ dài nhỏ Câu VII.b: (2 điểm) Cho tập A= {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác chọn A cho số đó chia hết cho 15 Lop12.net (2) Hướng dẫn Câu I: 2) y g ( x) 3x 1 2m x m YCBT phương trình y' = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả x1 < x2 < Câu 4m m g (1) 5m m 1 m S 2m II: 1) Nếu cos x x k 2 , k Z , phương trình vô nghiệm Nếu cos x x k 2 , k Z , nhân hai vế phương trình cho 2cos x ta 2 x x x x 7x tích thành tông 2cos cos3 x 2cos cos x 2cos cos x cos cos 0 2 2 2 x k , k , đối chiếu điều kiện: k ≠ + 7m, mZ 7 log 2) Điều kiện: 0< x ≠ Đặt: y x y log log x log x 3 2 log x 3y BPT 3 3 3 (*) luôn sai với y > log x y 1 y 1 1 log x được: Kết luận: BPT vô nghiệm t x t x x (t 1) 5 dx tdt I dt ln 2 12 x (t 1) t (t 1) 2x Câu III: Đặt : Do đó: Câu IV: Nhận xét: Tâm O lục giác ABCDEF là trung điểm các đường chéo AD, BE, CF SO (ABCDEF) Các tam giác OAB, OBC, OCD, ODE,OEF, OFA là các tam giac cạnh b Diện tích đáy: Sđáy = 6SOAB = 6b Chiều cao h = SO = Thể tích V = 3 3b (đvdt) SA2 OA2 a b b 3(a b ) S dáy h * Xác định d(SA, BE) = d(O, (SAF)) = OJ Chứng minh OJ (SAF) Trong SOJ vuông O ta có OJ = OI SO OI SO b 3(a b ) 4a b Câu V: Đặt A = x xy y , B = x xy y Nếu y = thì A = B = x2 B x y x xy y z2 z A 2 x xy y z z 1 Nếu y ≠ 0, ta đặt z Xét phương trình: z2 z m m 1 z m 1 z m z2 z đó: B A Lop12.net (a) (3) (a) có nghiệm m m 3 48 3 48 m m 1 m 1 m 3 3 Vì A 3 B 3 Đây là điều phải chứng minh Câu VI.a: 1) Tọa độ A nghiệm đúng hệ phương trình: 4 x y x 2 A 2;4 x y y Tọa độ B nghiệm đúng hệ phương trình 4 x y x B 1;0 x y 1 y Đường thẳng AC qua điểm A(–2;4) nên phương trình có dạng: a x b y ax by 2a 4b Gọi 1 : x y 0; 2 : x y 0; 3 : ax by 2a 4b Từ giả thiết suy 2 ; 3 1 ; 2 Do đó cos 2 ; 3 cos 1 ; 2 |1.a 2.b | a b 2 | 4.1 2.3 | 25 a | a 2b | a b a 3a 4b 3a 4b a = b Do đó 3 : y 3a – 4b = 0: Chọn a = thì b = Suy 3 : x y (trùng với 1 ) Do vậy, phương trình đường thẳng AC là y – = y x C 5;4 x y 1 y Tọa độ C nghiệm đúng hệ phương trình: 2) Tọa độ trung điểm I AB là: I(2; 2; 0) Phương trình đường thẳng KI: x2 y2 z 1 Gọi H là hình chiếu I lên () H(–1; 0; 1) Giả sử K(xk; yk; zk), đó: KH xk 12 yk2 zk 12 và Từ yêu cầu bài toán ta có hệ: x 12 y z 12 k k k x 2 y 2 z k k k 1 xk xk2 yk2 zk2 yk zk Kết luận: KO xk2 yk2 zk2 1 3 K ; ; 4 Câu VII.a: Ta có: 3(1 i)2010 4i(1 i)2008 4(1 i)2006 3(1 i)4 4i(1 i)2 (1 i)4 4 4i 4 ( đúng) (đpcm) Câu VI.b: 1) Tọa độ giao điểm A, B là nghiệm hệ phương trình x2 y x y y 0; x y 1; x 3 x 5y Vì A có hoành độ dương nên ta A(2;0), B(–3;–1) ABC 900 nên AC là đường kính đường tròn, tức điểm C đối xứng với điểm A qua tâm I Vì đường tròn Tâm I(–1;2), suy C(–4;4) 2) Vì A 1 A(t+1; –t –1; 2); B 2 B( t'+3; 2t' +1; t') Lop12.net (4) AB (t ' t 2;2t ' t 2; t ' 2) Vì đoạn AB có độ dài nhỏ AB là đoạn vuông góc chung (1) và (2) AB u1 AB.u1 2t 3t ' t t ' A( 1; –1; 2), B(3; 1; 0) t t ' AB u AB u 2 Câu VII.b: Nhận xét: Số chia hết cho 15 thì chia hết và chia hết Các số gồm số có tổng chia hết cho là: (0; 1; 2; 3; 6), (0; 1; 2; 4; 5), (0; 1; 3; 5; 6), (0; 2; 3; 4; 6), (0; 3; 4; 5; 6),(1; 2; 3; 4; 5), (1; 2; 4; 5; 6) Mỗi số chia hết cho và số tận cùng là + Trong các số trên có số có đúng hai số 4.P4 = 96 số chia hết cho + Trong các số trên có số có và Nếu tận cùng là thì có P4= 24 số chia hết cho Nếu tận cùng là vì số hàng chục nghìn không thể là số 0, nên có 3.P3=18 số chia hết cho Trong trường hợp này có: 3(P4+3P3) = 126 số Vậy số các số theo yêu cầu bài toán là: 96 + 126 = 222 số Lop12.net (5)