Đang tải... (xem toàn văn)
DẠY HỌC TRÒ QUA MỘT BÀI TOÁN THI GIÁO VIÊN GIỎI Nguyễn Tiến Minh Giáo viên THPT Hồng lam – Hà Tĩnh Có nhiều cách để từ một bất đẳng thức đơn giản ta đi đến một bất đẳng thức tổng quát h[r]
(1)DẠY HỌC TRÒ QUA MỘT BÀI TOÁN THI GIÁO VIÊN GIỎI Nguyễn Tiến Minh ( Giáo viên THPT Hồng lam – Hà Tĩnh) Có nhiều cách để từ bất đẳng thức đơn giản ta đến bất đẳng thức tổng quát từ đó thu nhiều kết đồng thời đến bài toán mở khá thú vị Đó là nội dung tôi muốn trình bày bài viết này thông qua chuổi các bài toán sau đây Trong kỳ thi giáo viên giỏi Hà Tĩnh năm 2011-2012 có bài toán sau đây: Bài toán Cho số dương có a + b +c =1 Chứng minh Bất đẳng thức sau đây : P = abc a b c (1) 81 ( theo bất đẳng thức co-si) 27 1 a b c (a b c) Nên không thể suy bất đẳng thức (1) Do tính ngược chiều bất 3 đánh giá trên Đây củng là sai lầm thường gặp học sinh giải toán chứng minh bất đẳng thức Bài toán trở thành không dễ dàng Khi chưa tìm cách giải ta nên đưa bài toán trường hợp đặc biệt cách giảm số biến bài toán Ta đến xét: Bài toán Cho a và b là số dương thay đổi thoã mãn: a b Chứng minh bất đẳng thức: ab(a b ) (2) Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức xy x y 2ab 2ab 1 Ta có P = ab (a b) 2ab ab(1 2ab) 2ab(1 2ab) 4 Ta dễ thấy abc Ta tìm cách giải bài toán cách đưa bài toán đơn giản cho biến dương a và b tuỳ ý a b a b và cách đặt a b M ta Từ đó từ bài toán thay a và b M M M M ab(a b ) M (*) thu đươc bất đẳng thức : 2 Bây ta giải bài toán Ta có P abc(a b c ) c.ab(a b ) c3 ab(a b ) Dấu “ = ” xẩy c 1 c x y c 1 c 1 ( sử dụng bất c(1 c) (3c 2c 1) (1 c)(3c 3c )(3c 2c 1) 8 24 81 đẳng thức Co si cho số dương ) dấu “ = ” a = b = c = 1/3 Như bất đẳng thức (2) là đúng Bài toán có thể giải trực tiếp phương pháp dồn biến trực tiếp.Song đường từ bài toán tự nhiên Từ kết bài toán trên ta hy vọng bài toán tổng quát đúng Ta đến giải bài toán tổng quát sau với n biến dương Tức là ta phải giải bài toán sau: Bài toán P Lop12.net (2) “ Cho n số dương x1 , x2 , xn : x1 x2 xn Hãy tìm giá trị lớn biểu thức sau Pn x1 x2 xn x12 x2 x12 ” Ta chứng minh quy nạp theo n : P n n 1 (3) Thật với n = kết bài toán nên bất đẳng thức (3) đúng Giả sử ( ) đúng với n = k.: T chứng minh bất đẳng thức ( ) đúng cho n+1 số dương mà xn x1 x2 Nên theo giả thiết quy nạp x1 x2 xn xn 1 Thật ta có xn 1 xn 1 xn 1 ta có: xn xn x1 x2 x12 n 1 (** ) Khi đó ta có: 2 xn 1 xn 1 xn 1 1 xn 1 1 xn1 n Pn 1 x1 x2 xn x x12 x12 xn x x x1 x2 xn x12 x2 xn ) x3 x1 x2 xn ( ta gọi x = xn 1 ) = n n 1 x 1 x n n 1 n2 x3 1 x nn n ( theo giả thiết quy nạp ( ** ) và theo bất đẳng thức Co si ) (n 1) x (n 1) x (1 x).(1 x) (1 x) (n 1) x x 1 (n 1) n 1 (n 1) x (n 1) x n (n 1) x (n 1) x x 1 Tức là bất đẳng n 1 = n2 ( n 1) n (n 1) n 1 thức (3 ) đúng với n +1 Từ đó theo nguyên lý quy nạp ( ) đúng với n Dấu “ = “ xẩy và x1 x2 xn xn 1 Như giá trị lớn P là n Bài toán đã giải (n 1) n x x x Bây với n số dương tuỳ ý ta đặt x1 x2 xn M n M M M x x x Từ bài toán ta thay x1 , x2 xn , , n ta thu bất đẳng thức tổng quát bài M M M toán sau Đây là bất đẳng thức đẹp mà đường đến lại là bất đẳng thức đơn giản đó là bất đẳng thức ( ) Bài toán Cho n số thực dương ( n 2) x1 , x2 xn thoã mãn: x1 x xn ta có bất đẳng thức sau đây: x1 x2 xn x x2 xn 2 x x xn n2 n n 1 Con đường tổng quát bài toán (1) chưa phải là kết thúc Bây ta mở rộng trên tập hợp các số mũ nguyên dương các biến bài toán Để dùng phép quy nạp có thể áp dụng hay không theo kiểu trên ta phải xét: Bài toán Hãy tìm giá trị lớn các biểu thức sau: 3 a) P2 ab a b Với a, b là số dương thoã mãn a +b = b) P33 abc(a b3 c3 ) Với a, b,c là số dương thoã Lop12.net mãn a +b +c = (3) Để bài viết không quá dài trường hợp a) bài toán xin dành cho bạn đọc tự giải cách tương tự giải bài toán 1 ( x; y ) (3 3); (3 3) Ở đó ta thu kết là : max P23 ab a b3 = 12 1 ( x; y ) (3 3);( (3 6) 6 Điều nhận thấy bài toán 5a) là mặc dù vai trò a,b bài toán là bình đẳng dấu “ = “ kết luận bất đẳng thức thu lại là các cặp ( a; b ) đối xứng mà không xẩy biến đó để giải bài toán 5b) khó lòng đưa trường hợp biến Sau đây Tôi đưa lời giải cho bài toán 5b) Do a +b + c =1 nên số a; b; c luôn có :hoặc là có số không nhỏ 1/3 và số không lớn 1/3 là có số không lớn 1/3 và số không nhỏ 1/3 tức là ta luôn có: 1 (a )(b )(c ) ab bc ac 3abc (**) Dấu “ = “ (a; b ; c ) = ( 1/3; 1/6; 1/2 ) và các 3 hoán vị nó Từ đẳng thức quen thuộc: a b3 c3 3abc (a b c)(a b c ab bc ac) a b3 c3 3abc + (a b c) 3(ab bc ac) = 3abc +1 - (ab+bc+ac) 3abc 3.(3abc ) 6abc ( (**) ) Theo bất đẳng thức (**) ta có P33 abc(a b3 c3 ) 1 1 1 Dấu “ = “ xẩy và (a; b ; c ) = ( abc( 6abc) 6abc( 6abc) 6 3 256 1/3; 1/6; 1/2 ) và các hoán vị nó Tóm lại ta đã giải xong trường hợp bài toán Bài toán mở Gọi Pnk x1 x2 xn ( x1k x2 k x1k ) với n và là số tự nhiên ; n 2; k Trong đó: xi o k Thì giá trị lớn Pn bao nhiêu ? x1 x2 xn Rõ ràng bài toán giải ( k; n ) = ( 2; n ) ; ( 2;3 ) và ( 3;3 ) Theo dõi kết các bài toán 5a) và 5b) ta thấy bài toán tổng quát không thể giải đường quy nạp chuổi các bài toán từ bài toán đến bài toán Chính vì bài toán (và bài toán 7) sau đây là câu hỏi chưa có câu trả lời Bài toán mở n là số tự nhiên ( n lớn ) và r là số thực tuỳ ý Với n số dương thay đổi thoã mãn: xi o x1 x2 xn Gọi Pnr x1 x2 xn x1r x2 r xn r Thì giá trị nhỏ biểu thức là bao nhiêu ? Bài toán và bài toán là bài toán mở mà chính tác giả bài viết này mong bạn đọc quan tâm và trao đổi Cuối cùng mời các bạn giải các bài tập sau là kết vận dụng thú vị thu nhận và rút bài viết này Nếu không biết nguồn gốc các chuỗi bất đẳng thức trên thì việc tìm lời giải nó hoàn toàn không phải dễ dàng Bài tập Với số dương x và y chứng minh : x y 12 xy ( x3 y ) Lop12.net (4) Bài tập Với số dương x, y, z Chứng minh : x y z 216 xyz x3 y z Bài tập Cho số dương x; y; z thoã mãn : x y z Hãy tìm giá trị lớn biểu thức sau P xyz ( x y z ) Bài tập tìm tất các nghiệm dương phương trình sau: x 81x( x 2) ( Nguyễn Tiến Minh Hồng Lĩnh mùa giáp hạt 2011 ) Lop12.net (5) Lop12.net (6)